Pochodne wyższych rzędów — definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów — definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów — definicja i przykłady
Pochodne wyższych rzędów
Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest
pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta pochodna funkcji jest pochodną
—wszej
pochodnej.
Oznaczenia
Pochodne wyższych rzędów oznaczamy
Mamy więc
Uwaga
Dogodnie jest przy tym zdefiniować pochodną rzędu zerowego jako samą funkcję:
Przykłady
1. Dla
równe zeru.
2. Ogólnie:
mamy:
,
ta pochodna funkcji
,
, a wszystkie wyższe pochodne są
jest
a wyższe pochodne są równe zeru.
3.
ta pochodna funkcji
, gdzie
oraz
, jest równa
zwróćmy uwagę, że tutaj pochodna dowolnego rzędu jest różna od zera!
4.
, co daje, że wszystkie wyższe pochodne funkcji
5. Dla funkcji
są równe
.
mamy
to było dla pierwszych czterech pochodnych, a dowolną pochodną można obliczyć
wykorzystując
tożsamość zawartą wyżej:
.
6. Wzór (1) pozwala policzyć dowolną pochodną dowolnego wielomianu
Nie będziemy tego wypisywać in extenso, (wzór ten jest dość skomplikowany i nie mamy tu
potrzeby wypisywać go), a weźmy jego szczególny przypadek, tzn. wypiszmy pochodne od 0 do
w punkcie
. Mamy[1]:
Stąd wynika wzór:
-ta pochodna iloczynu funkcji — wzór Leibniza
Na
tą pochodną sumy i różnicy sumy dwóch funkcji mamy proste wzory
(natychmiastowy dowód indukcyjny: W pierwszym kroku:
; dalej:
; i na mocy
zasady indukcji wzór (3) jest prawdziwy dla każdego .)
Dla
tej pochodnej iloczynu funkcji wzór jest bardziej skomplikowany, ale dający się ogarnąć:
Twierdzenie (wzór Leibnitza)
ta pochodna iloczynu dwóch funkcji dana jest wzorem
(dla prostoty nie pisaliśmy jawnej zależności od
itd.)
; wszędzie wyżej należy pamiętać, że
,
Dowód
będzie indukcyjny. Dla
otrzymujemy znany już wzór na pochodną iloczynu. Załóżmy, że wzór
(4) zachodzi dla i obliczmy pochodną obu jego stron. Z twierdzenia o pochodnej iloczynu mamy
ostatnia równość wynika z faktu, iż mamy dla współczynników Newtona
(wzór ten był pokazywany przy dowodzie wzoru dwumiennego Newtona).
CBDO
Przykład
Obliczmy drugą pochodną funkcji odwrotnej. Najsampierw wyprowadźmy raz jeszcze wzór na tę
pochodną, korzystając z wzoru na pochodną funkcji złożonej. Jeśli
funkcja do niej odwrotna, to mamy:
— funkcja, a
, skąd po zróżniczkowaniu otrzymamy
co daje
Obustronnie różniczkując, otrzymujemy
co daje
Różniczkując ten wzór, można uzyskać dowolną wyższą pochodną.
—
Wzór Taylora
Twierdzenie (Wzór Taylora)
Załóżmy, że funkcja
Wtedy zachodzi
gdzie wyraz
jest
krotnie różniczkowalna w przedziale
, zwany resztą
. Oznaczmy
.
tego rzędu, można przedstawić w jednej z postaci
dla pewnego
(reszta w postaci Lagrange'a), lub
(reszta w postaci Cauchy'ego).
Uwaga przed dowodem
Wzór Taylora można uważać za uogólnienie wzoru Lagrange'a: Ten ostatni to szczególny przypadek
wzoru Taylora dla
.
Dowód
Wypiszmy z wzoru (6) resztę:
Oznaczmy przez
:
Pochodna funkcji
funkcję pomocniczą zdefiniowaną w ten sposób, że w
jest równa:
zastępujemy
przez
W powyższej sumie kasują się więc wszystkie człony oprócz ostatniego i mamy
Zarazem:
,
średniej, otrzymujemy
. Stosując do funkcji
twierdzenie Lagrange'a o wartości
więc
skąd otrzymujemy
czyli resztę w postaci Cauchy'ego (8).
