Analiza matematyczna 2_Wykład 3_ Norma. Iloczyn skalarny

Transkrypt

Analiza matematyczna 2/Wykład 3: Norma. Iloczyn skalarny - Studia Informatyczne
Analiza matematyczna 2/Wykład 3: Norma. Iloczyn skalarny
Nawigacja
< Analiza matematyczna 2
» Strona główna
» Przedmioty
» Uczelnie
Norma. Iloczyn skalarny
W wykładzie tym wprowadzamy pojęcie normy i przestrzeni unormowanej. Pokazujemy, że kule w przestrzeniach unormowanych są
zbiorami wypukłymi. Wprowadzamy pojęcia iloczynu skalarnego i przestrzeni unitarnej. Dowodzimy nierówność Schwarza, warunek
równoległoboku i twierdzenie Pitagorasa.
» O nas
» MIMINF
» MIMMAT
Przestrzenie unormowane
Szukaj
OK
Szukaj
Napisz do nas
[email protected]
Przypomnijmy, że na pierwszym wykładzie z Analizy Matematycznej 2 wprowadziliśmy pojęcie metryki, czyli funkcji, która każdym
dwóm punktom danego zbioru przyporządkowuje ich odległość. W przypadku, gdy dany zbiór jest przestrzenią wektorową, możemy
wprowadzić funkcję mierzącą "długość" wektora. Funkcję tę nazwiemy normą. Okaże się (zgodnie z intuicją, jak dla przypadku
), że jeśli umiemy zmierzyć długość wektorów przestrzeni wektorowej
to możemy także mierzyć odległość
płaszczyzny
między punktami zbioru
Pojęcie normy jest szczególnie przydatne w przestrzeniach funkcji (np. przestrzeniach funkcji liniowych lub przestrzeniach funkcji
ciągłych). Norma będzie nam również przydatna w przyszłości do zdefiniowania pochodnych wyższych rzędów dla funkcji wielu
zmiennych.
będziemy oznaczać przez
Wprowadźmy formalną definicję (wektor zerowy przestrzeni wektorowej
).
DEFINICJa 3.1.
będzie przestrzenią wektorową nad ciałem
(
lub
Niech
nazywamy normą w
jeśli:
Odwzorowanie
;
(1)
(jednorodność);
(2)
(subaddytywność).
(3)
nazywamy przestrzenią unormowaną.
Parę
).
Zauważmy, że definicja powyższa precyzuje nasze naturalne wymagania w stosunku do długości wektora, a mianowicie:
(1) długość wektora wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wektor jest zerowy;
(2) długość iloczynu wektora przez liczbę, to iloczyn długości tego wektora i wartości bezwzględnej tej liczby;
(3) długość sumy wektorów jest nie większa od sumy ich długości.
Przykład 3.2.
W przestrzeni wektorowej
nad
możemy wprowadzić następujące normy:
(norma euklidesowa),
(norma taksówkowa),
(normamaksimowa).
Dowód faktu, że powyższe odwzorowania są normami, pozostawiamy na ćwiczenia (patrz ćwiczenie
3.1. ). Nazwy powyższych norm nie są przypadkowe (patrz uwaga 3.4. ).
Okazuje się, że każda przestrzeń unormowana jest w naturalny sposób przestrzenią metryczną.
Mówi o tym następujące twierdzenie.
Euklides (365-300
p.n.e.)
Zobacz biografię
TWiERDZEniE 3.3.
jest przestrzenią unormowaną,
jest przestrzenią metryczną.
Mówimy, że jest metryką zadaną przez normę
Jeśli
jest funkcją zadaną przez
to
DowÓd 3.3.
jest normą w
Pokażemy, że odwzorowanie
Załóżmy, że
metryką w
(1) Zauważmy, że dla dowolnych
:
oraz
(2) Dla dowolnych
mamy
http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_2/Wykład_3:_Norma._Iloczyn_skalarny[2013-03-16 19:08:11]
