Logika. Rachunek zbiorów. Rachunek kwantyfikatorów. Własności

Logika. Rachunek zbiorów. Rachunek kwantyfikatorów.
1. Określenie zdania w logice. Funktory zdaniowe. Prawa rachunku zdań.
2. Określenie warunku koniecznego i wystarczającego. Reguły wnioskowania. Zasada dowodu
nie wprost
3. Definicja sumy, iloczynu, różnicy i dopełnienia zbioru. Zawieranie i równość zbiorów.
4. Uogólnione operacje sumowania i iloczynu mnogościowego.
5. Odpowiedniość praw rachunku zdań i zbiorów.
6. Określenie kwantyfikatora i funkcji zdaniowej. Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów.
7. Dziedzina i wykres funkcji zdaniowej.
8. Funkcja zdaniowa wielu zmiennych. Zmienne wolne i związane. Prawa rachunku
kwantyfikatorów.
9. Definicja pary, trójki,...,n-tki uporządkowanej. Definicja i własności iloczynu iloczynu
kartezjańskiego.
Własności zbiorów
1. Zbiór ograniczony. Zbiór ograniczeń górnych i dolnych zbioru. Definicja minimum i
maksimum zbioru.
2. Aksjomat Dedekinda. Definicja kresów zbioru.
3. Definicja otoczenia i sąsiedztwa punktu.
4. Zasada indukcji zupełnej. Przykłady stosowania.
5. Definicja funkcji. Określenie dziedziny, zbioru wartości i wykresu funkcji.
6. Określenie: injekcji, surjekcji i bijekcji.
7. Zbiory przeliczalne, nieprzeliczalne, nieskończone, równoliczne. Przykłady.
8. Moc zbioru.
Ciągi liczbowe
1. Definicja ciągu liczbowego. Określenie: prawie wszystkie wyrazy ciągu.
2. Określenia ciągów monotonicznych i ograniczonych.
3. Definicja granicy ciągu. Jednoznaczność granicy. Algebra granic.
4. Związek granicy z kresem zbioru. Definicja punktu skupienia zbioru.
5. Domknięcie zbioru, zbiory domknięte i otwarte.
6. Pojęcie podciągu.
7. Tw. o ciągach monotonicznych i ograniczonych.
8. Twierdzenie o trzech ciągach i twierdzenie o zachowaniu znaku .
9. Tw. o granicy ciągu potęgowo-wykładniczego.
10. Ciągi Cauchy'go. Informacja o konstrukcjach zbioru liczb rzeczywistych.
11. Szkic dowodu o zbieżności ciągu do liczby e .
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej
1. Pojęcie funkcji: monotonicznych, okresowych, parzystych, nieparzystych, ograniczonych,
nieograniczonych.
2. Definicja obrazu i przeciwobrazu zbioru. Przykłady.
3. Przypomnienie wiadomości o funkcjach elementarnych.
4. Pojęcie funkcji odwrotnej, składanie (superpozycja) funkcji.
5. Definicja granicy funkcji wg. Heinego i Cauchy'go – właściwa i niewłaściwa, granice
jednostronne. WKW istnienia granicy funkcji.
6. Algebra granic.
7. Twierdzenie o granicy funkcji złożonej i odwrotnej.
8. Wyprowadzenie wzoru na granicę funkcji potęgowo-wykładniczej.
9. Definicja ciągłości funkcji - w sensie Heinego i Cauchy'go. WKW ciągłości funkcji.
10. Tw. o ciągłości funkcji odwrotnej i złożonej.
11. Tw. o dwóch i trzech funkcjach.
12. Rodzaje nieciągłości funkcji – przykłady.
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
1.
2.
3.
4.
5.
Definicja funkcji wypukłej i wklęsłej, punktu przegięcia krzywej - warunki wystarczające.
Interpretacja geometryczna i fizyczna pierwszej i drugiej pochodnej .
Definicja asymptoty i twierdzenia z nimi związane.
Definicja ekstremum funkcji.
Warunki konieczne i wystarczające ekstremum dla funkcji jednokrotnie lub dwukrotnie
różniczkowalnej.
Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej
1. Definicja całki nieoznaczonej i związek z całką oznaczoną .
2. Obliczanie pola obszaru normalnego (regularnego), długości łuku, objętości i pola
powierzchni bryły obrotowej przy pomocy całki oznaczonej.
3. Definicja funkcji górnej granicy całkowania, podstawowe twierdzenia rachunku całkowego,
4. Definicja całek niewłaściwych.
Algebra i geometria analityczna
1. Definicja i własności wyznacznika .
2. Działania algebraiczne na macierzach , macierz odwrotna, rząd macierzy i własności,
macierze podobne.
3. Okreslenie wartości i wektorów własnych, tw. Cayleya-Hamiltona, metody potęgowania i
diagonalizacji macierzy.
4. Definicja i rozwiązania układu Cramera, rozwiązania układu jednorodnego .
5. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
6. Definicja iloczynu skalarnego, wektorowego, mieszanego-interpretacja i zastosowanie .
7. Równania płaszczyzny, prostej oraz ich wzajemne położenie i odległość.
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
1. Definicja i interpretacja pochodnej cząstkowej pierwszego rzędu.
2. Definicja różniczki rzędu n dwóch zmiennych, wzór Taylora funkcji dwóch zmiennych.
Warunki konieczne i wystarczające ekstremum funkcji dwóch zmiennych.
3. Obliczenie pochodnej czastkowej funkcji wielu zmiennych .
Rachunek całkowy fukcji wielu zmiennych
1.
2.
3.
4.
Własności całek
Twierdzenia o podwójnej i potrójnej całce iterowanej, zamiana zmiennych.
Interpretacja geometryczna i fizyczna całek wielokrotnych.
Obliczenie prostych całek podwójnych i potrójnych.
Literatura do wykładu:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Matematyka cz.I Analiza matematyczna, W.Żakowski, G.Decewicz
Matematyka cz.II , W.Żakowski, W.Kołodziej
Matematyka cz.III , T.Trajdos
Zarys matematyki wyższej cz I i II, R.Leitner
Analiza matematyczna 1 Definicje, twierdzenia, wzory. M.Gewert, Z.Skoczylas
Analiza matematyczna 2 Definicje, twierdzenia, wzory. M.Gewert, Z.Skoczylas
Zbiory zadań:
1.
2.
3.
4.
Zdania z matematyki wyzszej cz I , R.Leitner,W.Matuszewski, Z.Rojek
Zbiór zadań z analizy matematycznej, J.Banas, S.Wędrychowicz
Analiza matematyczna w zdaniach cz. I i II, W.krysicki, L.Włodarski
Zadana z matematyki dla wyższych uczelni technicznych cz. I i II, W.Stankiewicz
Poz. 1i 2 dotyczy głównie: logiki, rachunku zbiorów, rachunku kwantyfikatorów i własności
zbiorów.