Pozostaje pokazać, że równoważną postacią reszty jest postać Lagrange'a (7). W dowodzie używa się
wzoru Cauchy'ego o wartości średniej z funkcjami:
wartości średniej mówi, że:
i
. Wzór Cauchy'ego o
dla pewnego
Tu mamy:
,
,
czyli otrzymujemy
tzn. postać reszty Lagrange'a (7).
Uwagi
1. Wzoru Taylora zazwyczaj używa się w postaci:
, skąd wynika, uwzględniając (9)
Można na ten wzór patrzeć jako na przybliżenie funkcji w otoczeniu punktu przez wielomian
(
tego stopnia). Jeśli umiemy oszacować resztę, to daje nam ona dokładność tego
przybliżenia.
Dla
, powyższa wersja wzoru Taylora nazywana jest wzorem Maclaurina
2. Gdy funkcja jest różniczkowalna dowolną ilość razy, to reszta może być dowolnie wysokiego
rzędu. Okazuje się, że można "odsunąć ją do nieskończoności" — zapisać rozwinięcie Taylora
jako nieskończony szereg. Aby to precyzyjnie wyrazić, potrzebne jest pojęcie zbieżności
szeregu i jakieś kryteria zbieżności; zajmiemy się tym niedługo.
Przykłady
1. Zapiszmy wzór Taylora dla funkcji
drugiego rzędu. Mamy:
w otoczeniu punktu
,
Stąd wynika, że dla każdego
z dokładnością do
, tak więc
zachodzi równość
bo reszta jest dodatnia (jako że
i
). Nierówność ta posiada wyrazisty sens
geometryczny — patrz wykres.
2. Wzór Taylora pozwala w następujący sposób zwiększyć moc reguły de l'Hospitala:
Twierdzenie
Jeśli funkcje
to
i
posiadają
te pochodne ciągłe i jeśli
Dowód
We wzorze Taylora (6) zastąpmy przez . Z uwagi na znikanie pierwszych
zostaje tylko sama reszta:
pochodnych
Tak więc
Przechodząc do granicy
i biorąc pod uwagę ciągłość funkcji
dowodzie zwykłego tw. de l'Hospitala), otrzymujemy wzór (11).
i
(podobnie jak to było przy
CBDO
Przykład
Kryteria na ekstrema
Niedawno pokazaliśmy, że jeśli funkcja (różniczkowalna)
. Pamiętamy też, że na odwrót nie jest: Jeśli
posiada w punkcie
ekstremum, to
, to nie znaczy, że w
znajduje się
ekstremum (np. dla
). Równość
jest więc warunkiem koniecznym, ale
niedostatecznym na istnienie tam ekstremum. Okazuje się, że badanie wyższych pochodnych daje
ogólniejsze kryterium na istnienie ekstremum:
Twierdzenie
Załóżmy, że funkcja
Wówczas, jeśli
jest różniczkowalna
jest parzyste, to w punkcie
, minimum, jeśli
ekstremum w punkcie .
krotnie i
funkcja
. Jeśli natomiast
ta pochodna jest ciągła. Niech również
ma ekstremum właściwe: maksimum, jeśli
jest liczbą nieparzystą, to
nie posiada
Dowód
Z wzoru Taylora mamy:
i, ponieważ na mocy założenia pierwszych
Załóżmy, że
punkcie
i
pochodnych
jest liczbą parzystą. Niech
istnieje takie
. Ze względu na ciągłość funkcji
, że nierówność:
, zatem
zeruje się w punkcie , mamy
implikuje
w
. Jeśli więc
, to
. Patrząc teraz na (13) widzimy, że jeśli
(pamiętajmy, że jest parzyste, więc
). Powyższa nierówność oznacza, że w punkcie
funkcja posiada maksimum. Z analogicznego rozumowania wynika, że jeśli jest liczbą parzystą i
zachodzi:
, to
funkcja ma minimum.
