LINIE WPŁYWU – przykład 3 – Obliczenia komputerowe http://www

Transkrypt

LINIE WPŁYWU – przykład 3 – Obliczenia komputerowe
1. SPORZĄDZENIE LINII WPŁYWU SIŁ I PRZEMIESZCZEŃ
W RAMIE HIPERSTATYCZNEJ
P =1
α
γ
ϕ
L
EI
I
5E
1.
sin ϕ =0.6
cosϕ =0.8
L
β
1.5 L
1.1. DANE WYJŚCIOWE DO OBLICZEŃ
Dana jest rama jak na rysunku.
Wyznaczyć linie wpływu sił przekrojowych w
przekroju α , reakcji R1 i przemieszczeń w
miejscach i kierunkach β oraz γ .
EI
L
L
L
1.5 L
R1
1.2. SPOSÓB BEZPOŚREDNI
Sposób ten, w przypadku wyznaczania wielkości statycznych (sił przekrojowych lub
reakcji), nazywany jest sposobem statycznym.
Polega on na tym, że odczytuje się szukane wielkości dla różnych ustawień siły jednostkowej
tak by móc sporządzić wykresy zależności szukanych wielkości od położenia siły jednostkowej.
W rozwiązywanym zadaniu dokonano odczytów
Pj = 1
szukanych wielkości dla 22 ustawień siły jednostkowej w
11 13 15 17 19 21
punktach zaznaczonych na rysunku obok (po 5 ustawień dla
10 12 14 16 18 20 22 δβj
9
każdego przedziału co 0.25 L).
78
EI
Mα Vα Nα 6
Należy pamiętać, że każdego
I
5
E
4
rozwiązania dokonujemy od obciążenia tylko
3
1.5
EI
2
α
jedną siłą jednostkową ustawioną w
1
x
określonym miejscu.
δγj
L
L
L
L
L
Ustawienia 5 i 6 są różne tylko w
R1
odniesieniu do siły tnącej i osiowej w przekroju
α.W
obliczeniach komputerowych ustawienia 5 i 6 jako ustawienia nieskończenie bliskie przekroju α z
jego lewej i prawej strony mogą być zrealizowane poprzez jedno ustawienie w przekroju α i odczyt
odpowiednich sił przekrojowych nieskończenie blisko z lewej i prawej strony siły, przy czym gdy
odczytujemy siły przekrojowe w punkcie z prawej strony siły odpowiada to ustawieniu nr 5 to jest
ustawieniu siły z lewej strony przekroju a gdy odczytujemy siły przekrojowe w punkcie z lewej strony
siły odpowiada to ustawieniu nr 6 to jest ustawieniu siły z prawej strony przekroju.
Wyniki zestawiono w tabeli poniżej. Wykresy przedstawiono w punkcie 1.4.
Położenie siły
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Mnożnik
x
0
0.25
0.5
0.75
M αj = M α(x)
V αj = V α(x)
N αj = N α(x)
R 1 j = R 1 (x)
δ βj = δ β (x)
δ γj = δ γ(x)
0
0.1279
0.2574
0.3901
0
-0.0977
-0.1941
-0.288
-0.3779
0.4221
0.3372
0.2588
0.1881
0.1264
0.0758
0.0378
0.0124
0
-0.0049
-0.0078
-0.009
-0.0089
-0.0076
-0.0056
-0.0029
0
0
0.0192
0.0397
0.063
0.0906
-0.5094
-0.4764
-0.4363
-0.3879
-0.3298
-0.2601
-0.1799
-0.0923
0
0.0768
0.1228
0.1427
0.1404
0.1206
0.0878
0.0461
0
1
0.9103
0.8209
0.7318
0
0.0297
0.0579
0.083
0
0.1353
0.225
0.2753
0.6433
0.1035
0.2927
0.5556
0.4688
0.3832
0.299
0.2167
0.1382
0.0653
0
-0.0499
-0.0799
-0.0928
-0.0913
-0.0785
-0.0571
-0.03
0
0.1178
0.1244
0.1217
0.1083
0.0829
0.0509
0.0205
0
-0.0106
-0.0169
-0.0196
-0.0193
-0.0166
-0.0121
-0.0063
0
0.2835
0.254
0.2108
0.16
0.108
0.0602
0.0223
0
-0.0104
-0.0167
-0.0194
-0.0191
-0.0164
-0.0119
-0.0063
0
L 3 /EI
L 2 /EI
1
0.5276
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
4.25
4.5
4.75
5
L
0.4215
0.3235
0.2351
0.158
0.0948
0.0472
0.0155
0
-0.0061
-0.0097
-0.0113
-0.0111
-0.0095
-0.0069
-0.0036
0
L
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
1
1.3. SPOSÓB WYKORZYSTUJĄCY TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI
1.3.1. PODSTAWY TEORETYCZNE
Sposób ten, w przypadku wyznaczania wielkości statycznych (sił przekrojowych lub reakcji),
nazywany jest sposobem kinematycznym.
