Planimetria - Gimnazjum nr 48

Gimnazjum nr 48 w Warszawie – nauczyciel Dorota Burak
Planimetria
1. W kwadracie ABCD poprowadzono dwa okręgi o środkach w wierzchołkach A i B i o promieniu równym
boku kwadratu. Okręgi te podzieliły kwadrat na cztery obszary. Oblicz pola i obwody tych obszarów, jeśli
bok kwadratu ma 6cm długości.
2. Długości boków trójkąta wyrażone w cm są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi, przy czym najkrótszy z
nich ma przynajmniej 4 cm. Wysokość opuszczona na średni z boków podzieliła ten bok na dwa odcinki.
Wyznacz różnicę długości tych odcinków.
3. Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego, w którym promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest
równy 8 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma 20 cm długości.
4. Wyznacz stosunek pola kwadratu do pola ośmiokąta foremnego wpisanych w okrąg o promieniu r.
5. W trapezie równoramiennym przekątna jest prostopadła do ramienia i dzieli na połowy kąt ostry trapezu.
Uzasadnij, że długość górnej podstawy jest równa długości ramienia i jest dwa razy krótsza od długości
postawy dolnej.
6. Oblicz długość okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b.
7. W kole o środku O i promieniu R umieszczono cztery okręgi o jednakowych promieniach w taki sposób, że
każdy z nich jest styczny do okręgu o środku O i promieniu R oraz każde dwa sąsiednie są styczne do
siebie.
a) Jaką figurę wyznaczyły środki mniejszych okręgów?
b) Oblicz pole tej figury.
8. Oblicz sumę odległości dowolnego punktu P należącego do wnętrza trójkąta równobocznego od jego
boków.
3 4
9. Czy odcinki i długościach: a) 4, 6, 9
b) 1,
2,
3
c) ,
, 1
4 3
mogą być bokami trójkąt?
10. W okrąg o średnicy długości 123 wpisano trójkąt prostokątny, w którym stosunek długości
przyprostokątnych wynosi 9:40. Oblicz długości boków tego trójkąta.
11. W równoległoboku ABCD bok AB jest dwa razu dłuższy od boku BC. Punkt M dzielący bok AB na
połowy, połączono z wierzchołkami C i D. Uzasadnij, że kąt CMD jest prosty.
12. Przekątna prostokąta ma długość 25 cm, a jeden z boków 20 cm. Oblicz długość promienia okręgu
stycznego do obu przekątnych, którego środek leży na dłuższym boku prostokąta.
13. Z dwóch przeciwległych wierzchołków prostokąta ABCD poprowadzono odcinki prostopadłe do
przekątnej AC. Odcinki te podzieliły przekątną na trzy części o długościach: 4cm, 8cm, 4 cm. Oblicz obwód
prostokąta ABCD.
14. Dany jest kwadrat o boku a. Na bokach tego kwadratu, na zewnątrz, zbudowano trójkąty równoboczne.
Wierzchołki kolejnych trójkątów, nie będące wierzchołkami danego kwadratu, połączono odcinkami.
Oblicz pole otrzymanego czworokąta.
1/4
Gimnazjum nr 48 w Warszawie – nauczyciel Dorota Burak
15. Trójkąt równoboczny ABC o boku długości 5cm podzielono na dwa trójkąty przystające: ADC i DBC.
Oblicz odległość między środkami okręgów wpisanych w trójkąty ADC i DBC.
16. Oblicz miarę kąta wewnętrznego i liczbę przekątnych dwunastokątna foremnego.
17. Punkt O jest środkiem przeciwprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC, odcinek AO ma długość
10,5cm, a odcinek AB 18cm, Oblicz pole trójkąta ABC.
18. Kąt wpisany w okrąg o promieniu r ma miarę 60°. Oblicz długość cięciwy na której oparty jest ten kąt.
19. Kartka papieru ma kształt prostokąta o przekątnej 120cm. Zginamy ją na cztery równe części wzdłuż
jednego z boków oraz na trzy równe części wzdłuż drugiego boku. Po takim złożeniu otrzymujemy kwadrat.
Jaką długość mają boki tej kartki?
20. W kwadracie ABCD o boku długości 2cm, narysowano dwa półokręgi
o średnicach AB i AD. Oblicz pole zacieniowanej figury.
21. W trapezie równoramiennym przekątne są prostopadłe do jego ramion.
Przekątna ma długość 8cm, a ramiona po 6 cm. Oblicz obwód trapezu.
22. Oblicz pole kwadratu, którego przekątna jest o 1 cm dłuższa od jego boku.
23. Przekątna prostokąta ma długość 3 5cm , a różnica długości boków jest równa 3cm. Oblicz pole prostokąta.
24. Oblicz pole trapezu równoramiennego o długości ramienia c, opisanego na okręgu o promieniu długości r.
25. Długość boku trójkąta równoramiennego wpisanego w okrąg o środku O i promieniu R jest o 1cm większa
od długości promienia tego okręgu. Oblicz długość okręgu.
