3. KOMBINACJA WYPUKŁA

Materiały pomocnicze do laboratorium Podstaw Optymalizacji
Część trzecia: KOMBINACJA WYPUKŁA
3. KOMBINACJA WYPUKŁA
3.1. Wypukłą kombinacją punktów u1, u2,..., un nazywamy punkt
u = α1u1+α2u2+ ... +αnun,
gdzie αi są skalarami spełniającymi warunki αi≥0 i ∑αi=1.
3.2. Podzbiór e przestrzeni En jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary u1, u2 w
e każda kombinacja wypukła
u= α1u1+α2u2
należy do e.
Przykładami zbiorów wypukłych są całe przestrzenie En , koło i sześcian. Zbiór
punktów tworzących obwód koła nie jest zbiorem wypukłym.
Twierdzenie 1.
Dowolny punkt lezący na odcinku łączącym dwa punkty w En może być wyrażony jako
kombinacja wypukła tych dwóch punktów.
Twierdzenie 2(odwrotne).
Dowolny punkt, który może być wyrażony jako kombinacja wypukła dwóch punktów w En ,
leży na odcinku łączącym te dwa punkty.
a)
b)
c)
d)
Rys. 3.1. Przkłady zbiorów wypukłych (a,b) i niewypukłych (c,d)
Z twierdzeń 1 i 2 widzimy, że interpretując geometrycznie, zbiorem wypukłym jest taki
zbiór, który składa się z odcinków łączących każde dwa punkty zbioru. Zbiory pokazane na
rysunkach 3.1 a) i b) są zbiorami wypukłymi, natomiast zbiory na rysunkach 2.1 c) i d) nie są
wypukłe.
3.3. Punkt u zbioru wypukłego e nazywamy wierzchołkiem, jeśli nie może być on wyrażony
jako kombinacja wypukła dwóch różnych punktów należących do e. wszystkie punkty leżące
na obwodzie koła są wierzchołkami zbioru wypukłego składającego się z punktów leżących
na obwodzie i wewnątrz koła. Jeśli do zbioru wypukłego nie należą punkty brzegowe, to nie
należą do niego również wierzchołki. Wierzchołkami trójkąta są jego wierzchołki.
Zbiory wypukłe mają następującą ważną własność:
Iloczyn zbiorów wypukłych jest także zbiorem wypukłym.
3.4. Z pojęciem wypukłości zbioru wiąże się pojęcie wypukłości funkcji . Mówimy, że ciągła
funkcja h(x), x ∈ ℜ N, jest wypukła w dół w przestrzeni ℜ N, jeżeli dla dowolnych dwóch
punktów x’∈ ℜ N, x”∈ ℜ N oraz każdego ∝∈ <0,1> zachodzi
h((1 - ∝)x’ + ∝x”) ≤ (1 - ∝) h(x’) + ∝ h (x”)
(3.1)
Jeżeli zachodzi nierówność przeciwna, to funkcję h(x) nazywamy wypukłą w górę w
przestrzeni ℜ N. W przypadku gdy warunek (1) zachodzi tylko dla dowolnych punktów x’∈ X
1
Materiały pomocnicze do laboratorium Podstaw Optymalizacji
Część trzecia: KOMBINACJA WYPUKŁA
x”∈ X, przy czym X jest zbiorem wypukłym w przestrzeni ℜ N, to funkcję h(x) nazywamy
wypukłą w dół w zbiorze wypukłym X; a jeżeli we wzorze (3.1) zachodzi nierówność
przeciwna, to funkcję f(x) nazywamy wypukłą w górę w zbiorze wypukłym X. W dalszym
ciągu, dla uproszczenia terminologii, będziemy mówić w tym punkcie o funkcjach wypukłych
w dół. Jeżeli zaś nierówność (3.1) jest dla ∝∈ (0,1) spełniona jako nierówność ostra, to o
funkcji h(x) mówimy , że jest ściśle wypukła w dół.
y
h(x”)
(1-∝)h(x’) + ∝h(x”)
y = h(x)
h((1-∝)x’ + ∝x”)
h(x’)
x
0
x'
(1-∝)x’ + ∝x”
x"
Rys.3.2. Przykład funkcji wypukłej
Przykład
Wykaż, że jeżeli funkcje y = h(x) i f = g(y) są wypukłe i funkcja g jest rosnąca, to funkcja
g(h(x)) jest wypukła.
Rozwiązanie (dowód):
Zacznijmy od definicji funkcji wypukłej: Funkcja f(x) jest wypukła, jeżeli dla dowolnych
punktów x1 i x2 z dziedziny f(x) oraz dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b takich, że a+b=1
zachodzi nierówność:
f(ax1 + bx2) <= af(x1) + bf(x2).
Możemy przejść do dowodu naszego twierdzenia: Ponieważ h jest funkcją wypukłą, zaś g
funkcją rosnącą, to:
g(h(ax1 + bx2)) <= g(ah(x1) + bh(x2)).
Ponieważ g jest ponadto funkcją wypukłą, to:
g(ah(x1) + bh(x2)) <= ag(h(x1)) + bg(h(x2)).
Mamy zatem nierówność:
g(h(ax1 + bx2)) <= ag(h(x1)) + bg(h(x2)),
która stanowi definicję wypukłości dla funkcji g(h(x)).
2