ćwiczenie III 4

Ćwiczenie III 4
Żyroskop. Badanie zależności czasu precesji od czasu rotacji.
Wyznaczanie momentu bezwładności.
1) Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zbadanie ruchu żyroskopu, wyznaczenie zależności czasu precesji
od czasu rotacji oraz wyznaczenie momentu bezwładności dysku żyroskopu.
2) Wprowadzenie
Symetrycznym bąkiem swobodnym nazywamy bryłę sztywną, która wiruje wokół osi
przechodzącej przez środek masy bryły i pokrywa się z jej osią symetrii (np. zabawka bąk
dziecinny).Właściwości ruchu bąka wykorzystuje się w żyroskopach. Użyty w doświadczeniu
żyroskop pokazano schematycznie na rysunku 1. Składa się on z pręta, na której umieszczono
dysk G i przeciwwagi C. Na pręcie, który jest osią obrotu dysku znajduje się nacięcie, na
którym można zawiesić dodatkową masę m. Środek masy żyroskopu jest umieszczony na
podporze. To zawieszenie umożliwia ruch dysku wokół 3 prostopadłych do siebie osi.
Rys.1 Schemat układu do badania precesji żyroskopu.Oś x -początkowa oś obrotu tarczy
żyroskopu G, przeciwwaga C, zawieszona dodatkowa masa m.
Ruch żyroskopu opisują zasady dynamiki bryły sztywnej. Drugą zasadę dynamiki dla ruchu
obrotowego można zapisać następująco:
dL
M=
dt
gdzie: M- oznacza moment pędu, L- moment bezwładności, t-czas., Jeżeli żyroskop
wprawimy w ruch obrotowy to oś obrotu zachowa w przestrzeni swój kierunek. Wynika to
wprost z zasady zachowania momentu pędu. Wartość momentu siły działającego na wirujące
ciało jest równa zero (M=0) .Oznacza to, że pochodna momentu pędu L po czasie t przyjmuje
wartość 0. Moment pędu L, jako wielkość wektorowa pozostaje wielkością stałą:
→
dL
M=
= 0 ⇒ L = const
dt
Z zasady zachowania momentu pędu wynika, że jeśli moment działających sił na ciało znika
M=0 to moment pędu L jest stały, co do wartości, kierunku . Moment pędu można zapisać
następującym wzorem:
L = I ⋅ ωr = const
I = const ⇒ ωr = const
To oznacza, że po pominięciu sił tarcia żyroskop będzie obracał się ze stałą prędkością
kątowa ωr wokół ustalonej osi obrotu, a oś obrotu zachowa stały kierunek w przestrzeni.
1
Po zawieszeniu dodatkowej masy m pojawi się dodatkowy moment siły Mp prostopadły do
siły ciężkości i ramienia tej siły r, który spowoduje zmianę momentu pędu dL skierowaną tak
jak dodatkowy moment siły Mp (rys.2).
Rys.2 Precesja poziomej osi żyroskopu. Zaznaczono niezrównoważony moment siły Mp
powodujący precesję, moment pędu żyroskopu L i jego zmianę dL oraz kąt φ o jaki obraca
się wektor momentu pędu podczas precesji.
Dodatkowy moment siły Mp zapisujemy wzorem:
dL
dt
Ze względu na przyłożony niezrównoważony moment siły Mp dysk zacznie się obracać
wokół nowej osi obrotu pokrywającej się z nowym kierunkiem momentu pędu. W ciągu czasu
dt wektor momentu pędu L obróci się o kąt dφ od początkowej pozycji:
dL
dϕ =
L
Tarcza żyroskopu zacznie się obracać wokół nowej osi pokrywającej się z nowym kierunkiem
momentu pędu. W efekcie pojawi się ruch precesyjny, wokół osi pionowej, z prędkością
kątową precesji ωp:
M p = mgr =
ωp =
dϕ
dL
dL
mgr
=
=
=
dt L ⋅ dt I ⋅ ωr ⋅ dt I ⋅ ωr
ponieważ
L = I ⋅ ωr
Mp =
dL
= mgr ⇒ dL = mgr ⋅ dt
dt
Okresy rotacji Tr oraz precesji Tp zależą od prędkości kątowych rotacji ωr i precesji ωr w
następujący sposób:
2π
2π
ωr =
Tp
Tr
Uwzględniając powyższe zależności otrzymujemy:
ωp =
1
mgr
= 2 ⋅ Tr
Tp 4π ⋅ I
2
3) Opis stanowiska laboratoryjnego
Zestaw pomiarowy składa się z żyroskopu, bramki elektronicznej do pomiaru czasu, stopera,
przymiaru liniowego, obciążników, nici do rozpędzania tarczy żyroskopu (rys.3)
Rys.3 Zestaw pomiarowy firmy Phywe
4) Program ćwiczenia
1. Na brzegu tarczy przykleić wąski kawałek tworzywa sztucznego lub kartki
samoprzylepnej.
2. Włączyć zasilanie bramki elektronicznej i ustawić pozycję pracy do pomiaru czasu
obrotu tarczy.
3. Przesuwając przeciwwagę ustawić pręt żyroskopu poziomo.
4. Nawinąć nić na mały krążek na tarczy.
5. Zawiesić dodatkową masę m(m= 0,040 kg) na wyżłobieniu na pręcie i przytrzymać
pręt w pozycji poziomej aż do ukończenia pomiaru czasu rotacji tarczy (zadanie dla
pierwszego studenta).
6. Rozpędzić tarczę wyciągając sznurek.Zmierzyć czas rotacji tarczy przy pomocy
bramki elektronicznej (zadanie dla drugiego studenta).
7. Po zmierzeniu czasu rotacji Tr ( lub 2Tr) puscić pręt i zmierzyć czas precesji (lub jego
wielokrotność) Tp.
8. Nawinąć ponownie nić i ponowić czynności z punktów 4-8 starając się rozpędzać
tarczę żyroskopu z różnymi prędkościami.
9. Zanotować wyniki pomiarów i niepewności pomiarowych.
10. Powtórzyć czynności z punktów 4-9 dla większej masy m.
3
5) Sprawozdanie
1. Sporządzić wykres odwrotności czasu precesji 1/Tp od czasu rotacji Tr.
2. Nanieść niepewności pomiarowe ∆Tr i ∆(1/Tp) .Przeanalizować liniowość
1 ∆Tp
wykresu.Wyznaczyć równanie prostej.Przyjąć,że ∆ = 2
Tp Tp
3. Na podstawie otrzymanej wartosci współczynnika kierunkowego otrzymanej prostej
obliczyć wartość momentu bezwładności tarczy żyroskopu Idośw. Przyjmując, ze
teoretyczny moment bezwładności wynosi I=M*R2/2 obliczyć jego wartość i
porównać procentowo z momentem bezwładnosci otrzymanym z pomiarów Idośw.
4. Przeprowadzić dyskusję wyników i niepewności pomiarowych.
dane aparaturowe:
M=1,325 kg
2R=0,24 m→R=0,12 m
r = 0,27 m
g= 9,81 m/s2
6) Pytania kontrolne
1. Bryła sztywna i moment bezwładności.
2. Równania ruchu obrotowego bryły sztywnej.
3. Żyroskop i jego zastosowania.
4. Zjawisko precesji.
Opracował T.P.
4