3 Miara

25
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3
3
3.1
Miara
Definicja miary i jej podstawowe własności
Niech X będzie niepustym zbiorem, a A ⊂ 2X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy
dowolne odwzorowanie
µ : A → [−∞, +∞]
nazywamy funkcją zbiorów.
Definicja 3.1 Funkcję zbiorów µ na A nazywamy:
(i) addytywną (skończenie addytywną) jeśli
^
(A ∩ B = ∅, A ∪ B ∈ A ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B)).
A,B∈A
(ii) σ-addytywną (przeliczalnie
S∞addytywną) jeśli dla Ai ∈ A, i ≥ 1 takich, że Ai ∩ Aj = ∅
dla i 6= j, i, j ≥ 1 oraz i=1 Ai ∈ A zachodzi równość
µ
∞
[
Ai =
i=1
∞
X
µ(Ai ).
i=1
Stosując indukcję matematyczną łatwo wykazać, że jeśli µ na A jest addytywną funkcją
zbiorów wtedy dla dowolnego ciągu skończonego S
Ai ∈ A, i = 1, . . . , n, n ≥ 1 takiego, że
Ai ∩ Aj = ∅ dla i 6= j, i, j = 1, . . . , n oraz gdy m
i=1 Ai ∈ A dla 2 ≤ m ≤ n, to mamy
równość
µ
n
[
i=1
Ai =
n
X
µ(Ai ).
i=1
Definicja 3.2 Funkcję zbiorów µ : A → [0, +∞] nazywamy miarą (na A) jeśli jest ona
σ-addytywna oraz µ(∅) = 0.
W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi
na rodzinach, które są σ - algebrami.
Definicja 3.3 Niech (X, A) będzie przestrzenią mierzalną, a µ : A → [0, +∞] miarą.
Wtedy uporządkowaną trójkę (X, A, µ) nazywamy przestrzenią z miarą.
Niech będzie dana przestrzeń z miarą (X, A, µ). Jeśli µ(X) < ∞ to miarę µ nazywamy
miarą skończoną. Jeśli natomiast µ(X) = 1, to µ nazywamy miarą probabilistyczną,
a uporządkowaną trójkę (X, A, µ) przestrzenią probabilistyczną. Miarę
S µ nazywamy σskończoną jeśli istnieje przeliczalna rodzina {Ai }i≥1 ⊂ A taka, że ∞
i=1 Ai = X oraz
µ(Ai ) < ∞ dla każdego i ≥ 1 S
lub równoważnie jeśli istnieje przeliczalna rodzina {Bi }i≥1 ⊂
A taka, że Bi ⊂ Bi+1 , i ≥ 1, ∞
i=1 Bi = X oraz µ(Bi ) < ∞ dla każdego i ≥ 1.
26
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3
Twierdzenie 3.4 Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą. Wtedy
P
S
(i) (n ≥ 1, Bi ∈ A, 1 ≤ i ≤ n, Bi ∩ Bj = ∅ dla i 6= j) ⇒ µ ni=1 Bi = ni=1 µ(Bi );
(ii) (A, B ∈ A, B ⊂ A) ⇒ µ(A) ≥ µ(B);
(iii) (A, B ∈ A, B ⊂ A, µ(B) < ∞) ⇒ µ(A \ B) = µ(A) − µ(B);
(iv) A, B ∈ A ⇒ µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B);
P
S
(v) (n ≥ 1, Ai ∈ A, 1 ≤ i ≤ n) ⇒ µ ni=1 Ai ≤ ni=1 µ(Ai ) (subaddytywność);
S
(vi) (Ai ∈ A, Ai ⊂ Ai+1 , i ≥ 1) ⇒ µ ∞
i=1 Ai = limi→∞ µ(Ai );
T
W
(vii) (Ai ∈ A, Ai+1 ⊂ Ai , i ≥ 1, n0 ≥1 µ(An0 ) < ∞) ⇒ µ ∞
i=1 Ai = limi→∞ µ(Ai );
P∞
S
(viii) (Ai ∈ A, i ≥ 1) ⇒ µ ∞
i=1 µ(Ai ) (σ-subaddytywność).
i=1 Ai ≤
Dowód. Ad. (i) Niech Ai ∈ A dla i ≥ 1 i niech
Ai = Bi
dla i = 1, . . . , n,
Ai = ∅ dla i ≥ n + 1.
Wtedy Ai ∩ Aj = ∅ dla i 6= j ≥ 1 oraz
µ
n
[
i=1
∞
∞
n
[
X
X
Bi = µ
Ai =
µ(Ai ) =
µ(Bi ).
i=1
i=1
i=1
Ad. (ii) Jeśli A, B ∈ A oraz B ⊂ A to A = (A \ B) ∪ B (suma rozłączna). Zatem z
punktu (i) oraz z nieujemności miary dostajemy
µ(A) = µ(A \ B) + µ(B) ≥ µ(B).
Ad. (iii) Z punktu (ii) mamy µ(A) = µ(A \ B) + µ(B). Stąd i z założenia µ(B) < ∞
mamy µ(A) − µ(B) = µ(A \ B).
Ad. (iv) Sumę A ∪ B możemy przedstawić jako sumę rozłączną, mianowicie
A ∪ B = A \ (A ∩ B) ∪ A ∩ B ∪ B \ (A ∩ B) .
