odpowiedzi

Chemia kwantowa B – zadania domowe
Zestaw 5. – odpowiedzi
Zadanie 1. Wyznaczyć stany własne (funkcje falowe i energie) oscylatora harmonicznego w jednorodnym
polu elektrycznym o natężeniu F .
Wskazówka: hamiltonian dla takiego układu ma postać
Ĥ =
p̂2x
kx2
+
− eF x.
2m
2
(1.1)
Rozwiązanie 1. Zaczynamy od zapisania hamiltonianu (1.1) w nieco innej postaci:
k 2 2eF
p̂2
k
p̂2
Ĥ = x +
x −
x = x +
2m 2
k
2m 2
2
2 2
2
k
eF
eF
p̂
x−
−
.
= x +
2m 2
k
2k
"
eF
x−
k
2
eF
−
k
2 #
=
(1.2)
Wprowadzamy teraz nową zmienną
q =x−
eF
,
k
(1.3)
a więc przesuwamy zmienną x. Oczywiście
d
d
=
.
dq
dx
Zapisujemy hamiltonian (1.2) w nowej zmiennej:
Ĥ =
(1.4)
p̂2q
kq 2 e2 F 2
+
−
.
2m
2
2k
(1.5)
Skorzystajmy teraz z oczywistego faktu: jeśli zachodzi  |ψi = a |ψi, to ( + b) |ψi = (a + b) |ψi. Hamiltonian (1.5) ma postać taką jak hamiltonian (1.2), różni się tylko nazwą zmiennej i jest przesunięty
o
e2 F 2
.
(1.6)
∆E = −
2k
Tak więc jego fukcje własne (ψen ) uzyskujemy z funkcji własnych oscylatora bez pola przez translację
zmiennej:
eF
ψen (x) = ψn (q) = ψn x −
,
(1.7)
k
zaś energie otrzymujemy przesuwając energie oscylatora bez pola o ∆E:
e2 F 2
1
e2 F 2
= En −
= ~ω n +
−
.
2k
2
2k
Ee
n
(1.8)
Zadanie 2. Operatory podnoszenia i opuszczania spinowego momentu pędu w reprezentacji macierzowej
mają postać




√ 0 1 0
√ 0 0 0
S+ = 2~ 0 0 1 , S− = 2~ 1 0 0 .
(2.1)
0 0 0
0 1 0
Operatory te zdefiniowane są zależnością
Ŝ± = Ŝx ± iŜy .
(2.2)
Wiedząc ponadto, że operatory Ŝx , Ŝy i Ŝz spełniają takie same reguły komutacyjne jak operatory momentu
pędu, znaleźć postać macierzową tych operatorów.
1
Rozwiązanie 2. Z zależności (2.2) otrzymujemy

Ŝx
=
Ŝy
=
1
2
i
2
Ŝ+ + Ŝ−
Ŝ− − Ŝ+
,
(2.3)
tak więc macierze operatorów Ŝx i Ŝy otrzymujemy w analogiczny sposób,

S
= 21 (S+ + S− )
Sy = i (S− − S+ )
2
x
.
h
(2.4)
i
Macierz operatora Ŝz znajdujemy korzystając z komutatora Ŝx ; Ŝy = i~Ŝz :
Sz =
i
(Sy Sx − Sx Sy ) .
~
(2.5)
Po prostych rachunkach otrzymujemy






1 0 0
0 1 0
0 −1 0
i~ 
~ 




Sx = √ 1 0 1 , Sy = √ 1 0 −1 , Sz = ~ 0 0 0  .
2 0 1 0
2 0 1
0 0 −1
0
Zadanie 3. Udowodnić, że stan
†
|ψi = eλâ |0i ,
(2.6)
(3.1)
gdzie
mω
i
p̂x ,
â =
x+
(3.2)
2~
mω
jest stanem własnym operatora anihilacji (3.2). Znaleźć wartość własną tego operatora z funkcją |ψi oraz
znaleźć jawną postać tej funkcji.
r
Rozwiązanie 3. Wyznaczamy stan |ψi:
†
eλâ |0i =
∞
X
λn â†
n=0
n!
n

†
|0i = 
1 + λâ +
λ2 â†
2
2
+
λ3 â†
6
3

+ . . .
 |0i .
(3.3)
Na ćwiczeniach pokazaliśmy, że
1 † n
|ni = √
â |0i ,
n!
skąd otrzymujemy
â†
n
|0i =
√
n! |ni .
(3.4)
(3.5)
Wstawiając wynik (3.5) do równania (3.3) ootrzymujemy
|ψi =
∞
X
λ3
λn
λ2
√ |ni = |0i + λ |1i + √ |2i + √ |3i + . . .
2
6
n!
n=0
(3.6)
Na ćwiczeniach wyprowadziliśmy zależność
â |ni =
√
n |n − 1i ,
(3.7)
w szczególności
â |0i = 0,
(3.8)
co wykorzystujemy działając na stan |ψi anihilatorem (ponieważ anihilator anihiluje stan |0i, sumowanie
rozpoczynamy od 1, nie od 0):
∞
∞
X
X
λn
λn
λn √
√ |ni =
√ â |ni =
√
n |n − 1i =
n!
n!
n!
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
X
X
X
λn+1
λn
λn
q
√ |ni = λ
√ |ni = λ |ψi .
=
|n − 1i =
n!
n!
(n − 1)!
n=1
n=0
n=0
â |ψi = â
∞
X
2
(3.9)
Wartością własną anihilatorą z funkcją |ψi jest więc λ. Aby jawnie wyznaczyć postać tej funkcji, wstawiamy
jawną postać anihilatora (3.2) do równania własnego
â |ψi = λ |ψi .
(3.10)
Oznaczając |ψi = ψ(x) otrzymujemy po prostych przekształceniach równanie różniczkowe
 s

dψ(x) 
2mω mω 
= λ
−
x dx.
ψ(x)
~
~
(3.11)
Całkując równanie (3.11) uzyskujemy
 s



s
mω 2 
mω  2
2mω
2~ 
ln |ψ(x)| = λ
x−
x + C1 = −
x − 2λ
x + C1 =
~
2~
2~
mω

2
s

s
2
(3.12)
mω 
2~ 
mω 
2~ 
x−λ
+ λ2 + C1 = −
x−λ
+ C2 ,
=−
2~
mω
2~
mω
skąd
√ 2~ 2
− mω
x−λ
2~
mω
ψ(x) = N e
.
(3.13)
Pozostaje wyznaczyć stałą normalizacyjną. Znając wartość całki (a > 0)
Z ∞
−a(x−b)2
e
r
dx =
−∞
π
a
(3.14)
otrzymujemy
mω
N=
π~
1
4
Ostatecznie,
mω
ψ(x) =
π~
1
4
.
(3.15)
√ 2~ 2
x−λ
− mω
2~
e
3
mω
.
(3.16)