ĆWICZENIE 5 Klasyczny Rachunek Kwantyfikatorów (KRK): funkcja

Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 5
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ĆWICZENIE 5
Klasyczny Rachunek Kwantyfikatorów (KRK): funkcja zdaniowa, kwantyfikator ogólny i
szczegółowy, kwantyfikatory ograniczone, prawa rachunku kwantyfikatorów, metoda tablic
analitycznych dla KRK
Klasyczny rachunek kwantyfikatorów nazywamy też rachunkiem predykatów, logiką
elementarną lub logiką pierwszego rzędu.
Definicja. Funkcje zdaniowe.
Wyrażenie W ( x ) , które staje się zdaniem, gdy za x podstawimy obiekt określonego typu
nazywamy funkcja zdaniową (predykatem) jednej zmiennej. Jeśli określony jest zbiór S,
z którego bierzemy obiekty do podstawiania za zmienną x, to mówimy, że zmienna x ma
zakres zmienności S. Piszemy wówczas W ( x ) , x ∈ S . Można rozważać funkcje zdaniowe bez
określania zakresu zmiennej.
Podobnie definiujemy W ( x, y ), W ( x, y, z ), K większej (skończonej) liczby zmiennych.
Przy pomocy spójników logicznych ∧ , ∨ , →, ↔, ¬ i nawiasów możemy z danych funkcji
zdaniowych tworzyć nowe (złożone) funkcje zdaniowe.
Kwantyfikatory
1. Kwantyfikator ogólny (duży, uniwersalny)
Symbol: ∀
Znaczenie: zastępuje zwrot „dla każdego”
Zdanie:
∀x A( x )
można odczytać na wiele równoważnych sposobów:
a) Dla każdego x, A( x ) .
b) Dla dowolnego x, A( x )
c) Dla wszystkich x, A( x ) .
d) Wszystkie x mają własność A( x ) .
e) Każdy x spełnia A( x ) .
f) A( x ) dla wszystkich x.
2. Kwantyfikator szczegółowy (mały, egzystencjalny)
Symbol: ∃
Znaczenie: zastępuje zwrot „istnieje”
Zdanie:
∃x A( x )
można odczytać na wiele równoważnych sposobów:
a) Istnieje x takie, że A( x ) .
b) Dla pewnego x mamy A( x ) .
c) Jakieś x spełnia A( x ) .
d) A( x ) dla pewnego x.
–1–
Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 5
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kwantyfikatory ograniczone
1. Kwantyfikator ogólny (duży, uniwersalny)
∀ ( x : A ) B ≡ ∀x ( A → B )
def
Czytamy: Każde x o własności A ma własność B
2. Kwantyfikator szczegółowy (mały, egzystencjalny)
∃( x : A) B ≡ ∃x ( A ∧ B )
def
Czytamy: Istnieje x, które ma własność A i własność B.
Zmienne wolne i związanie
• Zmienną przedmiotową występującą w schemacie kwantyfikatorowym bezpośrednio pod
danym kwantyfikatorem nazywamy zmienną objętą tym kwantyfikatorem.
• Zasięgiem danego kwantyfikatora nazywamy wyrażenie zawarte w nawiasie, otwartym
bezpośrednio po zmiennej objętej kwantyfikatorem.
• Każde wystąpienie zmiennej równokształtnej ze zmienną objętą danym kwantyfikatorem
występujące w zasięgu danego kwantyfikatora i nazywamy związanym przez ten
kwantyfikator.
• Wystąpienie zmiennej, które nie jest związane nazywamy wystąpieniem wolnym.
• Zmienna jest wolna w schemacie kwantyfikatorowym, jeżeli istnieje przynajmniej jedno
wolne wystąpienie tej zmiennej w tym schemacie.
• Schemat kwantyfikatorowy nie zawierający zmiennych wolnych nazywamy zdaniem.
–2–
Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 5
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Niech S będzie niepustym zbiorem, a W funkcją zdaniową, której argumenty mają
zakres S.
