Punkty przegięcia i przedziały wypukłości Definicja Kombinacją

Punkty przegięcia i przedziały wypukłości Definicja Kombinacją

Punkty przegięcia i przedziały wypukłości
Definicja
Kombinacją wypukłą liczb a,b nazywamy kaŜdą liczbę postaci
xq = qa + (1 − q )b, gdzie 0 ≤ q ≤ 1 .
KaŜda taka liczba xq ∈ (a, b) .
Definicja
Funkcję f : ( a, b) → R nazywamy wypukłą w górę na odcinku (a,b) jeŜeli dla kaŜdej
kombinacji wypukłej liczb a,b xq = qa + (1 − q )b, 0 ≤ q ≤ 1 spełniony jest następujący
warunek: f ( xq ) ≥ qf ( a ) + (1 − q ) f (b) .
Definicja
Funkcję f : ( a, b) → R nazywamy wypukłą w dół na odcinku (a,b) jeŜeli dla kaŜdej
kombinacji wypukłej liczb a,b xq = qa + (1 − q )b, 0 ≤ q ≤ 1 spełniony jest następujący
warunek: f ( x q ) ≤ qf (a ) + (1 − q ) f (b) .
Uwaga: Funkcję wypukłą w górę nazywa się najczęściej - funkcją wklęsłą.
Funkcję wypukłą w dół – funkcją wypukłą.
Twierdzenie
JeŜeli funkcja f : ( a, b) → R jest klasy C 2 ,to:
1. JeŜeli dla kaŜdego x ∈ (a, b) f ' ' ( x) > 0 , to funkcja jest wypukła w dół.
2. JeŜeli dla kaŜdego x ∈ (a, b) f ' ' ( x) < 0 , to funkcja jest wypukła w górę.
Definicja
Punktem przegięcia funkcji f : ( a, b) → R nazywamy taki punkt x0 ∈ ( a, b) , Ŝe w pewnym
otoczeniu tego punktu z lewej strony funkcja jest wypukła w górę (w dół) a z prawej strony
wypukła w dół (w górę).
Twierdzenie
JeŜeli funkcja klasy C 2 f : ( a, b) → R ma w punkcie x0 ∈ ( a, b) punkt przegięcia, to
f ' ' ( x0 ) = 0 .
Twierdzenie
Funkcja klasy C 2 f : ( a, b) → R posiada w punkcie x0 ∈ ( a, b) punkt przegięcia jeŜeli
spełnione są warunki:
1. f ' ' ( x0 ) = 0
1. w pewnym otoczeniu punktu x0 z lewej strony punktu druga pochodna ma wartości
ujemne (dodatnie) a z prawej strony wartości dodatnie (ujemne).
Przykład
f : R → R dana wzorem f ( x) = ( x + 2) 2 ( x − 1) 3 .
1. Obliczamy drugą pochodną:
f ' ' ( x) = 2( x − 1)(10 x 2 + 16 x + 1) .
2. Przyrównujemy ją do zera i wyznaczamy miejsca zerowe drugiej pochodnej:
2( x − 1)(10 x 2 + 16 x + 1) = 0 ⇔ 2( x − 1) = 0 ∨ 10 x 2 + 16 x + 1 = 0 ⇔
4 3
4 3
⇔ x = 1∨ x = − −
6∨x=− +
6.
5 10
5 10
3. Budujemy tabelkę wypukłości funkcji:
4 3
4 3
4 3
4 3
6 ) (− −
6 ) (− +
6 ,1)
(−∞,− −
6 ,− +
5 10
5 10
5 10
5 10
+
+
y = f ' ' ( x)
y = f ( x)
y = f ( x)
wypukła w dół
wypukła w górę
wypukła w dół
(1, ∞)
wypukła
w górę
4 3
4 3
Jak wynika z powyŜszej tabelki punkty x1 = 1, x 2 = − −
6 , x3 = − +
6 są
5 10
5 10
punktami przegięcia f pp ( x1 ) = 0, f pp ( x 2 ) ≈ −3,58, f pp ( x3 ) ≈ −4,56 .