zadane przez
jest
(3) Dla dowolnych
mamy
a więc zachodzi warunek trójkąta dla
Pokazaliśmy zatem, że
jest metryką.
Uwaga 3.4.
(1) Z powyższego twierdzenia wynika, że każda norma zadaje metrykę.
(2) Nie każda metryka jest zadana przez normę (patrz wniosek 3.13. ).
(3) Zbieżność w sensie metryki zadanej przez normę nazywamy zbieżnością silną lub zbieżnością w normie, to znaczy jeśli
jest ciągiem, to
(4) Normy: euklidesowa, taksówkowa, maksimowa, zdefiniowane w przykładzie 3.2.
taksówkową, maksimową (patrz ćwiczenie 3.2. ).
, zadają odpowiednio metryki: euklidesową,
W przypadku norm można rozważać ich równoważność.
DEFINICJa 3.5.
Dwie normy
i
w przestrzeni unormowanej
nazywamy równoważnymi, jeśli
Równoważność norm ma następujące własności.
Uwaga 3.6.
(1) Relacja równoważności norm jest relacją równoważnościową w zbiorze wszystkich norm na danej przestrzeni unormowanej.
(2) Normy: euklidesowa
; maksimowa
taksówkowa
są równoważne (będzie to pokazane na ćwiczeniach; patrz
ćwiczenie 3.3. ). Okazuje się, że w przestrzeniach wektorowych skończenie wymiarowych wszystkie normy są równoważne.
TWiERDZEniE 3.7.
Twierdzenie to podajemy tu bez dowodu. Wszystkie normy w
są równoważne.
jest ciągłe (oczywiście w przestrzeni
Kolejne twierdzenie mówi, że odwzorowanie normy
metrykę euklidesową).
metrykę zadaną przez normę, a w
TWiERDZEniE 3.8.
są równoważne.
Wszystkie normy w
TWiERDZEniE 3.9. [ciągłość
nORMY]
Norma jest funkcją ciągłą, to znaczy
W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat, będący wariantem nierówności trójkąta.
LEmat 3.9.
Jeśli
jest przestrzenią unormowaną, to
DowÓd 3.9.
Korzystając z subaddytywności normy, dla dowolnych
mamy
czyli
Analogicznie pokazujemy, że
Obie powyższe nierówności implikują nierówność w tezie lematu.
rozważamy
DowÓd 3.8.
oznacza, że
Warunek
Z powyższej równości wynika, że
Ustalmy dowolne
Zatem dla
mamy
Zatem pokazaliśmy, że
Uwaga 3.10.
(1) Implikacja odwrotna do implikacji w twierdzenieu 3.7. nie jest prawdziwa.
zadany przez
Wówczas
Aby to zobaczyć, rozważmy ciąg
ale sam ciąg
nie jest silnie zbieżny (dlaczego?)
jest
(wektor "zerowy" przestrzeni wektorowej), to implikację w twierdzenieu 3.7.
(2) Jeżeli granicą ciągu
odwrócić, to znaczy zachodzi równoważność:
(dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie).
W przestrzeniach wektorowych możemy mówić o wypukłości zbiorów.
DEFINICJa 3.11.
będzie przestrzenią unormowaną oraz
Niech
(1) Jeśli
to odcinkiem w
łączącym punkty
(2) Mówimy, że zbiór
i
nazywamy zbiór
jest wypukły, jeśli
Odcinek w
Odcinek w
można
Zbiór wypukły
Zbiór, który nie jest wypukły
W szczególnych przestrzeniach metrycznych, jakimi są przestrzenie unormowane, kule mają tę przydatną własność, że są wypukłe.
TWiERDZEniE 3.12.
Kule i kule domknięte w przestrzeniach unormowanych są wypukłe.
Wypukłość kuli w metryce eukildesowej
Wypukłość kuli w metryce taksówkowej
Wypukłość kuli w metryce maksimowej
DowÓd 3.12.
oraz
Niech
Z definicji kuli wynika, że
Niech
Pokażemy, że kula
Należy pokazać, że
