plik pdf - Krzysztof Piontek

Krzysztof Piontek
Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń
Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu
Zmienność historyczna i implikowana jako prognozy
zmienności instrumentów finansowych
WPROWADZENIE
Zmienność instrumentów finansowych jest pojęciem zyskującym coraz
bardziej na znaczeniu. Ogólnie można powiedzieć, że zmienność jest miarą
niepewności co do przyszłych zmian ceny instrumentu finansowego[1]. Jeśli
wzrasta zmienność, rośnie prawdopodobieństwo, że dany instrument finansowy
znacznie zmieni swoją cenę w przyszłości. Może być to zarówno korzystna, jak
i niekorzystna zmiana z punktu widzenie posiadacza takiego instrumentu.
Zainteresowanie zmiennością są zarówno na płaszczyźnie teoretycznej, gdyż
bardzo silnie rozwijają się modele teoretyczne umożliwiające zarządzanie
ryzykiem [2] oraz z przyczyn praktycznych [3], gdyż prawidłowe oszacowanie
(przyszłego) parametru zmienności umożliwia zmniejszenie ryzyka inwestycji
lub osiągnięcie większych dochodów.
W niniejszej pracy przedstawione zostały podstawowe miary i metody
prognozy zmienności oraz próba odpowiedzi na pytanie, która z metod prognozy
zmienności, historyczna czy implikowana, cechuje się większą przydatnością do
oceny przyszłej zmienności instrumentu finansowego w warunkach polskich.
W dalszej części pracy rozpatrywane będą wyłącznie europejskie opcje kupna.
1. ROZKŁAD STÓP ZWROTU
U podstaw rozważań o zmienności instrumentów finansowych znajduje się
dyskusja o dynamicznych modelach opisujących cenę instrumentu finansowego.
Ceny lub stopy zwrotu opisuje się jako procesy stochastyczne o czasie
dyskretnym lub ciągłym.
Wybór odpowiedniego procesu implikuje
wyznaczanie parametru zmienności.
Badania empiryczne stóp zwrotu w dłuższym okresie [4] wykazały,
występowanie na rynkach finansowych:
2
Krzysztof Piontek
•
efektu skupiania danych; po okresie dużej zmienności, następują okresy
charakteryzujące się mniejszą zmiennością,
• grubych ogonów rozkładów; prawdopodobieństwo pojawienia się bardzo
dużych lub bardzo małych wartości jest większe niż w przypadku rozkładu
normalnego,
• skośności rozkładu; rozkład stóp zwrotu nie jest symetryczny względem
średniej, lecz częściej pojawiają się większe od średniej stopy zwrotu, co
tłumaczy się odmiennym zachowanie inwestorów w czasie bessy i hossy,
• długoterminowej zależności danych; po znacznych wzrostach następują
dalsze wzrosty, po których nadchodzą nagłe spadki a po nich kolejne,
• niestałości wariancji stóp zwrotu w czasie; wariancja procesu zależy od
wcześniejszych stóp zwrotu, wraz ze spadkiem ceny instrumentu występuje
tendencja do wzrostu wariancji stóp zwrotu [5].
Jednak nadal najpopularniejszym modelem opisującym ruch cen jest
geometryczny ruch Browna opisany w sposób następujący:
dP
= µdt + σdz
P
dz = ε dt
gdzie:
P – cena instrumentu finansowego;
ε - proces stochastyczny, w którym kolejne zmienne losowe są niezależne oraz
mają standaryzowany rozkład normalny N(0,1),
μ – parametr procesu, oznaczający średnią,
σ – parametr procesu, oznaczający zmienność,
t – czas.
