Oscylator harmoniczny metoda operatorow kreacji i anihilacji

9
Oscylator harmoniczny metodą operatorów kreacji i
anihilacji
9.1
Operatory kreacji i anihilacji
Spróbujmy znany nam już hamiltonian oscylatora harmonicznego
1 p̂2
2
2
+ ω m x̂
Ĥ =
2 m
(9.1)
zapisać przy pomocy operatorów
â
=
1
p̂,
2mω~
r
1
p̂.
2mω~
mω
x̂ + i
2~
r
mω
x̂ − i
2~
â =
†
r
r
(9.2)
Po pierwsze tak zdefiniowane operatory â i ↠nie są hermitowskie. Po drugie są to
obiekty bezwymiarowe, w taki bowiem sposób dobraliśmy stałe mnożące x̂ i p̂. Po trzecie
ich komutator jest równy 1. Policzmy najpierw iloczyny:
â↠=
i
i
1
mω 2
x̂ −
x̂ p̂ + p̂ x̂ +
p̂2
2~
2~
2~
2mω~
(9.3)
↠â =
i
i
1
mω 2
x +
x p̂ − p̂ x +
p̂2 .
2~
2~
2~
2mω~
(9.4)
i
Pamiętając że:
[x̂, p̂] = i~,
(9.5)
mamy
†
i
i
[p̂, x̂] = 1.
â, â = â↠− ↠â = − [x̂, p̂] +
2~
2~
Z kolei antykomutator, czyli suma
†
1
mω 2
2 1 p̂2
†
†
2
2
2
â, â = ââ + â â =
p̂ +
x =
+ ω mx .
mω~
~
~ω 2 m
Ostatni człon jest proporcjonalny do hamiltonianu Ĥ. Stąd otrzymujemy, że
1
1
†
†
†
.
Ĥ = ~ω ââ + â â = ~ω â â +
2
2
Aby wyprowadzić tę ostatnią formę Ĥ zastosowaliśmy relację komutacji (9.6).
42
(9.6)
(9.7)
(9.8)
9.2
Stany własne i wartości własne Ĥ
Aby rozwiązać równanie Schrödingera
Ĥ|α >= E|α >
(9.9)
musimy znaleźć spektrum operatora ↠â. Oczywiście stany |α > są też stanami własnymi
↠â :
↠â|α >= α|α > .
(9.10)
O stanach |α > założymy, że są unormowane:
< α|α >= 1.
(9.11)
Zobaczmy, czy stan
|β >= â|α >
jest też stanem własnym operatora ↠â:
↠â|β > = ↠ââ|α >= â↠− 1 â|α >= â ↠â − 1 |α >
= â (α − 1) |α >= (α − 1) â|α >= (α − 1) |β > .
Widzimy zatem, że stan |β > jest stanem własnym operatora ↠â do wartości własnej
α − 1, nie wiemy jednak, czy jest unormowany. Stąd
â|α >= N− |α − 1 > .
(9.12)
Powtarzając analogiczny rachunek dla stanu
↠|α >
otrzymamy
↠|α >= N+ |α + 1 > .
(9.13)
Spróbujmy teraz wyliczyć czynniki normujące N± . Norma stanu |β > wynosi:
< β|β >=< α|↠â|α >= α.
(9.14)
Zwróćmy uwagę, że we wzorze (9.14) oba operatory działają na prawo. Z drugiej strony
< β|β >= N−2 .
Stąd N− =
√
α. Postępując podobnie
(9.15)
N+2 =< α + 1|α + 1 >=< α|â↠|α >=< α|↠â + 1|α >= α + 1,
√
co daje N+ = α + 1.
Podsumujmy: operatory â i ↠działają na stany własne operatora Ĥ w ten sposób, że
obniżają lub podwyższają wartość własną α o 1. Dodatkowo domnażają taki stan własny
43
przez wyliczony przez nas właśnie czynnik N− lub N+ . Zażądamy teraz, aby istniał
stan podstawowy układu, czyli stan o minimalnej energii. Nie możemy zatem działając
wielokrotnie operatorem â obniżać w nieskończoność wartości własne α . Zauważmy,
że jeżeli zażądać, aby α = n, czyli aby wartości własne operatora ↠â były liczbami
naturalnymi, to działając n-krotnie operatorem â na stan |n > dostaniemy stan |0i.
Kolejne działanie operatorem â da 0 , ponieważ wyzeruje się czynnik N− . Zatem stan
|0 > jest stanem podstawowym oscylatora harmonicznego. Wszystkie stany wzbudzone
otrzymujemy poprzez wielokrotne działanie na stan |0 > operatorem ↠. Mamy zatem
√
â|n > = n|n − 1 >,
√
↠|n > = n + 1|n + 1 >,
↠â|n > = n|n > .
(9.16)
Łatwo się przekonać, że unormowane stany |n > mają postać:
n
1
|n > = √
↠|0 > .
n!
(9.17)
Zgodnie z naszą notacją wprowadzoną w rozdziale ?? z operatorami â i ↠możemy
skojarzyć macierze
X
|m > amn ,
â|n >
m
†
â |n >
X
|m > a†mn .
(9.18)
m
Korzystając z (9.16) łatwo wykazać, że te nieskończenie wymiarowe macierze przyjmują
następującą postać:




0 1 √
0
0
···
0 0
0
0 ···
 0 0
 1 0
0 ... 
2 0√ . . . 




√ 0
 0 0 0



†
0
2
0
0
·
·
·
3
·
·
·
a=
(9.19)
, a = 
,
√
 0 0 0
 0 0


0
·
·
·
3
0
·
·
·




.. .. ..
..
.. ..
..
.. . .
..
.
.
. . .
.
. .
.
.
natomiast wektory |n > są w tej reprezentacji zwykłymi kolumnami o 1 na n-tym miejscu
 
0
 .. 
 . 
|n >=  
.
(9.20)
 1  ← n-ta pozycja
..
.
Tę reprezentację stanów własnych oscylatora harmonicznego nazywamy reprezentacją obsadzeń, operatory â i ↠noszą nazwę operatorów kreacji i anihilacji, albo jak już mówiliśmy
obniżania i podnoszenia.
44
9.3
Własności przestrzenne stanów |n >
Patrząc na wzór (9.20) można odnieść wrażenie, że zgubiliśmy gdzieś informację o własnościach przestrzennych stanu kwantowego, gdyż wektory |n > są wektorami liczbowymi.
Zauważmy jednak, że korzystając ze związków (9.16) możemy wyliczyć wszystkie własności przestrzenne stanu kwantowego. W tym celu wyliczmy operator x̂:
r
~
↠+ â ,
x̂ =
2mω
~
↠↠+ â↠+ ↠â + ââ .
(9.21)
x̂2 =
2mω
Ponieważ operatory â i ↠zmieniają stan obniżając lub podnosząc n:
r
r
√
~
~ √
†
x̂|n > =
â |n > +â|n > =
n + 1|n + 1 > + n|n − 1 > ,
2mω
2mω
(9.22)
więc
r
< m|x̂|n > =
√
~ √
n + 1δ m,n+1 + nδ m,n−1 .
2mω
(9.23)
Stąd:
< n|x̂|n > = 0.
(9.24)
Ten sam wynik otrzymalibyśmy w reprezentacji położeniowej wykonując całkę
Z+∞
dx |ψ n (x)|2 x = 0,
(9.25)
−∞
ponieważ |ψ n (x)|2 jest symetryczną funkcją x. Spróbujmy policzyć średnie odchylenie
kwadratowe x dla stanu podstawowego,
∆x2 =
1 ~
.
2 mω
które dane jest wzorem:
~
< n| ↠↠+ ââ + ↠â + â↠|n >
2mω
~
=
(n + n + 1)
2mω
~
=
(2n + 1) .
2mω
< n|x̂2 |n > =
(9.26)
Dla n = 0 dostajemy znany nam już wzór (??). A zatem korzystając z (9.21) możemy
wyliczyć wszystkie momenty przestrzennego rozkładu cząstki w stanie n. Podobnie możemy
wyliczyć charakterystyki pędowe stanu |n >.
45
9.4
Średnie położenie
Wróćmy do wzoru (??). Mówi on, że w stanie własnym energii średnie położenie jest zero
i nie zależy od czasu. Weźmy jednak dowolny stan
X
|ψ, ti =
an e−iEn t/~ |ni .
(9.27)
n
Wówczas
hxiψ =
X
a∗m an e−i(n−m)ωt < m|x̂|n >,
(9.28)
m,n
gdzie użyliśmy En = ~ω(n + 1/2). Mając na względzie (9.23) otrzymujemy
