Seria 7. - pole elektryczne
Transkrypt
Seria 7. - pole elektryczne
Seria 7. - pole elektryczne Prawo Coulomba 1. Dwie kulki o masach m1 i m2 , naładowane ładunkiem q1 i q2 , zawieszono na niciach tej samej długości, zaczepionych w jednym punkcie. Jakie warunki muszą spełniać masy, by kulki wychyliły się o ten sam kąt? 2. Cztery jednakowe ładunki Q umieszczono w wierzchołkach kwadratu. Gdzie i jaki dodatkowy ładunek q należy umieścić, by układ był w równowadze, tj. by ładunki Q nie przesuwały się pod wpływem sil elektrostatycznych? √ Odp. q = − 1+24 2 Q 3. Ładunki punktowe Q umieszczono wzdłuż półprostej o początku w punkcie A. Pierwszy ładunek umieszczono w odległości a od początku półprostej (tj. od punktu A), a dalsze ulokowano tak, że każdy następny ładunek leży w odległości 2 razy większej od punktu A niż poprzedni. Znajdź natężenie pola elektrostatycznego w punkcie A. Odp. E = Q 3πε0 a2 ~ Jaką drogę 4. Cząstka o ładunku q, masie m i prędkości v wpada w jednorodne pole E. przebędzie do zatrzymania się (nierelatywistycznie)? Odp. d = mv 2 2qE 5. Dwa dipole (złożone z ładunków ±q i ±Q, odległość pomiędzy ładunkami wynosi l) są ~ na osi ustawione równolegle, odległość pomiędzy dipolami wynosi 3a. Obliczyć pole E przechodzącej przez środki dipoli w 1/3 odległości. ~ = Odp. E −l 4πε0 q a2 + l2 4 − 3 2 + Q 4a2 + l2 4 − 3 2 ŷ Wyznaczanie pola elektrycznego z zasady superpozycji 6. Na drucianym pierścieniu o promieniu R został równomiernie rozłożony dodatni ładunek Q. Wyznacz wektor natężenia pola elektrycznego wzdłuż osi OX będącej osią pierścienia. Odp. Ex = Q x 4πε0 (R2 +x2 )3/2 7. Wzdłuż cienkiego pierścienia o promieniu R rozłożony jest równomiernie ładunek +q. Znaleźć prędkość ładunku −q o masie m w chwili przechodzenia przez środek pierścienia, jeśli ładunek −q początkowo spoczywa w punkcie na osi pierścienia w bardzo dużej odległości od niego. Odp.: v = √ q 2πε0 mR 8. Bardzo cienki pręt o długości 2a został naładowany ze stałą gęstością liniową ładunku λ. Znaleźć moduł natężenia pola jako funkcję odległości r od środka pręta dla punktów leżących na prostej prostopadłej do osi pręta i przechodzącej przez jego środek. Rozpatrzyć R przypadek a → ∞. Wskazówka: (x2 + a)−3/2 dx = a√xx2 +a + C Odp. E = λ √ a 2πε0 r a2 +r2 , E(a → ∞) = λ 2πε0 r 9. Znaleźć natężenie pola i potencjał pochodzące od jednorodnie naładowanego (ładunkiem powierzchniowym o gęstości σ) pierścienia o promieniach R1 < R2 na osi symetrii pierścienia. Zbadać następujące przypadki: a) R1 → 0, b) R2 → ∞, c) R1 → 0, R2 → ∞. σx √ 1 Odp. E = 2ε ( 2 2 − √ 21 2 ) 0 x +R1 x +R2 1 Strumień pola elektrycznego, prawo Gaussa, potencjał elektryczny ~ nieskończonej, bardzo cienkiej, prostoliniowej nici o gęstości liniowej ła10. Obliczyć pole E dunku τ oraz pracę przeniesienia ładunku Q z odległości R1 do R2 . Odp. E = τ 1 WR1 →R2 = Q 2πε ln R R2 0 τ 2πε0 r , 11. Dwa nieskończenie długie równoległe przewodniki, naładowane ładunkiem tego samego znaku z taką samą gęstością liniową λ, leżą w odległości d od siebie. Określić potencjał pola elektrycznego w punkcie leżącym w odległościach, odpowiednio, r1 i r2 od tych przewodników. Przyjąć, że