Sposób ten wykorzystuje, wynikające z zasady prac wirtualnych, twierdzenie o wzajemności reakcji i
przemieszczeń rij = −δ ji w przypadku wyznaczania linii wpływu wielkości statycznych
i twierdzenie o wzajemności przemieszczeń δ ij = δ ji w przypadku wyznaczania linii wpływu
przemieszczeń.
1.3.2. SPOSÓB KINEMATYCZNY SPORZĄDZANIA
LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH
Twierdzenie o wzajemności reakcji i przemieszczeń rij = −δ ji stwierdza, że dowolna wielkość
statyczna (rij ) traktowana jako reakcja w miejscu i kierunku i wywołana siłą jednostkową przyłożoną
w miejscu i kierunku j jest równa ze znakiem przeciwnym przemieszczeniu (−δ ji ) w miejscu i
kierunku j wywołanemu jednostkowym przemieszczeniem wymuszonym w miejscu i kierunku i
(∆ i
= 1) . Uwzględniając, że − δ ij
∆ i =1
= δ ij
∆ i = −1
z twierdzenia tego wynika, że dowolna wielkość
statyczna (rij ) traktowana jako reakcja w miejscu i kierunku i wywołana siłą jednostkową przyłożoną
w miejscu i kierunku j jest równa przemieszczeniu (δ ji ) w miejscu i kierunku j wywołanemu
jednostkowym przemieszczeniem wymuszonym z przeciwnym zwrotem w miejscu i kierunku i
(∆ i = −1) .
Wynika stąd, że zamiast wyznaczać wielkość statyczną (rij ) w miejscu i od ustawień siły
jednostkowej w miejscach j można wyznaczać przemieszczenia δ ji w punktach j (rzędne linii
Wyniki zestawiono w tabeli w punkcie 1.3.4.
11 13 15 17 19 21
Aby wyznaczyć linię wpływu momentu
10 12 14 16 18 20 22
9
zginającego w przekroju α wymuszamy
78
6
EI
wzajemny obrót w przekroju α ∆ϕ α = 1 ze
5
I
E
4
zwrotem przeciwnym niż przyjęte jako dodatnie
3
1 .5
EI
2
∆ϕ
momenty zginające (rysunek obok - jako dodatni
α= 1
1
przyjęto moment zginający, który rozciąga
L
L
L
L
L
włókna dolne) i odczytujemy rzędne linii ugięcia
(składowe pionowe przemieszczeń) toru siły
jednostkowej, które są rzędnymi linii wpływy momentu zginającego M α ≡ rαj = −δ jα = v jα .
1.5 L
1.5 L
ugięcia „toru siły jednostkowej) od przemieszczenia ∆ i = −1 wymuszonego w miejscu i kierunku
szukanej wielkości statycznej ze zwrotem przeciwnym do przyjętego zwrotu tej wielkości (rij ) .
Zatem aby wyznaczyć linię wpływu
11 13 15 17 19 21
reakcji R1 wymuszamy jednostkowe
10 12 14 16 18 20 22
9
przemieszczenie podpory ∆ R1 = 1 ze
8
6 7
EI
zwrotem przeciwnym niż przyjęty zwrot
5
I
E
4
3
reakcji (rysunek obok) i odczytujemy rzędne
EI
1 .5
2
linii ugięcia (składowe pionowe
1
x
przemieszczeń) „toru siły jednostkowej”,
L
L
L
L
L
które są rzędnymi linii wpływy reakcji
R1 ≡ rR1 j = −δ jR1 = v jR1 .
∆ R1 = 1 R1
Jeśli program komputerowy nie daje możliwości wymuszenia wzajemnego obrotu przekrojów
to wymuszenie to można zastąpić równoważnym obciążeniem statycznym. W tym celu należy wstawić
przegub w przekroju α , przyłożyć po obu jego stronach (w przekrojach 5 i 6) momenty jednostkowe
2
(rysunek obok) i odczytać kąty obrotu tych przekrojów.
Wynoszą one: δ α 5 = −4.5520 L2 / EI
1.5 L
i δ α 6 = 3.5497 L2 / EI .
Wzajemny obrót przekrojów 5 i 6 wynosi, więc
δ αα = −δ α 5 + δ α 6 = (−(−4.5520) + 3.5497) L2 / EI =
5 6
Mα = 1
L
L
L
L
L
= 8.1017 L2 / EI
= − EI / 8.1017 / L2 = −0.123431EI / L2 stanowią obciążenie statyczne, które
1.5 L
1.5 L
Momenty M α = −1 / δ αα
spowoduje wzajemny obrót ∆ α = −1 . Jako obciążenie statyczne
11 13 15 17 19 21
10 12 14 16 18 20 22
9
równoważne wymuszeniu kinematycznemu ∆ α = −1
8
67
EI
M
=
1/δ
α
αα 5
należy, więc przyłożyć momenty
I
E
4
3
M α = 0.123431EI / L2 ze zwrotami przeciwnymi niż
1 .5
EI
2
1
zwroty momentów jednostkowych (rysunek obok) i
odczytać rzędne linii ugięcia (składowe pionowe
L
L
L
L
L
przemieszczeń) toru siły jednostkowej, które są
rzędnymi linii wpływy momentu zginającego. Wyniki zestawiono w tabeli w punkcie 1.3.4.
