Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka.

Transkrypt

Usuwanie niewymierności
z mianownika ułamka
Przedmowa
To opracowanie jest napisane z myślą o uczniach gimnazjum którzy nie wiedzą w jaki sposób oraz po co się usuwa
niewymierność z mianownika ułamka. Starałem się by każdy typ przykładu z jakim można się spotkać w gimnazjum
i liceum został tu zrozumiale wyjaśniony. Oczywiście trzeba pamiętać o tym, że nie zawsze niewymierność da się
usunąć z mianownika ułamka. Jako przykład wystarczy podać ułamek . Należy więc mieć na uwadze to, że niniejsze opracowanie pokazuje tylko sposoby usuwania niewymierności w najczęściej zdarzających się sytuacjach, a nie
we wszystkich jakie tylko istnieją.
Spis tematów
1. Co to jest niewymierność? ...................................................................................................................................... 2
— liczby niewymierne ........................................................................................................................................... 2
— Dlaczego trzeba usuwać niewymierność z mianownika ułamka? .................................................................... 3
— działania na pierwiastkach ............................................................................................................................... 4
2. Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka gdy występuje w nim tylko pierwiastek stopnia drugiego. ..... 5
3. Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka gdy występuje w nim tylko pierwiastek stopnia trzeciego. ..... 7
4. Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka gdy występuje w nim dokładnie jeden symbol „+” lub „–”. .... 9
5. Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka gdy występuje w nim więcej niż jeden symbol „+” lub „–”. .. 11
Wersja z dnia 31.03.2013
http://matematyka.strefa.pl
Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka — strona 1
Rozwiązane przykłady, zadania i ćwiczenia do samodzielnego obliczenia. Odpowiedzi na pytania: Dlaczego trzeba usuwać niewymierność z mianownika ułamka? Jak się usuwa niewymierność dla pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia oraz dla trzech pierwiastków w mianowniku? To wszystko znajdziesz w tym opracowaniu. Porównaj ten darmowy e-book z darmową Wikipedią.
Temat: Co to jest niewymierność?
Aby odpowiedzieć na pytanie z tematu, wróćmy się kilka tysięcy lat w przeszłość tj. do czasów gdy uważano, że odległości między dwoma punktami płaszczyzny zawsze dadzą się zmierzyć przy pomocy przyrządów mierniczych. Gdy
Pitagoras1 wykazał że nie da się precyzyjnie zmierzyć długości przekątnej kwadratu, wówczas powstało słowo „niemierzalny”, ale używano go tylko w odniesieniu do odcinków nie dających się precyzyjnie zmierzyć za pomocą jakichkolwiek przyrządów. W miarę upływu lat, słowo „niemierzalny” zmieniło się w „niewymierny” a liczby określające długości takich odcinków zaczęto nazywać liczbami niewymiernymi. Tak więc niewymierność to pewna cecha odcinków, która sprawia, że ich długości są niemierzalne, a co za tym idzie niezapisywalne za pomocą ułamka zwykłego
mającego w liczniku liczbę całkowitą i w mianowniku liczbę całkowitą różną od 0.
Liczby niewymierne
Liczba niewymierna to liczba wyrażająca długość niemierzalnego odcinka. Rozpatrzmy przykładowo kwadrat o boku
= 1 cm. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa możesz wyliczyć, że przekątna tego kwadratu (oznaczmy jej długość
literką ) ma długość √2 cm. Ponieważ = 1 cm, więc = √2 cm. No i dobra, ale dlaczego liczba √2 jest niewymierna, przecież możemy przystawić linijkę do tej przekątnej i zmierzyć jej długość? — pewnie się nad tym zastanawiasz. Otóż linijka nie poda Ci dokładnej długości tej przekątnej. Dzięki niej możesz tylko odczytać tyle, że długość
przekątnej to mniej więcej 1,4 cm a nie jest to przecież wynik dokładny. By zmierzyć go dokładniej należy posłużyć
się innymi przyrządami niż linijka, które dają wynik z dokładnością np. do 0,01 mm lub jeszcze dokładniejszy. Nie
zmienia to jednak tego, że nawet użycie przyrządu o dokładności 0,00000000000000000000001 mm nadal nie da
precyzyjnego wyniku. Długość tego odcinka nadal będzie podawana tylko w pewnym przybliżeniu, choć przybliżenie
to będzie co raz bardziej dokładne.