jest zbiorem wypukłym. W tym celu wybierzmy dowolne
Z definicji odcinka w
wiemy, że
Zatem
Zatem pokazaliśmy, że
Dowód, że
jest zbiorem wypukłym, jest analogiczny.
Powyższe twierdzenie dostarcza nam pewnego warunku koniecznego na to, aby dana przestrzeń metryczna była zadana przez
normę.
WNIoSEK 3.13.
nie są zadane przez żadną normę, ponieważ kule w tych metrykach nie są zbiorami
Metryka kolejowa i metryka rzeka w
wypukłymi (patrz przykład 1.5. oraz przykład 1.6. ).
Kula w metryce rzece nie jest wypukła
Kula w metryce kolejowej nie jest wypukła
Przypomnijmy, że przestrzeń metryczną nazywamy zupełną, gdy każdy ciąg Cauchy'ego tej przestrzeni ma granicę (patrz definicja
2.10. ). Wśród przestrzeni unormowanych szczególną rolę odgrywają przestrzenie unormowane zupełne.
DEFINICJa 3.13. [przestrzeń BaNaCHa]
Przestrzenią Banacha nazywamy przestrzeń unormowaną zupełną.
Przykład 3.14.
(1)
jest przestrzenią Banacha (patrz wniosek 2.21.
(2) Przestrzeń
ćwiczenie 3.5.
z normą
).
jest przestrzenią Banacha (patrz
).
Przestrzenie unitarne
W przestrzeniach wektorowych możemy wprowadzić pojęcie iloczynu skalarnego. Dzięki niemu
będziemy mogli mówić o prostopadłości wektorów. Okaże się, że przestrzenie z iloczynem
skalarnym są także przestrzeniami unormowanymi z naturalnie wprowadzoną normą.
DEFINICJa 3.15.
będzie rzeczywistą przestrzenią wektorową. Odwzorowanie
Niech
nazywamy iloczynem skalarnym w
jeśli:
i
(1)
(2)
(3)
(4)
(symetria).
nazywamy przestrzenią unitarną.
Parę
Stefan Banach (18921945)
Zobacz biografię
Uwaga 3.16.
(a) Warunki (2) i (3) mówią, że iloczyn skalarny jest liniowy ze względu na pierwszą zmienną.
(b) Ze względu na symetrię (4), iloczyn skalarny jest także liniowy ze względu na drugą zmienną, zatem jest on dwuliniowy.
Przykład 3.17
Odwzorowanie zdefiniowane przez
dla
jest iloczynem skalarnym w
i
.
przestrzeni
Nazywamy go standardowym iloczynem skalarnym w
Sprawdzimy kolejno punkty definicji iloczynu skalarnego.
mamy
(1) Dla dowolnego
oraz
(2) Dla dowolnych
(3) Dla dowolnych
(4) Dla dowolnych
oraz
mamy
mamy
mamy
. Iloczyn ten znamy ze szkoły dla
Zatem pokazaliśmy, że odwzorowanie
jest iloczynem skalarnym w
.
Okazuje się, że przestrzeń z iloczynem skalarnym jest przestrzenią unormowaną.
TWiERDZEniE 3.18.
jest przestrzenią unitarną oraz
Jeśli
Mówimy, że
to
jest normą w
jest normą zadaną przez iloczyn skalarny
W dowodzie wykorzystamy następującą nierówność Schwarza, zachodzącą w przestrzeniach unitarnych.
LEmat 3.19. [nierówność SCHwaRza]
jest przestrzenią unitarną, to
Jeśli
DowÓd 3.20.
Ustalmy dowolne
Jeśli
to powyższa nierówność jest oczywistą równością. Załóżmy, że
Niech
Korzystając z dwuliniowości iloczynu skalarnego, mamy:
Zatem mamy
skąd
a zatem
co należało dowieść.
Uwaga 3.21.
Zauważmy, że nierówność Cauchy'ego (patrz lemat 3.8.
mamy standardowy iloczyn skalarny.
przestrzeni
) jest szczególnym przypadkiem nierówności Schwarza, gdy w
DowÓd 3.21.
(1)
a więc pierwszy warunek w definicji normy jest spełniony.
(2)
zatem drugi warunek (jednorodność) w definicji normy jest spełniony.