Z punktu (i) otrzymujemy
µ(A ∪ B) = µ A \ (A ∩ B) + µ A ∩ B + µ B \ (A ∩ B) .
Stąd po dodaniu stronami µ(A ∩ B) mamy
µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ A \ (A ∩ B) + µ A ∩ B + µ B \ (A ∩ B) + µ(A ∩ B)
= µ(A) + µ(B).
27
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3
Ad. (v) Z punktu (iv) dostajemy
µ(A1 ) + µ(A2 ) = µ(A1 ∪ A2 ) + µ(A1 ∩ A2 ) ≥ µ(A1 ∪ A2 ).
Dalej dowód przez indukcję.
Ad. (vi) Oznaczmy B1 = A1 oraz Bn = An \ An−1 dla n > 1. Wtedy
(a) Bn ∩ Bm = ∅ dla n 6= m, n, m ≥ 1;
S
(b) An = nk=1 Bk , n ≥ 1;
S∞
S
(c) ∞
k=1 Bk .
i=1 Ai =
Stąd i z σ-addytywności miary mamy
∞
∞
∞
n
n
[
[
X
[
X
µ
Ai = µ
Bk =
µ(Bk ) = lim
µ(Bk ) = lim µ
Bk = lim µ(An ).
i=1
k=1
n→∞
k=1
n→∞
k=1
k=1
n→∞
Ad. (vii) Zauważmy, że
T∞
T
(a) ∞
i=m Ai , dla każdego m ≥ 1;
i=1 Ai =
T
(b) An0 ⊃ ∞
i=1 Ai .
Stąd i z udowodnionych już własności miary dostajemy
∞
∞
∞
∞
\
(iii) \
\
\
0 µ(An0 ) − µ
Ai = µ An0 \
Ai = µ An0 \
An0 +i = µ An0 ∩
An0 +i
i=1
i=1
=µ
∞
[
i=1
An0 ∩ A0n0 +i = µ
∞
[
i=1
i=1
An0 \ An0 +i
i=1
(vi)
(iii)
= lim µ(An0 \ An0 +i ) = lim µ(An0 ) − µ(An0 +i )
i→∞
i→∞
= µ(An0 ) − lim µ(An0 +i ) = µ(An0 ) − lim µ(Ai ).
i→∞
Otrzymujemy więc
µ
i→∞
∞
\
i=1
Ai = lim µ(Ai ).
i→∞
S
Ad. (viii) Niech Ai ∈ A, i ≥ 1. Oznaczmy Bn = ni=1 Ai , n ≥ 1. Ciąg {Bn }n≥1
jest ciągiem wstępującym i jego suma mnogościowa jest równa sumie mnogościowej ciągu
wyjściowego {Ai }i≥1 . Zatem
∞
∞
n
[
[
[
(vi)
µ
Ai = µ
Bn = lim µ(Bn ) = lim µ
Ai
n=1
i=1
(v)
≤ lim
n→∞
n
X
i=1
n→∞
µ(Ai ) =
∞
X
n→∞
i=1
µ(Ai ).
i=1
2
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3
28
Stwierdzenie 3.5 Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą skończoną i niech Ai ∈ A
dla 1 ≤ i ≤ n. Wtedy
n
n
[
X
X
µ
Ai =
µ(Ai1 ∩ Ai2 ) + · · ·
µ(Ai ) −
i=1
1≤i1 <i2 ≤n
i=1
X
k−1
+ (−1)
µ(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ) + · · ·
1≤i1 <i2 <...<ik ≤n
+ (−1)n−1 µ(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ).
Dowód. Dla n = 1 jest oczywisty. Dla n = 2 wynika z Twierdzenia 3.4 (iv). Dalej
stosując indukcję matematyczną. Zostawiamy to jako ćwiczenie.
2
Przykład 3.6 (a) Niech (X, A) będzie przestrzenią mierzalną oraz niech x ∈ X będzie
ustalonym punktem. Wtedy
(
1 dla x ∈ A,
δx (A) =
A∈A
0 dla x 6∈ A,
jest miarą (delta Diraca).
(b) Niech (X, A) będzie przestrzenią mierzalną. Wtedy
(i) µ ≡ 0 tzn. µ(A) = 0 dla A ∈ A,
(ii) µ(A) = +∞ dla A ∈ A i A 6= ∅ oraz µ(∅) = 0
są miarami.
(c) Niech (X, A) będzie przestrzenią mierzalną, gdzie X jest zbiorem nieprzeliczalnym
oraz A ∈ A wtedy i tylko wtedy, gdy A ≤ IN lub A0 ≤ IN. Wtedy
(
1 gdy A0 ≤ IN,
A∈A
µ(A) =
0 gdy A ≤ IN,
jest miarą na A.
(d) Niech (X, A) będzie przestrzenią mierzalną. Wtedy µ(A) = #(A) jest miarą (miarą
liczącą).
(e) Niech (X, A) będzie przestrzenią mierzalną, gdzie #(X) = ∞ i niech {xi }i≥1 ⊂ X
będzie ustalonym ciągiem.
