Sprawdzian całoroczny klasa pierwsza - matematyka rozszerzona

Sprawdzian całoroczny
klasa pierwsza - matematyka rozszerzona - B
(wersja dla nauczyciela)
Zad.01. (3p)
Dana jest liczba = (3√2 − 4)(3√2 + 4). Liczbę √40 można przedstawić w postaci =
, gdzie ,
są liczbami całkowitymi. Podaj wartości liczb i . Oblicz wartość liczby z dokładnością do części setnych.
• znajomość wzorów skróconego mnożenia (mnożenie wyrażeń w nawiasach) (0p – 1p)
• rozkład liczb na czynniki i wyciąganie przed pierwiastek
(0p – 1p)
• zaokrąglanie z zadaną dokładnością, zastosowanie kalkulatora.
(0p – 1p)
Rozwiązanie:
= 3√2 − 4 3√2 + 4 = 18 − 16 = 2.
√40 = √40 ∙ 2 = √8 ∙ 5 ∙ 2 = √16 ∙ 5 = 4√5 .
Zatem
= 4, = 5. 4√5 ≈ 8,94
Odpowiedź: = 3 = 5 oraz 4√5 ≈ 8,94
Zad.02. (2p)
Oblicz iloczyn liczb
•
•
Rozwiązanie:
∙ (−5)"#
i(−5)"# .
Potęga liczby w zależności od znaku
Działania na potęgach o tej samej podstawie.
= 5$"#
#
∙ (−5)"#
Odpowiedź:
Zad.03. (3p)
Dane są wyrażenia:
∙ (−1)"#
∙ 5"#
= −1 ∙ 5$"#
∙ 5"#
= −1 ∙ 5$"#
#%"#
= −5.
= −5
"
= (&$') i
( $)
= "($*. Zrób odpowiednie założenia i wynik mnożenia podanych wyrażeń
, przedstaw w jak najprostszej postaci.
• ustalanie dziedziny wyrażenia
• rozkład na czynniki
• skracanie wyrażeń podobnych.
Rozwiązanie:
"
= (&$') + = , ∈ ℛ ∧ ( − 3)" ≠ 01 = , ∈ ℛ ∧
"
#
(0p – 1p)
(0p – 1p)
(0p – 1p)
(0p – 1p)
(0p – 1p)
− 3 ≠ 01 = ℛ\,31.
−9
+ = , ∈ ℛ ∧ 2 − 6 ≠ 01 = , ∈ ℛ ∧ 2 ≠ 61 = ℛ\,31
2 −6
2
12
− 9 12 ∙ ( − 3) ∙ ( + 3) 6( + 3)
∙ =
∙
=
=
"
( − 3) 2 − 6
( − 3) 2
2( − 3)( − 3)2
=
Odpowiedź:
∙
6( +3)
=(
−3)2
Zad.04. (2p)
Ile liczb pierwszych jest zawartych w zbiorze 〈−135, 519) ∩ 〈1,37〉.
• część wspólna przedziałów liczbowych
• znajomość definicji liczby pierwszej.
Rozwiązanie:
〈−135, 519) ∩ 〈1,37〉 = 〈15, 519).
Wypiszmy liczby pierwsze nie mniejsze od 1 i mniejsze od 19: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
(liczba 1 nie jest liczbą pierwszą)
Odpowiedź: W przedziale 〈15, 519) jest 7 liczb pierwszych.
(0p – 1p)
(0p – 1p)
Zad.05. (2p)
Ile najwięcej, a ile najmniej elementów jest w zbiorze 9 ∩ : gdy zbiór 9 ma 10 elementów, a w : jest ich 20.
Odpowiedź uzasadnij.
• znajomość definicji iloczynu zbiorów
(0p – 1p)
• umiejętność argumentacji.
(0p – 1p)
Rozwiązanie:
Możliwe są dwa skrajne układy zbiorów: a) zbiory 9 i : są rozłączne lub b) zbiór 9 jest zawarty w :.
a)
b)
<<<<<<<
a) 9̅ = 10 i :< = 20 i 9 ∩ : = ∅ wtedy 9
∩ : = 0 b) 9̅ = 10 i :< = 20 i 9 ⊂ : wtedy <<<<<<<
9 ∩ : = 10
Odpowiedź: W zbiorze 9 ∩ : najmniej elementów to 0, a najwięcej to 10.
Zad.06. (2p)
Zapisz przy pomocy nierówności z wartością bezwzględną zbiór liczb opisany poniższym zdaniem.
„Zbiór wszystkich liczb ?, których odległość od liczby (−@) na osi liczbowej jest nie większa niż A”.
• znajomość definicji wartości bezwzględnej
(0p – 1p)
• umiejętność stosowania nierówności.
(0p – 1p)
Rozwiązanie:
Odległość liczby x od liczby b zapisujemy B = | − |. Czyli B = | + 7|.
