kupić samolot

Podejmowanie decyzji
statystycznych
Przykład. (Silvey 1978) Możemy zakupić dziesięć
używanych samolotów. Pewna nieznana ich ilość θ
może latać 1000 godzin bez naprawy i każdy z nich
daje zysk 1000z. Każdy z pozostałych będzie wymagał naprawy co da stratę w wysokości 1000q. Przed
podjęciem decyzji za cenę 1000r można na 1000 godzin wypożyczyć jeden z samolotów i decyzję uzależnić od jego zachowania. Przeanalizować problem
i wybrać najlepsze postępowanie.
Bierzemy samolot na próbę:
x1 (wynik próby OK)
Pθ (x1 ) = θ/10
x2 (wynik próby nie OK)
Pθ (x2 ) = 1 − θ/10
Decyzje:
d1 = kupić samoloty
d2 = nie kupować samolotów
W Z Statystyka 13.1
Elementy teorii podejmowania decyzji
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Zbiór obserwacji X
Zbiór stanów natury Θ
Zbiór decyzji D
Funkcja straty L(d, θ)
Reguła decyzyjna δ : X → D
Ryzyko reguły δ: Rδ (θ) = Eθ {L(δ(X), θ)}
Zadanie:
znaleźć regułę δ „optymalizującą” ryzyko
Optymalizacja:
1. jednostajna minimalizacja ryzyka
2. zasada minimaksu
3. reguła Beyesa
W Z Statystyka 13.2
Funkcja straty
Wykonano próbę:
L(d1 , θ) = r − θz + (10 − θ)q
L(d2 , θ) = r dla wszystkich θ
Nie wykonywano próby:
L(d1 , θ) = −θz + (10 − θ)q
L(d2 , θ) = 0 dla wszystkich θ
Postępowania (reguły decyzyjne)
δ1
δ2
δ3
δ4
δ5
δ6
wynik próby OK
wynik próby nie OK
nie kupować
nie kupować
kupić
kupić
kupić
nie kupować
nie kupować
kupić
kupić nie próbując
nie kupować nie próbując
W Z Statystyka 13.3
Ryzyko reguły decyzyjnej (oczekiwana strata)
x1 (Pθ (x1 ) = θ/10)
δ1
δ2
x2 (Pθ (x2 ) = 1 − θ/10)
δ1 (x1 ) = d2
δ1 (x2 ) = d2
L{δ1 (x1 ), θ} = r
L{δ1 (x1 ), θ} = r
Rδ1 (θ) = r
δ2 (x1 ) = d1
δ2 (x2 ) = d1
L{δ2 (x1 ), θ}
= r − θz + (10 − θ)q
L{δ2 (x1 ), θ}
= r − θz + (10 − θ)q
Rδ2 (θ) = r − θz + (10 − θ)q
δ3
δ3 (x1 ) = d1
δ3 (x2 ) = d2
L{δ3 (x1 ), θ}
= r − θz + (10 − θ)q
L{δ3 (x2 ), θ} = r
Rδ3 (θ) =
δ4
θ
10 {r
− θz + (10 − θ)q} + 1 −
δ4 (x1 ) = d2
θ
10
r
δ4 (x2 ) = d1
L{δ4 (x2 ), θ}
L{δ4 (x1 ), θ} = r
= r − θz + (10 − θ)q
θ
θ
Rδ4 (θ) = 10 r + 1 − 10 {r − θz + (10 − θ)q}
W Z Statystyka 13.4
Rδ5 (θ) = −θz + (10 − θ)q,
Rδ6 (θ) = 0
...
.........................
................
............
1
..... ....
..... .....
...............
.........................
...............
2
.
... ..........
... ...........
.......................
... ............
... ..........
3
... ............
... ...........
.................
... ...........
... ..... .....
4
... ............
...
.
.. .
............................
... .................
...
5
.. ..
... .................
...
..........
.........
...
..... .....
...
..... ...
....
..........
....
.........
..........
....
.........
....
..... .....
....
..... ...
... ....
....
.... ................
... ...
....
.... .................
...................................................... .................
...........
............. ..... .....
.
.
.
.
.
.
.
........ ...... ....
.....
.
.
.
.
....................
.
.
.....
.............
.
.
.
.
.
.......
.
.
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
......................
........
..... ......... ............
..........................
...............
.... .. ...
0
1
2
3
4
5
6 ...........................7.........
8
9
10
......... .....
.......... ....
......... ....
..... ..... ....
..... .... ....
..... ..... ...
..... .... .....
..... .... ...
.......... .....
..... .... ..
.......... .....
..... .... ...
..... ..... ....
..... ... ...
.......... ...
......... ....
.......... ...
..............
..... .......
..... ......
............
............
..... ..
.....
..
δ
δ
δ
δ
δ
W Z Statystyka 13.5
Zasada minimaksu
z = 0.2
q = 0.3
r = 0.1
maksimum straty
δ1
max Rδ1 (θ) = 0.1
δ2
max Rδ2 (θ) = Rδ2 (0) = 3.1
δ3
max Rδ3 (θ) = Rδ3 (3) = 0.55
δ4
max Rδ4 (θ) = Rδ4 (0) = 3.1
δ5
max Rδ5 (θ) = Rδ5 (0) = 3.0
δ6
max Rδ6 (θ) = 0
θ
θ
θ
θ
θ
θ
W Z Statystyka 13.6
Zasada bayesowska
P {θ = i} = pi ,
i = 0, 1, 2, . . . , 10
Średnie ryzyko reguły δ =
10
X
Rδ (θ = i)pi
i=0
P {θ = i} =
1
,
11
i = 0, 1, 2, . . . , 10
średnie ryzyko
δ1
δ2
δ3
δ4
δ5
δ6
z = 0.20
q = 0.30
r = 0.10
0.10
0.60
−0.15
0.85
0.50
0.00
z = 0.20
q = 0.05
r = 0.10
0.100
−0.650
−0.525
−0.025
−0.750
0.000
z = 0.2
q = 0.5
r = 0.1
0.10
1.60
0.15
1.55
1.50
0.00
W Z Statystyka 13.7