(3) Korzystając z nierówności Schwarza, mamy
a więc
zatem trzeci warunek (subaddytywność) w definicji normy jest spełniony.
Przykład 3.22.
dany wzorem (patrz przykład 3.17.
Iloczyn skalarny w
)
dla
zadaje normę euklidesową, bo
Podobnie jak dla przestrzeni unormowanych, tak i dla przestrzeni unitarnych szczególną rolę odgrywają przestrzenie unitarne
zupełne.
DEFINICJa 3.23.
Przestrzenią Hilberta nazywamy przestrzeń unitarną zupełną.
TWiERDZEniE 3.24. [ciągłość
iLOCZYnU sKALARnEGO]
Iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej jest funkcją ciągłą, to znaczy
(oczywiście zbieżność
).
skalarny
DowÓd 3.24. [dowÓd
Niech
oznacza zbieżność w normie zadanej przez iloczyn
David Hilbert (1862-1943)
Zobacz biografię
nadobowiązkowy]
będzie ciągiem takim, że
oraz z ciągłości normy (patrz twierdzenie 3.7.
i
Oznacza to, że
), mamy
Korzystając z nierówności Schwarza, mamy
Z wyżej wskazanych zbieżności w
Oznacza to, że
wynika, że prawa strona nierówności, a zatem także lewa, zmierza do zera, gdy
W przestrzeni unitarnej możemy wprowadzić pojęcie prostopadłości wektorów.
Wektory prostopadłe w
Wektory prostopadłe w
DEFINICJa 3.25.
Niech
(1) Jeśli
i piszemy
będzie przestrzenią unitarną.
to mówimy, że wektory i
są ortogonalne (lub prostopadłe)
(2) Niech
będzie podprzestrzenią wektorową
Mówimy, że wektor
jeśli
ortogonalny (prostopadły, normalny) do podprzestrzeni
jest
Piszemy
(3) Mówimy, że wektory
tworzą układ ortogonalny, jeśli
(4) Mówimy, że wektory
tworzą układ ortonormalny, jeśli
Wektor prostopadły do podprzestrzeni
są parami ortogonalne oraz mają normę ).
(to znaczy wektory
Poniższe twierdzenie podamy tu bez dowodu.
TWiERDZEniE 3.26.
Każda przestrzeń unitarna skończenie wymiarowa posiada
bazę ortonormalną (to znaczy bazę tworzącą układ
ortonormalny).
Przykład 3.27.
Baza kanoniczna w
jest bazą ortonormalną.
TWiERDZEniE 3.28. [WARUnEK
równoległoboku]
Jeśli
normą zadaną przez iloczyn skalarny, to
jest
Suma i różnica wektorów w
(ilustracja do warunku
równoległoboku)
Suma wektorów prostopadłych (ilustacja twierdzenia Pitagorasa)
DowÓd 3.28.
Dla dowolnych ustalonych
liczymy
oraz
Dodając stronami powyższe równości, dostajemy tezę twierdzenia.
TWiERDZEniE 3.29. [TWiERDZEniE PitAGORAsA]
Jeśli
to
jest normą zadaną przez iloczyn skalarny,
DowÓd 3.29.
Pitagoras (VI w. p.n.e.)
Zobacz biografię
Zauważmy, że gdy
Pitagorasa. Implikację
Dla dowolnych ustalonych
liczymy
to implikacja w prawą stronę w powyższym twierdzeniu
, to znane ze szkoły twierdzenie
, znamy ze szkoły, jako twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.
Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 19:16, 14 wrz 2006;

Analiza matematyczna 2_Wykład 3_ Norma. Iloczyn skalarny

Transkrypt

Podobne dokumenty

„Eksploracja danych” informacje dotyczące zadań

x - Zespół Szkół im. Andrzeja Średniawskiego w Myślenicach

dr hab. Marian Turzański, prof UKSW

Zagadnienia na ćwiczenia Algebra liniowa z geometrią analityczną

KLUCZ 2.

Algebra liniowa z geometria analityczna, Informatyka, Wydzia l PPT