Model ten implikuje, że dla dowolnego momentu przyszłego ceny mają rozkład
logarytmiczno-normalny a stopy zwrotu – rozkład normalny. W modelu tym
zakłada się, że parametr zmienności jest stały w czasie. Geometryczny ruch
Browna stał się popularny ze względu na prostotę oraz możliwość prostego
uwzględnienia go w wielu modelach rynku bądź wyceny instrumentów
pochodnych. Model geometrycznego ruchu Browna wykorzystany został przez
Blacka i Scholesa do wyprowadzenia wzoru na wartość europejskiej opcji kupna
wystawionej na akcje nie płacące dywidendy. Także późniejsze, najbardziej
znane, modyfikacje tego wzoru wprowadzone przez Mertona (model wyceny
europejskiej opcji kupna akcji, która płaci dywidendę) oraz GarmanaKohlhagena (model wyceny europejskiej opcji walutowej) [6] zakładają, że ceny
instrumentu bazowego zmieniają się zgodnie z geometrycznym ruchem Browna.
Zmienność historyczna i implikowana jako prognozy zmienności...
3
Istnieje oczywiście wiele alternatywnych modeli ruchu cen [7] [8][4] [1]:
• model Ornsteina-Uhlenbecka,
• model skoku i dyfuzji (jump-diffusion process),
• model Coxa-Rossa-Rubinsteina,
• model Racheva-Rüschendorfa,
• model ze zmiennością będącą procesem stochastycznym.
W modelach tych uwzględniono np. „powracanie procesu do średniej”, nagłe
skoki cen, fakt, że parametr zmienności może być również przedstawiony jako
proces stochastyczny oraz dyskretne zmiany czasu i cen.
2. MIARY ZMIENNOŚCI
Zmienność jest miarą niepewności co do przyszłych stóp zwrotu.
Najczęściej analizuje się zmienność logarytmicznych stóp zwrotu danych
wzorem:
 P 
r t = ln t 
 Pt −1 
Przy założeniu, że ceny instrumentów zmieniają się rzeczywiście zgodnie
z procesem geometrycznego ruchu Browna, estymatorem zmienności jest
odchylenie standardowe stóp zwrotu:
1 n
(rt − r )2
∑
n − 1 t =1
gdzie r jest średnią arytmetyczną z zaobserwowanych stóp zwrotu.
s=
Odchylenie standardowe jest najczęściej stosowaną miarą zmienności, nie mniej
możliwe są również miary oparte na innych normach niż L2 [9].
Na przykład dla normy L1 miara zmienności zdefiniowana jest w sposób
następujący:
s=
1 n
∑ rt − me
n t =1
gdzie me to mediana stóp zwrotu.
W świetle występowania nagłych hoss lub przede wszystkim katastrof
finansowych interesująca staje się miara oparta na normie L∞, które bazuje na
wartościach ekstremalnych. Miarę tę wykorzystuje się często również przy
analizie wyników notowań ciągłych. Dla normy L∞ miarą zmienności dana jest
następującym wzorem:
4
s=
Krzysztof Piontek
1
(rmax − rmin )
2
Ponieważ w większości modeli uwzględnia się roczną zmienność
instrumentu finansowego, niezbędne staje się przeliczenie wartości wyznaczonej
z powyższego wzoru na okres roczny.
W dalszej części pracy za miarę zmienności w skali roku przyjęte zostanie
jednak najbardziej popularne odchylenie standardowe logarytmicznych stóp
zwrotu dane wzorem:
s=
1 n
(rt − r )2 * N ,
∑
n − 1 t =1
gdzie N jest liczbą przyjętych (kalendarzowych lub sesyjnych) dni w roku.
3. METODY PROGNOZOWANIA ZMIENNOŚCI
Jak już zostało zasygnalizowane, prawidłowe oszacowanie przyszłej
zmienności instrumentu finansowego umożliwia osiągnięcie większych
dochodów lub redukcję ryzyka związanego z inwestycją.
Na drodze rozważań teoretycznych i praktycznych wypracowane zostały metody
prognozowania zmienności poprzez [3]:
• proste metody statystyczne wywodzące się z pojęcia średniej,
• modele wykorzystujące oczekiwania rynku (zmienność implikowana),
• stochastyczne modele szeregów czasowych,
• sieci neuronowe.