Dla kontroli należy sprawdzić, czy wzajemny obrót przekrojów przy przegubie wynosi
∆ α = ∆α 5 − ∆ α 6 = 1 (minus przed jedynką został uwzględniony poprzez zmianę zwrotów momentów
przyłożonych jako obciążenie). W rozwiązywanym zadaniu otrzymano:
∆ α 5 = 0.56186 ,
∆ α 6 = −0.43814 ,
∆ α = ∆ α 5 − ∆ α 6 = 0.56186 − (−0.43814) = 1 .
Aby wyznaczyć linię wpływu siły tnącej w przekroju α
11 13 15 17 19 21
wymuszamy wzajemny przesuw poprzeczny w przekroju α
10 12 14 16 18 20 22
9
8
∆hα = 1 ze zwrotem przeciwnym niż dodatnie zwroty sił
7
6
EI
∆h α = 1 5
tnących (rysunek obok) i odczytujemy rzędne linii
EI
4
5
3
1.
EI
ugięcia (składowe pionowe przemieszczeń) toru siły
2
1
jednostkowej, które są rzędnymi linii wpływu siły
tnącej Vα ≡ rαj = −δ jα = v jα .
L
L
L
L
Jeśli program komputerowy nie daje możliwości wymuszenia
11 13 15 17 19 21
12 14 16 18 20 22
10
wzajemnego przesuwu poprzecznego przekrojów to wymuszenie to
9
78
można zastąpić równoważnym obciążeniem statycznym.
6
5
W tym celu należy wstawić połączenie umożliwiające
4
3
wzajemny przesuw poprzeczny, przyłożyć po obu
2
stronach (przekroje 5 i 6) jednostkowe siły poprzeczne 1
Vα= 1
(rysunek obok) i odczytać przesunięcia poprzeczne
L
L
L
L
L
(prostopadłe do osi pręta) przekrojów 5 i 6. Wynoszą
one: δ α 5 = 5.9809 L3 / EI i δ α 6 = −6.6788L3 / EI .
Wzajemne przesunięcie poprzeczne przekrojów 5 i 6 wynosi, więc
δ αα = δ α 5 − δ α 6 = (5.9809 − (− 6.6788)) L3 / EI = 12.6597 L3 / EI .
1.5 L
L
Siły poprzeczne Vα = −1 / δ αα = − EI / 12.6597 / L3 = −0.07899 EI / L3 stanowią obciążenie statyczne,
które spowoduje wzajemny przesuw ∆hα = −1 . Jako obciążenie statyczne równoważne wymuszeniu
kinematycznemu ∆ α = −1 należy, więc przyłożyć siły poprzeczne
1.5 L
11 13 15 17 19 21
10 12 14 16 18 20 22
Vα = 0.083599 EI / L3 ze zwrotami przeciwnymi niż zwroty sił
9
8
7
jednostkowych (rysunek obok) i odczytać rzędne linii ugięcia
6
5
(składowe pionowe przemieszczeń) toru siły jednostkowej,
4
3
2
które są rzędnymi linii wpływy siły tnącej w przekroju
1
Vα = 1/δαα
α.
L
L
L
L
L
3
1.5 L
1.5 L
Dla kontroli należy sprawdzić, czy wzajemny przesuw poprzeczny przekrojów 5 i 6 wynosi
∆ α = − ∆ α 5 + ∆ α 6 = 1 (minus został uwzględniony poprzez zmianę zwrotów sił).
W rozwiązywanym zadaniu otrzymano:
∆ α 5 = −0.4724 ,
∆ α 6 = 0.5276 ,
11 13 15 17 19 21
10 12 14 16 18 20 22
∆ α = − ∆ α 5 + ∆ α 6 = −(−0.4724) + 0.5276 = 1 .
9
8
7
6
EI
Aby wyznaczyć linię wpływu siły osiowej w
I
5
E
4
przekroju α wymuszamy skrócenie pręta ∆Lα = −1 w
3
1 .5
EI
2
∆Lα= -1
przekroju α (rysunek obok) i odczytujemy rzędne linii 1
ugięcia, które są rzędnymi linii wpływy.
L
L
L
L
L
Jeśli program komputerowy nie daje możliwości
wymuszania skrócenia pręta to można to zastąpić równoważnym obciążeniem statycznym. W tym celu
11 13 15 17 19 21
należy wstawić połączenie umożliwiające wzajemny przesuw
10 12 14 16 18 20 22
9
podłużny, przyłożyć po obu stronach (przekroje 5 i 6)
8
7
jednostkowe siły podłużne (rysunek obok) i odczytać
56
4
przesunięcia wzdłuż osi pręta przekrojów 5 i 6. Wynoszą
3
2
Nα = 1
one: δ α 5 = 0 i δ α 6 = −2.3473L3 / EI .
