2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne

2
Podstawowe obiekty kombinatoryczne
Oznaczenia: N = {0, 1, 2, . . . } zbiór liczb naturalnych.
Dla n ∈ N przyjmujemy [n] = {1, 2, . . . , n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem
pustym.
Je±li A jest zbiorem sko«czonym, to ilo±¢ elementów w A oznaczamy symbolem
|A| lub #A; tego drugiego symbolu u»ywamy zwªaszcza wtedy, gdy zbiór jest
zadany przez list¦ swoich elementów.
2.1
Niech A b¦dzie zbiorem sko«czonym. Ci¡g nelementowy o warto±ciach w
A zapisywany w postaci (a1 , a2 , . . . , an ), gdzie ai ∈ A, jest funkcj¡ a : [n] −→ A
przy czym a(i) = ai dla i = 1, 2, . . . , n. St¡d w odniesieniu do ci¡gów mo»na
u»ywa¢ tych samych terminów, których u»ywamy w odniesieniu do funkcji. Proste rozumowanie indukcyjne pokazuje, »e wszystkich ci¡gów nelementowych o
warto±ciach w zbiorze k elementowym jest k n .
Denicja. Permutacj¡ zbioru nelementowego A nazywamy ka»dy ró»nowarto±ciowy ci¡g nelememntowy o warto±ciach w A. Zbiór wszystkich permutacji
zbioru A oznaczamy symbolem PA .
Stwierdzenie. Je±li A jest zbiorem nelementowym, to ilo±¢ wszystkich permutacji A jest równa n!.
Dowód.
Niech pn oznacza ilo±¢ permutacji zbioru n-elementowego. Stosujemy
indukcj¦ wzgl¦dem n. Oczywi±cie p1 = 1 = 1!. Niech teraz A b¦dzie zbiorem o
n > 1 elementach i zaªó»my prawdziwo±¢ twierdzenia dla wszystkich zbiorów o
n − 1 elementach. Niech (a1 , a2 , . . . , an ) b¦dzie permutacj¡ zbioru A. Wówczas
(a1 , a2 , . . . , an−1 ) jest permutacj¡ zbioru A \ {an }. Odwrotnie, je±li b ∈ A i
(a1 , a2 , . . . , an−1 ) jest permutacj¡ zbioru A \ {b}, to (a1 , a2 , . . . , an−1 , b) jest
permutacj¡ zbioru A. St¡d pn = n · pn−1 i na mocy zaªo»enia indukcyjnego
pn = n · (n − 1)! = n!.
2.2 Uwagi na temat silni.
Zatrzymajmy si¦ na chwil¦ nad wyst¦puj¡c¡ w
poprzednim twierdzeniu funkcj¡ silni. Warto±ci tej funkcji dla maªych n podaje
nast¦pj¡ca tabela.
n 0
n! 1
1
1
2
2
3
6
4
5
24 120
6
720
7
8
9
10
5 040 40 320 362 880 3 628 800
...
...
Ze wzgl¦dów praktycznych warto zapami¦ta¢ ostatni¡ z podanych warto±ci, a
przynajmniej pami¦ta¢, »e 10! to troch¦ wi¦cej ni» 3 i póª miliona. Z tabeli
wida¢, »e funkcja silni ro±nie bardzo szybko (co zreszt¡ znalazªo odbicie w jej
polskiej nazwie). Jak szybko? Zazwyczaj zadawalaj¡c¡ odpowied¹ daje nast¦puj¡ce stwierdzenie.
Stwierdzenie. Dla wszystkich n naturalnych zachodzi
nn
nn+1
≤
n!
≤
.
en−1
en−1
1
Punktem wyj±cia jest nast¦puj¡ca, ªatwa do udowodnienia nierówno±¢:
dla wszystkich x ∈ R zachodzi
Dowód.
1 + x ≤ ex .
