1. Podstawy rachunku wektorowego

1. Podstawy rachunku wektorowego
Wektor
Wektor jest wielkością zdefiniowaną przez długość (moduł), kierunek działania oraz zwrot. Dwa
wektory o tym samym module, kierunku i zwrocie są sobie równe. Wektor przesunięty równolegle w
przestrzeni pozostaje tym samym wektorem. Przykładem wielkości wektorowej jest prędkość,
przyspieszenie, siła, moment siły, pęd, moment pędu.
Dodawanie i odejmowanie wektorów



Aby graficznie dodać dwa wektory A i B , przesuwamy równolegle jeden z nich, np. wektor B



tak, by jego początek pokrył się z końcem drugiego wektora (wektora A ). Sumę wektorów A i B


tworzy wektor łączący początek wektora A z końcem przesuniętego wektora B . Procedurę tą
możemy stosować do większej liczby wektorów, a kolejność ich równoległego przemieszczania jest
dowolna. Aby graficznie odjąć dwa wektory możemy wykorzystać procedurę graficznego dodawania
zastępując wektor odejmowany wektorem przeciwnie do niego zorientowanym (Rys. 1.1.).

A

A

B
 
A B
 
A B

B

A

B
 
B A

A

B
 
B A

B

A
Rys. 1.1. Graficzne dodawanie i odejmowanie wektorów
Rozkład wektora na składowe
y

Ay

j

i

A

Ax
x
Rys. 1.2. Rozkład wektora na składowe w układzie współrzędnych prostokątnych
Dowolny wektor możemy zapisać w postaci sumy jego rzutów na osie układu współrzędnych:


 



A  Ax  Ay  Ax i  Ay j  Ax
Ay ,
(1.1)
 
gdzie i , j są jednostkowymi wektorami (wersorami) o kierunkach i zwrotach pokrywających się z
kierunkami i zwrotami osi x, y (Rys. 1.2.). W układzie trójwymiarowym wyrażenie (1.1) przyjmuje
postać:

 




A  Ax  Ay  Az  Ax i  Ay j  Az k  Ax

Ay

Az ,
(1.2)

gdzie k jest wersorem osi z .
Wektory rozłożone na składowe dodajemy lub odejmujemy dodając lub odejmując ich
odpowiednie składowe:


A  Ax
Ay


Az ,
 
A  B  Ax  Bx


B  Bx
Ay  B y
Bz ,

(1.3)
Az  Bz .

(1.4)
By
Iloczyn skalarny dwóch wektorów
 
Iloczynem skalarnym wektorów A i B jest skalar określony przez wyrażenie:
 
A  B  AB cos ,
(1.5)

A  A  Ax2  Ay2  Az2 ,
(1.6)

B  B  B x2  B y2  B z2
(1.7)
gdzie


są długościami wektorów A i B zorientowanych względem siebie pod kątem  (Rys. 1.3.). Iloczyn
 
skalarny można również obliczyć sumując iloczyny odpowiednich składowych wektorów A i B :
 
A  B  Ax Bx  Ay B y  Az Bz .
(1.8)
Przykładem iloczynu skalarnego jest praca mechaniczna, zdefiniowana jako iloczyn skalarny siły


F i przesunięcia s :
 
L  F  s  Fs cos .
(1.9)
Powyższa relacja jest poprawna przy założeniu, że w każdym punkcie drogi wektor siły ma tą samą
długość i jest zorientowany względem przesunięcia pod tym samym kątem. W ogólnym przypadku

pracę, którą wykonuje pole siłowe F przemieszczając punkt wzdłuż dowolnej trajektorii z punktu
P0 ( x0 , y0 , z 0 ) do punktu P( x, y, z ) określa wyrażenie:
LP0  P 

y
z
  x
F  ds  Fx dx  Fy dy  Fz dz .

P0  P

x0

y0
(1.10)
z0
  
C  A B

B


B


A
(a)

A
(b)
Rys. 1.3. Ilustracja do definicji iloczynu skalarnego (a) i wektorowego (b)
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów
 
Iloczynem wektorowym dwóch wektorów A i B nazywamy wektor
  
C  A B ,
(1.11)
C  AB sin 
(1.12)
o długości

i orientacji wyznaczonej przez prostą prostopadłą do płaszczyzny, w której leżą wektory A i


Zwrot wektora C wyznacza reguła śruby prawej (Rys.1.3.). Iloczyn wektorowy wektorów A i
można także przedstawić w równoważnej postaci:

i
 
A  B  Ax
Bx

j
Ay
By

k
Az  Ay Bz  Az By
Bz

Az Bx  Ax Bz

Ax By  Ay Bx .