• Jeżeli S jest skończony, tzn. S = {x1 , K , x n } , to
oraz
(∃x ) W ( x )
⇔ W (s1 ) ∨ K ∨ W (s n )
(∀x ) W ( x )
⇔ W (s1 ) ∧ K ∧ W (s n )
Stąd kwantyfikator egzystencjalny (uniwersalny) można traktować jako uogólnienie spójnika
alternatywy - ∨ (koniunkcji - ∧ ).
• Zdanie (∃x ) W ( x ) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy {x ∈ S : W ( x )} ≠ ∅ .
• Zdanie (∀x ) W ( x ) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy {x ∈ S : W ( x )} = S .
Definicja. Zdanie rachunku kwantyfikatorów nazywamy tautologią tego rachunku, jeżeli
jest prawdziwe we wszystkich dziedzinach dla dowolnej interpretacji symboli
predykatowych.
Wniosek. Aby pokazać, że zdanie rachunku kwantyfikatorów nie jest tautologią, wystarczy
wskazać dziedzinę i jakąś interpretację symboli predykatowych w tej dziedzinie, dla których
to zdanie jest fałszywe.
Twierdzenie. Jeżeli A jest tautologią rachunku zdań, to podstawiając za zmienne zdaniowe
występujące w A, dowolne formuły rachunku kwantyfikatorów otrzymujemy tautologie
rachunku kwantyfikatorów.
–3–
Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 5
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PRAWA RACHUNKU
KWANTYFIKATORÓW
Prawa rozdzielczości kwantyfikatorów:
(T1)
∀x( A ∧ B ) ↔ ∀xA ∧ ∀xB
(T1′) ∃x( A ∨ B ) ↔ ∃xA ∨ ∃xB
Niepełne prawa rozdzielczości:
(T2)
∀xA ∨ ∀xB → ∀x( A ∨ B)
(T2′) ∃x( A ∧ B) → ∃xA ∧ ∃xB
Prawa przestawiania kwantyfikatorów:
(T3) ∀x∀yA ↔ ∀y∀xA
(T3′) ∃x∃yA ↔ ∃y∃xA
Niepełne prawo przestawiania kwantyfikatorów:
(T4)
∃x∀yA → ∀y∃xA
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów:
(T5 )
(T5′)
¬∀xA ↔ ∃x¬A
¬∃xA ↔ ∀x¬A
Prawa rozdzielania kwantyfikatorów przy implikacji:
(T6)
∀x( A → B ) → (∀xA → ∀xB )
(T6′) ∀x( A → B ) → ( ∃xA → ∃xB)
Prawa ekstensjonalności:
(T7)
(T7′)
∀x( A ↔ B ) → (∀xA ↔ ∀xB )
∀x( A ↔ B ) → ( ∃xA ↔ ∃xB)
–4–
Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 5
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Metoda tablic analitycznych dla KRK
Drzewo dowodowe tworzymy dla formuły (¬A) , stosując reguły dla KRZ:
¬¬A
A
A∧ B
A
B
A→ B
¬A | B
¬( A ∧ B )
¬A | ¬B
A∨ B
A| B
¬( A ∨ B )
¬A
¬B
¬( A → B )
A
¬B
A↔ B
A | ¬A
B | ¬B
¬( A ↔ B )
A | ¬A
¬B | B
∃xA( x )
A(a )
¬∃xA( x )
¬A(t )
oraz reguły specyficzne dla KRK:
∀xA( x )
A(t )
¬∀xA( x )
¬A(a )
gdzie
t – dowolny term stały (bez zmiennych)
a – nowa stała przedmiotowa
–5–
Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 5
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ćwiczenie 5: wiadomości i umiejętności
1. Po ćwiczeniu 5 student powinien znać definicje pojęć podanych w nagłówku ćwiczenia
2. Student powinien posiadać następujące umiejętności:
• zapisywać schematy wyrażeń z użyciem symboli logicznych i kwantyfikatorów
• odczytywać wyrażenia zapisane w języku rachunku kwantyfikatorów
• zastępować, zgodnie z definicją, kwantyfikatory ograniczone zwykłymi
• dowodzić praw rachunku kwantyfikatorów metodą tablic analitycznych
–6–