Przyjmuj¡c x =
1
k
i podnosz¡c obie strony do k -tej pot¦gi, otrzymujemy
Mo»emy teraz oszacowa¢ iloraz
nn
n!
k+1
k
nn
n!
k
≤ e.
w sposób nast¦puj¡cy
n−1
(n − 1)n−2
nn−1
n
·
=
=
=
(n − 1)!
n−1
(n − 2)!
n−1 n−2
n−1
(n − 2)n−3
n
·
·
=
= ··· =
n−1
n−2
(n − 3)!
n−1 n−2
2 n
n−1
3
2
·
· ··· ·
·
=
≤ en−1 ,
n−1
n−2
2
1
co daje lew¡ nierówno±¢ zapisan¡ w tezie stwierdzenia. Analogicznie dla x =
1
− k+1
otrzymujemy
k+1
k
≤ e−1
k+1
i mo»emy oszacowa¢
n!
nn+1
=
=
=
n
(n − 1)!
n−1
(n − 2)!
=
·
=
n
n
n
(n − 1)n−1
n n−1
n−1
n−2
(n − 3)!
= ··· =
·
·
n
n−1
(n − 2)n−2
n n−1
3 2
n−1
n−2
2
1
·
· ··· ·
·
≤ e−(n−1) ,
n
n−1
3
2
co daje drug¡ nierówno±¢.
Z powy»szego stwierdzenia wynika, »e n! jest iloczynem (n/e)n przemono»onym przez pewien czynnik zawarty pomi¦dzy e i en. Okazuje si¦, »e obserwacj¦
t¦ mo»na u±ci±li¢.
√
Twierdzenie. (Stirling) n! ∼ 2πn ne n .
2.3 Denicja. Kombinacj¡ kelementow¡ zbioru A nazywamy kelementowy
podzbiór A. Symbolem Cn,k b¦dziemy oznacza¢ zbiór wszystkich kombinacji k
elementowych zbioru [n].
Stwierdzenie. Zbiór Cn,k jest niepusty wtedy i tylko wtedy, gdy 0 ≤ k ≤ n.
n!
.
Je±li ta nierówno±¢ zachodzi, to |Cn,k | = k!(n−k)!
2
Dowód.
Deniujemy funcj¦ okre±lon¡ na P[n] o warto±ciach w Cn,k w sposób
nast¦puj¡cy:
(a1 , a2 , . . . , an ) 7→ {a1 , a2 , . . . , ak }.
Przeciwobraz ka»dego zbioru A ∈ Ck,n skªada si¦ z tych ci¡gów (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈
P[n] , dla których podci¡g (b1 , b2 , . . . , bk ) jest permutacj¡ zbioru A, a podci¡g
(bk+1 , bk+2 , . . . , bn ) jest permutacj¡ zbioru [n] \ A.
2.4
n!
Wyra»enie k!(n−k)!
nazywa si¦ wspóªczynnikiem dwumianowyn Newtona
i oznacza symbolem nk . W dalszym ci¡gu b¦dzie wygodniej rozszerzy¢ nieco
denicj¦.
Denicja. Niech n b¦dzie liczb¡ naturaln¡. Dla liczby caªkowitej k deniujemy
symbol Newtona n nad k w sposób nast¦puj¡cy
n!
n
gdy 0 ≤ k ≤ n;
(n−k)!k! ,
=
k
0
w przeciwnym przypadku.
2.5 Wzór dwumianowy Newtona
Dla dowolnej liczby naturalnej n
n
(x + y) =
n X
n
k=0
Dowód.
k
xk y n−k .
Rozwijaj¡c lew¡ stron¦, mamy
(x + y)n = (x + y)(x + y) · · · · · (x + y) .
|
{z
}
n razy
Wymna»aj¡c powy»sze dwumiany, z ka»dego z n nawiasów wybieramy czynnik
x lub y . Wspóªczynnik przy xk y n−k jest równy ilo±ci sposobów wybrania k
czynników x spo±ród n dwumianów.
Uwaga.
Wzór dwumianowy obowi¡zuje nie tylko wtedy, gdy x i y s¡ liczbami
rzeczywistymi czy zespolonymi. Z dowodu wynika, »e obowi¡zuje w ka»dym
systemie z przemiennymi i ª¡cznymi dziaªaniami + i ×, w którym obowi¡zuje
rozdzielno±¢ dodawania wzgl¦dem mno»enia, a wi¦c na przykªad dla wielomianów, w ciaªach sko«czonych, w pier±cieniach reszt itp.