W dalszej części pracy rozważone zostaną metody prognozy na podstawie
historycznych notowań instrumentu finansowego oraz na podstawie oczekiwań
rynku.
3.1. Zmienność historyczna
W metodzie tej zakłada się, że przyszła zmienność będzie na takim samym
poziomie jak w przeszłości. Przyjmuje się, że jest to metoda wykorzystywana,
gdy rynek instrumentu bazowego jest płynny, a rynek opcji – nie.
Zazwyczaj zmienność szacuje się na podstawie próby składającej się
z dziennych stóp zwrotu. Próba powinna obejmować okres bezpośrednio
poprzedzający datę analizy. Zakładając, że wariancja ma stałą wartość w czasie,
im dłuższy okres zostanie przyjęty do wyznaczania parametru zmienności, tym
Zmienność historyczna i implikowana jako prognozy zmienności...
5
mniejszy błąd oszacowania. Niestety wariancja charakteryzuje się również
zmianami w czasie, co wymusza, że do analiz powinien zostać przyjęty
możliwie najdłuższy, zapewniający stałość wariancji, okres.
Dwoma najpopularniejszymi estymatorami są:
• odchylenie standardowe stóp zwrotu,
• wykładnicza średnia ważona dana wzorem:
st = λst2−1 + (1 − λ )rt 2 .
Wariancja stóp zwrotu wyznaczana jest jako średnia ważona wariancji
wyznaczonej dla okresu poprzedniego oraz kwadratu bieżącej stopy zwrotu.
Średnia ważona jest przykładem adaptacyjnego sposobu prognozowania
zmienności. Parametr λ przyjmuje zazwyczaj wielkość większą niż 0,9.
Zakładając, że kolejne stopy zwrotu są nieskorelowane, wariancję wyrażoną
w stosunku rocznym wyznacza się mnożąc wariancję dziennych stóp zwrotu
przez odpowiednią liczbę dni w roku. Możliwe jest stosowanie liczby
kalendarzowych dni w roku lub liczby dni transakcyjnych [10][11]. Dni
kalendarzowe wykorzystuje się, gdy istnieją przesłanki, że ceny danego
instrumentu „zmieniają się” również w czasie dni nietransakcyjnych. Odpowiedź
na pytanie, czy stosować system dni transakcyjnych, czy kalendarzowych,
uzyskuje się porównując wariancję stop zwrotu z sesji, pomiędzy którymi nie
było dni nietransakcyjnych ze stopami zwrotu z sesji oddzielonych dniami
wolnymi (weekendy i święta). Przy szacowaniu wariancji rocznej należy
uwzględnić również fakt, czy przyszły okres obejmujący pozostały czas życia
opcji, jest porównywalny do okresu próby [5]. Ceny instrumentów finansowych
są zazwyczaj bardziej zmienne w okresach ogłaszania strategicznych informacji
(raporty makroekonomiczne, informacje o dywidendach, raporty finansowe).
Jeżeli więc np. w przeszłości informacje taki się nie pojawiały, a w przyszłości
mają wystąpić, to należy skorygować ocenę wariancji w górę.
3.2. Zmienność implikowana
Zgodnie z modelem Blacka-Scholesa wartość europejskiej opcji kupna na
instrument nie wypłacający dywidendy dana jest wzorem:
c = SN (d 1 ) − Ee − rT N (d 2 ) ,
gdzie:
6
Krzysztof Piontek
s2 
S 
ln  +  r + T
2
E 
d1 =
s T
s2 
S 
ln  +  r − T
2
E 
d2 =
s T
c – wartość europejskiej opcji kupna,
S – cena instrumentu bazowego,
E – cena wykonania opcji,
r – stopa wolna od ryzyka,
T – długość okresu do terminu wygaśnięcia opcji, wyrażona w latach,
s – odchylenie standardowe stopy zwrotu,
N(d) – wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego dla
argumentu równego d.