1
Wzajemne przesunięcie wzdłuż osi pręta przekrojów 5 i
L
L
L
L
L
6 wynosi, więc
3
3
δ αα = δ α 5 − δ α 6 = (0 − (− 2.3473)) L / EI = 2.3473L / EI .
Siły podłużne N α = −1 / δ αα = − EI / 2.3473 / L3 = −0.4260 EI / L3 stanowią obciążenie statyczne, które
spowoduje wzajemny przesuw ∆Lα = −1 . Jako obciążenie statyczne równoważne wymuszeniu
kinematycznemu ∆ α = −1 należy, więc przyłożyć
11 13 15 17 19 21
10 12 14 16 18 20 22
1.5 L
9
siły podłużne N α = 0.426 EI / L3 ze zwrotami
78
56
przeciwnymi niż zwroty sił jednostkowych
4
3
(rysunek obok) i odczytać rzędne linii ugięcia
2
Nα = 1/δαα
1
(składowe pionowe przemieszczeń) toru siły
jednostkowej, które są rzędnymi linii wpływy siły
L
L
L
L
L
osiowej w przekroju α .
Dla kontroli należy sprawdzić, czy wzajemny
przesuw podłużny przekrojów 5 i 6 wynosi ∆ α = − ∆ α 5 + ∆ α 6 = 1 (minus został uwzględniony poprzez
zmianę zwrotów sił). W rozwiązywanym zadaniu otrzymano:
∆α 5 = 0 ,
∆α 6 = 1 ,
∆ α = − ∆ α 5 + ∆ α 6 = −0 + 1 = 1 .
1.3.3. WYZNACZENIE LINII WPŁYWU PRZEMIESZCZEŃ
Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń δ ij = δ ji stwierdza, że przemieszczenie δ ij w
( )
miejscu i kierunku i wywołana siłą jednostkową przyłożoną w miejscu i kierunku j jest równa
przemieszczeniu δ ji w miejscu i kierunku j wywołanemu jednostkową siłą przyłożoną w miejscu i
( )
kierunku i . Wynika stąd, że zamiast wyznaczać przemieszczenie w określonym miejscu i kierunku i
od ustawień siły jednostkowej w punktach j można wyznaczać przemieszczenia w punktach j od
siły jednostkowej przyłożonej w miejscu i kierunku szukanego przemieszczenia i (rysunki poniżej).
W rozwiązywanym zadaniu rzędne linii wpływu przemieszczenia δ β j otrzymamy odczytując rzędne
δ jβ to jest rzędne linii ugięcia (składowe pionowe przemieszczeń) w punktach 1-22 od obciążenia siłą
jednostkową przyłożoną w miejscu i kierunku szukanego przemieszczenia Pβ = 1 . Analogicznie
rzędne linii wpływu przemieszczenia δ γ j otrzymamy odczytując rzędne δ jγ to jest rzędne linii ugięcia
w punktach 1-22 od obciążenia siłą jednostkową Pγ = 1 (rysunki poniżej).
4
1
4
1.
EI
I
5E
EI
1
L
L
L
L
Pγ = 1
L
2
3
4
8
67
5
L
9
11 13 15 17 19 21
10 12 14 16 18 20 22
1 .5
L
EI
EI
1.5 L
3
9
1.5 L
2
8
67
5
11 13 15 17 19 21
10 12 14 16 18 20 22 Pβ = 1
EI
L
L
L
1.3.4. ZESTAWIENIE WYNIKÓW ROZWIĄZAŃ Z WYKORZYSTANIEM TWIERDZEŃ O
WZAJEMNOŚCI
W tabeli poniżej zestawiono wartości rzędnych linii wpływu uzyskane z wykorzystaniem twierdzeń o
wzajemności. Są one, oczywiście, identyczne jak wartości uzyskane sposobem bezpośrednim punkt
1.2).