Do zapisywania liczb niewymiernych na ogół używa się symbolu pierwiastka określonego stopnia, choć sam symbol
pierwiastka nie oznacza, że masz do czynienia z liczbą niewymierną. Przykładowo √16 jest liczbą wymierną, bo istnieje taka liczba wymierna (jest nią 4), że pomnożona przez samą siebie da liczbę która znajduje się pod symbolem
pierwiastka (w tym przypadku liczbę 16). Innymi słowy:
√16 = 4
i jest to liczba wymierna. Zastąpienie powyższej liczby 16 np. liczbą 2, da już liczbę niewymierną bo nie istnieje taka
liczba wymierna która pomnożona przez samą siebie da dokładnie liczbę 2. Zobacz:
1,4 ⋅ 1,4 = 1,96
— to prawie 2, ale jeszcze brakuje 0,04 by dokładnie osiągnąć wartość 2
1,41 ⋅ 1,41 = 1,9881
— to prawie 2, ale jeszcze brakuje 0,0119 by dokładnie osiągnąć wartość 2
1,414 ⋅ 1,414 = 1,999396 — to prawie 2, ale jeszcze brakuje 0,000604 by dokładnie osiągnąć wartość 2
1,4142135623730950488016887242 ⋅ 1,4142135623730950488016887242 = 1,9999999999999999999999999999726 — to prawie 2, ale jeszcze ciut brakuje by dokładnie osiągnąć wartość 2
itd.
Przykłady najczęściej spotykanych dodatnich liczb niewymiernych:
√2, √3, √5, √6, √7, √8, √10, √11, √12, √13, √14, √15, √17, √18, √19, √20, √21, √22, √23, √24, √26, …
1
Nie jest do końca pewne, czy niewymierność przekątnej kwadratu odkrył osobiście Pitagoras. Był on bowiem założycielem szkoły, której
uczniowie niektóre swoje odkrycia przypisywali jemu.
Dlaczego trzeba usuwać niewymierność z mianownika ułamka?
Odpowiedź na to pytanie nie będzie trudna. Zobacz. Jeśli masz odcinek np. o długości 8 cm i chcesz go podzielić na
równe części np. na dwie to:
— dokładnie wiesz na ile równych części dzielisz dany odcinek
— umiesz wyliczyć jaką długość będzie miała każda z części (po 4 cm)
Gdyby ten sam odcinek o długości 8 cm chcieć podzielić na 3 równe części, to:
— także wiesz na ile równych części dzielisz dany odcinek
— umiesz wyliczyć jaką długość będzie miała każda z tych części (po cm, bo cm + cm + cm = cm = 8 cm)
Zastanów się jednak teraz nad tym, jakby wyglądał podział odcinka, gdyby chcieć go podzielić na √2 równych części.
Otóż nie wiesz ile dokładnie wynosi √2, więc czy na pewno wiesz na ile części dzielisz dany odcinek? No niby na √2
równych części, ale to znaczy na ile? Na 1,4 równych części? A może na 1,41 równych części? Odpowiedzią jest ani
na 1,4 ani na 1,41 równych części ani na jakąkolwiek inną liczbę. Chodzi o to, że nie da się wykonać podziału odcinka
na niewymierną liczbę części. Odcinek można dzielić wyłącznie na wymierną liczbę części. No i teraz stawiam pytanie, czy nie istnieje przypadkiem jakiś sposób na ominięcie tego kłopotliwego podziału? Okazuje się że istnieje. Dany
odcinek który dzielimy można najpierw odpowiednio wydłużyć lub skrócić, a potem ten nowy wydłużony lub skrócony odcinek poprawnie podzielić na wymierną liczbę części. Wynik końcowy będzie precyzyjnie taki sam jakbyśmy
nasz pierwotny odcinek od razu podzielili na niewymierną liczbę części. Jak więc przykładowo podzielić odcinek
o długości 8 cm na √2 równych części? Rozwiązanie jest proste:
— narysuj kwadrat ABCD o boku 1 cm
— przez punkty A i C poprowadź półprostą AC
— z punktu C zakreśl okrąg o promieniu AC i jego punkt przecięcia z półprostą AC oznacz przez E
— na półprostej AC odłóż jeszcze 4 odcinki o długości AE i punkt końcowy ostatniego z nich oznacz np. przez L
Ponieważ || = √2, więc || = 8√2. Teraz:
— podziel odcinek AL na pół np. kreśląc jego symetralną
— punkt który leży dokładnie w połowie odcinka AL oznacz np. literą M
Zauważ, że długość odcinka AM jest dokładnie równa 4√2. Czy jednak to już koniec tego zadnia? Tak, jak najbar
dziej. Ponieważ liczba 4√2 to inaczej ułamek √
więc by pokazać że jest równa liczbie wystarczy rozwiązać rów
√
nanie zwane proporcją (wykonać mnożenie po skosie):
4√2
8
=
1
√2
1⋅ 8 = 4
⋅
√2
√2
√
8=4⋅2
8=8
Wniosek:
Nie da się podzielić odcinka na niewymierną liczbę części, ale można go wydłużyć lub skrócić i ten nowy odcinek podzielić na wymierną liczbę części by otrzymać
poszukiwaną długość.
