Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr¦cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia,
wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa.
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Denicja
Mówimy, »e funkcja
s¡siedztwo
S(x0 , y0 )
f
ma w punkcie
(x0 , y0 )
takie, »e dla dowolnego punktu
minimum lokalne wªa±ciwe, gdy istnieje
(x, y) ∈ S(x0 , y0 )
zachodzi nierówno±¢
f (x, y) > f (x0 , y0 ).
Analogicznie, mówimy, »e funkcja
s¡siedztwo
S(x0 , y0 )
f
ma w punkcie
(x0 , y0 ) maksimum lokalne wªa±ciwe, gdy istnieje
takie, »e dla dowolnego punktu
(x, y) ∈ S(x0 , y0 )
zachodzi nierówno±¢
f (x, y) < f (x0 , y0 ).
Uwaga
1. Je±li w powy»szej denicji zast¡pimy ostre nierówno±ci przez sªabe (tzn.
f (x0 , y0 ) lub f (x, y) ≤ f (x0 , y0 )), to mówimy, »e funkcja f
ma w punkcie
f (x, y) ≥
(x0 , y0 ) minimum
lokalne
lub maksimum lokalne.
2. Maksima i minima lokalne funkcji (wªa±ciwe lub niewªa±ciwe) nazwywamy ekstremami lokalnymi.
1
Przykªady Korzystaj¡c z denicji zbada¢, czy podane funkcje maj¡ ekstrema lokalne we wskazanych punktach.
1.
f (x, y) = 5 |x| + |y + 1|
2.
2
f (x, y) = x − 2y
2
w punkcie
w punkcie
(0, −1),
(0, 0).
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum)
Je±li funkcja
oraz
f
ma w punkcie
∂f
(x0 , y0 ),
∂y
(x0 , y0 )
ekstremum lokalne i istniej¡ pochodne cz¡stkowe
∂f
(x0 , y0 )
∂x
to
 ∂f