Załóżmy, że dany jest ciąg liczbowy {pi }i≥1 taki, że
P∞
pi > 0 dla i ≥ 1 oraz i=1 pi = 1. Wtedy
µ=
∞
X
i=1
jest miarą probabilistyczną.
pi · δxi
29
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3
Twierdzenie 3.7 Niech (X, A) będzie przestrzenią mierzalną, gdzie A = σ(C) oraz C jest
π-układem. Załóżmy ponadto, że dane są dwie miary µ i ν na A o własnościach:
(i) µ i ν są σ-skończone na C;
(ii) µ(A) = ν(A) dla każdego A ∈ C.
Wtedy µ = ν tzn. µ(A) = ν(A) dla każdego A ∈ A.
Dowód. Z założenia (i) istnieją:
Ai ∈ C, µ(Ai ) < ∞ dla i ≥ 1 oraz
Bj ∈ C, ν(Bj ) < ∞ dla j ≥ 1 oraz
∞
[
i=1
∞
[
Ai = X,
Bj = X,
j=1
Rozważmy rodzinę {Ai ∩ Bj }i,j≥1 ⊂ C, której elementy oznaczmy
przez Gk , k ≥ 1. Z
S
G
= X. Bez
założeń dostajemy µ(Gk ) = ν(Gk ) < ∞ dla k ≥ 1 oraz ∞
k
k=1
S straty
ogólności możemy założyć, że Gk ⊂ Gk+1 dla k ≥ 1 (wystarczy określić Fn = nk=1 Gk i
zauważyć, że ze Stwierdzenia 3.5 µ(Fn ) = ν(Fn ) < ∞ dla n ≥ 1). Dla k ≥ 1 rozważmy
rodzinę
Dk = { A ∈ A : µ(A ∩ Gk ) = ν(A ∩ Gk ) }.
Łatwo zauważyć, że
(i) C ⊂ Dk ;
(ii) Dk jest λ-układem.
Stąd λ(C) ⊂ Dk ⊂ A. Z Twierdzenia 2.20 mamy λ(C) = σ(C). Zatem
Dk = A,
k ≥ 1.
Niech A ∈ A. Wtedy z Twierdzenia 3.4 (vi) dostajemy
µ(A) = µ(A ∩ X) = µ A ∩
∞
[
k=1
Gk = µ
∞
[
(A ∩ Gk )
k=1
= lim µ(A ∩ Gk ) = lim ν(A ∩ Gk )
k→∞
∞
[
=ν
k→∞
(A ∩ Gk ) = ν(A ∩ X) = ν(A).
k=1
2
Uwaga. Założenie o σ-skończoności miar na C w powyższym twierdzeniu jest istotne.
Rzeczywiście, niech X = IR, C = { (a, b] : a ≤ b, a, b ∈ IR }. Widzimy od razu, że C
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3
30
jest π-układem. Ponadto wiadomo, że σ(C) = B(IR). Rozważmy dwie miary na B(IR):
µ(A) = #(A) oraz ν(A) = ∞ gdy A 6= ∅ i ν(∅) = 0 dla A ∈ B(IR). Jak łatwo zauważyć
µ = ν na C oraz µ 6= ν na B(IR).
Na zakończenie tego tematu zanotujmy jeszcze natychmiastowy wniosek wypływający
z Twierdzenia 3.7
Wniosek 3.8 Niech (X, A) będzie przestrzenią mierzalną, gdzie A = σ(C) oraz C jest
algebrą. Załóżmy ponadto, że dane są dwie miary µ i ν na A o własnościach:
(i) µ i ν są σ-skończone na C;
(ii) µ(A) = ν(A) dla każdego A ∈ C.
Wtedy µ = ν tzn. µ(A) = ν(A) dla każdego A ∈ A.
2
3.2
Miary przedziałów
Oznaczmy
(3.1)
C = { (a, b], (b, ∞) : −∞ ≤ a ≤ b < ∞ }.
Załóżmy ponadto, że dana jest funkcja F : IR → IR niemalejąca i prawostronnie ciągła.
Oznaczmy jeszcze F (+∞) := limx→+∞ F (x) i F (−∞) := limx→−∞ F (x). Określmy funkcję zbiorów µ na C wzorem
(3.2)
µ((a, b]) = F (b) − F (a),
µ((b, +∞)) = F (+∞) − F (b).
Zauważmy, że
(3.3)
µ(∅) = µ((a, a]) = F (a) − F (a) = 0.
Okazuje się, że tak określona funkcja zbiorów jest miarą na C, mianowicie zachodzi
Twierdzenie 3.9 Funkcja zbiorów µ określona wzorem (3.2) jest miarą na C.
Dowód. Jak już zauważyliśmy w (3.3) µ(∅) = 0. Pozostało tylko udowodnić σ-addytywność.
W pierwszej części dowodu wykażemy, że µ jest σ-addytywna na rodzinie
C0 = { (a, b] : a, b ∈ IR } ⊂ C.
S
W tym celu pokażemy najpierw, że µ jest addytywna na C0 . Niech (a, b] = ni=1 (ai , bi ],
gdzie (a, b], (ai , bi ] ∈ C0 dla i = 1, . . . , n oraz (ai , bi ] są parami rozłączne dla i = 1, . . . , n.
31
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3
Bez straty ogólności możemy założyć, że rozpatrywane przedziały są niepuste oraz możemy
je ponumerować w następujący sposób:
a = a1 < b1 = a2 < b2 = a3 < . . . < bn−1 = an < bn = b.
