Algebra współczesna i jej zastosowania

Nazwa przedmiotu:
Algebra współczesna i jej zastosowania
Modern algebra and its applications
Kierunek:
Kod przedmiotu:
Matematyka
Rodzaj przedmiotu:
Poziom przedmiotu:
przedmiot obowiązkowy dla
wszystkich specjalności
II stopnia
Rodzaj zajęć:
Liczba godzin/tydzień:
wykład, ćwiczenia
2WE, 3C
Semestr: I
Liczba punktów:
7 ECTS
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
I KARTA PRZEDMIOTU
CEL PRZEDMIOTU
C1. Zapoznanie studentów z wybranymi zagadnieniami algebry współczesnej i jej
zastosowaniami; omówienie formalnych i aksjomatycznych podstaw teorii algebr
skończenie wymiarowych, grup, pierścieni oraz ciał.
C2. Zapoznanie studentów z wybranymi zagadnieniami teorii macierzy oraz ich zastosowaniami
do rozwiązań równań macierzowych.
C3. Zapoznanie studentów z przykładami zastosowań omawianych teorii.
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
Podstawowa wiedza z zakresu algebry liniowej i algebry abstrakcyjnej.
EFEKTY KSZTAŁCENIA
EK1 – Posiada wiedzę teoretyczną na temat podstaw teorii algebr skończenie wymiarowych,
grup, pierścieni oraz ciał; potrafi formułować najważniejsze twierdzenia tych teorii oraz je
dowodzić. Potrafi stosować metody algebraiczne do rozwiązania zadań.
EK2 - Potrafi doprowadzać macierzy do postaci kanonicznych, potrafi rozwiązywać niektóre
równania macierzowe z jedną niewiadomą macierzą oraz z dwiema niewiadomymi
macierzami.
EK3 – Posiada wiedzę na temat zastosowań omawianych teorii algebraicznych.
TREŚCI PROGRAMOWE
Forma zajęć – WYKŁADY
W 1 – Algebry skończenie wymiarowe. Liczby hiperzespolone. Konstrukcja Cayley’aDicksona skończenie wymiarowych algebr z dzieleniem.
W 2,3 – Algebra kwaternionów, algebra oktonionów Cayley’a i ich własności.
Liczba
godzin
2
4
Twierdzenie Frobeniusa. Twierdzenie Hurwitza. Zastosowanie kwaternionów w grafice
komputerowej. Obroty w przestrzeni 3-wymiarowej.
W 4 – Iloczyn prosty grup i pierścieni. Ideały pierścieni. Pierścienie ideałów głównych.
Chińskie twierdzenie o resztach.
W 5 – Pierścienie Noetherowskie. Twierdzenie Hilberta o bazie.
W 6,7 – Wielomiany wielu zmiennych. Baza Gröbnera oraz algorytm Buchberger’a.
W 8 – Macierze blokowe i działania na nich. Iloczyn Kroneckera macierzy i jego
zastosowanie. Różniczkowanie macierzy. Całkowanie macierzy.
W 9 -Macierze wielomianowe i działania na nich.
W 10,11 – Sprowadzanie macierzy do postaci kanonicznych. Postać kanoniczna Jordana
macierzy.
W 12 – Zastosowanie macierzy Jordana do rozwiązania układów równań różniczkowych.
W 13,14 – Macierzowe równania algebraiczne. Wyznaczenie rozwiązań niektórych
macierzowych równań algebraicznych z jedną niewiadomą macierzą.
W 15 – Wyznaczenie rozwiązań niektórych macierzowych równań algebraicznych z
dwiema niewiadomymi macierzami
Forma zajęć – ĆWICZENIA
Ć 1 – Algebry skończenie wymiarowe. Konstrukcja Cayleya-Dicksona algebr z dzieleniem.
Ć 2 – Kwaterniony, oktoniony i działania na nich.
Ć 3 –Wektorowa cześć kwaternionów. Zastosowanie kwaternionów w grafice
komputerowej. Obroty w przestrzeni 3-wymiarowej.
Ć 4 – Ideały pierścieni. Pierścienie ideałów głównych. Chińskie twierdzenie o resztach.
Rozwiązanie układów kongruencji.
Ć 5,6 – Wielomiany wielu zmiennych. Baza Gröbnera oraz algorytm Buchberger’a.
