Zestaw 2. zadań ze statystyki1 - Uniwersytet Ekonomiczny w

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach
Wydział Zarządzania, Finanse Menedżerskie
Zestaw 2. zadań ze statystyki1
Miary zróżnicowania i asymetrii
Zadanie 1. Pan Myszkowski chcąc kupić dziecku w prezencie komputer ustalił z kolegą–ekspertem parametry zestawu, który chce nabyć. Następnie zebrał informacje o cenach ustalonego zestawu komputerowego
w różnych sklepach. Ceny te przedstawia poniższa tabela.
Niech xi – cena komputera [tys. zł ], ni – liczba sklepów z ceną komputera równą xi ;
xi
1,8
2,0
2,2
2,5
ni
2
4
5
3
a)
Oblicz średnią cenę komputera oraz wyznacz i zinterpretuj wartość odchylenia standardowego.
b)
Odpowiedź na pytanie czy większym zróżnicowaniem charakteryzują się badane sklepy ze względu na
cenę ustalonego komputera, czy ceny monitora, jeśli wiadomo, że średnia cena monitora jest równa
ȳ = 800 zł a wariancja tej cechy Sy2 = 3600. Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 2. Zbadano strukturę pewnej liczby gospodarstw domowych ze względu na roczne zużycie wody
(w przeliczeniu na jednego mieszkańca) oraz ze względu na roczne zużycie energii elektrycznej (w przeliczeniu na jednego mieszkańca). Dane dotyczące zużycia wody przedstawia poniższa tabela.
Niech xi – roczne zużycie wody w przeliczeniu na jednego mieszkańca [w dziesiątkach m3 ],
ni – liczba gospodarstw domowych, w których odnotowano zużycie wody na osobę w wysokości xi ;
xi
3,5
4,0
4,6
5,2
ni
3
6
4
2
Roczne zużycie energii na jednego mieszkańca zostało scharakteryzowane przez następujące miary statystyczne: średnia ȳ = 440 [kWh], wariancja Sy2 = 14 400.
Na ich podstawie podstawie powyższych danych:
a)
oblicz średnie zużycie wody oraz wyznacz i zinterpretuj wartość odchylenia standardowego,
b)
porównaj rozproszenie wartości obu zmiennych (zużycia wody oraz zużycia energii elektrycznej),
c)
określ siłę oraz kierunek asymetrii rozkładu zmiennej xi , czyli zużycia wody.
Zadanie 3. Poniższa tabela przedstawia strukturę pewnej grupy kierowców ze względu na liczbę otrzymanych mandatów za wykroczenia drogowe.
Niech xi – liczba otrzymanych mandatów, ni – liczba kierowców;
xi
0
1
2
3
5
9
ni
5
9
16
12
7
6
Wyznacz i zinterpretuj średnią, dominantę, medianę, odchylenie ćwiartkowe oraz współczynnik asymetrii Pearsona. Ponadto sporządź diagram słupkowy.
1
Zestaw dostępny pod adresem: http://web2.ue.katowice.pl/trzesiok/zestaw2stat.pdf
1
Zadanie 4. Poniższa tabela przedstawia strukturę pewnej grupy osób aktywnych zawodowo ze względu
na czas poświęcony tygodniowo na oglądanie TV.
Niech xi – czas poświęcony tygodniowo na oglądanie TV [w godz.], ni – liczba osób;
xi
0−4
5 − 11
12 − 17
18 − 22
ni
11
28
26
10
Dokonaj wszechstronnej analizy struktury powyższych danych. W tym celu:
a)
wyznacz i zinterpretuj średnią, medianę i dominantę,
b)
określ zróżnicowanie badanej cechy,
c)
określ kierunek i siłę asymetrii (np. na podstawie zestandaryzowanego momentu centralnego trzeciego
rzędu).
Zadanie 5. Z wojewódzkiego urzędu statystycznego pewnego miasta otrzymano wykaz 100 firm płacących kary roczne za zanieczyszczanie środowiska. Rozpiętości przyjętych przedziałów klasowych nie są
jednakowe, ponadto przedział pierwszy i ostatni nie są domknięte.