Wtedy
µ((a, b]) = F (b) − F (a) = F (bn ) − F (a1 ) =
n
X
n
X
F (bi ) − F (ai ) =
µ((ai , bi ]),
i=1
i=1
co kończy dowód addytywności µ na C0 . Udowodnimy teraz subaddytywność (w pewnym
sensie) µ na C0 tzn. jeśli
(a, b] ⊂
n
[
(ai , bi ], gdzie (a, b], (ai , bi ] ∈ C0 ,
dla i = 1, 2, . . . , n
i=1
to
µ((a, b]) ≤
n
X
µ((ai , bi ]).
i=1
Dowód indukcyjny. Dla n = 1. Niech (a, b] ⊂ (a1 , b1 ]. Ponieważ funkcja F jest niemalejąca,
więc
µ((a, b]) = F (b) − F (a) ≤ F (b1 ) − F (a1 ) = µ((a1 , b1 ]).
Dla n > 1. Niech
(a, b] ⊂
n+1
[
(ai , bi ], gdzie (a, b], (ai , bi ] ∈ C0 ,
dla i = 1, 2, . . . , n.
i=1
Bez straty ogólności możemy dodatkowo założyć, że
b ∈ (an+1 , bn+1 ].
a1
a
b1
an+1
b
bn+1
Gdy a > an+1 to dowodzona własność subaddytywności jest oczywista z założenia indukcyjnego. Gdy a ≤ an+1 to
(a, an+1 ] ⊂
n
[
(ai , bi ],
i=1
więc ponownie korzystając z założenia indukcyjnego otrzymujemy
32
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3
µ((a, an+1 ]) ≤
n
X
µ((ai , bi ]).
i=1
Stąd
µ((a, b]) = µ (a, an+1 ] ∪ (an+1 , b] = µ((a, an+1 ]) + µ((an+1 , b])
≤
n
X
µ((ai , bi ]) + µ((an+1 , b]) ≤
i=1
n+1
X
µ((ai , bi ]).
i=1
Wykażemy teraz σ-addytywność µ na C0 . Niech
(a, b] =
∞
[
(ai , bi ] gdzie (a, b], (ai , bi ] ∈ C0 ,
dla i = 1, 2, . . . ,
i=1
S
gdzie (ai , bi ] są parami rozłączne dla i ≥ 1. Niech n > 1 i rozważmy ni=1 (ai , bi ]. Możemy
założyć, że
a ≤ a1 < b1 ≤ a2 < b2 ≤ a3 < . . . < bn−1 ≤ an < bn ≤ b.
Mamy więc
(a, b] = (a, a1 ] ∪
(3.4)
n
[
(ai , bi ] ∪
i=1
n−1
[
(bi , ai+1 ] ∪ (bn , b].
i=1
Suma po prawej stronie (3.4) jest rozłączna, więc korzystając z addytywności otrzymujemy
µ((a, b]) = µ((a, a1 ]) +
n
X
µ((ai , bi ]) +
i=1
n−1
X
µ((bi , ai+1 ]) + µ((bn , b]) ≥
i=1
n
X
µ((ai , bi ]).
i=1
Stąd dla każdego n > 1 mamy
µ((a, b]) ≥
n
X
µ((ai , bi ]),
i=1
czyli
µ((a, b]) ≥
∞
X
µ((ai , bi ]).
i=1
Udowodnimy teraz nierówność w drugą stronę. Z prawostronnej ciągłości funkcji F mamy
dla każdego ε > 0
_
ε
µ((a, a + δ]) = F (a + δ) − F (a) < ,
2
δ>0
_
ε
µ((bi , bi + δi ]) = F (bi + δi ) − F (bi ) < i+1 , dla i ≥ 1.
2
δi >0
33
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3
a
a+δ
ai
Mamy
[a + δ, b] ⊂ (a, b] =
bi
∞
[
(ai , bi ] ⊂
i=1
∞
[
b
(ai , bi + δi ).
i=1
Ze zwartości przedziału [a + δ, b] istnieje n ≥ 1 (patrz Dodatek) takie, że
[a + δ, b] ⊂
n
[
(aij , bij + δij ).
j=1
Stąd
n
[
(a + δ, b] ⊂
(aij , bij + δij ].
j=1
Zatem
n
µ((a, b]) = µ((a, a + δ]) + µ((a + δ, b]) ≤
ε X
+
µ((aij , bij + δij ])
2
j=1
=
ε
+
2
≤ε+
n
X
µ((aij , bij ]) +
j=1
n
X
n
X
µ((bij , bij + δij ])
j=1
µ((aij , bij ]) ≤ ε +
j=1
∞
X
µ((ai , bi ]).
i=1
Z dowolności ε > 0 otrzymujemy
µ((a, b]) ≤
∞
X
µ((ai , bi ]).
i=1
Tym samym została zakończona pierwsza część dowodu tzn. udowodniliśmy σ-addytywność
µ na C0 .