Ć 7 – Kolokwium 1
Ć 8 – Macierze blokowe i działania na nich. Iloczyn Kroneckera macierzy i jego
zastosowanie. Różniczkowanie macierzy. Całkowanie macierzy.
Ć 9 - Macierze wielomianowe i działania na nich.
Ć 10,11 – Sprowadzanie macierzy liczbowych do postaci kanonicznych. Postać kanoniczna
Jordana macierzy.
Ć 12 – Zastosowanie macierzy Jordana do rozwiązania układów równań różniczkowych.
Ć 13, 14 – Wyznaczenie rozwiązań niektórych macierzowych równań algebraicznych z
jedną niewiadomą macierzą oraz z dwiema niewiadomymi macierzami.
Ć 15 – Kolokwium 2
2
2
4
2
2
4
2
4
2
Liczba
godzin
3
3
6
3
6
3
3
6
3
6
3
NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE
1. – wykład z wykorzystaniem prezentacji multimedialnych
2. – zestawy zadań do samodzielnego rozwiązania
3. – ćwiczenia tablicowe
SPOSOBY OCENY ( F – FORMUJĄCA, P – PODSUMOWUJĄCA)
F1. – ocena samodzielnego przygotowania do ćwiczeń
F2. – ocena aktywności studenta podczas zajęć
P1. – ocena umiejętności rozwiązywania postawionych problemów oraz sposobu prezentacji
uzyskanych wyników – dwa kolokwia zaliczeniowe na ocenę
P2. – ocena opanowania materiału nauczania będącego przedmiotem wykładu – egzamin pisemny z
zadań i teorii
OBCIĄŻENIE PRACĄ STUDENTA
Forma aktywności
Średnia liczba godzin na
zrealizowanie aktywności
30W 45 C → 75 h
Godziny kontaktowe z prowadzącymi
Zapoznanie się ze wskazaną literaturą
10 h
Przygotowanie do ćwiczeń
27 h
Przygotowanie do kolokwiów
25 h
Konsultacje
5h
Przygotowanie do egzaminu
30 h
Egzamin
3h
Suma
∑
SUMARYCZNA LICZBA PUNKTÓW ECTS DLA PRZEDMIOTU
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje na zajęciach
wymagających bezpośredniego udziału prowadzącego
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o
charakterze praktycznym, w tym zajęć laboratoryjnych i
projektowych
175 h
7 ECTS
3,3 ECTS
5,3 ECTS
LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA
1. A. Białyński-Birula, Algebra, PWN, Warszawa, 2009
2. B. Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2002
3. W. J. Gilbert, W. K. Nicholson, Algebra współczesna z zastosowaniami, WNT, Warszawa,
2008
4. A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry, t.I, III, PWN , Warszawa 2005
5. C. Bagiński, Wstęp do teorii grup, Warszawa, 2002
6. M.Ch. Klin, R. Poeschel, K. Rosenbaum, Algebra stosowana dla matematyków i
informatyków, WNT, Warszawa, 1992.
7. I.L. Kantor, A.S. Solodovnikov, Hypercomplex Numbers. An elementary introduction to
algebras. Springer-Verlag, 1989.
8. J.H. Conway, D.A. Smith, On quaternions and Octanions: Their Geometry, Arithmetic and
Symmetry, A K Peters, Ltd. 2003
9. D. Joyner, R. Kreminiski, J. Turisco, Applied abstract algebra, John Hopkins University Press,
Baltimore and London, 2004.
PROWADZĄCY PRZEDMIOT ( IMIĘ, NAZWISKO, ADRES E-MAIL)
1. Dr hab., prof. PCz, Nadiya Gubareni, [email protected]
Efekt
kształcenia
Odniesienie
danego efektu
Cele
przedmiotu
Treści
programowe
Narzędzia
dydaktyczne
Sposób
oceny
EK1
EK2
EK3
do efektów
zdefiniowanych
dla całego
programu (PEK)
K_W03
K_W05
K_U14
K_K01
K_U10
K_U13
K_U10
K_U15
C1, C2
C1,C2
C1,C3
W1-15
Ć1-15
W8-15
Ć8-15
W2, 3, 4,
6,7,12-15
Ć3-7, 10-11
1-3
F1,F2
P1,P2
1-3
F1, F2
P1,P2
1-3
F1, F2
P1,P2
II. FORMY OCENY - SZCZEGÓŁY
Na
ocenę 2
Na ocenę 3
Efekt Student Zna aksjomaty, definicje i
1
umie
twierdzeń podane na
mniej
wykładzie. Ma kłopoty z
niż na
ich poprawnym
ocenę formalnym zapisem.