Pewnie nadal się zastanawiasz po co usuwać niewymierność z mianownika ułamka, skoro nie chodzi o podział odcinka. Otóż to co robisz na lekcjach arytmetyki ma zawsze przełożenie na geometrię. Arytmetykę po to właśnie wymyślono by ułatwić geometrię. Niby w zadaniach będziesz spotykać się tylko z poleceniem „usuń niewymierność
z mianownika ułamka …” ale tak naprawdę chodzi o to, że jak w geometrii zdarzy Ci się podział na niewymierną liczbę części, to by go wykonać musisz wcześniej nauczyć się obliczać jaką długość ma mieć Twój dany odcinek przed
podziałem na wymierną liczbę części i na ile wymiernych części będziesz go dzielić. A teraz tak pomyśl, skąd wiedziałem, że w celu wykonania podziału odcinka o długości 8 cm na √2 równych części trzeba go najpierw wydłużyć do
długości 8√2? Ano z obliczeń które zrobiłem sobie w pamięci przed napisaniem rozwiązania tego podziału. I o to
właśnie chodzi w tym opracowaniu, by nauczyć się sposobów usuwania niewymierności bez robienia rysunków czy
sięgania do geometrii. To co się teraz będziesz uczyć, ma Ci się przydać w przyszłości przy trudniejszych zadaniach
głównie z geometrii. Łapiesz o co chodzi i po co to całe usuwanie? Mam nadzieję, że odpowiedziałaś(-eś) „tak”.
Działania na pierwiastkach
Ponieważ we wszystkich tematach tego opracowania będziesz wykonywać działania na pierwiastkach, więc najpierw
przypomnij sobie niektóre z nich.
1. Mnożąc przez siebie pierwiastki tego samego stopnia, można złączyć je w jeden symbol pierwiastka tego samego stopnia, a liczby które były pod nimi pomnożyć.
√5 ∙ √2 = √10
√2 ∙ √2 ∙ √2 = √8 = 2
√5 ∙ √5 = √25 = 5
2. Nie możesz mnożyć przez siebie pierwiastków, które mają różne stopnie i różne liczby podpierwiastkowe np.:
√2 ∙ √5 — tego działania nie da się zapisać inaczej
chyba, że jedną z liczb podpierwiastkowych da się wyrazić za pomocą potęgi drugiej liczby podpierwiastkowej:
√2 ∙ √16 = √2 ∙ √2 = 2/ ∙ 2/ = 2/ = 2/ = √2 = √4.
3. Aby liczbę stojącą przed symbolem pierwiastka włączyć pod symbol pierwiastka, musisz ją zamienić na pierwiastek o takim samym stopniu co pierwiastek stojący za nią i posłużyć się złączaniem pierwiastków o tych samych
stopniach (patrz punkt 1).
4√5 = √16 ∙ √5 = √80
4. Suma pierwiastków nie jest równa pierwiastkowi sumy. Analogicznie dla różnicy. Zatem:
√ + √ ≠ √ + Oprócz działań na pierwiastkach w niektórych przykładach będzie potrzeba pamiętania o tym, że:
1. Minus stojący przed ułamkiem zmienia wszystkie znaki w liczniku tego ułamka na przeciwne.
−
√2 − √3 −√2 + √3
=
5
5
2. Dodawanie jest przemienne.
−√2 + √3 √3 − √2
=
5
5
3. Mnożąc liczbę która jest przed nawiasem, przez wyrażenie w nawiasie, zawsze trzeba uwzględnić znak stojący
przed daną liczbą.