W drugiej części dowodu wykażemy, że µ jest σ-addytywna na C. W tym celu wystarczy
rozważyć dwa przypadki
(3.5)
(3.6)
(−∞, b] =
(b, ∞) =
∞
[
i=1
∞
[
i=1
Ii ,
b ∈ IR,
Ii ,
b ∈ IR,
34
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3
gdzie Ii ∈ C i są parami rozłączne dla i ≥ 1. Załóżmy, że zachodzi (3.5). Rozważmy dwa
przypadki
(a) Załóżmy, że istnieje i0 takie, że Ii0 = (−∞, bi0 ] (z rozłączności parami wynika, że
wśród Ii , i ≥ 1 może istnieć tylko jeden taki nieograniczony przedział). Mamy więc
[
(ai , bi ] = (−∞, bi0 ] ∪ (bi0 , b],
(−∞, b] = (−∞, bi0 ] ∪
i6=i0
gdzie ai ∈ IR dla i 6= i0 oraz bi ∈ IR dla i ≥ 1. Stąd i z udowodnionej σ-addytywności
µ na C0 mamy
µ((−∞, b]) = F (b) − F (−∞) = F (b) − F (bi0 ) + F (bi0 ) − F (−∞)
∞
X
X
µ((ai , bi ]) =
µ((ai , bi ]).
= µ((−∞, bi0 ]) + µ((bi0 , b]) = µ((−∞, bi0 ]) +
i=1
i6=i0
(b) Załóżmy, że Ii = (ai , bi ], i ≥ 1, gdzie ai , bi ∈ IR dla i ≥ 1. Dowód rozbijemy na dwa
podprzypadki
(i) Niech F (−∞) > −∞. Wtedy z (3.5) mamy
_ ^ _
(3.7)
ain < −n ≤ bin .
n0 n≥n0
in
Zatem dla każdego n ≥ 1 możemy napisać
[
(−∞, b] = (−∞, ain ] ∪
(ai , bi ] = (−∞, ain ] ∪ (ain , b]
ai ≥ain
oraz
µ((−∞, b]) = F (b) − F (−∞) = F (b) − F (ain ) + F (ain ) − F (−∞)
= µ((ain , b]) + F (ain ) − F (−∞)
∞
X
X
µ((ai , bi ]) + F (ain ) − F (−∞) −−−→
µ((ai , bi ]),
=
n→∞
ai ≥ain
i=1
bo na mocy (3.7) ain → −∞, gdy n → ∞.
(ii) Niech F (−∞) = −∞ tzn. µ((−∞, b]) = +∞. Dla dowodu wystarczy więc
wykazać, że
(3.8)
∞
X
i=1
µ((ai , bi ]) = +∞.
35
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3
Korzystając z dowodu (i) dostajemy
X
µ((ai , bi ]) = µ((ain , b]) = F (b) − F (ain ) −−−→ +∞,
n→∞
ai ≥ain
bo na mocy (3.7) ain → −∞, gdy n → ∞, co dowodzi (3.8).
Tak więc dowód w przypadku (3.5) został zakończony. Nietrudno zauważyć, że dowód dla
przypadku (3.6) przebiega analogicznie jak dla (3.5). Rozpatruje się te same podprzypadki
(z oczywistą zamianą −∞ na +∞). Zostawiamy więc ten przypadek jako ćwiczenie.
2
Uwaga. Zauważmy, że przyjmując F (x) = x dla x ∈ IR dostajemy miarę na C dla której
µ((a, b]) = b − a dla a, b ∈ IR oraz µ(I) = +∞ jeśli I ∈ C i I jest przedziałem nieograniczonym. Miarę tę będziemy oznaczać przez λ i nazywać miarą Lebesgue’a na C. W dalszej
części skryptu będziemy starali się rozszerzyć miarę Lebesgue’a na algebrę a następnie
na σ-algebrę generowaną przez rodzinę C. Rozszerzenie λ na algebrę generowanę przez C
wynika z następującego twierdzenia.
Twierdzenie 3.10 Niech C będzie rodziną podzbiorów określoną wzorem (3.1) i niech µ
będzie miarą na C. Wtedy możemy µ jednoznacznie rozszerzyć do miary µ0 na α(C) tzn.
takiej, że µ0 |C = µ.
Dowód. Dowód zaczniemy od wykazania równości α(C) = G, gdzie
G=
n
n [
o
Ai : Ai ∈ C, i = 1, . . . , n, Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j, i, j = 1, . . . , n, n ≥ 1 .
i=1
Rodzina G jest algebrą, bo
(i) Z (3.1) mamy ∅ ∈ C oraz C ⊂ G, więc ∅ ∈ G;
S
(ii) Niech A ∈ G. Wtedy A = ni=1 Ai , gdzie Ai ∈ C dla 1 ≤ i ≤ n, Ai ∩ Aj = ∅
T
dla i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n oraz n ≥ 1. Stąd A0 = ni=1 A0i . Ponieważ dopełnienie
każdego elementu rodziny C jest rozłączną (skończoną) sumą elementów rodziny C
(co natychmiast wynika z definicji rodziny C) więc możemy napisać
0
A =
mi
n [
\
Ai,ji ,
Ai,ji ∈ C,
ji = 1, . . . , mi ,
i = 1, . . . , n
i=1 ji =1
oraz dla każdego 1 ≤ i ≤ n zbiory Ai,ji są dla ji = 1, . . . , mi parami rozłączne.
Korzystając z rozdzielności iloczynu monogościowego względem sumy mnogościowej
dostajemy
0
A =
[
n
\
(j1 ,...,jn )∈J1 ×···×Jn i=1
Ai,ji ,
gdzie Ji = {1, 2, . . . , mi }, i = 1, 2, . . . , n.
