C:\Users\Seven\Documents\Moje d

Matematyka ZLic - 4
Zastosowania pochodnych do badania funkcji. Interpretacje i pewne
zastosowania pochodnych w mikroekonomii
Twierdzenie (Fermata) WK na extremum lokalne dla funkcji posiadajacej
pochodną
Jeśli f ma lokalne extremum (maximum lub minimum) w punkcie c, oraz istnieje pochodna
f ′ c, to f ′ c = 0.
Przykład
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
-1
0
1
fx =
1
5
x5 −
2
x
3
4
x4 +
2
3
3
x3 + 1
x = 0 brak extremum
x = 1 max lok;
x = 2 min lok
Punktem krytycznym (stacjonarnym) dla funkcji f nazywamy taki punkt c ∈ D f , w którym
f ′ c = 0 albo f ′ c nie istnieje.
Punkty, w których funkcja f ma extrema są krytyczne, ale nie w każdym punkcie krytycznym f
musi mieć extremum
Z twierdzenia Lagrange’a mamy następujący:
Wniosek
Zakładamy, że f : a; b → R ma pochodne w punktach x ∈ a; x 0  ∪ x 0 ; b i jest ciągła w
punkcie x 0 .
1)Jeśli
f ′ x > 0 dla x ∈ a; x 0 ,
1
f ′ x < 0 dla x ∈ x 0 ; b
to f ma w x 0 ścisłe maksimum globalne na a; b.
2) Jeśli
f ′ x < 0 dla x ∈ a; x 0 ,
f ′ x > 0 dla x ∈ x 0 ; b
to f ma w x 0 ścisłe minimum globalne na a; b.
Twierdzenie - WD na extremum lokalne dla funkcji posiadajacej n + 1-szą pochodną
Jeśli f : a; b → R ma pochodne f ′ c, . . . , f n c, f n+1 c, w punkcie c ∈ a; b oraz
f ′ c = f ′′ c =. . . = f n−1 c = 0, f n c ≠ 0, to:
1) gdy n jest nieparzyste, w punkcie c nie ma extremum
2) gdy n jest parzyste, w punkcie c jest extremum, przy tym:
a) gdy f n c > 0, to w c jest minimum lokalne,
b) gdy f n c < 0, to w c jest maximum lokalne.
Szkic dowodu
Z wzoru Taylora i założeń mamy
f ′ c
f ′′ c
fx − fc ≈
x − c +
x − c 2 +. . .
1!
2!
f n−1 c
f n c
+
x − c n−1 +
x − c n
n!
n − 1!
f n c
x − c n
n!
więc przy parzystych n i wszystkich x x < c; x > c ale bliskich c mamy: fx − fc ≷ 0
w.t.w.gdy f n c ≷ 0
Przykłady
=
2
0.4
0.2
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
x
0.6
0.8
-0.2
-0.4
fx = x 3 ; c = 0; f ′ c = f ′′ c = 0; f ′′′ c = 6
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
0.2
0.4
x
0.6
0.8
1
-0.2
fx = x 2 ; c = 0; f ′ c = 0; f ′′ c = 2
0.2
0.1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
x
0.4
0.6
0.8
0
-0.1
-0.3
-0.4
fx = −x 4 ; f ′ 0 = f ′′ 0 = f ′′′ 0 = 0; f 4 0 = −24
Wniosek (n = 2)
3
′′
′′′
Jeśli f : a; b → R ma pochodne f ′ c, f c, f c, punkcie c ∈ a; b, to:
1)
2)
f ′ c = 0
f ′′ c > 0
f ′ c = 0
f ′′ c < 0
 f ma lokalne minimum w c;
 f ma lokalne maximum w c.
Wyznaczanie wartości największej i najmniejszej funkcji f różniczkowalnej w
przedziale domkniętym 〈a; b〉:
1) Wyznaczamy wartości funkcji w punktach krytycznych i extrema lokalne
2) Wyznaczamy wartości fa i fb na końcach (”brzegu”) przedziału .
3) Porównujemy wartości wyznaczone w pkt 1) i 2).