potencjał pola od jednego przewodnika jest równy zeru w odległości d od niego. Odp. ϕ = λ 2πε0 ln d2 r1 r2 ~ od bardzo cienkiej rury o promieniu R i gęstości powierzchniowej σ. 12. Obliczyć pole E ~ Narysować wykres zależności E(r). ~ Odp. E(r) = σR r̂ ε0 r 13. Nieskończenie długi walec o promieniu R został naładowany ładunkiem o gęstości zmieniającej się zgodnie z prawem ρ(r) = ρ0 r2 . Przenikalność dielektryczna walca zmienia się zgodnie z prawem ε(r) = Ar. Znajdź natężenie pola elektrycznego E wewnątrz i na zewnątrz walca. 14. Wyznacz natężenie pola elektrycznego od naładowanej powierzchniowo kuli o promieniu R. Powierzchniowa gęstość ładunku jest stała i wynosi σ. 2 ~ Odp. E(r) = σR 2 r̂ dla r > R, E = 0 dla r < R. ε0 r 15. Wyznacz natężenie pola elektrycznego od naładowanej objętościowo kuli o promieniu R. Objętościowa gęstość ładunku jest stała i wynosi ρ. ~ Odp. E(r) = ρ~ r 3ε ~ dla r < R, E(r) = ρR3 3ε0 r2 r̂ dla r > R 16. Wyznacz natężenie pola elektrostatycznego od naładowanej objętościowo kuli o promieniu R. Objętościowa gęstość ładunku zależy od odległości od środka kuli: ρ(r) = a/r, gdzie a jest dodatnią stałą. 2 ~ ~ Odp. E(r) = a r̂ dla r < R, E(r) = aR 2 r̂ dla r > R 2ε 2ε0 r 17. Dana jest nieskończona płaszczyzna o gęstości powierzchniowej ładunku σ. Obliczyć pracę przesunięcia ładunku q z punktu A(x = d) do punktu B(x = 2d) (w ε0 ). Odp. W = − qdσ 20 18. Przestrzeń wypełniona jest ładunkiem o gęstości ρ zmieniającej się według prawa ρ = ρr0 , gdzie ρ0 jest wielkością stałą, a r odległością od początku układu współrzędnych. Oblicz wektor natężenia pola elektrycznego E jako funkcję wektora r. 19. Bardzo duża płyta o grubości d została naładowana ładunkiem o stałej gęstości objętościowej ρ. Znajdź natężenie pola w całej przestrzeni. Odp. E(r) = ρr ε wewnątrz płyty, E = ρd 2ε0 poza płytą 20. Wewnątrz kuli o promieniu R naładowanej ze stałą gęstością objętościową ρ znajduje się kuliste wydrążenie o promieniu R1 . Środek wydrążenia znajduje się w odległości a od środka kuli, przy czym a + R1 < R. Znaleźć natężenie pola elektrostatycznego w wydrążeniu. 2 21. Gęstość objętościowa ładunku zgromadzonego w kuli o promieniu R wynosi ρ(r) = ρ0 (1 − r/R), gdzie r to odległość od środka kuli. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego w funkcji odległości od środka kuli. Dla jakiej odległości od środka kuli wartość natężenia pola elektrycznego będzie największa? Odp. E = ρ0 ε r 3 − r2 4R (r ¬ R), E = ρ0 R 3 12ε0 r2 (r > R), pole największe dla r = 23 R 22. Nad płaskim dyskiem na wysokości h umieszczono ładunek q. Jaki jest promień a dysku, jeżeli strumień przechodzącego przez niego pola elektrycznego jest równy 1/4 całkowitego strumienia (to znaczy strumienia przez powierzchnię zamkniętą zawierającą w sobie ładunek q)? √ Odp. a = 3h 23. Oblicz strumień pola elektrycznego przechodzący przez powierzchnię połowy sfery o promieniu a, jeżeli ładunek q znajduje się w odległości h od jej środka. Odp. Φ = 2πkq √ h a2 +h2 −1 24. Jeden z wcześniejszych modeli atomu (tak zwany model ”ciasta z rodzynkami”, stworzony przez odkrywcę elektronu, J.J. Thomsona) zakładał, że atom wodoru