B.

B
(1.13)
W odróżnieniu od iloczynu skalarnego, iloczyn wektorowy nie jest przemienny:
 
 
A  B  B  A .
(1.14)


Przykładem iloczynu wektorowego jest moment siły M i moment pędu L zdefiniowany, jako


iloczyn wektorowy wektora położenia (ramienia) r oraz odpowiednio wektora siły F i wektora pędu

p:
  
M  r F ,
(1.15)
  
Lrp.
(1.16)
Powyższe definicje określają momenty obydwu

wyznaczonego przez początek wektora r .
wielkości
fizycznych
względem punktu
Przykłady


Przykład 1.1. Dane są dwa wektory: A  1 2 i B  2 1.
a) Znaleźć sumę i różnicę obydwu wektorów metodą graficzną. Obliczyć iloczyn skalarny i
wektorowy tych wektorów posługując się definicjami obydwu iloczynów ujętymi odpowiednio
w formułach (1.5) i (1.11), (1.12).
b) Znaleźć sumę, różnicę oraz iloczyn skalarny i wektorowy obydwu wektorów posługując się
odpowiednio relacjami (1.4) oraz (1.8) i (1.13). Porównać wyniki działań z rezultatami
otrzymanymi w punkcie a).
Rozwiązanie:
 
A B
y
 
A B

A

 

B

j
0

i
x
a) Suma i różnica wektorów otrzymana z graficznego dodawania i odejmowania wektorów metodą
równoległoboku wynosi:
 
A  B  3 3 ,
 
A  B   1 1 .
 
Długości wektorów A i B są odpowiednio równe:
A  12  2 2  5 ,
B  2 2  12  5 .
Kąty  ,  ,  wyznaczone są przez relacje:
   63,435 ,
tan  2

tan   0,5
  26,565 ,
      36,870 , cos  0,8 , sin   0,6 .
Zgodnie z definicją iloczynu skalarnego (1.5) znajdziemy:
 
A  B  AB cos  5 5 cos 36,870  4 .
Iloczyn wektorowy obydwu wektorów definiują równania (1.11), (1.12):
 


  
C  A  B  C  k  3k ,
C  AB sin   5 5 sin 36,870  3 .

Znak minus przy wersorze k wynika z przyjętej w definicji iloczynu wektorowego reguły śruby
prawej.
b) Sumę i różnicę obydwu wektorów znajdziemy sumując i odejmując odpowiednie ich składowe zgodnie z relacją (1.4):




 
A  B  Ax  Bx Ay  B y  3 3 ,
 
A  B  Ax  Bx Ay  B y   1 1 .
Iloczyn skalarny określa równanie (1.8):
 
A  B  Ax Bx  Ay B y  1  2  2  1  4 .
Iloczyn wektorowy (1.13) przyjmie postać:

 
A  B  Ay B z  Az B y
Az B x  Ax B z

Ax B y  Ay B x 

 2  0  0  1 0  2  1  0 1  1  2  2  0 0  3  3 k .
Wyniki działań na obydwu wektorach w punkcie a) i b) są więc identyczne.
Przykład 1.2. Jaka jest wartość i kierunek wypadkowego przemieszczenia ciała, jeżeli
przemieszczenia składowe są takie jak na rysunku?
45
2 km
10 km
5 km

d
60
4 km
30
Rozwiązanie:
Wektory składowe przemieszczenia wynoszą odpowiednio:

d1  4 cos 30 4 sin 30,

d 3  10 cos180 10 sin 180 ,

d 2  5 cos 60 5 sin 60 ,

d 4  2 cos 225 2 sin 225 .
Wartość i kierunek wypadkowego przemieszczenia ciała określa wektor:
 



d  d1  d 2  d 3  d 4  5,4501 4,9159.
Z relacji wiążących współrzędne kartezjańskie i współrzędne biegunowe:
d x  d cos , d y  d sin 
wynika, że:
d  d x2  d y2 
  arccos
 5.45012  4.91592
 7,3396 km  7,3 km ,
dx
  5,4501
 arccos
  137,95  138 .
d
 7,3396 

Przykład 1.3. W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są trzy wektory: A  3   2 ,
  
 


B    4 2 , C   3 2 3   . Dla jakiej wartości parametru  wektory A, B, C leżą w
6

jednej płaszczyźnie?
Rozwiązanie:
 
Obliczamy iloczyn wektorowy A  B :

 
i
j k

 


A  B  3   2  i 2  8  j 2  6  k 12   2 
 4 2




 2  8 2  6 12   2 .