Wypukłość i punkty przegięcia
Definicja
Funkcję f : a; b → R nazwiemy ściśle wypukłą (odp.: wypukłą, ściśle wklęsłą, wklęsłą)
gdy
⋀ ⋀
fλu + 1 − λv < λfu + 1 − λfv
u,v∈a;b λ∈0;1
(odp. : ≤ ; > ; ≥ )
Przykłady
6
5
4
3
2
1
0
2
4
x
6
8
10
-1
f ściśle wypukła
4
5
4
3
2
1
0
2
4
x
6
8
10
f wypukła ale nie ściśle wypukła
2
1
0
1
2
3
4
5
x
6
7
8
9
10
-1
f ściśle wklęsła
5
4
3
2
1
0
2
4
6
8
10
x
f wklęsła ale nie ściśle wklęsła
Uwaga
Styczne do wykresu funkcji wypukłej leżą pod wykresem, a styczne do wykresu funkcji
wklęsłej leżą nad wykresem
x
x
f ściśle wypukła
f ściśle wklęsła
Twierdzenie
Załóżmy, że f : a; b → R ma pochodną f ′′ x w każdym x ∈ a; b. Jeśli f ′′ x > 0 (odp.: ≥ ; < ;
≥ ) dla wszystkich x ∈ a; b, to f jest ściśle wypukła (odp.: wypukła, ściśle wklęsła, wklęsła).
Uwaga
6
Znak pierwszej pochodnej pozwala ustalić czy funkcja rośnie czy maleje, znak drugiej pochodnej - czy funkcja
jest wklęsła czy wypukła.
x
f ′ > 0; f ′′ > 0
x
f ′ < 0; f ′′ > 0
x
f ′ > 0; f ′′ < 0
x
f ′ < 0; f ′′ < 0
Definicja
Punktem przegięcia (wykresu) funkcji f nazwiemy taki punkt x ∈ D f , że w pewnym
przedziale α; x funkcja f jest ściśle wklęsła i w pewnym przedziale x; β jest ściśle wypukła albo na odwrót.
Przykład
7
1
2x
3
4
f ma przegięcia w x = 1 oraz w x = 3
Uwaga
W punkcie przegięcia styczna do wykresu funkcji przechodzi
spod wykresu nad wykres,
albo
znad wykresu pod wykres
Twierdzenie
Zakładamy, że f : a; b → R ma drugie pochodne f ′′ x w punktach x ∈ a; b i x 0 ∈ a; b. Jeśli
f ′′ x > 0 dla x ∈ a; x 0  i f ′′ x < 0 dla x ∈ x 0 ; b
albo
f ′′ x < 0 dla x ∈ a; x 0  i f ′′ x > 0 dla x ∈ x 0 ; b
to f ma w x 0 przegięcie.
Badanie przebiegu zmienności funkcji y = fx
1) Dziedzina funkcji - zbiór tych x, dla których formuła y = fx ma sens
2) Przecięcia osi
-przecięcie osi 0y: punkt 0; f0;
-przecięcia osi 0x: punkty x, 0, gdzie x jest rozwiązaniem równania fx = 0 (liczymy jeśli
to nie jest trudne)
3) Symetria
- gdy f−x = fx dla x ∈ D, to f jest funkcją parzystą i wykres jest symetryczny względem osi
0y;
- gdy f−x = −fx dla x ∈ D, to f jest funkcją nieparzystą i wykres jest symetryczny punktu 0.
4) Okresowość
8
- gdy fx + p = fx dla x ∈ D, gdzie p stała dodatnia, to f jest funkcją okresową
5) Asymptoty
- jeśli lim x→∞ fx = L lub lim x→ −∞ fx = L, to prosta y = L jest asymptotą poziomą wykresu
- jeśli lim
fx − mx + b = 0, to prosta y = mx + b jest asymptotą ukośną wykresu (gdy
x→∞
m = 0, to y = b asymptota pozioma)
- jeśli lim+ fx = ∞ lub x→a
lim− fx = ∞ lub lim+ fx = −∞ lub x→a
lim− fx = −∞, to prosta x = a jest
x→a
x→a
asymptotą pionową wykresu
6) Przedziały monotoniczności
- liczymy f ′ x i rozwiązujemy nierówności
f ′ x > 0 (f rosnąca)
f ′ x < 0 (f malejaca).