√2√5 − 2√7 + √6
= √10 − 2√14 + √2 ∙ √6.
Jeśli już wszystko pamiętasz co napisałem w tym temacie, możesz śmiało przystąpić do usuwania niewymierności
z mianownika ułamka.
Temat: Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka gdy występuje w nim tylko
pierwiastek stopnia drugiego.
W tym temacie pokażę Ci jak szybko usunąć niewymierność z mianownika ułamka, jeśli w mianowniku jest tylko
pierwiastek stopnia drugiego. Na początek zerknij na ułamek √
oraz wykuj na pamięć poniższe czynności oraz ich
kolejność:
1. Dany ułamek mnożysz przez 1, więc masz:
4
√5
=
4
√5
∙1
Na razie nie wiesz jeszcze po co mnożyć ten ułamek przez 1, ale niewątpliwie działanie takie jest poprawne,
prawda?
2. Liczbę 1 zastępujesz ułamkiem zwykłym, który ma w liczniku i mianowniku tę samą liczbę różną od zera. Nie
może to być jednak dowolny ułamek. Musi nim być konkretnie √
bo tylko wtedy mnożenie mianowników da Ci
√
liczbę wymierną. Zobacz:
4
√5
=
4
√5
∙1=
4
∙
√5
√5 √5
(Pierwiastków wyróżnionych kolorem czerwonym nie wolno skracać,
bo po wykonaniu mnożenia, w mianowniku ponownie pojawi się liczba niewymierna.)
3. Wykonujesz mnożenie ułamków zwykłych zgodnie z zasadą „licznik razy licznik, mianownik razy mianownik”.
Nie wolno jednak skracać po skosie tych samych pierwiastków, gdyż nie chodzi o to by ułatwiać sobie mnożenie,
lecz o to by w wyniku końcowym, mianownik nie zawierał liczby niewymiernej. Masz więc, że:
4
√5
=
4
√5
∙1=
4
∙
√5
√5 √5
=
4√5
√25
=
4√5
5
Interpretacja geometryczna powyższego wyniku:
Aby odcinek o długości 4 podzielić na √5 równych części,
należy najpierw ten odcinek wydłużyć w taki sposób by miał długość 4√5,
a następnie podzielić go konstrukcyjnie na 5 równych części.
Prześledź teraz poniższe przykłady i na ich podstawie spróbuj wykonać podane ćwiczenia. To co jest napisane szarą
czcionką możesz wykonać w myślach.
Przykłady:
a)
b)
√
=
√
√
√
∙ 1 = ∙ =
=
√
√ √
√
√
√
= √ ∙ 1 = √ ∙
√
√
√
= √
=
√
∙
=
√
c)
√
√
√
=
√
∙1=
√ √
∙
√ √
=
√√
√
=
√√
∙
=
√√
Jeśli w liczniku ułamka jest dodawanie lub odejmowanie, to przy mnożeniu przez inny ułamek, należy cały licznik wziąć w nawias.
d)
√
√
=
√
√
∙1=
√ √
∙
√
√
=
√√
√
=
√√
∙
=
√√
W wyniku końcowym liczb 4 i 18 nie wolno skracać, gdyż w liczniku jest dodawanie. Gdyby w liczniku było odejmowanie, to takiego skrócenia również nie wolno by było
wykonać.
e)
√
√
√
= √∙√
=
√
=
∙
=
√
lub dłużej:
√
√
√ √
= √ ∙ 1 = √ ∙
√
√
= √ =
∙
∙
=
√
f)
√
=
√
∙√
=
∙∙√
∙1=
∙
√
∙√ √
=
√
√
=
√
∙
=
√
√
g)
√√
√
=
√√
√
∙1=
√√ √
∙
√
√
=
√√√
√
=
√√
∙
∙√√
∙√
√
=
,
b)
=
Ćwiczenie:
Usuń niewymierności z mianowników ułamków: a) √,
Ćwiczenie:
Usuń niewymierności z mianowników ułamków: a)
Ćwiczenie:
Ćwiczenie:
b) √,
c) √,
d) √.
Ćwiczenie:
b) √,
c) √,
d) √.
Ćwiczenie:
,
b)
√
√
,
b)
√
√
√
,
√
√√
√
,
,
b)
√√
,
√
c)
c)
d) √.