Wektory A i B , jak każda para wektorów, leżą w jednej płaszczyźnie, do której zorientowany jest
 

prostopadle wektor A  B . Wektor C będzie leżał w tej samej płaszczyźnie, jeżeli będzie
  
 
zorientowany prostopadle do wektora A  B . Wektory A, B, C będą więc leżały w jednej
  
płaszczyźnie, jeżeli spełniony zostanie warunek: C  A  B  0 . Warunek ten ma postać:






   

C  A  B   3 2 3    2  8 2  6 12  2  3  2  8 
6


1

 2  2  6   3    12  2  3  32  0 .
6
6



Rozwiązaniem tego równania są wartości   0 oraz   18 . Sprawdzić, że dla znalezionych
  
  
wartości  spełnione są także relacje: A  B  C  0 , B  C  A  0 .




Zadania


1.1. Dane są wektory: A  3 4 i B  2  5 . Znaleźć wartości i kierunki następujących wektorów:
     


A  B , A  B , B  A , 2 A  3B . Przedstawić te działania graficznie.
1.2. Obliczyć algebraicznie oraz wyznaczyć graficznie sumę trzech wektorów:


B  4  3, C   5 0 .

A  3 4 ,



1.3. Dane są dwa wektory: A  2 3 4 , B  2  5  2 . Jakie są składowe wektora C , jeżeli
  
A  B  C  1 2 3 ?



1.4. Dane są dwa wektory A  3 2 i B   1 5. Jakie są współrzędne wektora C , jeżeli
  
A  B  C  0?
 
 
  
 
1.5. Jakie są składowe wektorów A i B , jeżeli: A  B  2C , A  B  4C , C  3 4 ?
1.6. Podróżnik przeszedł 7 km w kierunku północno-wschodnim. Jak daleko powinien iść na południe,
a następnie na zachód, aby wrócić do punktu wyjścia?
1.7. Statek przepłynął 15 mil morskich kursem 20 , następnie 10 mil kursem 70 oraz 5 mil kursem
130 . Jak daleko i jakim kursem statek musi płynąć, aby wrócić do punktu startu?

1.8. Na ciało działają dwie siły. Siła F1 ma wartość F1  7 N i jest skierowana pod kątem   40

względem osi x . Druga siła F2 ma wartość F2  5 N i zwrot zgodny ze zwrotem osi y . Wyznaczyć
graficznie i algebraicznie wartość oraz kierunek siły wypadkowej.
1.9. Skrzynia jest ciągnięta przez dwie osoby za pomocą lin. Jedna osoba ciągnie siłą F1  20 N pod
kątem   40 . Z jaką siłą ciągnie linę druga osoba, jeżeli lina naprężona jest pod kątem   30 , a
skrzynia porusza się wzdłuż osi x ? Jaka jest wypadkowa siła, z jaką działają obie osoby? Tarcie
pominąć.

F1

x


F2


1.10. Gdyby siła F2 z poprzedniego zadania miała tą samą wartość, co siła F1 , to jaką dodatkową siłę
i w jakim kierunku należałoby przyłożyć do skrzyni, aby poruszała się ona cały czas ruchem
jednostajnym wzdłuż osi x ?
 

1.11. Na ciało działają trzy siły: F1 , F2 i nieznana siła F3 . Jaka jest wartość i kierunek działania
nieznanej siły, jeżeli te trzy siły równoważą się? Dane: F1  5 N , F2  7 N ,   60 .   30 .

F1



F2
 


1.12. Dane są dwa wektory: A  0 2, B   5 3 . Obliczyć iloczyn skalarny A  B oraz kąt
 
pomiędzy wektorami A i B .