Jeżeli założy się, że rynek instrumentów pochodnych jest rynkiem
efektywnym, czyli w cenie opcji znajdują odzwierciedlenie wszelkie informacje
mogące mieć wpływ na cenę tej opcji oraz, że modele teoretyczne prawidłowo
wyceniają instrument pochodny, możliwe staje się wyznaczenie rynkowego
oszacowania zmienności instrumentu bazowego w okresie pozostającym do
wygaśnięcia opcji. Dokonuje się tego poprzez numeryczne wyznaczenie
z modeli klasy Blacka-Scholesa parametru zmienności, przy założeniu, że
pozostałe parametry modelu są znane, a cena opcji na rynku jest ceną
sprawiedliwą.
Metodę tę stosuje się przy płynnym rynku instrumentów pochodnych.
Bardzo często zdarza się, że na rynkach notowanych jest więcej niż jedna opcja
wystawiona na dany instrument (notowane są opcje o różnych terminach
wygaśnięcia i różnych cenach wykonania). Możliwe jest wówczas otrzymanie
różniących się wartości zmienności implikowanej będących oszacowaniem tej
samej przyszłej zmienności. Związane jest to z obciążeniami modeli
teoretycznych, ewentualną niepłynnością rynku,
błędnym oszacowaniem
pozostałych danych w modelu teoretycznym, istnieniem spreadu bid-ask itd.
Modele teoretyczne mają bowiem tendencję do zawyżania wartości opcji out-ofthe-money i zaniżania wartości opcji in-the-money. Nie wszystkie opcje są
również tak samo wrażliwe na zmiany odchylenia standardowego stóp zwrotu
instrumentu bazowego. Najbardziej wrażliwe są opcje at-the-money
o stosunkowo długim okresie do wygaśnięcia. Niezbędne stało się podjęcie
Zmienność historyczna i implikowana jako prognozy zmienności...
7
próby połączenia informacji niesionej przez poszczególne wartości zmienności
implikowanej w jeden złożony parametr zmienności implikowanej.
Często procedurę wyznaczania złożonego parametru zmienności implikowanej
poprzedza odrzucenie z analizowanego zbioru opcji, dla których [12]:
• premia opcyjna jest mniejsza niż zadana wartość, premia jest mniejsza niż
zadany procent ceny instrumentu bazowego (eliminuje się opcje, dla których
koszty transakcji są zbyt wysokie oraz opcje, które są daleko out-of-themoney),
• premia jest mniejsza niż 150% różnicy między ceną akcji a ceną wykonania
przy warunku, że cena wykonania jest mniejsza od ceny instrumentu
bazowego (eliminuje się opcje głęboko in-the-money, szczególnie to
o krótkim okresie do wykupu),
• czas do wygaśnięcia jest krótszy od założonej granicy.
Dalsza część procedury wyznaczania złożonego parametru zmienności
implikowanej obejmuje wyznaczenie odpowiednio ważonej średniej dla
zmienności implikowanych otrzymanych dla opcji pochodzących z tej samej
klasy. W zależności od autora za klasę opcji uważa się wszystkie opcje
wystawione na ten sam instrument bazowy [13] lub wszystkie dostępne do
analizy opcje wystawione na ten sam instrument bazowy oraz o tym samym
terminie wygaśnięcia [14].
Zakłada się, że dla każdego instrumentu, k, oraz momentu czasowego, t, istnieje
prawdziwa wartość zmienności, σ, która idealnie opisuje oczekiwaną przyszłą
zmienność. Liczbę opcji w danej klasie dla danych k i t oznacza się jako Nkt,
a σikt to zmienności implikowane dla poszczególnych opcji w klasie (i=1, ...,
Nkt).
Zaproponowane przez różnych autorów estymatory, kładą odmienny nacisk na
wartości zmienności implikowanej otrzymanej dla opcji o różnych
wrażliwościach na zmiany odchylenia standardowego.