Punkty odczytu
rzędnych
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Mnożnik
x
0
0.25
0.5
0.75
Mαj = Mα(x)
= vjα
0
0.1279
0.2574
0.3901
1
0.5276
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
4.25
4.5
4.75
5
L
0.4215
0.3235
0.2351
0.158
0.0948
0.0472
0.0155
0
-0.0061
-0.0097
-0.0113
-0.0111
-0.0095
-0.0069
-0.0036
0
L
δα5
δα6
δαα
1/δαα
- 1/δαα
∆α5
∆α6
∆α
-4.5520
3.5497
8.1017
0.123431
-0.123431
0.56186
-0.43814
1.00000
Vαj = Vα(x)
= vjα
0
-0.0977
-0.1941
-0.288
-0.3779
0.4221
0.3372
0.2588
0.1881
0.1264
0.0758
0.0378
0.0124
0
-0.0049
-0.0078
-0.009
-0.0089
-0.0076
-0.0056
-0.0029
0
5.9809
-6.6788
12.6597
0.078991
-0.078991
-0.47244
0.52756
-1.00000
Nαj = Nα(x)
= vjα
0
0.0192
0.0397
0.063
0.0906
-0.5094
-0.4764
-0.4363
-0.3879
-0.3298
-0.2601
-0.1799
-0.0923
0
0.0768
0.1228
0.1427
0.1404
0.1206
0.0878
0.0461
0
Rj = R(x)
= vj∆r
1
0.9103
0.8209
0.7318
δβj = δβ(x)
= vjβ
0
0.0297
0.0579
0.083
δγj = δγ(x)
= vjγ
0
0.1353
0.225
0.2753
0.6433
0.1035
0.2927
0.5556
0.4688
0.3832
0.299
0.2167
0.1382
0.0653
0
-0.0499
-0.0799
-0.0928
-0.0913
-0.0785
-0.0571
-0.03
0
0.1178
0.1244
0.1217
0.1083
0.0829
0.0509
0.0205
0
-0.0106
-0.0169
-0.0196
-0.0193
-0.0166
-0.0121
-0.0063
0
0.2835
0.254
0.2108
0.16
0.108
0.0602
0.0223
0
-0.0104
-0.0167
-0.0194
-0.0191
-0.0164
-0.0119
-0.0063
0
L3/EI
L2/EI
0.0000
-2.3473
2.3473
0.426021
-0.426021
0.00000
1.00000
-1.00000
5
1.4. WYKRESY
Pj = 1
11 12 13 14 15 16 17 18 19
10
9
5
EI
1 .5
2
1.5 L
3
EI
6
4
δβj
8
7
Mα Vα Nα
20 21 22
EI
α
1
δγj
x
L
L
L
L
L
R1
0
21 22
5L
-
4.5 L
17 18 19 20
4L
3.5 L
13 14 15 16
x
0
0.0069
0.158
0.3235
0.2 L
- 0 .2
0.5276
0.2574
0.1 L
11 12
0.0111
0
0
- 0 .1
10
0.0097
9
3L
8
2.5 L
1L
0
7
0.0472
4 5,6
2L
3
1.5 L
2
0.5 L
1
+
0.3 L
- 0 .3
0.4 L
- 0 .4
0.5 L
- 0 .5
- 0 .2
+
21 22
5L
4.5 L
0.0056
4L
-
0.0089
0
5
17 18 19 20
3.5 L
2.5 L
13 14 15 16
0.0078
11 12
4
3L
10
2L
9
3
0
0.0378
0.4221
-
8
1.5 L
7
0.1264
0
0
4 5,6
0.2588
0.1941
0 .2
3
2
1L
0
2
1
0.3779
1
Mα(x)/L
0.5 L
0
- 0 .4
0
6
Vα(x)
1
2
3
4
5
x
17 18 19 20
21 22
5L
13 14 15 16
4.5 L
11 12
4L
10
3.5 L
9
3L
1L
0
8
7
2.5 L
4 5,6
2L
3
0.5 L
2
1.5 L
1
0 .5
0 .4
0 .3
13 14 15 16
5
17 18 19 20
21 22
5L
11 12
0.121
0.143
0.123
0.1799
10
x
0
4.5 L
9
4L
1L
0
8
7
4
3.5 L
4 5,6
+
3
3L
3
0.5 L
2
2
1.5 L
1
1
2.5 L
Nα(x)
0
0
2L
+
0.0397
- 0 .1
0.3298
0.5094
00
0.0906
0 .1
x
0.0571
0.0913
0.0799
0
0
0.4688
1
- 0 .4
0.6433
0.8209
- 0 .2
0.138
-
0
0.299
0
0.4363
-
0 .2
- 0 .6
+
- 0 .8
- 1
13 14 15 16
0 .0 2
0.0121
0.0193
0 .0 8
0.0169
-
0
0.0509
0 .0 6
0.1083
-
0.1244
0 .0 4
0.1035
-
0.0579
0 .0 2
21 22
-
0
0
-
17 18 19 20
5L
11 12
5
4.5 L
10
4L
9
3.5 L
8
4
3L
7
2.5 L
4 5,6
3
2L
3
1.5 L
0
2
2
1L
1
1
R(x)
0.5 L
0
0
x
+
- 0 .1
-
0 .1 2
0
δβ(x)*EI/L3
1
2
3
4
5
7
0.06
0
0 .1 5
-
5L
4.5 L
21 22
0
x
0.16
-
+
0.225
- 0 .1
0.254
0 .0 5
0.2927
-
17 18 19 20
0.0119
0
0
13 14 15 16
4L
11 12
0.0191
10
3.5 L
9
0.0167
1L
0
8
7
3L
4 5,6
2.5 L
3
1.5 L
2
0.5 L
1
2L
- 0 .2
0 .2 5
- 0 .3
0
δγ(x)*EI/L2
1
2
3
4
5
1.5. SPOSÓB STATYCZNY POŚREDNI SPORZĄDZANIA LINII WPŁYWU SIŁ
PRZEKROJOWYCH
Pj = 1
Sposób ten znajduje zastosowanie, gdy znane są linie wpływu
11 13 15 17 19 21
10 12 14 16 18 20 22
wielkości statycznych, poprzez które można z równań
9
8
równowagi wyrazić szukane wielkości statyczne. M V N 6 7
EI
α
α
α5
I
E
Dla wyznaczenia sił przekrojowych w przekroju
4
3
EI
1 .5
2
α wystarczająca jest znajomość reakcji R1 i R2
sin ϕ =0.6
α
1
ϕ
cosϕ =0.8
(rysunek obok).