7) Lokalne maximum, lokalne minimum
a) rozwiązujemy równanie f ′ c = 0, i wyznaczamy te c, dla których f ′ c nie istnieje ustalamy punkty krytyczne (stacjonarne) funkcji f
b-1) gdy f jest ciągła w punkcie krytycznym c
- jeśli f ′ zmienia znak z " +" na " −" i , to w c jest lokalne maximum;
- jeśli f ′ zmienia znak z " −" na " +" i , to w c jest lokalne minimum;
b-2)
- jeśli f ′′ c < 0, to w c jest lokalne maximum,
- jeśli f ′′ c > 0, to w c jest lokalne minimum;
b-n) gdy f ′ 0 =. . . = f n−1 0 = 0, i f n c ≠ 0, to
- jeśli n jest nieparzyste, to w c nie ma extremum,
- jeśli n jest parzyste, to:
f n c < 0  w c jest lokalne maximum
f n c > 0  w c jest lokalne minimum
8) Wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia
- liczymy f ′′ x i rozwiązujemy nierówności
f ′′ x > 0 (f wypukła)
′′
f x < 0 (f wklęsła).
′′
- jeśli f zmienia znak w c, to w c jest punkt przegięcia
9) Wykres funkcji
Na podstawie informacji z 1) - 8) (zestawionych w tabelce) szkicujemy wykres.
Interpretacje i pewne zastosowania pochodnych w mikroekonomii
Pewne idee w ekonomii są formalnie ściśle opisane dzięki zastosowaniu rachunku
różniczkowego.
9
Koszt krańcowy
Niech Cx > 0 będzie kosztem produkcji x > 0 jednostek pewnego produktu, gdzie funkcja
x  Cx ma pochodne rzędu II.
Koszt krańcowy
dC x = C ′ x ≈ ΔC x.
Δx
dx
Koszt jednostkowy (przeciętny)
Cx
C u x = x
Uwaga
Dla skrócenia zapisu dalej będziemy czasem pisali funkcje bez argumentu x, np. C zamiast Cx, C ′ zamiast
C ′ x, C ′′ zamiast C ′′ x, itd.
Zauważmy, że
′
C ′u = C ⋅ x −2 C ⋅ 1
x
więc
Cx
x = C u x.
Zatem, z warunku koniecznego na ekstremum wynika, że jeśli koszt jednostkowy przy
produkcji na poziomie x > 0 jest minimalny, to koszt krańcowy jest równy kosztowi
jednostkowemu.
Mamy dalej
C ′′ x + C ′ − C ′ x 2 − C ′ x − C2x
C ′′u =
=
x4
2 ′′
′
+ 2C ,
= x C − 2xC
3
x
więc
C ′u x = 0 ⇔ C ′ x =
C ′u x = 0
C ′′u x > 0
⇔
C ′ x =
Cx
x
C ′′ x > 0
Zatem, z warunku dostatecznego rzędu II na minimum lokalne wynika, że jeśli
C ′ x =
Cx
x
C ′′ x > 0
,
to produkcję na poziomie x cechuje minimalny (lokalnie!) koszt jednostkowy.
Przychód krańcowy, zysk maksymalny
Niech px będzie ceną jednostki produktu, po jakiej firma sprzedaje tą jednostkę przy liczbie
10
sprzedawanych jednostek x > 0. Zakładamy, że funkcja ceny x  px jest różniczkowalna.
Całkowity przychód ze sprzedaży wynosi wtedy
Rx = xpx
i funkcja przychodu x  Rx jest też różniczkowalna
Krańcowy przychód
R ′ x = px + xp ′ x
Gdy x > 0 jednostek towaru wyprodukowano i sprzedano po koszcie Cx i sprzedano po
cenie px, to całkowity zysk wynosi
Px = Rx − Cx
i funkcja zysku całkowitego x  Px jest różniczkowalna
Krańcowy zysk
P ′ x = R ′ x − C ′ x
Załóżmy dodatkowo, że istnieją p ′′ x oraz C ′′ x dla x > 0.
Z warunku wystarczającego rzędu 2 na maksimum lokalne:
Zysk jest (lokalnie) maksymalny przy produkcji i sprzedaży x > 0 jednostek towaru, gdy
P ′ x = R ′ x − C ′ x = 0
P ′′ x = R ′′ x − C ′′ x < 0
tzn. gdy
R ′ x = C ′ x
R ′′ x < C ′′ x
czyli
px + xp ′ x = C ′ x
2p ′ x + xp ′′ x < C ′′ x
.
Gdy produkcja i sprzedaż firmy nie ma wpływu na cenę produktu, tj. gdy px ≡ p 0 (stała), to
warunki te redukują się do następujących
p 0 = C ′ x
0 < C ′′ x
.