(x0 , y0 ) = 0,


 ∂x



 ∂f (x0 , y0 ) = 0.
∂y
Uwaga
1. Punkty, w których obie pochodne cz¡stkowe si¦ zeruj¡ nazywamy stacjonarnymi (krytycznymi).
2. W powy»szym twierdzeniu implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Zerowanie si¦ obu pochodnych cz¡stkowych pierwszego rz¦du funkcji nie gwarantuje istnienia ekstremum lokalnego! Przykªadowo, funkcja
(0, 0)
f (x, y) = −x3
speªnia warunki
∂f
∂f
(0, 0) = 0,
(0, 0) = 0,
∂x
∂y
ale nie ma w punkcie
ekstremum lokalnego.
Fakt Funkcja mo»e mie¢ ekstreum lokalne tylko w punkcie stacjonarnym lub w punkcie, w którym
przynajmniej jedna pochodna nie istnieje.
Twierdzenie (warunek wystarczaj¡cy istnienia ekstremum)
Niech funkcja
niech
f
ma ci¡gªe pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du na otoczeniu punktu
∂f
∂f
(x0 , y0 ) = 0,
(x0 , y0 ) = 0.
∂x
∂y
2
(x0 , y0 )
oraz
Je±li wyznacznik, zwany hessjanem,
2
∂ f
∂x2 (x0 , y0 )
H(x0 , y0 ) = ∂2f
(x0 , y0 )
∂x∂y
∂2f
(x0 , y0 ) ∂y∂x
> 0,
2
∂ f
(x
,
y
)
0
0
∂y 2
f ma w punkcie (x0 , y0 ) ekstremum lokalne wªa±ciwe.
∂2f
(x0 , y0 ) > 0, to w punkcie (x0 , y0 ) funkcja ma minimum lokalne wªa±ciwe.
∂x2
2
∂ f
(x0 , y0 ) < 0, to w punkcie (x0 , y0 ) funkcja ma maksimum lokalne wªa±ciwe.
∂x2
to funkcja
Je±li
Je±li
Uwaga Je±li hessjan H(x0 , y0 ) jest ujemny, to funkcja f
(x0 , y0 ).
H(x0 , y0 ) = 0,
Je±li hessjan
nie ma ekstremum lokalnego w punkcie
to badanie istnienia ekstremum w punkcie
(x0 , y0 )
musimy
przeprowadzi¢ innymi metodami (np. z denicji).
Przykªady Znale¹¢ wszystkie ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych:
1.
f (x, y) = xe−y +
1
+ ey ,
x
2.
f (x, y) = xy + ln y + x2 ,
Ekstremum warunkowe funkcji
f (x, y)
przy warunku
3.
f (x, y) =
g(x, y) = 0
8 x
+ + y.
x y
to lokalnie najwi¦ksza lub naj-
mniejsza warto±¢ tej funkcji na zbiorze punktów speªniaj¡cych ten warunek. Formalnie zapiszemy
to nast¦puj¡co:
Denicja (ekstrema warunkowe)
Mówimy, »e funkcja
gdy
f
ma w punkcie
(x0 , y0 )
minimum lokalne wªa±ciwe z warunkiem
g(x, y) = 0,
g(x0 , y0 ) = 0 oraz istnieje s¡siedztwo S(x0 , y0 ) takie, »e dla dowolnego punktu (x, y) ∈ S(x0 , y0 )
speªniaj¡cego warunek
g(x, y) = 0
zachodzi nierówno±¢
f (x, y) > f (x0 , y0 ).
Analogicznie, funkcja
f
ma maksimum warunkowe, gdy zachodzi odwrotna nierówno±¢, tzn.
f (x0 , y0 ).
3
f (x, y) <
Ekstremów lokalnych funkcji
f
dwóch zmiennych z warunkiem
g(x, y) = 0
mo»na szuka¢ nast¦pu-
j¡co:
1. Krzyw¡
x∈I
Γ : g(x, y) = 0
lub postaci
x = p(y),
dzielimy na ªuki, które s¡ wykresami funkcji postaci
gdzie
gdzie
y ∈ J.
2. Szukamy ekstremów funkcji jednej zmiennej
przedziale
y = h(x),
f (x, h(x))
na przedziale
I
lub funkcji
f (p(y), y)
na
J.
Przykªady Wyznaczy¢ ekstrema podanych funkcji, których argumenty speªniaj¡ podane warunki:
1.
f (x, y) = x2 + y 2 , xy = 4,
2.
f (x, y) = x2 − 2xy, x − y 2 = 0,
3.
f (x, y) = 2x + 3y, x2 + y 2 = 1.
Do wyznaczenia ekstremum warunkowego mo»na te» u»y¢ metody wspóªczynników (mno»ników)
Lagrange'a. Przedstawimy j¡ tutaj dla funkcji dwóch zmiennych.
Metoda mno»ników Lagrange'a
Deniujemy funkcj¦
F (x, y, λ) = f (x, y) − λ g(x, y) i rozwi¡zujemy



 Fx (x, y, λ) = 0
ukªad równa«:
Fy (x, y, λ) = 0



g(x, y) = 0
Ka»dy punkt speªniaj¡cy ten ukªad równa« jest punktem, w którym mo»e, ale nie musi, istnie¢
lokalne ekstremum warunkowe. Sprawdzenie warunku koniecznego polega na obliczeniu w ka»dym
punkcie stacjonarnym hessjanu obrze»onego czyli:

0 gx
gy




H̄ = det 
 gx Fxx Fxy 
gy Fyx Fyy
Je±li ten wyznacznik jest dodatni, to w danym punkcie stacjonarnym jest lokalne maksimum warunkowe, a je±li ujemny to lokalne minimum warunkowe.
Przykªady
Korzystaj¡c z metody mno»ników Lagrange'a wyznaczy¢ ekstrema lokalne funkcji
2
f (x, y) = x + y 2
przy warunku
3x + 2y = 6.
Przypomnijmy twierdzenie Weierstrassa:
Twierdzenie
Je±li
f : [a, b] → R
jest funkcj¡ ci¡gª¡, to jej obraz jest zbiorem ograniczonym. Ponadto funkcja
osi¡ga swoje kresy, tzn. dla pewnych liczb
c, d ∈ [a, b]
zachodzi
f (c) ≤ f (x) ≤ f (d)
f
dla ka»dego
x ∈ [a, b].
Uwaga Równie» w przypadku funkcji dwóch zmiennych twierdzenie Weiestrassa zachodzi i ka»da
4
ci¡gªa funkcja okre±lona na zbiorze domkni¦tym i ograniczonym w
R2
przyjmuje warto±ci ekstre-
malne.
Denicja Niech A b¦dzie niepustym podzbiorem dziedziny funkcji f .
m
1. Mówimy, »e liczba
(x0 , y0 ) ∈ A
ka»dego
f (x0 , y0 ) = m
taki, »e
(x, y) ∈ A
ka»dego
taki, »e
(x, y) ∈ A
(czyli warto±¢
M
m
f (x, y) ≥ m.
zachodzi nierówno±¢
2. Mówimy, »e liczba
(x0 , y0 ) ∈ A
jest najmniejsz¡ warto±ci¡ funkcji
(czyli warto±¢
Piszemy wtedy
M
f (x, y) ≤ M .
zachodzi nierówno±¢
na zbiorze
A,
gdy istnieje punkt
jest w tym punkcie realizowana) oraz dla
f
jest najwi¦ksz¡ warto±ci¡ funkcji
f (x0 , y0 ) = M
f
fmin = m.
na zbiorze
A,
gdy istnieje punkt
jest w tym punkcie realizowana) oraz dla
Piszemy wtedy
fmax = M .
Algorytm szukania ekstremów globalnych na obszarze domkni¦tym:
Warto±¢ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ funkcji
f
dwóch zmiennych na ograniczonym obszarze domkni¦-
tym znajdujemy, post¦puj¡c wedªug algorytmu:
mo»e mie¢ ekstremum lokalne.
2. Na brzegu obszaru szukamy punktów, w których funkcja mo»e mie¢ ekstremum warunkowe.
1. Na obszarze otwartym szukamy punktów, w których funkcja
3. Porównujemy warto±ci funkcji w otrzymanych punktach i na tej podstawie ustalamy najmniejsz¡
i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji
f
na danym obszarze.
Przykªady Znale¹¢ najmniejsze i najwi¦ksze warto±ci podanych funkcji na wskazanych obszarach.
1.
f (x, y) = x2 + y 2 , D : |x| + |y| ≤ 2,
2.
f (x, y) = xy 2 + 4xy − 4x, D : −3 ≤ x ≤ 3, −3 ≤ y ≤ 0.
Przykªady zagadnie« ekstremalnych w geometrii, zyce i technice:
1. W trójk¡cie o wierzchoªkach
A = (−1, 5), B = (1, 4), C = (2, −3) znale¹¢ punkt M = (x0 , y0 ),
dla którego suma kwadratów jego odlegªo±ci od wierzchoªków jest najmniejsza.
2. Jakie powinny by¢ dªugo±¢
o pojemno±ci
V
a,
szeroko±¢
b
i wysoko±¢
h
prostopadªo±ciennej otwartej wanny
, aby ilo±¢ blachy zu»ytej do jej zrobienia byªa najmniejsza?
3. Znale¹¢ odlegªo±¢ mi¦dzy prostymi sko±nymi:
(
k:
(
x + y − 1 = 0,
l:
oraz
z + 1 = 0.
4. Prostopadªo±cienny magazyn ma mie¢ obj¦to±¢
x − y + 3 = 0,
z − 2 = 0.
V = 216 m3
. Do budowy ±cian magazynu
2
u»ywane s¡ pªyty w cenie 30 zª/m , do budowy podªogi w cenie 40 zª/m
2
zª/m
. Znale¹¢ dªugo±¢
a,
szeroko±¢
b
i wysoko±¢
h
2
, a sutu w cenie 20
magazynu, którego koszt budowy b¦dzie
najmniejszy.
5. Firma produkuje drzwi wewn¦trzne i zewn¦trzne w cenach zbytu odpowiednio 500 zª i 1500 zª
za sztuk¦. Koszt wyprodukowania
x
sztuk drzwi wewn¦trznych i
5
y
sztuk drzwi zewn¦trznych
wynosi
K(x, y) = 100
1 2
x + 2xy + y 2
2
[zª].
Ile sztuk drzwi ka»dego rodzaju powinna wyprodukowa¢ rma, aby osi¡gn¡¢ jak najwi¦kszy
zysk?
6