Definicja ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej. Warunek

Definicja ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej. Warunek konieczny i warunki
wystarczające istnienia ekstremum lokalnego. Ekstremum globalne funkcji.
Def. Zbiór otwarty (x0 – ε, x0 + ε) nazywamy otoczeniem o promieniu ε > 0 punktu x0 i
oznaczamy symbolem U(x0, ε).
Def.
Sumę przedziałów
(x0 – ε, x0) ∪ (x0, x0 + ε)
nazywamy sąsiedztwem o promieniu ε > 0 punktu x0 i oznaczamy symbolem S(x0, ε).
Definicja ekstremum lokalnego funkcji. Niech X ⊂ ℝ, f : X →ℝ oraz niech x0 ∊ X.
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne, gdy istnieje otoczenie
U ⊂ ℝ punktu x0 takie, że U ⊂ X oraz dla każdego x ∈ U zachodzi f(x) ≤ f(x0).
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 minimum lokalne, gdy istnieje otoczenie U ⊂ ℝ
punktu x0 takie, że U ⊂ X oraz dla każdego x ∈ U zachodzi f(x) ≥ f(x0).
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne właściwe, gdy istnieje
otoczenie U ⊂ ℝ punktu x0 takie, że U ⊂ X oraz dla każdego x ∈ U \ { x0 } zachodzi
f(x) < f(x0).
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 minimum lokalne właściwe, gdy istnieje
otoczenie
U ⊂ ℝ punktu x0 takie, że U ⊂ X oraz dla każdego x ∈ U \ { x0 } zachodzi
f(x) > f(x0).
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne, gdy f ma w punkcie x0
maksimum lub minimum lokalne.
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne właściwe, gdy f ma w
punkcie x0 maksimum lub minimum lokalne właściwe.
Def.
Liczba
(wartość najmniejsza funkcji na zbiorze)
m∈ℝ
jest wartością najmniejszą funkcji f na zbiorze
A ⊂ Df , jeżeli
Jeżeli m jest wartością najmniejszą na Df to m nazywamy minimum globalnym.
Def.
Liczba
(wartość największa funkcji na zbiorze)
M∈ℝ
jest wartością największą funkcji f na zbiorze
A ⊂ Df , jeżeli
Jeżeli M jest wartością największą na Df to M nazywamy maksimum globalnym.
Def. Minimum i maksimum globalne nazywamy ekstremami globalnymi.
Tw. Warunek konieczny istnienia ekstremum (Fermata)
Jeżeli funkcja f określona na przedziale (a, b) jest różniczkowalna w punkcie x0 ϵ (a, b) i ma w tym
punkcie ekstremum, to f’(x0)=0.
Uwaga: Implikacja odwrotna jest fałszywa. Świadczy o tym przykład funkcji f(x) = x3 ,
która spełnia w punkcie x0 = 0 warunek f ‘(x0) = 0, ale nie ma tam ekstremum lokalnego.
Założenie istnienia pochodnej funkcji w f w tym twierdzeniu jest istotne. Świadczy o tym
przykład funkcji f(x) = |x|, która w punkcie x0 = 0 ma minimum lokalne właściwe, ale
pochodna f ‘(x0) nie istnieje.
Fakt: Funkcja f może mieć ekstremum jedynie w tych punktach, w których pochodna jest równa
zeru, bądź w których nie istnieje.
Tw. I warunek wystarczający istnienia ekstremum
Jeżeli:

f jest ciągła w punkcie x0

f jest różniczkowalna w S( x0, δ)

f ’(x) < 0 dla x∈( x0-δ , x0) [f ’(x) > 0 dla x∈(x0-δ , x0)]

f ’(x) > 0 dla x∈( x0 , x0+δ) [f ’(x) < 0 dla x∈( x0 , x0+δ)]
to f ma w punkcie x0 minimum [maksimum] lokalne właściwe.
Tw. II warunek wystarczający istnienia ekstremum
Jeżeli funkcja f spełnia następujące założenia:
1) ma pochodną f‘’ (x) w pewnym otoczeni U(x0, δ),
2) f‘’ (x) = 0 i f‘’ (x0) ≠ 0,
to funkcja f ma w punkcie x0:
a) minimum właściwe, gdy f‘’ (x0) > 0 ,
b) maksimum właściwe, gdy f’’ (x0) < 0.
Jeżeli funkcja f jest n-krotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu x0 oraz
1) f ‘(x0) = f’’ (x0) = … = f (n – 1)(x0) = 0,
2) f (n)(x0) ≠ 0, przy czym n jest liczbą parzystą,
to funkcja f ma ekstrema w punkcie x0:
a) minimum właściwe, gdy f (n)(x0) > 0,
b) maksimum właściwe, gdy f (n)(x0) < 0.
Przykład:
1.Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji:
f(x) = 2x3 – 15x2 + 36x – 14