36
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3
Tn
∈ C dla 1 ≤ i ≤ n (bo z definicji C wynika natychmiast, że
T
rodzina ta jest zamknięta na skończone przekroje) oraz ni=1 Ai,ji są parami rozłączne
Zauważmy, że
i=1 Ai,ji
tzn. dla (i1 , . . . , jn ), (j10 , . . . , jn0 ) ∈ J1 × · · · × Jn takich, że (i1 , . . . , jn ) 6= (j10 , . . . , jn0 )
mamy
n
n
\
\
Ai,ji ∩
Ai,ji0 = ∅.
i=1
Zatem
A0
i=1
∈ G.
(iii) Niech A, B ∈ G. Wtedy
A=
B=
n
[
Ai ,
i=1
m
[
Bj ,
Ai ∈ C, 1 ≤ i ≤ n, Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n, n ≥ 1,
Bj ∈ C, 1 ≤ j ≤ m, Bj ∩ Bk = ∅, j 6= k, 1 ≤ j, k ≤ m, m ≥ 1.
j=1
Zatem
A∩B =
n
[
Ai ∩
i=1
m
[
Bj =
j=1
n [
m
[
Ai ∩ B j .
i=1 j=1
Ponieważ Ai ∩ Bj ∈ C dla 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m oraz Ai ∩ Bj są parami rozłączne
dla 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, więc A ∩ B ∈ G, czyli G jest algebrą.
Ponieważ C ⊂ G.
Sn Zatem z definicji α(C) mamy zawieranie α(C) ⊂ G. Z drugiej strony
rozłączne sumy i=1 Ai , gdzie Ai ∈ C, 1 ≤ i ≤ n muszą należeć do α(C). Zatem z definicji
G wynika, że G ⊂ α(C) co ostatecznie dowodzi równości α(C) = G.
Określmy teraz µ0 : α(C) → [0, +∞] wzorem
µ0 (A) =
(3.9)
n
X
A ∈ α(C),
µ(Ai ),
i=1
gdzie
A=
n
[
Ai ,
Ai ∈ C, 1 ≤ i ≤ n, Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n, n ≥ 1.
i=1
Wykażemy, że µ0 jest dobrze określona tzn., gdy
A=
n
[
i=1
Ai =
m
[
j=1
Bj ∈ α(C),
37
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3
gdzie
Ai ∈ C, 1 ≤ i ≤ n,
Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n, n ≥ 1,
Bj ∈ C, 1 ≤ j ≤ m,
to
Bj ∩ Bk = ∅, j 6= k, 1 ≤ j, k ≤ m, m ≥ 1,
n
X
m
X
µ(Ai ) =
i=1
µ(Bj ).
j=1
Rzeczywiście
n
X
µ(Ai ) =
i=1
n
m
n
m
X
[
X
[
µ Ai ∩
Bj =
µ
(Ai ∩ Bj )
i=1
=
j=1
n X
m
X
i=1
j=1
m
n
m
[
X
X
µ(Ai ∩ Bj ) =
µ
(Ai ∩ Bj ) =
µ(Bj ).
i=1 j=1
j=1
i=1
j=1
Wykażemy, że µ0 jest miarą na α(C). Warunek µ0 (∅) = 0 jest oczywisty. Pozostała do
0
wykazania
S∞ σ-addytywność µ . Niech An ∈ α(C), n ≥ 1, An ∩ Am = ∅, n 6= m, n, m ≥ 1
oraz n=1 An ∈ α(C). Ponieważ elementy α(C) są rozłącznymi sumami elementów z C więc
∞
[
An =
n=1
m
[
Bi ∈ C, 1 ≤ i ≤ m, Bi ∩ Bj = ∅, i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ m.
Bi ,
i=1
Z tego samego powodu dla każdego n ≥ 1 mamy
An =
kn
[
An,j
An,j ∈ C, 1 ≤ j ≤ kn , An,i ∩ An,j = ∅, i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ kn .
j=1
Stąd dostajemy
∞
[
Bi = Bi ∩
(3.10)
An =
n=1
∞
[
Bi ∩ An =
n=1
kn
∞ [
[
(Bi ∩ An,j )
n=1 j=1
Elementy ostatnich sum w (3.10) są parami rozłączne i należą do C więc z σ-addytywności
µ na C dostajemy
kn
∞ X
X
µ(Bi ) =
µ(Bi ∩ An,j ).
n=1 j=1
Stąd i z definicji
µ
0
µ0
∞
[
mamy
An = µ
n=1
0
m
[
Bi =
i=1
=
kn
∞ X
m X
X
n=1 i=1 j=1
m
X
µ(Bi ) =
i=1
µ(Bi ∩ An,j ) =
kn
m X
∞ X
X
µ(Bi ∩ An,j )
i=1 n=1 j=1
∞
X
n=1
µ0 (An ),
38
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3
bo
An = An ∩
m
[
Bi =
i=1
kn
m [
[
(Bi ∩ An,j ).
i=1 j=1
Tak więc µ0 jest miarą. Jednoznaczność roszerzenia wynika natychmiast z (3.9). Na koniec
zauważmy jeszcze oczywistość µ0 |C = µ.