√
√
√
,
d) √.
√
√
,
d)
√
√
.
√√
√
√
√
c)
.
√
c) √,
√
√
d)
√
b) √,
√
√
√
,
c)
Ćwiczenie:
√
,
√√
,
d)
√√
√
.
Temat: Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka gdy występuje w nim tylko
pierwiastek stopnia trzeciego.
Zróbmy teraz coś podobnego jak w temacie poprzednim, ale tym razem niech w mianowniku będzie tylko pierwiastek stopnia trzeciego. Prześledź poniższe kroki usuwania niewymierności z ułamka i naucz się ich na pamięć.
√
1. Dany ułamek dwukrotnie mnożysz przez 1 bo pierwiastek jest stopnia 3-ciego, a będzie potrzebne mnożenie
3-ch identycznych liczb by go zlikwidować.
4
√5
=
4
√5
∙1∙1
Zapewne jeszcze nie wiesz (a może już się domyślasz) po co dwa razy mnożyć ten ułamek przez 1, ale niewątpliwie działanie takie jest poprawne. Zgadza się?
2. Każdą powyższą liczbę 1 zastępujesz ułamkiem zwykłym, który ma w liczniku i mianowniku tę samą liczbę różną
od zera. Nie może to być jednak ułamek np.: lub lub lub
√
√
itd. bo nie doprowadzi on do usunięcia nie
wymierności którą masz w mianowniku. Poszukiwanym ułamkiem musi być konkretnie ten ułamek: √. Zatem:
√
√5 √5
=
∙
1
∙
1
=
∙
∙
√5 √5 √5
√5 √5
4
4
4
(Pierwiastków wyróżnionych kolorem czerwonym nie wolno skracać,
bo po wykonaniu mnożenia w mianowniku ponownie pojawi się liczba niewymierna.)
3. Wykonujesz mnożenie ułamków zwykłych zgodnie z zasadą „licznik razy licznik, mianownik razy mianownik”. Do
tego celu przyda się wzór:
√ ∙ √ ∙ √ = √ ∙ ∙ który mnożenie kilku pierwiastków tego samego stopnia złącza w jeden symbol pierwiastka tego samego stopnia. Oczywiście należy pamiętać, że stopnień pierwiastka nigdy nie może być równy 0, a liczby , , muszą być
nieujemne jeśli jest liczbą parzystą. W oparciu więc o powyższy wzór dla = 3, masz, że:
√5 √5 4 √25 4 √25
= ∙1∙1= ∙ ∙ = =
5
√5 √5
√5 √5 √5 √125
4
4
4
Interpretacja geometryczna powyższego wyniku:
Aby odcinek o długości 4 podzielić na √5 równych części,
należy najpierw ten odcinek wydłużyć w taki sposób by miał długość 4 √25,
a następnie podzielić go konstrukcyjnie na 5 równych części.
Prześledź teraz poniższe przykłady i na ich podstawie spróbuj wykonać poniższe ćwiczenia. To co jest napisane szarą
czcionką możesz wykonać w myślach.
Przykłady:
ć ł ó"
"#$ $%ń
%'" a)
√
=
√ √
∙ ∙
√ √ √
∙1∙1=
√
=
√
=
√
√
Wykorzystano tu wzór: ೙√ ∙ ೙√ ∙ ೙√ = √ .
೙
√
lub:
√
b)
=
√
√
=
√
√
=
√
∙1∙1=
√
c)
∙1∙1=
∙1∙1=
√
√
√
√
√
√
√
√
√
=
√
√
√
√
√
√
√
√
∙ ∙ =
√
√
∙
.
∙ ∙ =
√
∙ ∙ =
Wykorzystano tu wzór: √ = , jeśli jest liczbą nieparzystą.
೙
=
√
√∙ √
∙
=
√∙ √
Pierwiastków które wyszły w wyniku końcowym w liczniku, nie wolno wymnażać bo mają różne stopnie i różne liczby podpierwiastkowe. Wynik końcowy musi zostać w takiej postaci w jakiej jest napisany powyżej.
d)
√
√
=
√
√
∙1∙1=
√
√
√
√
∙ ∙ =
√
√
( √
) √
∙
=
√ √
Pierwiastków które wyszły w wyniku końcowym w liczniku, nie wolno dodawać pomimo, że mają ten sam stopień. Aby zrozumieć dlaczego tak się dzieje rozpatrzయ
య
య
య
my przykład: √8 + √27 = 2 + 3 = 5 = √125 ≠ √8 + 27.