1.13. Obliczyć długości wektorów A  3  4 7 i B   5 3 0. Jaki jest kąt  pomiędzy tymi
wektorami?


1.14. Pokazać, że wektory A  9 1  4 i B  3  7 5 są wzajemnie prostopadłe.


1.15. Wektory A i B mają odpowiednio długości A  4 i B  5 . Jaki jest kąt pomiędzy tymi
wektorami, jeżeli:
 
a) A  B  0 ,
 
b) A  B  20 ,
 
c) A  B  20 ?


1.16. Wektory A i B mają początki w początku układu współrzędnych, a końce odpowiednio w
 
punktach o współrzędnych biegunowych 7 70 i 4 130. Obliczyć iloczyn skalarny A  B .


1.17. Wektor A ma długość A  5 i zwrot zgodny z kierunkiem osi y . Wektor B  5 3 0 .
 
Obliczyć iloczyn skalarny A  B . Jaki jest kąt pomiędzy tymi wektorami?


 

1.18. Obliczyć kąt pomiędzy wektorami P i Q , jeżeli wiadomo, że wektory A  2P  Q i



B  4P  5Q są wzajemnie prostopadłe, oraz że P  Q .


1.19. Jaka jest składowa wektora A  3 2 w kierunku wektora jednostkowego u  4 / 5 3 / 5?


1.20. Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów A  3 2  1 oraz B   1  2  3 .


1.21. W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są dwa wektory: A  1 2 3 , B   1 1 0 .
Obliczyć:
a) długość każdego z wektorów,
   
b) iloczyn skalarny A  B i B  A ,
   
c) iloczyn wektorowy A  B i B  A ,
d) kąt zawarty między wszystkimi czterema wektorami.

1.22. W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są dwa wektory: A  2 3  3 oraz

B  1 2 3 . Znaleźć:
a) długość każdego wektora,
 
b) iloczyn skalarny A  B ,
 
c) kąt zawarty między wektorami A i B ,
   
d) sumę i różnicę wektorów: A  B , A  B ,
 
e) iloczyn wektorowy A  B ,


    
f) wektor C taki, że 2 A  3B  C  A  B  B  0 .

 

1.23. Wektor A ma długość A  5 i leży w płaszczyźnie x y pod kątem  120 względem osi x .

Wektor B ma długość B  3 oraz kierunek i zwrot zgodny z osią z . Obliczyć iloczyn skalarny oraz
iloczyn wektorowy tych wektorów.


1.24. Dane są dwa wektory: A  Ax
Ay



Az , B  Bx
By

Bz . Dokonując mnożenia - wyraz po
wyrazie i korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz definicji iloczynu wektorowego udowodnić,
że:
 
A  B  Ax Bx  Ay B y  Az Bz ,

i
 
A  B  Ax
Bx

k
Az  Ay B z  Az B y
Bz

j
Ay
By


Az B x  Ax B z
Ax B y  Ay B x .


1.25. Kąt  , to kąt pomiędzy wektorami A  1 4 i B  2  3. Opierając się na definicji iloczynu
skalarnego i wektorowego, obliczyć wartość sinusa i cosinusa tego kąta. Sprawdzić, że
sin 2   cos2   1 .

1.26. Wektor A jest skierowany przeciwnie do osi y , a wektor
 
kierunek i zwrot wektora A  B ? Jaki jest kierunek i zwrot wektora

B przeciwnie do osi x . Jaki jest
 
B A?


1.27. Wektor A skierowany jest zgodnie ze zwrotem osi x i ma długość A  5 , natomiast wektor B
 
ma zwrot przeciwny do osi y i długość B  3 . Jaki jest kierunek i długość wektora A  B i wektora


A  3B ?
   
  
1.28. Obliczyć iloczyny wektorowe: C  A , C  B , jeżeli C  A  B .
 
1.29. Wyznaczyć kąty pomiędzy wektorami A i B , gdy:


a) 2 A  3B  0 ,

 

b) A  B  A  B ,
     
c) A  B  A  B  B  A .




  

1.30. Jaki jest kąt pomiędzy wektorem C  A  B , a osiami x, y, z , jeżeli A  2 3 1 ,
  

B  1 2 3 ? Jaką długość mają poszczególne wektory A , B i C ?
1.31. Znaleźć wszystkie wektory o długości jednostkowej leżące w płaszczyźnie x y i prostopadłe do

wektora r  1 1 .
 