• R. Schmalensee i R. Trippi zaproponowali, aby wszystkie zmienności
implikowane traktować tak samo i ich estymator ma postać średniej
ważonej wagami jednostkowymi [12]
•
skt =
1
N kt
N kt
∑σ
i =1
ikt
Wagi proporcjonalne do współczynnika vega poszczególnych opcji zostały
zaproponowane przez H. Latané i J. Rendlemana [13] oraz S. Beckersa [14].
Latane i Rendleman zaproponowali następujący wzór do wyznaczania
estymatora łącznego:
8
Krzysztof Piontek
 N kt 2
2 
∑ σ kjt * wkjt 
j =1

skt = 
N kt
∑ wkjt
0.5
j =1
gdzie wkjt – pochodna cząstkowa ceny opcji j na instrument k w momencie t po
odchyleniu standardowym wyznaczonym z modelu teoretycznego.
Powyższa średnia ważona nie jest prawdziwą „średnią ważoną”, ponieważ
suma wag jest mniejsza niż 1. Z tego względu estymator ten jest obciążony
i zaniża wartość zmienności implikowanej. Co więcej obciążenie zwiększa się
wraz ze wzrostem wielkości próby nawet, gdy wszystkie zaobserwowane
zmienności implikowane dla pojedynczych opcji są takie same.
Nie mniej wagi takie uznano za lepsze niż jednostkowe, gdyż przyznają
mniejszą wagę wartościom nietypowym.
Beckers zaproponował procedurę wyznaczania łącznej zmienności
implikowanej, którą koncentruje się przede wszystkim na zmiennościach
implikowanych na podstawie opcji at-the-money. Wartość łącznej zmienności
uzyskuje się poprzez minimalizację funkcji [14]:
N kt
f ( skt ) =
∑ w [ Po − c ( s
i =1
i
i
i
kt
)]2
N kt
∑w
i =1
i
gdzie:
Poi - cena rynkowa opcji.
Procedura ta minimalizuje ważoną sumę kwadratów odchyleń cen rynkowych
oraz cen wynikających z modelu teoretycznego przy założonym poziomie
zmienności. Wagi w tej procedurze są proporcjonalne do kwadratu wag
z procedury Latane i Randlemana, co powoduje, że większy nacisk kładzie się
na opcje o większej wrażliwości na zmiany odchylenia standardowego.
• D. Chiras i S. Manaster zaproponowali średnią ważoną względem
współczynnika elastyczności ceny opcji i odchylenia standardowego [15]:
∂c jkt s jkt
N kt
s kt =
∑σ
j =1
N kt
∑
j =1
gdzie:
ktj
∂s jkt c jkt
∂c jkt s jkt
∂s j c jkt
9
Zmienność historyczna i implikowana jako prognozy zmienności...
∂c jkt s jkt
∂s jkt c jkt
- elastyczność ceny względem odchylenia standardowego; informacja
ile procent zmieni się wartość opcji, jeżeli zmienność zmieni się o
jeden procent swej wartości.
Zaproponowane powyżej metody wyznaczania łącznej zmienności
implikowanej, uwzględniają z różną wagą zmienności implikowane otrzymane
dla opcji o różnej wrażliwości na zmiany odchylenia standardowego stóp
zwrotu. Ze względu na brak obciążeń estymatora, najczęściej wykorzystuje się
procedurę zaproponowaną przez Chirasa i Manastera.
4. BADANIE PRZYDATNOŚCI PROGNOZ ZMIENNOŚCI
Testowanie przydatności prognoz zmienności odbywa się na danych
historycznych. Rzeczywista, podlegająca prognozie, zmienność instrumentu
bazowego wyznaczana jest jako odchylenie standardowe dziennych stóp zwrotu
w okresie od rozpoczęcia analizy do wygaśnięcia opcji i podawana jest w skali
jednego roku.