R
2
Z równań równowagi części ramy po lewej
L
L
L
L
L
R1
stronie przekroju α wynika, że
1
2
1.5 L
-
x
j
M α ( x) = M α ⋅ R1 ( x) + M α ⋅ R2 ( x) + M α ( x) ,
1
2
j
Vα ( x) = V α ⋅ R1 ( x) + V α ⋅ R2 ( x) + V α ( x) ,
1
1
2
1
2
j
N α ( x) = N α ⋅ R1 ( x) + N α ⋅ R2 ( x) + N α ( x)
2
gdzie M α = L , M α = −0.75L , V α = cos ϕ = 0.8 , V α = − sin ϕ = −0.6 ,
1
2
N α = − sin ϕ = −0.6 i N α = − cos ϕ = −0.8
- momenty, siły tnące i osiowe w przekroju α
od jednostkowych wartości reakcji R1 i R2 ,
− ( L − x) gdy sila jednostkowa znajduje sie po lewej stronie przekroju α
j
,
M α ( x) = 
gdy sila jednostkowa znajduje sie po prawej stronie przekroju α
0
− cos ϕ = −0.8 gdy sila jednostkowa znajduje sie po lewej stronie przekroju α
j
V α ( x) = 
0
gdy sila jednostkowa znajduje sie po lewej stronie przekroju α
sin ϕ = 0.6
j
N α ( x) = 
0
- moment zginający, siła tnąca i osiowa w przekroju α od siły jednostkowej ustawionej w punkcie j.
R1 ( x) i R2 ( x) - linie wpływu reakcji R1 i R2 wyznaczone dowolnym sposobem.
W tabeli poniżej zestawiono dane i wyniki obliczeń linii wpływu sił przekrojowych w
przekroju α na podstawie związków przedstawionych powyżej.
8
MαRj
1
-0.75
VαRj
NαRj
0.8
-0.6
-0.6
-0.8
R1j = R1(x)
R2j = R2(x)
Mαj
Mαj = Mα(x)
Vαj
Vαj = Vα(x)
Nαj
Nαj = Nα(x)
1
0.9103
0.8209
0.7318
0
0.0433
0.0847
0.1223
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.1278
0.2574
0.3901
1
0.6433
0.1543
0
0.5276
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
4.25
4.5
4.75
5
L
0.5556
0.4688
0.3832
0.299
0.2167
0.1382
0.0653
0
-0.0499
-0.0799
-0.0928
-0.0913
-0.0785
-0.0571
-0.03
0
0.1788
0.1938
0.1975
0.188
0.1626
0.1213
0.0663
0
-0.0585
-0.0936
-0.1088
-0.107
-0.0919
-0.0669
-0.0351
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
L
0.4215
0.3235
0.2351
0.1580
0.0948
0.0472
0.0156
0
-0.0060
-0.0097
-0.0112
-0.0111
-0.0096
-0.0069
-0.0037
0
L
-0.8
-0.8
-0.8
-0.8
-0.8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.0977
-0.1941
-0.2879
-0.3779
0.4221
0.3372
0.2588
0.1881
0.1264
0.0758
0.0378
0.0125
0
-0.0048
-0.0078
-0.0090
-0.0088
-0.0077
-0.0055
-0.0029
0
0.6
0.6
0.6
0.6
0.6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0192
0.0397
0.0631
0.0906
-0.5094
-0.4764
-0.4363
-0.3879
-0.3298
-0.2601
-0.1800
-0.0922
0
0.0767
0.1228
0.1427
0.1404
0.1206
0.0878
0.0461
0
Położenie siły
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Mnożnik
x
0
0.25
0.5
0.75
*L
Jak widać, otrzymane wyniki są z dokładnością do 0.0001 identyczne z wynikami uzyskanymi
poprzednio.
0.5 L
L
2. SPORZĄDZENIE LINII WPŁYWU SIŁ I PRZEMIESZCZEŃ
W RAMIE IZOSTATYCZNEJ
Przedstawione powyżej sposoby wyznaczania rzędnych linii wpływu dotyczą zarówno układów
hiperstatycznych jak i izostatycznych. Różnica polega jedynie na tym, że linie wpływu wielkości
statycznych w układach izostatycznych składają się z odcinków prostych i do ich narysowania
wystarczy wyznaczyć tylko wartości na granicach przedziałów. Przy ich
P =1
wyznaczaniu można też przyjmować dowolne sztywności prętów gdyż nie
β
mają one żadnego wpływu na wartości sił w układach izostatycznych.