Ćwiczenie:
Usuń niewymierności z mianowników ułamków: a) ,
Ćwiczenie:
Ćwiczenie:
Ćwiczenie:
Ćwiczenie:
Ćwiczenie:
Ćwiczenie:
√
b) ,
c) ,
√
,
b)
√
√
√
,
b)
√
,
√
√
b)
,
b)
,
b)
√
√
√√
√
,
b)
√
,
c)
√
√
,
√
c)
√
,
√
√
c)
,
c)
,
c)
√
√
√√
d) √
,
c)
.
√
,
d)
√
√
√
,
d)
√
,
√
√
d)
,
d)
,
d)
√
√
√√
√
,
d)
.
√
√
.
√
√
√
√
.
.
√
.
√
√√
√
.
Uwaga. Nie zawsze da się usunąć niewymierność z mianownika ułamka. Przykładem może być choćby ułamek: .
Temat: Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka gdy występuje w nim dokładnie jeden symbol „+” lub „–”.
Na początek przypomnijmy sobie wzory:
+ − = − Wyjaśnienie skąd się bierze ten wzór znajdziesz w opracowaniu o wzorach skróconego mnożenia.
√
= , jeśli ≥ 0
Wyjaśnienie dlaczego w powyższym wzorze liczba nie może być mniejsza od 0
znajdziesz w opracowaniu dotyczącym potęgowania i pierwiastkowania.
√
= ∙ , jeśli ≥ 0
Wyjaśnienie dlaczego w powyższym wzorze liczbę również podnosi się do tej potęgi która jest za nawiasem,
znajdziesz w opracowaniu dotyczącym potęgowania i pierwiastkowania.
Zauważ, że jeśli we wzorze pierwszym zamiast liczby napiszesz liczbę np. √5, a zamiast liczby , np. liczbę √7, to
po zastosowaniu tego wzoru dostaniesz:
√5 + √7
√5 − √7
= √5
− √7
,
a po zastosowaniu dodatkowo wzoru drugiego, dostaniesz, że:
√5
− √7
= 5 − 7 = −2.
Wniosek: Po zastosowaniu obu tych wzorów, w wyniku końcowym nie ma symbolu pierwiastka. Innymi słowy jeśli
mianownik ułamka będzie równy √5 + √7 lub √5 − √7 to stosując dwa pierwsze wzory doprowadzisz do
zniknięcia niewymierności z mianownika ułamka.
Przykłady:
[To co jest napisane kolorem jasnoszarym możesz wykonywać w myślach.]
√
&
=
√
&
√
∙1=
√
∙ √
√
√
√
=
√ √
ą ć
&
= =
√
∙ √
√
∙ 1 = &
W ułamku √
=
&√
√
√
=
√!
√
!&√
మ
మ √
మ
మ
=
=
√!
"
!&√
'
=
√!
=
=−
√!
# #
ż
ńć
.
!&√
.
"
nie można skracać liczby 8 z liczbą 4, bo w mianowniku jest dodawanie. Gdyby w mianowniku było odej-
mowanie, to takiego skrócenia również nie można byłoby wykonać.
&
√
&
= √!√
&
√
=
√
&√
∙ 1 = ∙ =
√
√
√
√!√
ą ć
∙1=
√!√
∙
√!√ √!√
√
=
!!√
మ
మ √
=
!!√
'"∙
(
)*+*,
లయ
=−
!!√
.
షరళ
=
√!√
√!√ √!√
=
√!'-√
మ
√! √
మ
=
√!'-√
"∙!
( '∙
.
)*
*,
భఴ*+*
ఴబ
=−
√!'-√
.
'!
షలమ
&!√
√
=
&!√
√
&!√ √
&!√ √
∙ 1 = ∙ =
√
√
√
√
=
'!√
&√'√
=
మ
మ √
ą ć
'!√
&√'√
'"∙
(
)*+*,
లయ
=−
'!√
&√'√
.
షరళ
షవబ
!√!√
'√√
=
!√!√
∙1
√
= '√
!√!√ '√√
√
√
ą ć
= ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ
∙
=
'√ '√ !√!√ '√√
'√√ '√√
=
!√-√"!√!-√
మ
'√ √
మ
=
011
121113
లబ
యబ
/ -√
/ !∙
!√-∙
'∙
. !∙
.