Odległość ma być nie mniejsza od 2 (B ≥ 2) zatem: | + 7| ≥ 2
Odpowiedź: | + 7| ≥ 2.
Zad.07. (2p)
Wykaż, że zdanie logiczne ~(~F ∧ ~G) ⇒ (F ∨ G) jest tautologią.
• zastosowanie praw de Morgana
• zastosowanie prawa podwójnego przeczenia
lub
• tabelka wartości logicznych.
Rozwiązanie:
~(~F ∧ ~G) ⇒ ~(~F) ∨ ~(~G) ⇒ (F ∨ G)
lub
p
q
~F
~G
~F ∧ ~G ~(~F ∧ ~G)
F∨G
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
Odpowiedź: To zdanie jest tautologią.
(0p – 1p)
(0p – 1p)
(0p – 2p)
F ∧ G ⇒ ~(~F ∨ ~G)
1
1
1
1
Zad.08. (3p)
Podaj wartości parametrów i dla których wektory J
KL = M4 − 2,5 − 11N i OL = 2 ∙ M−
• znajomość działań na wektorach
• znajomość definicji wektora przeciwnego
• porównywanie wektorów.
Rozwiązanie:
OL = 2 ∙ M− , 3N = M−2 , 6N a wektor do niego przeciwny to −OL = M2 , −6N
J
KL = −OL czyli M4 − 2,5 − 11N = M2 , −6N
4 − 2 = 2 ∧ 5 − 11 = −6
2 = 2∧5 =5
=1∧ =1
Odpowiedź: = 1 ∧ = 1.
, 3N są przeciwne.
(0p – 1p)
(0p – 1p)
(0p – 1p)
Zad.9. (13p)
Dany jest wykres funkcji P( ). Podaj dla P( ) dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, najmniejszą
i największą wartość w dziedzinie, przedziały monotoniczności. Zbadaj parzystość i okresowość tej funkcji.
Narysuj wykres funkcji Q( ) = P(| |) − 1.
• dziedzina
• zbiór wartości
• miejsca zerowe
• najmniejsza i największa wartość
• monotoniczność: rosnąca, malejąca, stała
• parzystość
• okresowość
• wykresP(| |)
• wykresP(| |) − 1
Rozwiązanie i odpowiedź:
+ = 〈−9,9〉
RS = 〈−5,3〉
P( ) = 0 ⇔ = −2 ∨ = 2
PUVW = −5 ∧ PUX& = 3
P ↗⇔ ∈ 〈−3, −1〉 ∨ ∈ 〈0,1〉 ∨ ∈ 〈3,9〉
P ↘⇔ ∈ 〈−9, −3〉 ∨ ∈ 〈−1,0〉 ∨ ∈ 〈1,3〉
P ⟶⇔ ∈ ∅
P jest funkcją parzystą (wykres symetryczny względem osi OY)
P nie jest funkcją okresową.
P(| |)
(0p – 1p)
(0p – 1p)
(0p – 2p)
(0p – 2p)
(0p – 3p)
(0p – 1p)
(0p – 1p)
(0p – 1p)
(0p – 1p)
P(| |) − 1
Zad.10. (1p)
\]
Podaj miarę stopniową kata " .
• umiejętność przeliczania miar kątów
Rozwiązanie:
_`
^ = ] ∙ 180°. Czyli ^ =
Odpowiedź: ^ = 105°.
\
"
(0p – 1p)
∙ 180° = 105°.
Zad.11. (2p)
'c
Podaj wartość bQ ' d.
• umiejętność stosowania wzorów redukcyjnych
• znajomość wartości funkcji dla kątów charakterystycznych
Rozwiązanie:
'c
]
]
ebQ ' d = bQ f11d + ' g = bQ ' = √3.
Odpowiedź: bQ
'c
'
(0p – 1p)
(0p – 1p)
d = √3.
Zad.12. (3p)
W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych ^, h zachodzi równość 3eij^ − j kh =
Oblicz wartość j kh ∙ eij^.
• analiza zadania (zastosowanie eij = j kh)
• obliczenie j kh
• wykonanie przekształceń
Rozwiązanie:
l
j kh = m ,
l
eij^ = m czyli
3j kh − j kh =
j kh ∙ eij^ =
√
'
,j kh =
5
√5 √5
∙
= 6 6
36
j kh = eij^
√
*
,eij^ =
√
*
Odpowiedź: j kh ∙ eij^ = '*.
Za oryginalne, prawidłowe rozwiązania dodatkowe punkty według oceny nauczyciela.
Ocena:
0p – 15p
1 (ndst)
16p – 20p
2 (dop)
21p – 28p
3 (dst)
29p – 34p
4 (db)
35p – 38p
5 (bdb)
38p
6 (cel)
√
'
.
(0p – 1p)
(0p – 1p)
(0p – 1p)