26. Podstawy trapezu równoramiennego maja długości a i b, Przekątne trapezu są prostopadłe. Oblicz pole tego
trapezu.
27. Prostokątny trawnik otoczony jest dróżką o stałej szerokości. Pola powierzchni trawnika i dróżki są równe.
Jakie mogą być wymiary trawnika i szerokość dróżki, jeśli wszystkie mają być liczbami naturalnymi?
28. Oblicz pole zamalowanej figury,
wiedząc że |AB| = 10 cm.
29. Przekątna trapezu równoramiennego ma
długość 3 13cm i jest prostopadła do ramienia
trapezu. Różnica długości podstaw wynosi 8cm.
Oblicz pole trapezu.
30. Znajdź długości boków prostokąta o polu 5, jeżeli wiadomo, że jeden bok jest dłuższy od drugiego o 4.
31. Wyznacz wysokość rombu i przekątnych długości 10cm i 24cm.
32. Na rys. są trzy koła wzajemnie styczne, których środki są współliniowe.
Jaki warunek muszą spełniać średnice mniejszych kół, aby suma ich pół,
była równa polu zamalowanej części największego koła?
2/4
Gimnazjum nr 48 w Warszawie – nauczyciel Dorota Burak
33. Koło o promieniu r jest wpisane w duży kwadrat i jednocześnie opisane na mniejszym kwadracie.
Która z figur ma większe pole:
- duży kwadrat po wycięciu z niego koła, czy
- koło po wycięciu z niego mniejszego kwadratu?
34. Na rys. przedstawiono prostokąt ADFI zbudowany z 6 kwadratów.
Oblicz sumę miar kątów: EJB, EJC, EJD.
35. Jaką część pięciokąta foremnego zamalowano?
36. Podstawy trapezu równoramiennego mają długości
4cm i 2cm. Przekątna trapezu dzieli kąt przy dłuższej podstawie na dwa kąty przystające. Oblicz pole
trapezu.
37. Obwód rombu jest równy 40cm, a sum długości jego przekątnych 28cm. Oblicz pole rombu.
38. Na bokach AB i BC równoległoboku ABCD zbudowano za zewnątrz kwadraty AOPB i BSRC. Wykaż, że
odcinki DO i DR mają równą długość i są prostopadłe.
39. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z kąta prostego jest 4 razy krótsza od
przeciwprostokątnej. Znajdź miary kątów tego trójkąta.
40. Piła ma 60cm długości i zęby będące przystającymi trójkątami równoramiennymi. Wysokość każdego z
zębów jest równa 23 jego podstawy. Po zębach piły maszeruje mrówka. Jaką drogę przebędzie mrówka
pokonując wszystkie zęby?
41. W okrąg o promieniu 1 wpisano trójkąt równoboczny i kwadrat. Które pole jest większe: trójkąta, czy
kwadratu i ile razy?
42. Każdy bok trójkąta równobocznego zwiększono o 2cm. Pole trójkąta wzrosło 9 razy. Ile razy wzrośnie pole
trójkąta, gdy każdy jego bok zwiększymy o 3cm?
43. Wyznacz długości wszystkich wysokości trójkąta równoramiennego o podstawie długości 6cm i ramieniu
długości 5cm.
44. Oblicz sumę długości wszystkich wysokości trójkąta o bokach 2cm i 4cm oraz kącie 60° zawartym między
tymi bokami.
45. Oblicz długość odcinka oznaczonego x:
a)
b)
c)
d)
2
46. Wyznacz pole rombu o boku długości 2, wiedząc, że suma długości jego przekątnych wynosi 5.
47. Pewien kwadrat i koło mają równe obwody. Która z tych figur ma większe pole?
3/4
Gimnazjum nr 48 w Warszawie – nauczyciel Dorota Burak
48. Podstawy trapezy mają długości 10cm i 20cm, a ramiona 10cm i 4 5 cm. Wyznacz pole tego trapezu.
49.
50. Czy w garnku o średnicy 24cm zmieszczą się 4 słoiki o średnicy 10cm każdy?
51. Boki czworokąta niewypukłego są parami równe. Dwa kąty tego czworokąta mają miary równe 60° i 270°.
Krótszy bok ma długość 2cm. Oblicz pole tego czworokąta.
52. Trapez opisany na okręgu ma podstawy długości 4 i 8. Oblicz pole trapezu.
53. Na okręgu o promieniu 2 opisano trapez, którego kąty przy tej samej podstawie mają 30° i 45°. Oblicz
długości ramion trapezu i jego pole.
54. W czworokącie ABCD dane są: |AB|=1, |BC|= 2 6 , |CD|=4, |AD|=3 oraz ADC=90°. Uzasadnij, że
czworokąt ABCD można wpisać w okrąg.
55. Znajdź miarę kąta oznaczonego na rysunku literą x (S – środek okręgu).
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
4/4