Rozkład normalny, tw. graniczne, GiK

Rozkład normalny, tw. graniczne, GiK
1. Rozkład wzrostu mieszkańca pewnego rejonu świata jest N (176, 6). Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo
wybrany mieszkaniec ma wzrost
a) mniejszy, niż 170 cm,
b) co najmniej równy 180 cm.
i każde z nich zinterpretuj na 2 wykresach funkcji gęstości. Oblicz x0,1 , x0,95 (kwantyle) tego rozkładu.
2. Stwierdzono, ze błąd podczas wykonywania pomiaru ma rozkład N (1; 0, 25) (mm). Jakie jest prawdopodobieństwo,
że wykonując ten pomiar pomylimy się o
a) więcej, niż 0,5 mm,
b) mniej niż 0,75 mm,
c) co najwyżej 0,25 mm?
3. Niech X ∈ N (−4, 2). Oblicz
a) P (0 < X ¬ −3),
b)P (X ­ −2),
c)P (|X + 1| < 2),
d)P (|X + 3| ­ 1).
Każde prawdopodobieństwo zinterpretuj na 2 krzywych Gaussa.
1
4. Prawdopodobieństwo awarii samochodu w pierwszym miesiącu użytkowania wynosi p = 300
. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że wśród 900 nowo kupionych aut
a) dokładnie 5 przytrafi się awaria,
b) awaria wystąpi w co najwyżej 2 samochodach,
c) liczba samochodów z awarią będzie od 1 do 3.
Zapisz prawdopodobieństwo dokładne i oblicz przybliżone (wszystkie możliwe).
5. Prawdopodobieństwo, że młode drzewko nie przyjmie się w szkółce wynosi p = 0, 05. Jakie jest prawdopodobieństwo
że w szkółce liczącej n = 1000 drzew nie przyjmie się
a) od 40 do 50 drzew,
b) więcej, niż 30 drzew,
c) od 40 do 60 drzew.
Użyj wszystkich znanych Ci oszacowań.
6. Prawdopodobieństwo wystąpienia pewnej cechy genetycznej wśród osobników pewnego gatunku wynosi
p = 0, 2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w grupie liczącej n = 300 osobników liczba osób o tej cesze będzie
a) od 40 do 50,
b) więcej, niż 30,
c) od 50 do 70?
Użyj wszystkich znanych Ci oszacowań.
7. Urządzenie składa się z n elementów. Urządzenie pracuje, jeśli co najmniej 90% elementów jest sprawnych.
Prawdopodobieństwo awarii jednego elementu wynosi 0,2. Jak duże powinno być n, aby z prawdopodobieństwem
0,85 urządzenie pracowało? (Odp. n = 18)
8. Rzucono 1000 razy symetryczną kostką do gry. Oszacuj prawdopodobieństwo, że ”6” wypadła więcej, niż
150 razy.
(Odp. P ≈ 0.92)
9. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 100 niezależnych zmiennych losowych o tym
samym rozkładzie jednostajnym na odcinku [0, 10], przyjmie wartość z przedziału [5, 5 12 ]?
(Wskazówka: wykorzystać wniosek z twierdzenia Lindeberga-Levy’ego)
10. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 100 zmiennych losowych o rozkładzie N (10, 2)
przyjmie wartość z przedziału (9.8, 10.1)? (Odp. P ≈ 0.53)
11. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 500 niezależnych zmiennych losowych o tym
samym rozkładzie danym gęstością
(
f (x) =
3 2
8x
0
dla 0 ¬ x ¬ 2,
poza tym.
przyjmie wartość z przedziału (1.49, 1.5)? (Odp. P ≈ 0.22)
12. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma 100 niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie
wykładniczym z parametrem λ = 12 przyjmie wartość z przedziału (200, 250)? (Odp. P ≈ 0.49)
13. Pojedynczy pomiar pewnej wielkości ma rozkład jednostajny na przedziale [0, 1]. Ile należy wykonać
pomiarów, aby przy obliczaniu średniej arytmetyczej z tych pomiarów uzyskać
a) odch. stand. nie większe, niż σ?
b) odch. stand. nie większe, niż 0,01?
c) pewność 95%, że średnia arytmetyczna będzie leżeć w przedziale (0.4, 0.6)?
d) pewność 99%, że średnia arytmetyczna będzie leżeć w przedziale (0.45, 0.55)?
(Odp. b) n0 = 834, c) n0 = 33, d) n0 = 222)
14. Niech Xi ∈ N (0, σ). Ile należy zsumować niezależnych zmiennych Xi , aby odchylenie standardowe sumy
było równe 10σ? (Odp. n0 = 100)
15. Treść jak w zad. 14, ale przy założeniu, że zmienne mają rozkład jednostajny na [−σ, σ].
(Odp. n0 = 300)
16. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 100 niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie
geometrycznym z p = 0, 75 przyjmuje wartości z przedziału (1, 2)? (Odp. P=1)
17. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 300 niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie
Poissona z λ = 3 przyjmuje wartości z przedziału [2, 5]? (Odp. P≈ 1)
18. Pewna firma zatrudnia 100 pracowników. Każdy z nich z prawdopodobieństwem 0, 8 korzysta codziennie
z komputera (zakładamy, że jeśli zaczyna z niego korzystać, to używa przez cały dzień). Ile należy kupić
komputerów, aby prawdopodobieństwo tego, że jakiś komputer jest w danym dniu do dyspozycji wynosiło 0, 95?
(Odp. n ­ 87)