TEORIA MIARY Lista 10 1. Niech µ będzie miarą, a f ≥ 0

TEORIA MIARY
Lista 10
1. RNiech µ będzie miarą, a f ≥ 0 – mierzalną funkcją na X. Udowodnij,
R
Rże υ(E) =
f dµ jest miarą, i dla każdej mierzalnej funkcji g ≥ 0 mamy g dυ = gf dµ.
E
2. Niech µ Rbędzie miarą na X, f – funkcją całkowalną i ν(dx) = f (x)µ(dx), tzn.
ν(E) = E f dµ. Udowodnij, że ν+ (dx) = f+ (x)µ(dx), ν− (dx) = f− (x)µ(dx),
gdzie
R
f+ = max(f, 0), f− = max(−f, 0), oraz |ν|(dx) = |f (x)|µ(dx), |ν|(X) = |f |dµ.
R
R
5
3. Dla miary ν(H) = H dx − H 1+x
2 dx na prostej znajdź rozkład Hahna oraz |ν|.
4. Co ma większą miarę wahania całkowitego: µ(dx) = 2 sin x dx czy ν(dx) = sin 2x dx?
5. Niech ν1 , ν2 , µ oznaczają pewne miary znakowane na (X, F). Udowodnij:
(a) ν1 ⊥ ν2 oraz ν1 ν2 (tzn. |ν1 | |ν2 |)
=⇒ ν1 = 0,
(b) νi ⊥ µ (tzn. |νi | ⊥ |µ|), ci ∈ R, dla i = 1, 2 =⇒ (c1 ν1 + c2 ν2 ) ⊥ µ,
(c) νi µ, ci ∈ R dla i = 1, 2 =⇒ (c1 ν1 + c2 ν2 ) µ.
R
6. Dla f (x) = ex i r ∈ R definiujemy ν(B) = B f dλ i νr (B) = ν(B + r). Udowodnij,
r
r
że νr λ i znajdź pochodne Radona-Nikodyma dν
oraz dν
.
dλ
dν
dν −1
7. Udowodnij, że jeżeli ν µ oraz µ ν, to dµ
=
.
dν
dµ
R
2
2
8. Czy µ(A) = A×R (2π)−2/2 e−(x +y )/2 dydx jest miarą na borelowskich zbiorach A ⊂
R? Czy µ jest absolutnie ciągła względem miary Lebesgue’a na R? Jaką ma gęstość?
9. Niech miara µ na sigma-ciele F ⊂ 2R generowanym Rprzez odcinki (n, n + 1], n =
0, ±1, ±2, . . . będzie zdefiniowana wzorem µ(F ) = F ln |x| dx. Wyznacz gęstość
dν
(mierzalną względem F).
Radona-Nikodyma dx
***1
R
R
10. Niech µ będzie miarą znakowaną,
f
funkcją
mierzalną
a
całki
f
dµ
i
+
R
R
R
R f dµ− będą
skończone. Definiujemy f dµ = f dµ+ − f dµ− . Udowodnij, że f± dµ± < ∞ i
Z
Z
f dµ ≤ |f | d|µ|.
11. Niech µ będzie miarą skończoną na (X, F). Dla danych zbiorów A, B ∈ F definiujemy miarę znakowaną ν(H) = µ(H ∩ A) − µ(H ∩ B) (H ∈ F). Znajdź jej rozkład
Hahna. Udowodnij, że ν µ. Znajdź pochodną Radona-Nikodyma.
R
R dν
12. Jeżeli f jest ν-całkowalna (tzn. |ν|-całkowalna) i ν µ, to f dν = f dµ
dµ.
13. Niech (X, F) oznacza przestrzeń mierzalną, a M(F)–rodzinę wszystkich skończonych miar znakowanych na F. Udowodnij, że ||ν|| = |ν|(X) jest normą na M(F).
1
Zadania następujące po *** są pulą rezerwową i materiałem do pracy własnej.