2
Uwaga. Ponieważ rozszerzenie
miary µ na algebrę α(C) jest jednoznaczne będziemy
oznaczać je takim samym symbolem jak wyjściową miarę µ.
µ0
Stosując powyższe twierdzenie możemy teraz rozszerzyć miarę Lebesgue’a λ na algebrę α(C). Mamy więc określoną miarę λ na zbiorach, które są rozłącznymi i skończonymi
sumami przedziałów z C. W dalszym ciągu będziemy się starali rozszerzyć miarę Lebesgue’a na rodzinę bardziej złożonych zbiorów. Okazuje się, że takie dalsze rozszerzenie jest
możliwe, mianowicie stosując tzw. procedurę Carathodorego możemy rozszerzyć miarę Lebesgue’a m.in. na σ-algebrę generowaną przez C tj. na σ-algebrę zbiorów borelowskich
(patrz Twierdzenie 2.12 i Uwaga po tym twierdzeniu), a nawet na trochę szerszą σ-algebrę
(zawierającą σ-algebrę zbiorów borelowskich) tzw. σ-algebrę zbiorów Lebesgue’a. Z tą
metodą zapoznamy się w dalszej części skryptu.
3.3
Zadania
Zad. 1. Niech #(X) = ∞. Określmy funkcję zbiorów ϕ : 2X → [0, ∞] wzorem
(
0
gdy #(A) < ∞,
ϕ(A) =
+∞ gdy #(A) = ∞.
Wykazać, że ϕ jest addytywna ale nie jest σ-addytywna.
Zad. 2. Wykazać, że
(a) Niech X będzie będzie niepustym zbiorem oraz niech x ∈ X będzie ustalonym punktem. Wtedy
(
1 dla x ∈ A,
δx (A) =
A ∈ 2X
0 dla x 6∈ A,
jest miarą (tzw. Delta Diraca).
(b) Niech (X, A) będzie przestrzenią mierzalną. Wtedy
(i) µ ≡ 0 tzn. µ(A) = 0 dla A ∈ A;
(ii) µ(A) = +∞ dla A ∈ A i A 6= ∅ oraz µ(∅) = 0.
są miarami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3
39
(c) Niech (X, A) będzie przestrzenią mierzalną, gdzie X jest zbiorem nieprzeliczalnym
oraz A ∈ A wtedy i tylko wtedy, gdy A ≤ IN lub A0 ≤ IN. Wtedy
(
1 gdy A0 ≤ IN,
A∈A
µ(A) =
0 gdy A ≤ IN,
jest miarą na A.
(d) Niech (X, A) będzie przestrzenią mierzalną. Wtedy µ(A) = #(A) jest miarą (miarą
liczącą).
(e) Niech (X, A) będzie przestrzenią mierzalną, gdzie #(X) = ∞ i niech {xi }i≥1 ⊂ X
będzie ustalonym ciągiem.
Załóżmy, że dany jest ciąg liczbowy {pi }i≥1 taki, że
P
pi > 0 dla i ≥ 1 oraz ∞
p
= 1. Wtedy
i
i=1
µ=
∞
X
pi · δxi
i=1
jest miarą probabilistyczną.
Zad. 3. Niech X = (0, 1] i niech A będzie algebrą z zadania 14 rozdział 2. Określmy
funkcję zbiorów µ : A → {0, 1} wzorem
1, (1/2, b] ⊂ A dla pewnego 1/2 < b ≤ 1,
A ∈ A.
µ(A) =
0, w przeciwnym przypadku,
Sprawdzić, czy µ jest miarą na A.
Zad. 4∗ . Niech (X, d) będzie przestrzenia metryczną, a x ∈ X będzie ustalonym punktem takim, że zbiór {x} nie jest zbiorem otwartym. Zbiór F ⊂ X nazywamy sąsiedztwem
punktu x, jeśli jest on postaci F = U \ {x}, gdzie U jest otoczeniem punktu x. Określmy
rodzinę zbiorów A ⊂ 2X następująco: A ∈ A wtedy i tylko wtedy, gdy A zawiera pewne
sąsiedztwo punktu x lub A jest rozłączny z pewnym sąsiedztwem x. Zdefiniujmy funkcję
zbiorów ϕ : A → [0, +∞] wzorem
(
1 gdy A zawiera pewne sąsiedztwo x,
ϕ(A) =
A ∈ A.
0 gdy A jest rozłączny z pewnym sąsiedztwem x,
(a) Pokazać, że A jest algebrą, a ϕ miarą skończenie addytywną.
(b) Sprawdzić, czy ϕ jest σ-addytywna.
Zad. 5. Niech (X, A) będzie przestrzenią mierzalną, a µ : A → [0, ∞] addytywną funkcją
zbiorów na A taką, że µ(∅) = 0 i µ jest σ-subaddytywna. Wykazać, że µ jest miarą.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3
40
Zad. 6. Niech µ i ν będą miarami na przestrzeni mierzalnej (X, A). Wykazać, że µ + ν
oraz aµ dla a ≥ 0 są też miarami.
Zad. 7. Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą i niech An ∈ A, n ≥ 1. Wykazać, że
µ
[
∞
An
= 0 ⇐⇒ µ(An ) = 0 dla każdego n ≥ 1.
n=1
Zad. 8. Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą, gdzie miara µ jest σ-skończona i
µ(X) = +∞. Pokazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M > 0 istnieje A ∈ A takie, że
M < µ(A) < +∞.