Poszukiwana jest odpowiedź na pytanie, czy zmienność implikowana jest
lepszym oszacowaniem przyszłej zmienności niż odchylenie standardowe
wyznaczane na podstawie historycznych stóp zwrotu.
Rys. 1. przedstawia procedurę testowanie przydatności prognoz zmienności.
zm_impl
czas
zm_hist
zm_rzecz
Rys. 1. Schemat procedury testowania przydatności prognoz zmienności
10
Krzysztof Piontek
Do porównania przydatności zmienności historycznej
implikowanej wykorzystuje się model regresji liniowej.
i
zmienności
zm_rzeczkt=a1+b1*zm_histkt
zm_rzeczkt=a2+b2*zm_implkt
zm_rzeczkt=a3+b3*zm_histkt+b4*zm_implkt
Miarą przydatności poszczególnych metod prognozowania zmienności są
statystyki R2 dla poszczególnych modeli regresji. Im wyższa miara R2, tym
większa przydatność danej metody prognozowania.
Możliwe jest przeprowadzenie badań dla poszczególnych punktów czasowych,
terminów wygaśnięcia opcji i instrumentów.
5. PRZYKŁAD EMPIRYCZNY
Ze względu na niewielką liczbę opcji notowanych na rynku polskim oraz ze
względu na utrudniony dostęp do wiarygodnych danych, badania przydatności
prognoz zmienności w warunkach rynku polskiego przeprowadzono na
przykładzie opcji na kurs dolara. Bazę danych stanowiły informacje
publikowane w dziennikach „Rzeczpospolita” oraz „Parkiet”.
Dla 10, odległych o miesiąc, punktów czasowych wyznaczono
zmienności implikowane przez model Garmana-Kohlhagena oraz historyczne
dla opcji o terminie wygaśnięcia 1 miesiąc i 3 miesiące. Łączny parametr
zmienności wyznaczono na podstawie procedury zaproponowanej przez Chirasa
i Manastera. Miarą zmienności historycznej oraz rzeczywistej było odchylenie
standardowe stóp zwrotu. Tabela 1 przedstawia wariancję dziennych
logarytmicznych stóp zwrotu dla kolejnych dni tygodnia.
Tabela 1.
poniedziałek wtorek
środa
czwartek
piątek
4,5e-5
4,26e-5
5,56e-5
4,02e-5
4,25e-5
Ponieważ wariancje dla różnych dni są porównywalne, uzasadnione jest więc
przyjęcie założenia, że efektywnych dni sesyjnych w roku jest około 250.
W dalszych obliczeniach przyjęta została liczba 252 efektywnych dni sesyjnych
w roku.
11
Zmienność historyczna i implikowana jako prognozy zmienności...
Tabela 2 zawiera wyznaczone dla poszczególnych dat zmienności implikowane
i historyczne oraz rzeczywistą zmienność instrumentu bazowego, która
wystąpiła w okresie do wygaśnięcia opcji.
Tabela 2.
Prognozy zmienności a rzeczywiste wielkości
opcje 1M
opcje 3M
data
zmienność
zmienność
implikowana historyczna
zmienność
rzeczywista
zmienność
zmienność
implikowana rzeczywista
zmienność
rzeczywista
99.04.15
99.03.16
99.02.15
99.01.16
98.12.15
98.11.15
98.10.15
98.09.15
98.08.15
98.07.15
7,19%
12,05%
21,40%
13,75%
10,91%
14,07%
17,91%
10,64%
18,92%
10,44%
6,69%
7,47%
9,13%
11,65%
8,75%
6,05%
7,22%
9,19%
19,62%
12,29%
9,80%
13,08%
18,73%
13,89%
12,78%
13,96%
17,13%
14,62%
17,47%
11,33%
6,20%
7,24%
7,99%
9,57%
9,90%
9,22%
7,52%
7,71%
18,61%
18,22%
7,47%
9,13%
11,65%
8,75%
6,05%
7,22%
9,19%
19,62%
12,29%
9,26%
9,57%
9,90%
9,22%
7,52%
7,71%
18,61%
20,43%
18,29%
11,05%
8,85%
Tabela 3. przedstawia wyznaczone statystyki R2 będące ocenami przydatności
prognoz uzyskanych przy pomocy zmienności implikowanej i zmienności
historycznej.
