Logika. Rachunek zbiorów. Rachunek kwantyfikatorów. Własności
Transkrypt
Logika. Rachunek zbiorów. Rachunek kwantyfikatorów. Własności
Logika. Rachunek zbiorów. Rachunek kwantyfikatorów. 1. Określenie zdania w logice. Funktory zdaniowe. Prawa rachunku zdań. 2. Określenie warunku koniecznego i wystarczającego. Reguły wnioskowania. Zasada dowodu nie wprost 3. Definicja sumy, iloczynu, różnicy i dopełnienia zbioru. Zawieranie i równość zbiorów. 4. Uogólnione operacje sumowania i iloczynu mnogościowego. 5. Odpowiedniość praw rachunku zdań i zbiorów. 6. Określenie kwantyfikatora i funkcji zdaniowej. Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów. 7. Dziedzina i wykres funkcji zdaniowej. 8. Funkcja zdaniowa wielu zmiennych. Zmienne wolne i związane. Prawa rachunku kwantyfikatorów. 9. Definicja pary, trójki,...,n-tki uporządkowanej. Definicja i własności iloczynu iloczynu kartezjańskiego. Własności zbiorów 1. Zbiór ograniczony. Zbiór ograniczeń górnych i dolnych zbioru. Definicja minimum i maksimum zbioru. 2. Aksjomat Dedekinda. Definicja kresów zbioru. 3. Definicja otoczenia i sąsiedztwa punktu. 4. Zasada indukcji zupełnej. Przykłady stosowania. 5. Definicja funkcji. Określenie dziedziny, zbioru wartości i wykresu funkcji. 6. Określenie: injekcji, surjekcji i bijekcji. 7. Zbiory przeliczalne, nieprzeliczalne, nieskończone, równoliczne. Przykłady. 8. Moc zbioru. Ciągi liczbowe 1. Definicja ciągu liczbowego. Określenie: prawie wszystkie wyrazy ciągu. 2. Określenia ciągów monotonicznych i ograniczonych. 3. Definicja granicy ciągu. Jednoznaczność granicy. Algebra granic. 4. Związek granicy z kresem zbioru. Definicja punktu skupienia zbioru. 5. Domknięcie zbioru, zbiory domknięte i otwarte. 6. Pojęcie podciągu. 7. Tw. o ciągach monotonicznych i ograniczonych. 8. Twierdzenie o trzech ciągach i twierdzenie o zachowaniu znaku . 9. Tw. o granicy ciągu potęgowo-wykładniczego. 10. Ciągi Cauchy'go. Informacja o konstrukcjach zbioru liczb rzeczywistych. 11. Szkic dowodu o zbieżności ciągu do liczby e . Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej 1. Pojęcie funkcji: monotonicznych, okresowych, parzystych, nieparzystych, ograniczonych, nieograniczonych. 2. Definicja obrazu i przeciwobrazu zbioru. Przykłady. 3. Przypomnienie wiadomości o funkcjach elementarnych. 4. Pojęcie funkcji odwrotnej, składanie (superpozycja) funkcji. 5. Definicja granicy funkcji wg. Heinego i Cauchy'go – właściwa i niewłaściwa, granice jednostronne. WKW istnienia granicy funkcji. 6. Algebra granic. 7. Twierdzenie o granicy funkcji złożonej i odwrotnej. 8. Wyprowadzenie wzoru na granicę funkcji potęgowo-wykładniczej. 9. Definicja ciągłości funkcji - w sensie Heinego i Cauchy'go. WKW ciągłości funkcji. 10. Tw. o ciągłości funkcji odwrotnej i złożonej. 11. Tw. o dwóch i trzech funkcjach. 12. Rodzaje nieciągłości funkcji – przykłady. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 1. 2. 3. 4. 5. Definicja funkcji wypukłej i wklęsłej, punktu przegięcia krzywej - warunki wystarczające. Interpretacja geometryczna i fizyczna pierwszej i drugiej pochodnej . Definicja asymptoty i twierdzenia z nimi związane. Definicja ekstremum funkcji. Warunki konieczne i wystarczające ekstremum dla funkcji jednokrotnie lub dwukrotnie różniczkowalnej. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 1. Definicja całki nieoznaczonej i związek z całką oznaczoną . 2. Obliczanie pola obszaru normalnego (regularnego), długości łuku, objętości i pola powierzchni bryły obrotowej przy pomocy całki oznaczonej. 3. Definicja funkcji górnej granicy całkowania, podstawowe twierdzenia rachunku całkowego, 4. Definicja całek niewłaściwych. Algebra i geometria analityczna 1. Definicja i własności wyznacznika . 2. Działania algebraiczne na macierzach , macierz odwrotna, rząd macierzy i własności, macierze podobne. 3. Okreslenie wartości i wektorów własnych, tw. Cayleya-Hamiltona, metody potęgowania i diagonalizacji macierzy. 4. Definicja i rozwiązania układu Cramera, rozwiązania układu jednorodnego . 5. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. 6. Definicja iloczynu skalarnego, wektorowego, mieszanego-interpretacja i zastosowanie . 7. Równania płaszczyzny, prostej oraz ich wzajemne położenie i odległość. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych 1. Definicja i interpretacja pochodnej cząstkowej pierwszego rzędu. 2. Definicja różniczki rzędu n dwóch zmiennych, wzór Taylora funkcji dwóch zmiennych. Warunki konieczne i wystarczające ekstremum funkcji dwóch zmiennych. 3. Obliczenie pochodnej czastkowej funkcji wielu zmiennych . Rachunek całkowy fukcji wielu zmiennych 1. 2. 3. 4. Własności całek Twierdzenia o podwójnej i potrójnej całce iterowanej, zamiana zmiennych. Interpretacja geometryczna i fizyczna całek wielokrotnych. Obliczenie prostych całek podwójnych i potrójnych. Literatura do wykładu: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Matematyka cz.I Analiza matematyczna, W.Żakowski, G.Decewicz Matematyka cz.II , W.Żakowski, W.Kołodziej Matematyka cz.III , T.Trajdos Zarys matematyki wyższej cz I i II, R.Leitner Analiza matematyczna 1 Definicje, twierdzenia, wzory. M.Gewert, Z.Skoczylas Analiza matematyczna 2 Definicje, twierdzenia, wzory. M.Gewert, Z.Skoczylas Zbiory zadań: 1. 2. 3. 4. Zdania z matematyki wyzszej cz I , R.Leitner,W.Matuszewski, Z.Rojek Zbiór zadań z analizy matematycznej, J.Banas, S.Wędrychowicz Analiza matematyczna w zdaniach cz. I i II, W.krysicki, L.Włodarski Zadana z matematyki dla wyższych uczelni technicznych cz. I i II, W.Stankiewicz Poz. 1i 2 dotyczy głównie: logiki, rachunku zbiorów, rachunku kwantyfikatorów i własności zbiorów.