2.6
Dokonuj¡c cz¦±ciowego skrócenia, mo»emy zapisa¢
x
(x − k + 1) · · · · · (x − 1)x
=
,
k
k!
co pozwala zdeniowa¢ symbol dwumianowy dla dowowolnej liczby naturalnej
k i dowolnej liczby rzeczywistej x.
Zauwa»my, »e
3
(1) przy ustalonej liczbie k wyra»enie xk jest wielomianem stopnia k od x;
(2) dla k > 0, liczby 0, 1, . . . , k − 1 s¡ pierwiastkami wielomianu xk , s¡ to jego
jedyne pierwiastki.
2.7 Rekurencja dla symboli dwumianowych.
Twierdzenie. (a) Dla dowolnych liczb naturalnych n ≥ k > 0 zachodzi
n
n−1
n−1
+
.
=
k
k
k−1
(b) Dla ka»dej liczby naturalnej k > 0 zachodzi
x
x−1
x−1
=
+
.
k
k
k−1
Dowód.
(a) Niech A b¦dzie k elemnetowym pozbiorem [n]. Je±li n 6∈ A,
to A jest podzbiorem [n − 1]. W przeciwnym przypadku A \ {n} jest (k − 1)
elementowym podzbiorem [n−1]. Otrzymujemy w ten sposób wzajemnie jednoznaczn¡ odpowiednio±¢ pomi¦dzy Cn,k oraz rozª¡czn¡ sum¡ Cn−1,k i Cn−1,k−1 .
(b) Na mocy (2.6) obie strony równo±ci s¡ dla ustalonego k wielomianami stopnia
k , a na mocy punktu (a) wielomiany te przyjmuj¡ równe warto±ci dla niesko«czenie wielu warto±ci x. St¡d s¡ równe.
2.8 Uwaga.
Wªasno±¢ rekurencyjna wraz z warunkami pocz¡tkowymi n0 =
1 dla wszystkich n, k0 = 0 dla wszyskich k > 0 pozwala wyliczy¢ nk dla
wszystkich n, k ∈ N (trójk¡t Pascala).
2.9
Symbole wielomianowe Newtona
O k elemtowym podzbiorze B zbioru nelementowego A mo»emy my±le¢ jako o
podziale zbioru A na dwie cz¦±ci: k elementow¡ cz¦±¢ B i (n − k)elementow¡
A \ B . Uogólnienie tego punkt widzenia prowadzi do uogólnienia symboli dwumianowych.
Denicja. Niech (k1 , k2 , . . . , kr ) b¦dzie ci¡giem liczb naturalnych z sum¡ n.
Rozkªadem zbioru n elementowego A na bloki dªugo±ci (k1 , k2 , . . . , kr ) nazywamy ciag (A1 , A2 , . . . , Ar ) podzbiorów A taki, »e
(1) |Ai | = ki dla i = 1, 2, . . . , r;
(2) Ai ∩ Aj 6= ∅ dla i 6= j ;
(3) A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ar = A.
Twierdzenie. Niech k1 + k2 + · · · + kr = n. Wszystkich rozkªadów zbioru
nelementowego na bloki dªugo±ci (k1 , k2 , . . . , kr ) jest
n!
n
ozn.
=
.
k1 ! · k2 ! · · · · · kr !
k1 , k2 , . . . , kr
Twierdzenie.
Dla ka»dego ci¡gu (k1 , k2 , . . . , kr ), gdzie k1 + k2 + · · · + kr = n
i ki > 0, zachodzi wzór rekurencyjny
X
r n
n−1
=
.
k1 , k2 , . . . , kr
k1 , . . . , ki − 1, . . . , kr
i=1
4
Twierdzenie. Wzór wielomianowy Newtona
(x1 + x2 + · · · + xr )n =
X
k1 +k2 +···+kr =n
n
xk1 xk2 . . . xkr r .
k1 , k2 , . . . , kr 1 2
Dowody tych twierdze« s¡ analogiczne do dowodów w przypadku r = 2.
5