 
1.32. Wykazać, że wektor A jest prostopadły do wektora B , jeżeli A  B  A  B .
 
1.33. Wektory A i B spełniają następujące zależności:

 

4 A  5B  2 A  B ,




7 A  2B  A  4B .
 
Wyznaczyć kąt pomiędzy wektorami A i B .


 
 





1.34. Znaleźć wektor jednostkowy n prostopadły do wektora A  2  1 1 i B  1 2  1 .



1.35. Dane są trzy wektory: A  3 3  2, B   1  4  2 , C  2 2 1 . Znaleźć iloczyn
  
  
A  B  C . Czy wektory A, B, C leżą w jednej płaszczyźnie?


1.36. Współrzędne biegunowe r   dwóch punktów na płaszczyźnie wynoszą 2,5 30 i
3,5 120 . Wyznaczyć współrzędne kartezjańskie punktów oraz odległość pomiędzy nimi.
1.37. W układzie biegunowym, współrzędne r   trzech punktów wynoszą: 3  / 6, 3 2 / 3 i
3 3 / 2 . Znaleźć wektory położenia tych punktów w układzie kartezjańskim oraz obliczyć ich
sumę.


1.38. Stałe siły F1  1 2 3 oraz F2    5  2 działają równocześnie na cząstkę w czasie jej


przesunięcia z punktu r1  5  5 0 do punktu r2  1 0  3 .

a) Dla jakiej wartości parametru  praca wykonana przez siłę F2 wynosi zero?
b) Dla jakiej wartości parametru  , praca wykonana przez siłę wypadkową wynosi zero? Jaka jest
interpretacja tego faktu?


1.39. Siła F   2 3 5 działa na ciało znajdujące się w punkcie r1  5 3 1. Obliczyć:
a) moment siły względem początku układu współrzędnych,

b) moment siły względem punktu r2  0 10 0 .


1.40. Gdy cząstka znajdowała się w położeniu r1   2 4 3 , jej pęd wynosił p  1 3  2 . Jaki

był wtedy moment pędu L cząstki względem początku układu współrzędnych oraz względem punktu

r2  3 5  1?
1.41. Łódka ma przepłynąć przez rzekę, która płynie z prędkością v  4 km/h . Pod jakim kątem
sternik powinien skierować łódź, jeżeli łódka ma przepłynąć strumień prostopadle do jego brzegów, a
prędkość łódki względem wody wynosi u  8 km/h ? Jaka będzie prędkość łódki względem brzegów?


1.42. Dwie cząstki poruszają się wzdłuż osi x i y odpowiednio z prędkościami v1  2  i m/s i


v2  3  j m/s . W chwili t  0 cząstki znajdują się odpowiednio w punktach o współrzędnych:

 
x1  3 m , y1  0 m , oraz x2  0 , y 2  3 m . Znaleźć wektor r12  r1  r2 określający położenie
drugiej cząstki względem pierwszej w funkcji czasu. Kiedy i gdzie obie cząstki będą najbliżej siebie?


1.43. Prędkości dwóch ciał opisane są równaniami: v1  4t  3 , v2   3 4t  . Wyznaczyć chwile
czasu, gdy ciała te poruszają się równoległe oraz prostopadle względem siebie.
1.44. Dwa samochody poruszają się z prędkościami v  40 km/h po ulicach krzyżujących się pod
kątem prostym. Ile wynosi prędkość jednego samochodu względem drugiego?
1.45. Dwie cząstki zostały wysłane z początku układu współrzędnych i po pewnym czasie znalazły się


w położeniach r1  1 2 3 i r2  3 4 5 . Obliczyć:
a) długości tych wektorów,
b) wektor przemieszczeni drugiej cząstki względem pierwszej,
   
c) iloczyny: r1  r2 , r1  r2 ,
       
d) kąty pomiędzy wektorami r1 i r2 , r1 i r1  r2 , r2 i r1  r2 .




1.46. Dane są dwa wektory: A  3 4 2 sin  , B     sin 
0 , gdzie  jest pewnym
parametrem. Sprawdzić poprawność reguły różniczkowania iloczynu skalarnego dwóch wektorów:


d   dA   dB
.
A B 
 B  A
d
d
d






1.47. Dane są dwa wektory: A   0 sin  , B  3  2 0 , gdzie  jest pewnym parametrem.
Sprawdzić poprawność reguły różniczkowania iloczynu wektorowego dwóch wektorów:


d   dA   dB
.
A B 
 B  A
d
d
d

