Repetytorium matematyki elementarnej. Zestaw 2

Repetytorium matematyki elementarnej. Zestaw 2

Repetytorium matematyki elementarnej
kierunek: Informatyka, specjalno±¢: ISI
I rok SI◦ in»., grupy: 1,2, rok akademicki 2016/2017
Wªasno±ci funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej
1. Wyznaczy¢ dziedzin¦ (naturaln¡) funkcji
(e)
√
√
f (x) = x − 1 + 6 − x,
√
1
f (x) = x2 − x − 2 + √3+2x−x
2,
√
f (x) = sin x − 1,
2 −5x+6
f (x) = log xx2 +4x+6
,
q
2
f (x) = log 5x−x
,
4
(f)
f (x) = logx2 −3 (x2 + 2x + 3),
(a)
(b)
(c)
(d)
2. Okre±li¢ funkcj¦
f,
f (x + 1) = x2 − 3x + 2,
(b)
f (3x − 1) = 2x2 − sin x,
f
f
(c)
(d)
f (x) =
f (x) =
5x
,
3x2 +1
x
,
1+|x|
f (x) =
f (x) =
x2 +2
,
x2 +1
x
,
2x2 −1
5. Dana jest funkcja
f (x) = log2 log3 log4 x,
p
f (x) = cos(sin x),
(i)
f (x) =
x+1
x
2 x−2 −1
(j)
f (x) =
ctgx
1−ctgx
(k)
f (x) = √ 1
(c)
f (x − x1 ) = x2 +
|x|−x
f.
Czy
f
a liczb¦ k
.
jest injekcj¡? Czy
√
f
f (x) =
√
x − x2 ,
(f)
f (x) =
d−c
2
(g)
f (x) =
x
3x2 +5
|x2 + 2x − 3| = a .
f
d+c
,
2
c < d,
jest bijekcj¡?
4x − x2
f : [0, 6] −→ [0, 10], f (x) = log(x2 + 6x + 8)
(c)
f : [0, 2] −→ [−5, 110], f (x) = 3x4 − 28x3 + 72x2 − 5
(d)
f : R −→ [−
(e)
f : R −→ R, f (x) = 3x − 2,
(f)
f : [2, +∞) −→ [0, +∞), f (x) = x2 − 4x + 5,
(g)
f : (−∞, 1] −→ [−∞, 2], f (x) = 1 + 2x − x2 .
√
f (x) =
x
,
3x2 +5
f , f (x) = 2 log(x + 1)
f : R −→ R, g : [1, +∞],
zªo»enia funkcji: f ◦ g oraz g ◦ f .
7. Dane s¡ funkcje
8. Zbada¢ monotoniczno±¢ funkcji
sin x +
jest surjekcj¡? Czy
(b)
6. Wykaza¢, »e funkcja
pierwiastków równania
(e)
f : [0, 4] −→ [0, 2], f (x) =
√
15
15
,
],
30
30
1
.
x2
f:
(a)
znaczy¢
,
i naszkicowa¢ jej wykres.
4. Wyznaczy¢ zbiór warto±ci funkcji
(b)
(h)
przyporz¡dkowuje liczbie rzeczywistej
Wyznaczy¢ dziedzin¦ funkcji
(a)
(g)
je±li
(a)
3. Funkcja
f:
jest ró»nowarto±ciowa w zbiorze
okre±lone wzorami
f.
1
(−1, +∞).
1
f (x) = x2 + 3, g(x) = (x − 1) 2 .
Wy-
(a)
√
f (x) = − x,
(c)
f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0,
(b)
f (x) = x2 + 1,
(d)
f (x) = x3 + 3x + 5.
(f)
1−x
,
f (x) = log 1+x
(g)
f (x) = 2x3 − x + 1 ,
(h)
f (x) = x aax +1
,
−1
x2 dla x ∈ Q
f (x) =
−x2 dla x 6∈ Q
9. Zbada¢ parzysto±¢ funkcji
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
f.
2
2x +x+1
f (x) = x log 2x
,
2
√ −x+1
f (x) = log( 1 + 4x2 − 2x),
√
f (x) = log(x + 1 + x2 ),
2
x + x + 1 dla x ≤ 0
f (x) =
x2 − x + 1 dla x > 0
f (x) =
,
(i)
x3 +1
,
x2 −1
10. Dana jest funkcja
f
okre±lona na przedziale
(0, +∞).
x
Okre±li¢ t¦ funkcj¦ na zbiorze
.
(−∞, 0]
w taki
sposób, aby otrzyma¢ funkcj¦ parzyst¡.
(a)
f (x) = 2x ,
(b)
11. Przedstawi¢ funkcj¦
(a)
f (x) =
(b)
(c)
w postaci sumy funkcji parzystej i nieparzystej.
x+2
,
1+x2
(b)
12. Zbada¢, czy funkcja
(a)
f
f
h = f ◦ g , h(x) = x3 + x − 3,
14. Wyznaczy¢, o ile istniej¡, zªo»enia
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
f (x) = ax .
jest okresowa. Dla funkcji okresowej wyznaczy¢, o ile istnieje, okres zasadniczy.
f (x) = 5 sin 4x,
f (x) = − 21 tg x−π
,
3
q
f (x) = sin 12 x + cos 31 x,
13. Dana jest funkcja
f (x) = 2x − x2 .
f ◦ g, g ◦ f ,
√
√
sin x + cos( 2x),
(d)
f (x) =
(e)
f (x) = cos πx
+ sin 3πx
.
3
2
gdzie
g(x) = x + 2.
Okre±li¢ funkcj¦
je±li
√
f (x) = x2 + 5, g(x) = x − 2
3x gdy x < 0
sin x gdy |x| ≤
f (x) =
, g(x) =
1 gdy x ≥ 0
cos x gdy |x| >