Niech xi – wysokość płaconych kar na rzecz miasta (w tysiącach zł), ni – liczba firm płacących kary o
wysokości xi .
xi (w tys. zł)
poniżej 10
h10 − 30)
h30 − 50)
h50 − 80)
h80 − 120)
h120 − 150)
150 i więcej
Razem
ni
12
13
13
20
34
6
2
100
Dokonaj statystycznej analizy szeregu przedziałowego przedstawiającego strukturę firm według wysokości
płaconych kar na rzecz miasta. W tym celu:
a)
wyznacz medianę wysokości kar,
b)
oblicz odchylenie ćwiartkowe oraz pozycyjny współczynnik zmienności,
c)
określ asymetrię rozkładu kar (jej kierunek i siłę)
Czy w tym zadaniu możliwe jest obliczenie klasycznych miar statystycznych, takich jak średnia lub
odchylenie standardowe? Opowiedź uzasadnij.
Zadanie 6. Poniższa tabela przedstawia strukturę państw ze względu na wydobycie ropy naftowej w 1999 r.
(tylko państwa, w których to wydobycie przekroczyło 60 mln t).
Niech xi – wydobycie ropy naftowej [mln t], ni – liczba państw;
xi
60 − 89
90 − 119
120 − 179
180 − 369
ni
2
4
7
3
a)
Wyznacz i zinterpretuj średnią, dominantę i medianę.
b)
Oblicz i zinterpretuj wartość odchylenia standardowego.
c)
Określ kierunek i siłę asymetrii na podstawie współczynnika asymetrii Pearsona.
d)
Sporządź histogram.
c 2015 Joanna i Michał Trzęsiok
Copyright 2
Odpowiedzi
Ad zad. 1.
a)
Średnia cena komputera to 2 150 zł (x̄ = 2, 15 tys. zł ). Przeciętnie ceny komputerów w badanych sklepach
różnią się od średniej o około 230 zł (s(x) = 0, 23 tys. zł ).
b)
Większym różnicowaniem charakteryzują się ceny komputerów (niż ceny monitorów), ponieważ Vx = 10, 51% >
Vy = 7, 5%.
Ad zad. 2.
a)
Średnie zużycie wody to 42,2 m3 , s(x) = 0, 54 czyli przeciętnie zużycie wody różni się od średniej o 5,4 m3 .
b)
Większym zróżnicowaniem charakteryzuje się zużycie energii elektrycznej, Vx = 12, 75% < Vy = 27, 27%.
c)
γ ≈ 0, 41, λ3 (x) ≈ 0, 39, zatem asymetria słaba, prawostronna.
Ad zad. 3.
a)
średnia x̄ = 3, 02, mediana M e = 2, dominanta D = 2,
b)
odchylenie ćwiartkowe Q = 1,
c)
wsp. asymetrii Pearsona γ ≈ 0, 41.
Ad zad. 4.
a)
średnia x̄ ≈ 11, 41 h (osoby w badanej grupie oglądają TV średnio przez 11,41 godzin na tydzień),
mediana M e ≈ 11, 63 h (połowa badanych poświęca na oglądanie TV nie więcej niż 11,63 godzin na tydzień,
a druga połowa – nie mniej niż 11,63 godzin na tydzień),
dominanta D ≈ 12, 92 h (najczęściej osoby w badanej grupie poświęcają na oglądanie TV około 12,92 godzin
na tydzień),
b)
odchylenie standardowe s(x) ≈ 5, 4 h,
c)
λ3 (x) ≈ −0, 08 słaba asymetria lewostronna, co oznacza, że wśród badanych jest więcej (ale nieznacznie) osób,
które na oglądanie TV poświęcają więcej czasu niż średnia w tej grupie.
Ad zad. 5.
a)
Mediana M e ≈ 68,
b)
Odchylenie ćwiartkowe Q ≈ 35, pozycyjny współczynnik zmienności VQ ≈ 51, 47%,
c)
Pozycyjny współczynnik asymetrii A ≈ −0, 09 (słaba asymetria lewostronna).
Ad zad. 6.
a)
średnia x̄ ≈ 152, 81 mln t, mediana M e ≈ 137, 14 mln t, dominanta D ≈ 210 mln t,
b)
odchylenie standardowe s(x) ≈ 64, 27 mln t,
c)
γ ≈ −0, 89 (umiarkowana asymetria lewostronna).
3