Tabela 3.
2
R
model regresji
opcje 1M
opcje 3M
zm_rzeczkt=a1+b1*zm_histkt
0,07
0,11
zm_rzeczkt=a2+b2*zm_implkt
0,11
0,02
zm_rzeczkt=a3+b3*zm_histkt+b4*zm_implkt 0,17
0,12
Niewątpliwie należałoby przeprowadzić analogiczne badania dla dużo
większej liczby punktów czasowych oraz instrumentów, lecz na bazie
uzyskanych wyników można stwierdzić, że obie metody prognozy nie
sprawdzają się w warunkach polskich. Na podstawie uzyskanych wyników nie
można odpowiedzieć, która metoda prognozy daje lepsze oszacowania przyszłej
zmienności.
Powyższe wyniki można tłumaczyć przede wszystkim faktem, że rynek opcji
w Polsce jest rynkiem bardzo płytkim w stosunku do rynków rozwiniętych, co
skutkuje nie do końca uzasadnioną wyceną opcji przez banki oraz faktem, że
kurs dolara jest bardzo zmienny.
12
Krzysztof Piontek
Literatura:
1. Hull J. (1997). Futures, options, and other derivatives. Prentive-Hall, New
York.
2. Jajuga K. (1998). Ogólna koncepcja zarządzania ryzykiem finansowym.
Materiały z XXXIV Konferencji Statystyków, Ekonometryków,
Matematyków Polski Poludniowej. Katowice.
3. Jajuga K. (1998). Zmienność – prognozowanie i zastosowanie w
zarządzaniu ryzykiem. Materiały z konferencji Prognozowanie w
zarządzaniu firmą. PN nr 808. Wrocław.
4. Weron A., Weron R. (1998). Inżynieria finansowa. WNT. Warszawa.
5. Haugen R.A. (1996) Teoria nowoczesnego inwestowania. WIGPRESS.
Warszawa.
6. Jajuga K., Kuziak K., Markowski P. (1997). Inwestycje finansowe.
Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wroclawiu. Wrocław.
7. Jajuga K. (1999). Modele dynamiczne w analizie instrumentów
finansowych. Materiały zgłoszone na VI Ogólnopolskie Seminarium
Naukowe Dynamiczne Modele Ekonometryczne. Toruń.
8. Volatility. New Techniques for pricing derivatives. Pod redakcją Roberta
Jarrowa. (1998). Risk books.
9. Jajuga K. (1999). Miary ryzyka rynkowego. Rynek Terminowy. listopad
1999. Penetrator. Kraków.
10. French K. (1980). Stock returns and the weekend effect. Journal of
Financial Economics 8. North-Holland Publishing Company.
11. Piontek K. (1999). Teoretyczna i rzeczywista wartość walutowych
instrumentów pochodnych - rynek polski. Materiały z konferencji Finanse i
bankowość a wejście Polski do Unii Europejskiej. Warszawa-Pułtusk.
12. Schmalensee R., Trippi R. (marzec 1978). Common stock volatility
expectations implied by option premia. The Journal of Finance. Vol.
XXXIII No. 1.
13. Latane H., Rendleman R. ( maj 1976). Standard deviations of stock price
ratios implied in option prices. The Journal of Finance. Vol. XXXI No. 2.
14. Beckers S. (1981). Standard deviations impied in option prices as predictors
of future stock price variability. Journal of Banking and Finance 5. NorthHolland Publishing Company.
15. Chirac D., Manaster S. (1978). The information content of option prices and
a test of market efficiency. Journal of Financial Economics 6. NorthHolland Publishing Company.