EI
α 5 EI
2.1. DANE WYJŚCIOWE DO OBLICZEŃ
1.
Wyznaczyć linie wpływu sił przekrojowych w przekroju α ,
sin ϕ =0.6
ϕ
cosϕ =0.8
reakcji R i przemieszczenia w miejscu i kierunkach β .
1
L
L
L
L
0.5 L
L
2.2. SPOSÓB BEZPOŚREDNI
R1
Na rysunku obok zilustrowano ustawienia siły
jednostkowej (1-18) w celu wyznaczenia linii wpływu przemieszczenia.
Pj = 1
Wyznaczając linię wpływu przemieszczenia koniecznie należy
11 13 15 17
uwzględnić odpowiednie sztywności prętów.
10 12 14 16 18 δβj
9
Linia wpływu reakcji R1 składa się z 2 odcinków (178
6
Mα Vα Nα
EI
14 i 14-18) wystarczy, więc dokonać odczytów dla
I
5
E
4
ustawień 1, 14 i 18. Linie wpływu sił przekrojowych w
3
1.5
2
α
przekroju α składają się z 3 odcinków (1-5, 6-14 i 14-18)
1
wystarczy, więc dokonać odczytów dla ustawień 1, 5, 6, 14 i
x
L
L
L
L
18.
R1
Wyniki zestawiono w tabeli poniżej.
9
Położenie siły
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Mnożnik
x
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
L
Mαj = Mα(x)
Vαj = Vα(x)
Nαj = Nα(x)
R1j = R1(x)
δβj = δβ(x)
0
0
0
1
0
0.0516
0.1010
0.1462
0.611111111
-0.31111111
0.488888889
0.0906
-0.5094
0.1847
-0.166666667 -0.13333333 -0.64444444 0.55555556
0
L
0
0
0
0.2146
0.2336
0.2396
0.2305
0.2034
0.1608
0.1077
0.0494
0.0240
0.0039
-0.0059
0
L3/EI
2.3. SPOSÓB WYKORZYSTUJĄCY TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI
0.5 L
L
2.3.1. SPOSÓB KINEMATYCZNY SPORZĄDZANIA LINII WPŁYWU WIELKOŚCI
STATYCZNYCH
Uwzględniając fakt, że programy komputerowe z reguły pozwalają na wymuszanie przemieszczeń
podpór, czasami na wymuszanie zmian długości prętów i z reguły nie dają możliwości wymuszania
zmian kątów i przesunięć poprzecznych w przekrojach prętów rozwiązanie tym sposobem
ograniczymy do linii wpływu reakcji R1 i siły
11 13 15 17
10 12 14 16 18
osiowej w przekroju α .
9
8
W celu wyznaczenia linii wpływu reakcji R1
6 7
5
wymuszamy jednostkowe przemieszczenie podpory
4
3
2
∆ R1 = 1 ze zwrotem przeciwnym niż przyjęty zwrot
1
reakcji (rysunek obok) i odczytujemy rzędne linii
x
L
L
L
L
ugięcia (składowe pionowe przemieszczeń) „toru siły
∆ R1 = 1 R
jednostkowej”, które są rzędnymi linii wpływy reakcji
1
R1 ≡ rR1 j = −δ jR1 = v jR1 . Wyniki zestawiono w
1
2
3
8
11 13 15 17
10 12 14 16 18
L
7
∆L = -1 6
5
9
4
0.5 L
tabeli w punkcie 2.3.3.
W celu wyznaczenia linii wpływu siły osiowej w
przekroju α wymuszamy skrócenie pręta ∆Lα = −1 w
przekroju α (rysunek obok) i odczytujemy rzędne linii
ugięcia, które są rzędnymi linii wpływy.
L
L
L
x
L
2.3.2. WYZNACZENIE LINII WPŁYWU PRZEMIESZCZENIA
obciążamy ramę siłą jednostkową Pβ = 1 (rysunki obok) i
odczytujemy rzędne δ jβ to jest rzędne linii ugięcia
(składowe pionowe przemieszczeń) w punktach 1-18.
1
2
3
L
10
4
8
6 7
5
1.
9
11 13 15 17
10 12 14 16 18 Pβ = 1
EI
I
5E
L
j
0.5 L
W celu wyznaczenia linii wpływu przemieszczenia δ β
L
L
L
x
2.3.3. ZESTAWIENIE WYNIKÓW ROZWIĄZAŃ Z WYKORZYSTANIEM TWIERDZEŃ O
WZAJEMNOŚCI
W tabeli poniżej zestawiono wartości rzędnych linii wpływu uzyskane z wykorzystaniem twierdzeń o
wzajemności. Są one, oczywiście, identyczne jak wartości uzyskane sposobem bezpośrednim.
