Wycena opcji w modelu uwzględniającym efekt

Krzysztof Piontek
Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń
Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu
Wycena opcji w modelu uwzględniającym efekt
AR-GARCH
Wprowadzenie
U podstaw modelu Blacka, Scholesa i Mertona znajduje się między innymi nierealistyczne założenie, że ceny instrumentu bazowego zmieniają się
zgodnie z geometrycznym ruchem Browna, którego parametry są stałe. Powoduje to, że w pewnych przypadkach, teoretyczne wartości uzyskane z modelu
odbiegają od cen obserwowanych w rzeczywistości (model cechuje się obciążeniem). W przypadku, gdyby model Blacka-Scholesa wyceniał opcje prawidłowo, to zmienność implikowana (por. Hull (1999)) powinna mieć stałą
wartość niezależną od współczynnika moneyness1 opcji oraz niezależną od
terminu do wygaśnięcia opcji. Rzeczywista płaszczyzna zmienności charakteryzuje się efektem „uśmiechu zmienności”, czyli zależnością zmienności implikowanej od ceny wykonania. Kształt „uśmiechu zmienności” zależy od siły
„efektu dźwigni” w szeregu stóp zwrotu instrumentu bazowego, czyli wielkości asymetrii w reakcji inwestorów na dopływające do rynku wiadomości
dobre i złe. Efekt dźwigni powoduje asymetrię w „uśmiechu zmienności”,
który nazywany jest wtedy ”grymasem zmienności”. Wraz ze wzrostem terminu do wygaśnięcia, kształt „uśmiechu” lub „grymasu zmienności” staje
się bardziej płaski. Dodatkowo wraz ze wzrostem terminu do wygaśnięcia
obserwuje się często wzrost lub spadek zmienności implikowanej dla opcji
o tym samym współczynniku moneyness. Efekt ten nazywa się ”strukturą
1
Współczynnik moneyness zdefiniowany został jako:
moneyness =
St0
,
Xe−rT
(1)
gdzie: St0 - cena spot akcji w chwili t0 , X - cena wykonania, r - wolna od ryzyka stopa
procentowa w skali roku, T - czas do wygaśnięcia opcji w latach.
1
czasową zmienności implikowanej”. Związany jest on z faktem, że po okresie
szczególnie niskiej lub wysokiej zmienności, obserwuje się powrót do poziomu
średniego.
W pracy zaprezentowane zostanie podejście umożliwiające wycenę europejskiej opcji kupna2 z uwzględnieniem takich własności szeregów stóp
zwrotu instrumentu bazowego jak: autokorelacja, skupianie zmienności, efekt
dźwigni (por. Piontek (2002)). Dokonana zostanie wycena europejskich opcji
kupna dla chwili t0 dla różnych współczynników moneyness oraz dla różnych terminów do wygaśnięcia wystawionych na jednostkę indeksu WIG.
Na podstawie uzyskanych wartości opcji wyznaczona zostanie płaszczyzna
zmienności implikowanej dla modelu Blacka-Scholesa. Uzyskanie charakterystycznych efektów „uśmiechu zmienności”, „struktury czasowej zmienności”
oraz zgodność zmienności implikowanej dla opcji at-the-money o długim terminie do wygaśnięcia z długoterminową zmiennością szeregu stóp zwrotu,
świadczyć będzie o tym, iż prezentowany model umożliwia uwzględnienie obserwowanych na rynku własności cen opcji. Niestety jest to argument nie
wprost. Brak rzetelnych i kompletnych danych o cenach i parametrach opcji
wystawianych na rynku pozagiełdowym oraz niska płynność warrantów (wraz
z brakiem możliwości dokonania krótkiej sprzedaży warrantu) na rynku giełdowym w Polsce, uniemożliwiają porównanie wartości uzyskiwanych z modelu z cenami rzeczywistymi (np. dla warrantow na WIG20). Prezentowane
zagadnienia pozostaną więc w sferze przykładu ilustracyjnego.
1. Model wyceny opcji
Omawiane podejście zaproponowane zostało przez Duana przy założeniu, że szereg stóp zwrotu z instrumentu bazowego opisywany jest modelem
GARCH-M(1,1) (por. Duan (1996)). Zostało ono jednak szybko uogólnione
na inne postaci warunkowej wartości oczekiwanej oraz warunkowej wariancji (por. Schmitt (1996), Hafner, Herwartz (1999), Härdle, Hafner(2000)).
2
Opcje sprzedaży można wycenić analogicznie lub poprzez parytet kupna-sprzedaży
(por. Hull (1999).
2
Podejście to jest uogólnieniem tradycyjnej metody wyceny przy neutralnym
podejściu do ryzyka (risk neutral valuation) (por. Weron i Weron (1998),
Hull (1999)) w przypadku modeli z warunkową wartością oczekiwaną oraz
warunkową wariancją i polega na takiej modyfikacji procesu stóp zwrotu, by
dla każdej chwili, warunkowa wartość oczekiwana stopy zwrotu była równa
stopie wolnej od ryzyka. Równoważne jest to temu, iż zdyskontowana przy
stopie wolnej od ryzyka cena instrumentu bazowego jest martyngałem (por.
np. Weron i Weron (1998). Parametr modyfikujący proces stóp zwrotu nie
jest stały w czasie i podejście to nazwane zostało wyceną przy punktowej
własności neutralności wobec ryzyka (Locally Risk-Neutral Valuation
Relationship - LRNVR). Także w tym przypadku wprowadza się pojęcia
miary P, dla procesu nieprzekształconego oraz arbitrażowej miary Q,
względem której zdyskontowany proces cen instrumentu bazowego jest martyngałem.
Uwzględnienie zmiennej w czasie wariancji powoduje, tzw. „niezupełność
rynku” (incompletness of market) oraz istnienie w ogólności wielu możliwych miar Q, dla których spełnione jest założenie braku arbitrażu (por. Weron i Weron (1998)). Niezbędne staje się założenie o preferencjach inwestora
względem ryzyka i postaci funkcji użyteczności.
Do dalszej analizy przyjęto jako model stóp zwrotu z instrumentu bazowego przyjęto model AR(1)-GJR-GARCH(1,1) (por. Piontek(2002)). Odpowiednie postaci modelu względem miary P i Q dane są poniżej (por. Hafner,
Herwartz (1999))3:

√

yt = µ + φ1 yt−1 − 0.5ht + ht zt ,



miara P
zt ∼ N(0, 1),


2

h = ω + (α + α− I
2
t
1
1 (zt−1 <0) )zt−1 + β1 ht−1 ,
3
(2)
Pojawienie się składnika „−0, 5ht” związane jest z faktem, iż rozpatrywane są loga-
rytmiczne stopy zwrotu (por. lemat Itô).
3
miara Q

√


yt = r1 − 0.5ht + ht ηt ,





ηt ∼ N(0, 1),
2
−
2

h
=
ω
+
(α
+
α
I
)(η
−
λ
)
+
β
ht−1 ,

t
1
t−1
t−1
1
(η
−λ
)
1
t−1
t−1



µ + φ1 yt−1 − r1


 λt =
√
,
ht
(3)
gdzie:
yt
- logarytmiczna stopa zwrotu z instrumentu bazowego z okresu [t − 1,t],
r1
- stopa wolna od ryzyka w horyzoncie, dla którego wyznaczane są stopy
zwrotu.
Wycena opcji dla chwili t = t0 oparta jest na procedurze Monte Carlo,
której przebieg jest następujący:
a. Estymacja parametrów procesu stóp zwrotu względem miary P.
Niezbędna jest też informacja o wartości warunkowej wartości oczekiwanej oraz warunkowej wariancji w chwili t0 , które decydują o „warunku początkowym” podczas generowania zbioru trajektorii procesu
w etapie b.
b. Wygenerowanie m trajektorii szeregu cen instrumentu bazowego o długości n dni sesyjnych względem miary Q. Cenę Si,n po
n dniach (liczba dni do wygaśnięcia opcji) dla i-tej trajektorii uzyskuje
się w oparciu o wzory (3) oraz o zależność:
n
n
hi,t0 +s +
ηi,t0 +s .
Si,n = St0 exp nr1 − 0.5
s=1
(4)
s=1
W etapie tym wykorzystuje się również typowe procedury poprawy
własności metody Monte Carlo.
c. Wycena europejskiej opcji kupna. Wartość opcji w chwili t0 równa
jest wartości oczekiwanej (względem miary Q) zdyskontowanej wartości
wypłaty opcji. Europejska opcja kupna w chwili wykonania związana
jest z wypłatą równą max[ST − X, 0], gdzie ST to cena instrumentu
bazowego w chwili wygaśnięcia (rozliczania) opcji, a X, to cena wyko-
4
nania opcji.
1 [max(Si,n − X), 0] .
ct0 = exp(−nr1 )
m i=1
m
(5)
2. Przykład empiryczny
Poniżej przedstawiono wyniki wyceny hipotetycznej europejskiej opcji
kupna wystawionej na jednostkę indeksu WIG. Dniem, dla którego dokonywano wyceny był dzień 15-05-2002. Wartość indeksu w tym dniu wynosiła
15475,75. Stopę wolną od ryzyka w skali roku przyjęto na poziomie 10%.
Parametry modelu stóp zwrotu względem miary P wyestymowane zostały na
podstawie 1900 obserwacji poprzedzających dzień wyceny.
Tabela 1: Parametry modelu dla indeksu WIG względem miary P
Parametr
µ
φ1
ω
α1
α−
1
β1
Wartość
5,3E-05
0,189
1,79E-0.5
0,11
0,068
0,798
Źródło: obliczenia własne.
Długoterminowa zmienność stóp zwrotu w skali roku, uzyskana na podstawie modelu AR(1)-GJR-GARCH(1,1) wynosiła 28,4%. W dniu wyceny,
warunkowa zmienność w skali roku (wyznaczona na podstawie wartości warunkowej wariancji) wynosiła 17,66%. Dokonano wyceny opcji dla 17 wartości
