pobierz

Lista nr 2
AiR sem.I, studia stacjonarne I stopnia, 2016/17
Funkcje wykładnicze i logarytmiczne. Własności funkcji
1. Sporządzić wykresy funkcji:
a) f (x) = −2x + 1,
b) f (x) = −3x−1 + 2,
c) f (x) = 2x+|x| ,
d) f (x) =
x+4
1
,
3
e) f (x) =
|x|
1
.
2
2. Rozwiązać równania:
a) 5x − 53−x = 20,
b) 49x − 6 · 7x + 5 = 0,
√ !−x
2
d) 0, 125 · 42x−3 =
,
8
x
√ x+12
1
3−x
g)
3
=
,
9
3 x
√
e)
= 1, 5,
3
2 · 3 x−1
x x−1
4
27
log 4
h)
=
,
9
8
log 8
√
3
√
c) 4
x−2
√
+ 16 = 10 · 2
x−2
,
q
√
1
f) 16 (0, 25)5− 4 x = 2x−1 ,
2
i)
√
x
3−
√
2x
3 = 2.
3. Rozwiązać nierówności:
a) 0, 5
x+1
x−1
x −1−x
1
1
b)
−
­ 1,
2
2
r
x3 +4x2 −x− 92
4
3
­
,
e)
4
3
1
>
,
32
d) 32x > 3x + 2,
g) (4, 5)15(x−7) − (0, 25 · 81)x−0,5 < 0,
1
1
1
c) 3x+ 2 + 3x− 2 > 4x+ 2 − 22x−1 ,
f)
9x
7
2
­ x
,
−2
3 −1
h) 3 · 5x − 2 · 5x−1 + 2, 4 > 5x+1 .
4. Sporządzić wykresy funkcji:
a) f (x) = − log2 x + 1,
e) f (x) = log 21 x .
b) f (x) = log3 (x − 1),
5. Rozwiązać równania:
c) f (x) = log 21 (2 − x),
√
x − 5 + log
√
d) f (x) = log2 |x|,
2x − 3 + 1 = log 30,
a) log(x − 2) − log(4 − x) = 1 − log(13 − x),
b) log
c) log(0, 5 + x) = log 0, 5 − log x,
d) log16 x + log4 x + log2 x = 7,
√ log5 x−1
f)
x
= 5,
e) log3 x + log√3 x + log 13 x = 6,
p
√
g) xlog x = 10.
6. Rozwiązać nierówności:
a) log2 (x − 1) − 2 log(x − 1) > 0,
b) log2 (x + 14) + log2 (x + 2) ­ 6,
c) xlog2 x+4 < 32,
d) log2 (x + 1) + logx+1 2 ¬
e) logx 2 + logx2 2 > 6,
f) x3x+1 > xx ,
5
,
2
7. Sprawdzić, które z podanych funkcji są parzyste, a które nieparzyste:
a) f (x) = x4 − 3x2 + 1,
b) g(x) = 2x + 2−x ,
c) h(x) = | sin x|,
f) g(x) = sin3 x,
g) h(x) = 3x − 3−x ,
h) p(x) = x|x|
8. Określić funkcje złożone f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f , g ◦ g oraz ich dziedziny, jeżeli:
√
a) f (x) = |x|, g(x) = −3x + 2,
b) f (x) = x, g(x) = x3 + 1,
1
d) f (x) = 2x , g(x) = cos x,
e) f (x) = x3 , g(x) = √
,
3
x
2
g) f (x) = log x, g(x) = x + 1.
9. Znaleźć funkcje f i g takie, że h = g ◦ f , jeżeli:
2 − |x|
a) h(x) =
,
b) h(x) = sin2 x,
2 + |x|
c) h(x) = log(x2 + 1),
d) p(x) =
sin x
,
x3
e) f (x) =
√
c) f (x) = x2 , g(x) = x,
x
1
f) f (x) =
, g(x) = ,
2
1+x
x
d) h(x) =
√
x+2
10. Narysować wykresy funkcji f ◦ g oraz g ◦ f , jeżeli:
a) f (x) = 2x + 1, g(x) = log2 x,
π
c) f (x) = x − , g(x) = sin x,
4
cos x dla x ¬ 0
e) f (x) =
, g(x) = 3x − π,
log3 x dla x > 0
b) f (x) = −x − 3, g(x) = log 21 (x + 1),
π
d) f (x) = 3x + , g(x) = cos x,
2
log 21 (−x) dla x < 0
f) f (x) =
, g(x) = x + 1.
sin x dla x ­ 0
2 + x2
,
x5
11. Znaleźć funkcję odwrotną do podanej. Naszkicować wykresy funkcji podanej i funkcji odwrotnej do niej.
√
c) h(x) = x3 |x|, x ∈ R,
a) f (x) = x2 − 2x, x ∈ h1; ∞),
b) g(x) = 2 − 5 x + 1, x ∈ R,
√
3x dla x < 0
d) p(x) =
, x ∈ R,
e) f (x) = 1 − 3−x ,
f) g(x) = x5 + 3,
5x dla x ­ 0
x
−x2 dla x < 0
6
g) h(x) = x sgn x,
h) q(x) =
, x ∈ R,
i) f (x) =
.
2 + x dla x ­ 0
1 + |x|