)*
*+*ళఱ
*,
భఴబ
=.
భబఱ
!!√".
-
Ćwiczenie:
,
Ćwiczenie:
Ćwiczenie:
b)
√
,
c)
√
b)
,
√√
√√
√√
,
√
,
d)
√
c) √√,
d)
√√
znaj się ze wzorem:
.
.
√√
√√
b) √√, c) √√,
Zobacz teraz jak będzie wyglądać usuwanie niewymierności z mianownika takiego ułamka:
√
d) √√.
. Najpierw zapo-
√√
+ = + ! − + ! i zauważ, że to co masz w mianowniku ułamka, odpowiada wyrażeniu w pierwszym nawiasie. Na podstawie tego
wnioskujesz, że = √4, zaś = 2√5. Innymi słowy, aby pozbyć się niewymierności z mianownika tego ułamka,
musisz jego licznik i mianownik pomnożyć przez wyrażenie które jest w drugim nawiasie. Zatem:
√√
=
∙
( √) √ √√
√√ ( √) √ √√
=
( √) √ √√
( √) √
2√5
=
√√ √
√
=…
=)
2*
∙+
2*∙,
2∙)
*+
∙*
, ∙ √5 = 40√5.
√5
√5
)**
**+***
*,
Dokończenie powyższego przykładu polega już tylko na pomnożeniu licznika i mianownika przez 4 − 40√5 oraz wykorzystaniu odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, czyli tak jak to robione były na początku tego tematu.
Wynik końcowy powyższego przykładu wyjdzie oczywiście parszywy, ale w mianowniku niewymierność zniknie,
a przecież o to właśnie chodziło.
Temat: Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka gdy występuje w nim więcej
niż jeden symbol „+” lub „–”.
Na początek przypomnij sobie wzór:
− = − ! + + ! oraz tabelkowy sposób mnożenia wyrażeń algebraicznych. Przypuśćmy, że chcemy pomnożyć wyrażenie −√3 + 4√2 − 1
przez wyrażenie √2 − √3. Wykonujesz zatem tabelkę mającą w nagłówkach kolumn poszczególne wyrazy pierwszego
wyrażenia wraz ze znakami jakie przed nimi stoją, a nagłówkach wierszy wyrazy drugiego wyrażenia także ze znakami
jakie przed nimi stoją. Masz zatem tabelkę jak niżej, którą uzupełniasz wymnażając wyraz z nagłówka kolumny z wyrazem
z danego nagłówka wiersza.
Dodając otrzymane 6 wyników i wykonując redukcję wyrazów podobnym, otrzymujesz, że ich:
suma = 11 − 5√6 + √3 − √2
To tyle jeśli chodzi o teorię do tego tematu. Teraz już tylko wystarczy wykorzystać ją do rozwiązywania zadań, a liczby
w tabelce dobierać tak, by ich suma dała maksymalnie jedną liczbę niewymierną.
Zadanie: Usuń niewymierność z mianownika ułamka:
.
√√
W oparciu o powyżej zaprezentowany sposób tabelkowego wymnażania wyrażeń algebraicznych, znajdujesz takie wyrażenie, które sprawi, że po dodaniu wszystkiego co wyjdzie w tabelce, otrzymamy brak liczb
niewymiernych lub dokładnie jedną liczbę niewymierną. Metodą prób i błędów spróbuj najpierw pomnożyć mianownik z treści zadania przez samego siebie. Jeśli mnożenie takie nie da oczekiwanego rezultatu,
to spróbuj pozmieniać znaki w wyrażeniu przez które mnoższ, a jeśli i to nic nie da, to poszukaj całkowicie
innego wyrażenia, które da oczekiwany wynik tj. brak liczby niewymiernej lub dokładnie jedną taką liczbę.
Podejście 1:
Podejście 2:
Podejście 3:
suma = 6 + 2√6 + 2√3 + 2√2
suma = 2 + 2√3
suma = 2√2
Patrząc na sumę otrzymanych liczb w podejściu pierwszym, widzisz, że zawiera ona więcej niż jedną liczbę niewymierną. Oznacza to, że to podejście należy odrzucić.