Punkty odczytu
rzędnych
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Mnożnik
Nαj = Nα(x)
= vjα
0
x
0
0.25
0.5
0.75
R1j = R(x)
= vj∆r
1
0.3125
0.625
0.9375
δβj = δβ(x)
= vjβ
0
0.0516
0.1010
0.1462
0.0906
-0.5094
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
L
0.1847
0.2146
0.2336
0.2396
0.2305
0.2034
0.1608
0.1077
0.0494
0.0240
0.0039
-0.0059
0
-0.64444444 0.5555556
0
0
3
L /EI
2.4. WYKRESY
Pj
2
3
1
1.
α
11
12
13
14
15
16
17
EI
I
5E
δβj
18
L
Vα
8
6 7
Nα
5
4
10
0.5 L
Mα
9
=1
L
L
L
x
L
R1
14
0
1L
3L
+
0.1667
-
Mα(x)/L
4L
5,6
0.6111
0
0.2
0.4
0.6
18
1
x
0
0.2
0.4
0.6
11
- 0.2
0x
0.2
0.4
-
0.4889
-
18
4L
- 0.2
0
0.2
0.4
14
3L
0
5,6
0.1333
1
1L
0.3111
+
1
5,6
14
18
0
1L
3L
4L
Vα(x)
-
0
18
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.5556
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
14
4L
1
3L
0.0906
+
Nα(x)
- 0.6
- 0.4
- 0.2
0x
0.6444
0.5094
- 0.6
- 0.4
- 0.2
0
+
R1(x)
16
17
-
18
4L
15
14
3.5 L
13
3L
12
- 0.0059
+
11
0.0039
0.2305
0.2336
2L
10
0.0494
9
2.5 L
8
0.1608
7
1L
5,6
1.5 L
4
0.1847
0
3
0.5 L
0
0.05
0.1
0.15
0.2
2
0.1010
1
0 x
0.05
0.1
0.15
0.2
δβ(x)*EI/L3
2.5. SPOSÓB STATYCZNY POŚREDNI SPORZĄDZANIA LINII WPŁYWU SIŁ
PRZEKROJOWYCH
Postępujemy analogicznie jak w punkcie 1.5.
Z równań równowagi części ramy po lewej stronie
przekroju α wynika, że
1
2
j
M α ( x) = M α ⋅ R1 ( x) + M α ⋅ R2 ( x) + M α ( x) ,
Mα Vα Nα 6
5
Vα ( x) = V α ⋅ R1 ( x) + V α ⋅ R2 ( x) + V α ( x) ,
1
2
4
j
N α ( x) = N α ⋅ R1 ( x) + N α ⋅ R2 ( x) + N α ( x)
1
1
2
gdzie M α = L , M α = −0.75L , V α = cos ϕ = 0.8 ,
2
V α = − sin ϕ = −0.6 ,
1
R2
L
R1
2
N α = − sin ϕ = −0.6 i N α = − cos ϕ = −0.8 ,
12
78
EI
EI
5
3
sin ϕ =0.6
1.
2
α
cosϕ
=0.8
1
ϕ
j
L
L
L
L
2
11 13 15 17
10 12 14 16 18 δβj
9
0.5 L
1
Pj = 1
x
− ( L − x) gdy sila jednostkowa znajduje sie po lewej stronie przekroju α
j
,
M α ( x) = 
0
− cos ϕ = −0.8 gdy sila jednostkowa znajduje sie po lewej stronie przekroju α
j
V α ( x) = 
0
gdy sila jednostkowa znajduje sie po lewej stronie przekroju α
sin ϕ = 0.6
j
N α ( x) = 
0
W tabeli poniżej zestawiono dane i wyniki obliczeń linii wpływu sił przekrojowych w
przekroju α na podstawie związków przedstawionych powyżej.
MαRj
1
-0.75
VαRj
NαRj
0.8
-0.6
-0.6
-0.8
R1j = R1(x)
R2j = R2(x)
Mαo
Mαj = Mα(x)
Vαo
Vαj = Vα(x)
Nαo
Nαj = Nα(x)
1
0
-1
0
-0.8
0
0.6
0
0.77777778 0.22222222
0
0.6111
-0.8
0
-0.3111
0.4889
0.6
0
-0.0444
-0.6444
0.33333333 0.66666667
0
-0.1667
0
-0.1333
0
-0.7333
0
L
0
L
0
0
0
0
Położenie siły
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Mnożnik
x
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
L
0
0
*L
Jak widać, otrzymane wyniki są identyczne z wynikami uzyskanymi poprzednio.
13

LINIE WPŁYWU – przykład 3 – Obliczenia komputerowe http://www

Transkrypt

Podobne dokumenty

Opis pojedynczy

ω = ξ =

OPIS TECHNICZNY- oznakowanie -

Temat: Aproksymacja krzywej metodą najmniejszych kwadratów

Zadania typu 1 – „łamigłówka”. Dany jest moment bezwładności

1 Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów

Charakterystyka geometryczna figur płaskich

pierścień 0 25 563-2040

Pobierz ulotkę informacyjną w formacie pdf.