y - Skarga.edu.pl

Wektory
Na fizyce w szkole średniej spotykacie się z dwoma typami wielkości fizycznych. Jedne z
nich, np. masa, temperatura, ładunek elektryczny są opisywane przez jedną liczbę; te
nazywamy wielkościami skalarnymi, w skrócie - skalarami. Inne, bardziej skomplikowane,
oprócz wartości, charakteryzują się jeszcze kierunkiem i zwrotem. To są wielkości
wektorowe lub krócej wektory. Do nich należą między innymi: prędkość, przyspieszenie,
siła, natężenie pola elektrycznego itp.
W matematyce jest kilka definicji wektora (w zależności od kontekstu, w którym się
pojawiają ), ale wszystkie są trudne. Nam wystarczy informacja, że wektor jest
uporządkowanym odcinkiem (strzałką), charakteryzującym się długością (wartością),
kierunkiem i zwrotem wyznaczonym przez owo uporządkowanie, pozwalające wyróżnić
początek i koniec wektora oznaczony grotem. Wektory będę oznaczał tu pogrubionymi
literami np. a, a długość wektora a lub po prostu a.
to jest wektor
a to jego koniec
a
to jest początek wektora ...
To, co nas będzie interesować, to działania na wektorach oraz ich rozkład na składowe.
Najpierw musimy się nauczyć, jak się opisuje wektory. Aby opisać wektor nie wystarczy
podać jego długość. Ma on jeszcze kierunek i zwrot. Jak w skrótowym, matematycznym
zapisie zawrzeć informacje o długości, kierunku i zwrocie? Okazuje się, że najlepszym
sposobem jest wprowadzenie pojęcia współrzędnych wektora. Co to takiego, wyjaśnimy
przy pomocy rysunku.
Współrzędna wektora to po prostu różnica współrzędnej końca wektora i współrzędnej
jego początku.
a = ax , ay
[
]
ax = xB − x A
ay = y B − y A
Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne.
y
B (xB, yB)
α
A (xA, yA)
O
x
W jaki sposób zawarte są we współrzędnych informacje o kierunku, zwrocie i długości
wektora? Znów odwołajmy się do rysunku. Kierunek można określić przy pomocy kąta.
ay
Tangens tego kąta można z łatwością wyrazić przez współrzędne, mianowicie tgα =
.
ax
Zwrot ukryty jest w znaku współrzędnych. Zmiana zwrotu wektora powoduje zmianę
znaku obu jego współrzędnych. Wreszcie długość daje się policzyć z dobrze znanego
twierdzenia Pitagorasa: a = a x2 + a y2 . Podobnie jest w przestrzeni trójwymiarowej (choć
kierunek określony jest w sposób bardziej skomplikowany).
Jakie działania na wektorach będą nam potrzebne w kinematyce?
Omówię trzy z nich. Są jeszcze inne, ale te nie będą potrzebne w kinematyce.
1. Mnożenie przez liczbę
2. Dodawanie
3. Odejmowanie
1. Mnożenie wektora przez liczbę.
Na to bardzo proste działanie można się natknąć na przykład w definicji prędkości, gdzie
przemieszczenie (wektor) jest mnożone przez odwrotność czasu (liczba). Mnożenie
będziemy oznaczać tak: b = λ·a lub tak b = λa, gdzie λ - liczba, a a i b - wektory.
a
a
a
2a
−a
− 2a
Rysunek przedstawia wyniki mnożenia pewnego wektora przez różne liczby. Gdy liczba
jest dodatnia, mnożenie zwiększa długość wektora tyle razy ile wynosi ta liczba, bez
zmiany kierunku i zwrotu. Natomiast gdy liczba jest ujemna długość zmienia się tyle razy
ile wynosi moduł z tej liczby, kierunek nie ulega zmianie, a zwrot zmienia się na przeciwny.
Wektor pomnożony przez -1 zwany jest wektorem przeciwnym do danego.
A jak to jest, gdy wektor jest dany w postaci analitycznej (czyli dane są jego współrzędne)?
Bardzo prosto!
Niech a = ax , ay . Wtedy b = λa = λ [a x , ay ] = [λa x , λa y ]. Czyli mnożenie przez liczbę polega
[
]
na pomnożeniu przez tę liczbę wszystkich współrzędnych wektora.
2. Dodawanie wektorów.
Dodawania wektorów wymaga klasyczne prawo dodawania prędkości. Są dwie
geometryczne metody dodawania wektorów (oczywiście sobie równoważne): metoda
równoległoboku i metoda trójkąta. Rysunki przedstawiają obie metody wykonania działania
c = a + b.
a+b
b
a
Metoda równoległoboku
1. Sprowadzamy wektory do wspólnego początku
przesuwając je równolegle.
2. Budujemy na wektorach równoległobok jak
na rysunku.
3. Wynik dodawania to przekątna równoległoboku
rozpoczynająca się we wspólnym początku dodawanych
wektorów.
a
a+b
b
Metoda trójkąta
1. Sprowadzmy początek wektora a do końca wektora b
(przesuwając go równolegle)
2. Rysujemy wektor o początku w początku a i końcu
w końcu b. Otrzymujemy trójkąt
3. Wspomniany w punkcie 2 wektor to właśnie a + b.
Czasami chcemy znaleźć długość wektora będącego sumą dwu innych wektorów. Na ogół
zagadnienie to rozwiązuje się przy pomocy twierdzenia cosinusów. Są jednak trzy
przypadki, kiedy jest to znacznie łatwiejsze.
1. Wektory są skierowane zgodnie.
a
b
a+b
Wtedy długość wektora c jest równa sumie długości a i b.
2. Wektory są skierowane przeciwnie.
a+b
a
b
Długość wektora c jest równa różnicy długości wektora dłuższego i krótszego.
3. Wektory są prostopadłe.
a+b
a
b
Tym razem na pomoc przychodzi twierdzenie Pitagorasa:
c = a2 + b2
A teraz dodawanie wektorów sposobem analitycznym. Domyślacie się chyba, że żeby
dodać wektory trzeba dodać ich odpowiednie współrzędne.
a + b = [a x , a y ] + [bx , by ] = [a x + bx , ay + by ]
3. Odejmowanie wektorów.
Z odejmowaniem wektorów spotykamy się chociażby w definicji przyspieszenia średniego;
w liczniku mamy różnicę między prędkością końcową i prędkością początkową
Odejmowanie wektorów jest szczególnym przypadkiem ich dodawania. Podobnie jak
odejmowanie liczb. Przykład: 5 - 3 = 5 + (-3). Jeśli chcemy od wektora a odjąć b wystarczy
do wektora a dodać wektor przeciwny do b. Popatrzmy na rysunek.
a−b
−b
a
a− b
b
Z rysunku wynika że różnicą wektorów jest przekątna równoległoboku zaczynająca się w
końcu wektora b i kończąca się w końcu wektora a. Suma wektorów to druga z
przekątnych.
Analitycznie:
c = a − b = [a x , a y ] − [bx , by ] = [a x − bx , ay − by ]
y
a
ay
α
O
ax
x
Zajmijmy się jeszcze rozkładem wektora na składowe w danym układzie współrzędnych.
Rozkład na składowe przydaje się, gdy wykorzystujemy prawo dodawania prędkości.
ax, ay to składowe wektora a. Ich współrzędne to zarazem odpowiednie współrzędne
wektora a. Znając długość wektora i kąt nachylenia do osi x można znaleźć współrzędne
składowych:
a x = a cos α
a y = a sin α