r
√
~ √
n + 1δ m,n+1 + nδ m,n−1
< m|x̂|n > =
2mω
r
hxiψ =
√
~ X √
n + 1a∗n+1 an eiωt + na∗n−1 an e−iωt
2mω n=0
r
~ X√
n a∗n an−1 eiωt + a∗n−1 an e−iωt
2mω n=1
X
=
Xn cos(ωt + φj ),
=
(9.29)
n
gdzie wprowadziliśmy oznaczenie
r
~n ∗
a an−1 = Xn eiφn .
2mω n
(9.30)
Zatem położenie hxiψ oscyluje sinusoidalnie (jak w klasycznym oscylatorze).
9.5
Zmiana reprezentacji
Ale możemy też, przy pomocy związku
ψ α (x) = hx |αi
skonstruować funkcję falową w reprezentacji położeń. W tym celu skonstruujmy najpierw
funkcję falową stanu podstawowego
ψ 0 (x) = hx |0i .
(9.31)
Korzystając z faktu, że operator â anihiluje stan podstawowy, napiszmy równanie różniczkowe
na ψ 0 :
r
mω
i
< x|â|0 > =
< x| x̂ +
p̂ |0i = 0.
(9.32)
2~
mω
46
Zauważmy teraz, że:
Z+∞
i
i
0
p̂ |0 > =
dx < x| x̂ +
p̂ |x0 >< x0 |0 >
< x| x̂ +
mω
mω
−∞
Z+∞
i
d
0
0
0
dx x δ(x − x ) +
−δ(x − x )i~ 0
ψ 0 (x0 )
mω
dx
=
0
−∞
Z+∞
~ d
0
0
0
=
dx δ(x − x ) x +
ψ 0 (x0 )
mω dx0
−∞
~ d
ψ 0 (x) = 0.
=
x+
mω dx
(9.33)
Aby otrzymać ostatnie z równań (9.29) wykonaliśmy przez części całkę z pochodnej z
δ(x − x0 ). Równanie (9.29) łatwo rozwiązać:
mω
2
ψ 0 (x) = N e− 2~ x .
(9.34)
Jest to rzeczywiście znana jużpnam funkcja falowa stanu podstawowego oscylatora harmonicznego (??), gdzie N 2 = mω/π~.
Na koniec wyliczmy funkcję ψ n (x). W tym celu wygodnie jest wprowadzić nową zmienną
r
mω
x.
ξ=
~
Wówczas
r r d
d
1
1
†
â =
ξ+
,
â =
ξ−
.
2
dξ
2
dξ
Zauważmy, że działanie operatora ↠na dowolną funkcję f (ξ) daje się zapisać jako
r r
1
d
1 1 ξ2 d − 1 ξ2
ξ−
f (ξ) = −
e2
e 2 f (ξ) .
(9.35)
2
dξ
2
dξ
2
Dwukrotne działanie ↠sprowadza się do
r r
2
d
d
1
1
− 12 ξ 2
2 21 ξ 2 d
ξ−
f (ξ) =
e
ξ−
f (ξ)
(−) e
22
dξ
22
dξ
dξ
r
1 2
1
2 21 ξ 2 d d
−2ξ
=
f (ξ) .
(9.36)
(−) e
e
22
dξ dξ
Stąd już dalsza indukcja jest oczywista:
r r
n
1
d
1 1 ξ 2 dn − 1 ξ 2
n
2
2
ξ
−
f
(ξ)
=
(−)
e
e
f
(ξ)
.
2n
dξ
2n
dξ n
47
(9.37)
A zatem na mocy (9.17)
n
1
d
− 12 ξ 2
ψ n (x) =
ξ
−
N
e
n!2n
dξ
r
n 1
−ξ 2
n 12 ξ 2 d
= N
e
(−)
e
n!2n
dξ n
r
n 1 2
1
−ξ 2
n ξ2 d
= N e− 2 ξ
e
.
(−)
e
n!2n
dξ n
r
Zauważmy, że ostatni człon odtwarza znormalizowane z wagą e−ξ
48
2
/2
(9.38)
wielomiany Hermite’a.