składa się z jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R i całkowitym ładunku +e, w której wnętrzu znajduje się elektron o ładunku −e. Wykaż, że na wychylony z punktu równowagi w takim atomie elektron działa siła harmoniczna. Jaka będzie częstość drgań elektronu, jeżeli jego masa to me ? Odp. ω = q ke2 me R 3 25. Wyznacz wartość potencjału elektrycznego wewnątrz naładowanej jednorodnie ładunkiem Q sfery o promieniu a. Odp. V = kQ a 26. Potencjał elektryczny dla pewnego objętościowego rozkładu ładunków wynosi V (r) = −ax3 + b. Wyznacz gęstość objętościową ładunku. Odp. ρ(r) = 6aε0 x Pojemność elektryczna 27. Wyznaczyć pojemność i energię próżniowego kondensatora płaskiego o powierzchni okładek S i odległości między okładkami d. Założyć jednorodność pola elektrycznego pomiędzy okładkami. Jak zmieni się pojemność kondensatora po wypełnieniu przestrzeni pomiędzy okładkami dielektrykiem o przenikalności εr ? Odp. C = ε0 S d , = Q2 2C 28. Wyznaczyć pojemność próżniowego kondensatora cylindrycznego o długości l, zbudowanego z dwóch cylindrów o promieniach R1 oraz R2 (R1 < R2 ). Wiadomo, że wewnętrzny cylinder naładowany jest ładunkiem o jednorodnej gęstości powierzchniowej σ. Odp. C = 2πlε0 R ln R2 1 29. Wyznaczyć pojemność próżniowego kondensatora sferycznego o promieniach sfer R1 oraz R2 (R1 < R2 ). Wiadomo, że wewnętrzna sfera naładowana jest ładunkiem o jednorodnej gęstości powierzchniowej σ. Odp. C = 4πε0 R1 R2 R2 −R1 3 30. Powietrzny kondensator płaski o pojemności C0 naładowano do różnicy potencjałów U0 . Między płytki kondensatora wsunięto szczelną płytkę o względnej stałej εr . Obliczyć zmianę napięcia, pola E, ładunku i pojemności, gdy kondensator a) jest odłączony b) jest podłączony do źródła = U0 . 31. Odległość między okładkami płaskiego kondensatora wynosi d, powierzchnia okładki S, kondensator podłączamy do źródła napięcia U . W pewnej chwili zaczynamy odsuwać jedną z okładek kondensatora z prędkością v w kierunku prostopadłym do okładek. Znaleźć zależność pracy od czasu, jaką należy wykonać, by oddalać okładki od siebie. Rozważyć dwa przypadki: a) źródło napięcia cały czas jest podłączone do kondensatora, b) źródło napięcia zostaje odłączone przed rozsuwaniem okładek. Odp. a) W (t) = 12 U 2 ε0 S( d1 − 1 d+vt ), b) W (t) = 1 2 2d2 ε0 U Svt 32. Wąski strumień elektronów w próżni przelatuje przez płaski kondensator równolegle do jego płytek i wywołuje świecenie ekranu położonego w odległości l od końca kondensatora. Po przyłożeniu do kondensatora napięcia U , świetlna plamka na ekranie przesuwa się o s. Odległość między płytkami kondensatora wynosi d, długość kondensatora b. Wyznaczyć prędkość elektronów. Odp. v = q U e(b2 +2bl) 2dsme 33. Jaką pracę należy wykonać, aby między okładki płaskiego kondensatora o pojemności C wsunąć elektrycznie obojętną metalową płytę o powierzchni równej powierzchni kondensatora? Odległość między okładkami kondensatora wynosi d a grubość płyty g. Rozpatrzyć przypadki: a) kondensator jest podłączony ze źródłem napięcia U , b) kondensator naładowany do napięcia U jest odłączony od źródła. g Odp.: a) W = 12 CU 2 g−d b) W = − 21 CU 2 dg 4