Zad. 9. Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą. Wykazać, że dla A, B ∈ A mamy
µ(A 4 B) = 0
=⇒
µ(A) = µ(B).
Zad. 10. Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Niech A1 , . . . , An ∈ A są
takie, że
n
X
µ(Ai ) > n − 1.
i=1
Wykazać, że
µ
n
\
Ai > 0.
i=1
Zad. 11. Niech (X, A) będzie przestrzenią mierzalną, a µ : A → [0, ∞] skończenie addytywną funkcją zbiorów taką, że µ(∅) = 0. Wykazać, że µ jest miarą wtedy i tylko wtedy,
gdy dla każdego ciągu {Ai }i≥1 takiego, że Ai ⊂ Ai+1 dla i ≥ 1 mamy
µ
[
∞
Ai
= lim µ(Ai ).
i→∞
i=1
Zad. 12. Niech (X, A) będzie przestrzenią mierzalną, a µ : A → [0, ∞] skończenie addytywną funkcją zbiorów taką, że µ(∅) = 0 i µ(X) < ∞. Wykazać, że µ jest miarą (skończoną)
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu {Ai }i≥1 takiego, że Ai+1 ⊂ Ai dla i ≥ 1 mamy
µ
\
∞
i=1
Ai
= lim µ(Ai ).
i→∞
Zad. 13. Niech (X, A) będzie przestrzenią mierzalną, a µ : A → [0, ∞] skończenie addytywną funkcją zbiorów taką, że µ(∅) = 0 i µ(X) < ∞. Wykazać, że µ jest miarą
41
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3
(skończoną)
T wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu {Ai }i≥1 takiego, że Ai+1 ⊂ Ai dla
i≥1i ∞
i=1 Ai = ∅ mamy
lim µ(Ai ) = 0.
i→∞
Zad. 14. Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą oraz niech Bn ∈ A, n ≥ 1 będą takie,
że µ(Bn \ Bn+1 ) = 0 dla n ≥ 1. Wykazać, że
µ
[
∞
= lim µ(Bi ).
Bi
i→∞
i=1
Zad. 15. Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą skończoną µ. Wykazać, że dla dowolnych A1 , . . . , An ∈ A zachodzi
µ
[
n
Ai
i=1
=
n
X
X
(−1)k−1
µ(Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ).
1≤i1 <...<ik ≤n
k=1
Zad. 16. Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą i niech {An }n≥1 ⊂ A będzie taki, że
µ(Ai ∩ Aj ) = 0 dla i 6= j, i, j ≥ 1. Wykazać, że
µ
[
∞
An
=
n=1
∞
X
µ(An ).
n=1
Zad. 17. Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz niech {An }n≥1 ,
{Bn }n≥1 ⊂ A będą takie, że Bn ⊂ An dla n ≥ 1. Wykazać nierówność
µ
∞
[
n=1
An − µ
∞
[
Bn ≤
n=1
∞
X
µ(An ) − µ(Bn ) .
n=1
Zad. 18. Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech {An }n≥1 ⊂ A
będzie taki, że µ(An ) = 1 dla n ≥ 1. Wykazać równość
µ
∞
\
An = 1.
n=1
Zad. 19. Niech (X, A) będzie przestrzenią mierzalną i niech {µn }n≥1 będzie ciągiem miar
na A. Załóżmy, że µn (A) ≤ µn+1 (A) dla A ∈ A i n ∈ IN. Wykazać, że funkcja zbiorów
µ : A → [0, ∞] dana wzorem
µ(A) = lim µn (A),
n→∞
A∈A
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3
42
jest miarą.
Zad. 20∗ . Niech (X, B(X), µ) będzie przestrzenią z miarą skończoną µ, gdzie (X, d) jest
przestrzenią metryczną. Wykazać, że dla dowolnego ε > 0 i dla dowolnego A ∈ B(X)
istnieją zbiór otwarty U i zbiór domknięty F takie, że F ⊂ A ⊂ U i µ(U \ F ) < ε.
Zad. 21. Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą skończoną µ, gdzie A = σ(C) oraz C
jest algebrą. Wykazać, że algebra C jest gęsta w A (względem miary µ) tzn.
^ ^ _
µ(A 4 B) < ε.
ε>0 A∈A B∈C
Zad. 22∗ . Niech F będzie ultrafiltrem podzbiorów zbioru X. Określmy
(
1 gdy A ∈ F,
ϕ(A) =
,
A ∈ 2X .
0 gdy A 6∈ F,
(a) Pokazać, że ϕ jest addytywna na 2X .
(b) Niech #(X) = ∞ i niech ϕ : 2X → {0, 1} będzie addytywną funkcją zbiorów oraz
ϕ(X) = 1. Wykazać, że { A ⊂ X : ϕ(A) = 1} jest ultrafiltrem.
(c) Wykazać, że jeśli #(X) = ∞ to istnieje addytywna funkcja zbiorów ϕ : 2X → {0, 1}
taka, że ϕ(A) = 0 dla każdego skończonego zbioru A ⊂ X i ϕ(X) = 1.
(d) Wykazać, że jeśli X jest zbiorem przeliczalnym to funkcja zbiorów ϕ z punktu (c) nie
może być σ-addytywna.