dst
Potrafi jednak wyjaśnić
ich znaczenia. W oparciu
o notatki potrafi także
dowieść większości
twierdzeń
Efekt Student Student potrafi
2
umie
doprowadzić niektóre
mniej
macierzy do postaci
niż na
kanonicznych, zna
ocenę większość definicji i
dst
twierdzeń podanych na
wykładach, ale nie
potrafi poprawnie
zastosować wszystkich
poznanych metod do
rozwiązania równań
macierzowych
algebraicznych.
Na ocenę 4
Zna większość
aksjomatów, definicji i
twierdzeń podanych na
wykładzie. Każde
twierdzenie potrafi
właściwie sformułować
oraz udowodnić,
ewentualnie z niewielką
pomocą.
Na ocenę 5
Zna wszystkie
aksjomaty, definicje i
twierdzenia podane na
wykładzie. Każde
twierdzenie potrafi
właściwie sformułować
i udowodnić. Potrafi
wyciągać prawidłowe
wnioski, co wyraża się w
tym, że potrafi także
dowieść szereg
prostych faktów łatwo
wynikających z
podanych twierdzeń i
definicji .
Student potrafi
Student potrafi
doprowadzić większość doprowadzić większość
macierzy do postaci
macierzy do postaci
kanonicznych, zna
kanonicznych, zna
definicji i twierdzeń
definicje i twierdzenia
podanych na wykładach i podane na wykładach i
zwykle potrafi
potrafi poprawnie
poprawnie zastosować zastosować wszystkie
wszystkich poznanych
poznane metody do
metod algebraicznych do rozwiązania równań
rozwiązania równań
macierzowych
macierzowych
algebraicznych oraz
algebraicznych,
potrafi uzasadnić
ewentualnie z niewielką celowość stosowania
pomocą.
poznanych metod oraz
potrafi wskazać
modyfikacje tych
metod.
Efekt
3
Student
umie mniej
niż na
ocenę dst
Student potrafi podać
przykłady zastosowań
algeby skończenie
wymiarowych, grup,
pierścieni i ciał. W
typowych problemach
praktycznych zwykle
potrafi dokonać
wszelkich niezbędnych
operacji (obliczeń)
potrzebnych do
otrzymania rozwiązania.
Nie zawsze potrafi
dokonać wszelkich
niezbędnych operacji
(obliczeń) potrzebnych
do otrzymania
rozwiązania. Potrafi
jednak korzystać z
notatek i literatury w
celu wyjaśnienia
wątpliwości związanych z
uzyskaniem rozwiązania
lub jego interpretacją.
Student potrafi dla
większości rozważanych
praktycznych
zastosowań wskazać
teoretyczne koncepcje
rozwiązań. W typowych
problemach
praktycznych potrafi
dokonać wszelkich
niezbędnych operacji
(obliczeń) potrzebnych
do otrzymania
rozwiązania. Potrafi w
typowych problemach
praktycznych wskazać
założenia przy których
daną metodą można
uzyskać rozwiązanie
problemu.
Student potrafi
formułować przykłady
zastosowań
algebraicznych metod w
zakresie informatyki
poznanych na
wykładach i
ćwiczeniach. Dla
każdego rozważanego
przykładu potrafi
wskazać teoretyczne
koncepcje rozwiązań. W
problemach
praktycznych potrafi
dokonać wszelkich
niezbędnych operacji
(obliczeń) potrzebnych
do otrzymania
rozwiązania. Potrafi w
problemach
praktycznych wskazać
założenia przy których
daną metodą można
uzyskać rozwiązanie
problemu.
III. INNE PRZYDATNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE
1. Wszelkie informacje dla studentów na temat planu zajęć dostępne są na stronie
internetowej:
www.wimii.pcz.pl
2. Informacja na temat konsultacji przekazywana jest studentom podczas pierwszych zajęć z
danego
przedmiotu oraz umieszczona jest na stronie internetowej Instytutu Matematyki:
www.im.pcz.pl