współczynnika moneyness z przedziału [0,8;1,2] oraz dla terminów do wygaśnięcia opcji od 1 do 6 miesięcy. Uzyskane wartości zmienności implikowanej, wynikającej z odwrócenia modelu Blacka-Scholesa dla różnych terminów
do wygaśnięcia opcji oraz dla różnych wartości współczynnika moneyness,
prezentuje rysunek 1. Potwierdza on występowanie typowego efektu „uśmiechu zmienności”, którego asymetria spowodowana jest niezerową wartością
współczynników α1− oraz φ1 . Autokorelacja stóp zwrotu wpływa również na
przesunięcie minimalnej wartości zmienności implikowanej dla poszczególnych terminów do wykupu w kierunku mniejszych wartości współczynnika
moneyness. Zgodnie z oczekiwaniami, „uśmiechy zmienności” stają się coraz
bardziej płaskie wraz ze wzrostem terminów do wykupu. Obserwuje się również rosnącą „strukturę czasową zmienności implikowanej” wraz ze wzrostem
5
terminu do wygaśnięcia. Spowodowane jest to tym, że warunkowa wariancja
w chwili wyceny opcji była poniżej długoterminowego poziomu średniego, a
wykorzystywany model GARCH cechuje się powrotem do średniej. Dokonano
również wyceny opcji dla rocznego terminu do wykupu. Uzyskano praktycznie płaski „uśmiech zmienności”. Wartość zmienności implikowanej równa
była w przybliżeniu długoterminowej zmienności szeregu stóp zwrotu w skali
roku.
Rysunek 1: Płaszczyzna zmienności dla modelu AR(1)-GJR-GARCH(1,1)
zmiennosc
0.29
0.28
0.27
0.26
0.25
0.24
0.23
0.22
0.21
6
5
1.3
4
liczba miesiecy
1.2
1.1
3
1
2
moneyness
0.9
1
0.8
Źródło: opracowanie własne.
Zaprezentowane własności modelu wyceny opcji są argumentem nie wprost
na to, że model uwzględniający efekt autokorelacji, skupiania zmienności
oraz dźwigni, powinien prowadzić do wyceny opcji bliższej cenom rynkowym.
Wniosek ten potwierdzony został dla instrumentów pochodnych z rynku niemieckiego (por. Hafner, Herwartz (1999)).
Literatura
[1] J. Duan. (1995). The GARCH Option Pricing Model. Mathematical
Finance, 5, str. 13–32.
[2] C. Hafner, H. Herwartz. (1999). Option Pricing under Linear Autoregressive Dynamics, Heteroskedasticity, and Conditional Leptokurtosis.
Humboldt-Universität, Berlin. http://ideas.repec.org.
6
[3] J. Hull. (1999). Futures, options and other derivatives. Prentive-Hall,
New York.
[4] K. Piontek. (2002). Modelowanie i prognozowanie zmienności instrumentów finansowych. Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu (praca doktorska).
[5] Ch. Schmitt. (1996). Option Pricing Using EGARCH Models. ZEW
Discussion Paper No. 96-20. Mannheim.
[6] A. Weron, R. Weron. (1998). Inżynieria finansowa. WNT, Warszawa.
7