Załóżmy teraz, że
(znowu dla
jest liczbą nieparzystą. Niech
. Mamy wówczas dla
), co znaczy, że w punkcie
(w przypadku przeciwnym, tzn.
, rozumowanie jest analogiczne). Weźmy znów
a dla
i
takie, aby dla
było
nierówność
zachodzi nierówność
tak więc w punkcie
nie ma ani maksimum, ani minimum.
Przykład
Funkcja
jest nieparzyste.
posiada w
minimum, jeśli
jest parzyste i nie posiada minimum, jeśli
Uwaga
Najczęściej spotyka się w zastosowaniach ekstrema niezdegenerowane, tzn. takie, że druga
pochodna jest różna od zera. Wtedy testowanie, czy dany punkt krytyczny odpowiada ekstremum,
kończy się na drugiej pochodnej.
Interpretacja geometryczna drugiej pochodnej. Punkty
przegięcia
Uprzednio widzieliśmy, że jeśli
funkcja
, to funkcja rośnie w otoczeniu . Jeśli więc
rośnie; a jeśli ponadto
, to
, to
rośnie jeszcze szybciej. To była heurystyka, a teraz
Twierdzenie
Jeśli druga pochodna funkcji
jest ciągła i:
1. zachodzi
krzywa
punktu
jest dla pewnego otoczenia
położona powyżej
, to krzywa
jest dla pewnego otoczenia punktu
do tej krzywej w punkcie
2. zachodzi
krzywa
punktu
położona powyżej stycznej
;
jest dla pewnego otoczenia
położona poniżej
, to krzywa
do tej krzywej w punkcie
jest dla pewnego otoczenia punktu
położona poniżej stycznej
.
Uwaga
Patrząc na wykres funkcji
, widzimy, że w pierwszym przypadku wykres jest skierowany
wypukłością do dołu, a w drugim — do góry.
Dowód
1. Oszacujmy różnicę między ilorazem różnicowym a pochodną:
Na mocy wzoru Taylora mamy:
Ponieważ
, to dla dostatecznie małego
mamy również
Interpretując iloraz różnicowy jako tangens kąta nachylenia siecznej do osi
wnioskujemy, że dla
tangens ten jest większy niż
, tzn. większy niż tg kąta między styczną a osią
oznacza, że rozważana krzywa leży nad styczną, tak jak na rys. (3).
. A to
2. jest analogiczny.
Przykłady
1. Parabola
w każdym punkcie leży nad styczną — nic dziwnego, bo druga pochodna
wszędzie jest tu równa 2.
2. Wykres funkcji wykładniczej
również leży wszędzie nad styczną — tak być musi, bo
druga pochodna
.
Punkt przegięcia
Rozważmy sytuację, gdy krzywa
posiada w punkcie styczną i dla dostatecznie małych
przyrostów dodatnich krzywa leży po jednej strone stycznej (np. nad styczną), a dla dostatecznie
małych przyrostów ujemnych leży po drugiej stronie
krzywej (np. pod krzywą). Innymi słowy: Rozpatrzmy wyrażenie:
i dla
dostatecznie małego
mamy:
:
W takiej sytuacji mówimy, że krzywa
oraz
:
ma punkcie
.
punkt przegięcia.
Przykład
Sinusoida
ma punkt przegięcia dla
. Mamy bowiem:
. Dla
mamy
, dla
jest
.
Z tw. powyżej wynika, że jeśli
, to krzywa leży (lokalnie) po jednej stronie stycznej. W takiej
sytuacji, punkt nie jest punktem przegięcia. Możemy to sformułować jako
Twierdzenie
Jeśli punkt
jest punktem przegięcia krzywej
zachodzi (np. dla
w
, to
. Sytuacja odwrotna nie
).