W podejściu drugim suma ma dokładnie jedną liczbę niewymierną, a to oznacza, że masz już wyrażenie przez które musisz pomnożyć licznik i mianownik ułamka z treści zadania. Ponieważ suma która wyszła zawiera znak dodawania, więc usuwanie z niej niewymierności nie będzie przyjemne. Chodzi o to, że w takim
przypadku zajdzie dodatkowo potrzeba wykorzystania wzoru skróconego mnożenia, a to nie jest miłe w obliczaniu. Lepiej sprawdzić czy istnieje podejście 3-cie
do danego zadania i czy da ono sumę nie zawierającą znaku dodawania lub odejmowania.
Patrząc na otrzymaną sumę w podejściu trzecim, widzisz, że zawiera ona tylko jedną liczbę niewymierną i w dodatku nie zawiera ani jednego symbolu dodawania ani odejmowania. Oznacza to, że jest to najszybszy sposób na pozbycie się niewymierności z ułamka spośród 3-ch znalezionych sposobów. Podejście drugie
też daje możliwość usunięcia niewymierności z mianownika ułamka, ale będzie się ono znacznie dłużej liczyć. Z związku z tym, do usunięcia niewymierności
wybierasz podejście trzecie, czyli pomnożenie licznika i mianownika danego ułamka przez wyrażenie −√3 + √2 + 1.
z mianownika ułamka
√√
Rozwiązanie:
√√
=
∙
√√
√√ √√
=
√√ √
∙
√
√
=
√√
∙
=
√√
.
Jak widzisz rozwiązanie tego zadania było krótkie, ale żeby wpaść na pomysł jak go wykonać trzeba było
stracić trochę czasu.
Zadanie: Usuń niewymierność z mianownika ułamka:
.
√√
Najpierw przypomnij sobie wzór skróconego mnożenia:
+ − = − Mając już go, dorzuć nawias do mianownika ułamka z treści zadania, ale w taki sposób by grupował dwa
wyrazy. Zapisz więc ułamek o którym mowa np. tak:
. Mając taką postać widzisz wyraźnie, że
√ √
= √3, zaś = √2 + 1. Na podstawie wiedzy jaką została zaprezentowana w tym temacie, wiesz, że:
√√
=
√√
∙
√√ √√
=
√√
√ √
Zadanie: Usuń niewymierność z mianownika ułamka: √√
= √ =
√√ √
∙
√
√
=−
√√
∙
=
√√
.
.
√
√
Aby się pozbyć niewymierności z mianownika takiego ułamka możesz kombinować za pomocą tabelki, jak to
było w niektórych z poprzednich zadań, ale możesz też zauważyć, że zastosowanie znajdzie tu przytoczony na
początku tematu, wzór na różnicę sześcianów dwóch liczb:
− = − ! + + ! Zauważ, że mianownik ułamka z treści zadania, podobnie jak drugi nawias w powyższym wzorze, ma 3 składniki. Porównując składniki z mianownika danego ułamka z odpowiednimi składnikami drugiego nawiasu, widzisz,
య
że = 1. Wiedząc już, że = 1, patrzysz na środkowy składnik i wnioskujemy, że = √3. Wstawiając do
podanego wzoru ustalone przed chwilą wartości i , dostajesz, że:
!
√3 − 1 = √3 − 1 √3 + √3 + 1! య
య
య
య
co po wykonaniu potęgowania da Ci:
3 − 1 = √3 − 1
√9 + √3 + 1
య
య
య
Wniosek: Ponieważ wyrażenie w drugim nawiasie powyższego równania jest równe mianownikowi naszego
ułamka, więc masz już wyrażenie przez które trzeba pomnożyć licznik i mianownik by doprowadzić
య
do zniknięcia niewymierności z mianownika ułamka. Wyrażeniem tym jest oczywiście √3 − 1.
Rozwiązanie:
√
√
=
√
√
√3−1
3
∙3
√3−1
√3−1
3
=
√3−1
.
3
=
No i znowu mieliśmy zadanie, które bardzo szybko się liczy, ale żeby wpaść na pomysł jak go rozwiązać,
trzeba było się nieźle nagłówkować.
Na zakończenie tego opracowania, przypominam, że nie z każdego mianownika da się usunąć niewymierność.

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka.

Transkrypt

Podobne dokumenty

Liczby naturalne

Obliczanie pierwiastków dowolnego stopnia i stosowanie praw

Analiza_diagnozy_wstepnej_przedmioty matematyczno