Zysk jednostkowy
Px
x .
Zysk jednostkowy jest (lokalnie) maksymalny przy produkcji i sprzedaży x > 0 jednostek
P u x =
11
towaru, gdy
′
p + xp ′ − C ′ x − xp + C
P ′u x = P x 2− P =
=
x
x2
′
= p ′ − xC 2− C = 0
x
2 ′′
′
+ 2P =
P ′′u x = x P − 2xP
3
x
x 2 2p ′ + xp ′′ − C ′′  − 2xp + xp ′ − C ′  + 2xp
=
=
x3
′′
C′ < 0
= p ′′ − xC −
2
x
Gdy produkcja i sprzedaż firmy nie ma wpływu na cenę produktu, tj. gdy px ≡ p 0 (stała),
to warunki te redukują się do następujących
C′ =
C
x
C ′′ >
= Cu
C′
x
.
Ponieważ z definicji C = xC u , mamy C ′ = C u + xC ′u , C ′′ = 2C ′u + xC ′′u , warunki te przyjmą
postać
C u + xC ′u = C u
2C ′u + xC ′′u >
C u +xC ′u
x
,
a stąd
C ′u x = 0
C ′′u x >
C u x
x2
.
Jeśli te warunki są spełnione, to z warunku dostatecznego dla funkcji C u wynika, że także
koszt jednostkowy jest lokalnie minimalny.
Popyt
Popyt dp > 0 na towar, to ilość tego towaru jaką chcą nabyć konsumenci przy jego cenie
jednostkowej p > 0. Zwykle funkcja p  dp jest malejąca (wzrost ceny powoduje spadek
popytu), założymy więc, że d ′ p < 0 dla p > 0. Wartość (możliwego) obrotu tym towarem
przy cenie p wyniesie
Wp = pdp
Jeśli dla pewnego p > 0
12
W ′ p = 0
W ′′ p < 0
to wartość obrotu jest lokalnie maksymalna. Zatem jeśli
dp + pd ′ p = 0
d ′ p + d ′ p + pd ′′ p < 0
czyli
d ′ p = −
dp
p
d ′′ p < 2
dp
p2
to wartość obrotu jest lokalnie maksymalna.
Elastyczność (cenowa) popytu:
Δdp
dp
Δp
p
p
p = d p
≈
dp
′
Przykład
Dla funkcji popytu dp
= p −a , gdzie a > 0
p = −ap −a−1
p
= −a
p −a
tzn. elastyczność jest stała.
p
Ponieważ p = d ′ p dp , to
 ′ = d ′′
p
1d − pd ′
+ d′
.
d
d2
Jeśli dla pewnego p > 0
p = −1
 ′ p < 0
,
to
d ′ p = −
d ′′ p < −d ′ p
dp
p
1dp−pd ′ p
pdp
=2
dp
p2
więc wtedy wartość obrotu jest maksymalna.
Podaż, popyt, równowaga rynkowa
Podaż sp > 0 towaru, to ilość tego towaru jaką chcą sprzedać producenci przy jego cenie
13
jednostkowej p > 0. Zwykle funkcja p  sp jest rosnąca (wzrost ceny powoduje wzrost
podaży), założymy więc, że s ′ p > 0 dla p > 0. Wartość obrotu tym towarem przy cenie p,
podaży sp i popycie dp wyniesie
Vp = p ⋅ mindp, sp.
Cena q jest ceną równowagi gdy dq = sq.
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2x 1.4 1.6 1.8
2
2.2 2.4
W modelu prostej samoregulacji cen przez rynek, przy cenie towaru pt w momencie t,
nadwyżka popytu ept = dpt − spt wywołuje proporcjonalną zmianę ceny
dp
t = p ′ t = σept,
dt
gdzie σ > 0.
Przykład
Dla dp = 1p , sp = p, σ
równaniem różniczkowym
= 1 i ceny początkowej p0 = 2 w momencie t = 0, zmiana ta jest opisana
p ′ t =
1 − pt,
pt
z warunkiem początkowym
p0 = 2.
Rozwiązaniem równania różniczkowego z tym warunkiem początkowym jest funkcja pt
=
1 + 3e −2t
14
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.5
1
1.5
t
2
2.5
3
3.5
Dla funkcji tej mamy
lim pt = 1 = q,
t→∞
czyli samoregulacja cen prowadzi z upływem czasu do ceny równowagi.
15