Funkcje wypukłe, wklęsłe i ich własności
Funkcje — wypukła i wklęsła
Funkcję
rys.
nazywamy wypukłą na
, jeśli dla dowolnych
i
mamy
zaś wklęsłą, jeśli
Wniosek
Funkcja jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja
ciągu zająć się tylko funkcjami wypukłymi.
jest wklęsła. Wystarczy więc w dalszym
Twierdzenie
Funkcja
jest wypukła na
punktów
wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego skończonego zbioru
i dla dowolnego zestawu
i
liczb
, takich, że
,
, zachodzi
Dowód
indukcyjny. Niech
będzie wypukła na
Załóżmy, że teza jest prawdziwa dla
Niech
twierdzenia. Jeśli
— wtedy nierówność (16) zachodzi dla
(tzn. prawdziwa jest
.
.
i
,
będą takie, jak w sformułowaniu
, to nierówność jest trywialna. Weźmy więc
. Mamy:
a to znaczy, że prawdziwa jest
prawdziwa dla każdego
.
W drugą stronę, dla
. Udowodniliśmy więc implikację
, czyli teza jest
mamy definicję funkcji wypukłej.
CBDO
Inne, równoważne kryteria wypukłości
Istnieją też inne równoważne kryteria wypukłości; użyteczne okaże się zaraz następujące
stwierdzenie:
1.
jest wypukła
nierówność
dla dowolnych punktów
z przedziału
spełniona jest
2.
jest wypukła
nierówność
dla dowolnych punktów
z przedziału
spełniona jest
3.
jest wypukła
nierówność
dla dowolnych punktów
z przedziału
spełniona jest
Dowód
Jeśli
, to
, gdzie
wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów
Ponieważ
,
czyli otrzymaliśmy (17).
i
i
mamy nierówność
.
jest wypukła
są dodatnie, to nierówność (20) jest równoważna nierówności
Nierówność (20) można też zapisać w postaci
która jest równoważna nierówności
czyli otrzymaliśmy (18).
Wreszcie, gdy nierówność (20) zapiszemy w postaci
czyli otrzymaliśmy (19).
CBDO
Wniosek 1
Jeśli
jest wypukła na
Ponadto
, to istnieją granice: lewo- i prawostronne pochodne:
.
Dowód
Zauważmy, że funkcja
jest monotoniczna i ograniczona (powyższe Stw.), a
stąd wynika istnienie granicy (podobnie jak dla ciągów).
Wniosek 2
Funkcja wypukła na odcinku otwartym jest ciągła. Założenie otwartości odcinka jest istotne: Funkcja
wypukła na odcinku domkniętym może być nieciągła na jego brzegu. (rys. (4))
Funkcja wypukła na odcinku domkniętym
może być nieciągła na jego brzegu
Dla funkcji różniczkowalnych, mamy proste kryterium wypukłości.
Twierdzenie
1. Funkcja różniczkowalna na
jest wypukła
2. Funkcja dwukrotnie różniczkowalna na
nieujemna.
jej pochodna jest funkcją niemalejącą.
jest wypukła
jej druga pochodna jest
Dowód
Widać, że drugi punkt wynika z pierwszego; wystarczy więc udowodnić pierwszy. Niech
będą punktami w
. Z tw. Lagrange'a istnieją
oraz
takie, że
oraz
jest więc równoważna nierówności
. Nierówność
Stąd powyższa nierówność jest spełniona dla wszystkich
jest funkcją niemalejącą. Ze Stw. wyżej wynika teza.
wtedy i tylko wtedy, gdy
CBDO
Znaczenie wypukłości
Badanie funkcji: Kryteria na ekstremum, położenie stycznych do wykresu.
Termodynamika: Z wypukłości energii swobodnej wynika dodatniość takich (fizycznie oczywistych,
ale trudnych bezpośrednio do udowodnienia) wielkości, jak ciepło właściwe: są to drugie pochodne
en. sw. (tu: po temperaturze).
1. ↑ Wzór ten daje się znacząco uogólnić na dowolne funkcje, dając tym samym sposób na
przybliżenie dowolnej funkcji przez wielomian; zrobimy to już niedługo.