 1 gdy x ≥ 1
x gdy −1 ≤ x < 1 , g(x) = 2 sin x,
f (x) =

−x2 gdy x < −1

 −1 gdy x < 0
0 gdy x = 0 , g(x) = |x|,
f (x) = sgnx =

1 gdy x > 0
π
2
π ,
2
f (x) = sgnx, g(x) = [x] = max{z ∈ R : z ≤ x}.
15. Funkcja
f
ma dziedzin¦
[0, 1].
Wyznaczy¢ dziedzin¦ funkcji
g,
okre±lonej wzorem:
(a)
g(x) = f (x − 5),
(c)
g(x) = f (tgx),
(b)
g(x) = f (3x2 ),
(d)
g(x) = f (sinx).
2
f.
16. Wykaza¢ ró»nowarto±ciowo±¢ funkcji
f
−1
odwrotn¡ do
f , f (x) = x4 − 2x2 + 1
(b)
(c)
(d)

 2x gdy x < 1
2x2 gdy 1 ≤ x ≤ 4
f (x) =
 x+1
2
gdy x > 4
(e)
f (x) = 2 x−1 ,
(f)
f : [0, 1] −→ R, f (x) =
(d)
f (x) = cos x, x ∈ [0, π],
1−x
,
1+x
f (x) = 5log x ,
18. Naszkicowa¢ wykres funkcji odwrotnej do funkcji
(a)
Wyznaczy¢ funkcj¦
f:
f (x) = 4x + 5,
f (x) =
[1, +∞).
f.
17. Wyznaczy¢ funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji
(a)
w zbiorze
f (x) = 21 x − 1,
x
√
f:
(b)
f (x) = 1 − x , x ≥ 0,
(e)
f (x) = tgx, x ∈ (− π2 , π2 ),
(c)
f (x) = sin x, x ∈ [− π2 , π2 ],
(f)
f (x) = ctgx, x ∈ (0, π).
2
3
1 − x2 .
,