1.2.3 Funkcjonalna pełność Przedstawione przykłady sprawdzania

1.2.3 Funkcjonalna pełność
Przedstawione przykłady sprawdzania tautologiczności formuł zamknietych
metodą niewprost dobrze ilustrują, Ŝe załoŜenie niewrost o przypisaniu formule
wartości fałszu, a następnie jej sprawdzanie zgodnie z przyjętym algorytmem,
dokonywane jest dla dowolnych funkcji interpretacji w ten sam sposób, tj. dla
wszystkich funkcji sprawdzenia są równokształtne. Ten stan rzeczy
spowodowany jest równokształtnością zasad sprawdzania podanych w definicji
funkcji interpretacji dla wszystkich funkcji interpretacji. Powstaje pytanie, czy
funkcję interpretacji moŜna określić podając mniejszą liczbę zasad sprawdzania.
Ponadto wiedza logiczna reprezentowana przez tabele prawdziwościowe
określone dla spójników oraz kwantyfikatorów wskazuje, Ŝe wiedzę o jednych
spójnikach moŜna określić uŜywając w metajęzyku tabel prawdziwościowych
dla innych spójników. Podobnie jest wiedzą logiczną formuł, które stają się
zamknięte przez dopisanie do nich stosownych kwantyfikatorów. Np. dla
wszystkich funkcji wartościowań mamy
v(A ∧ B) =v(¬(¬A ∨ ¬B)),
v(∃xA) = v(¬∀x(¬A)).
Takie określenie wartości logicznych dla koniunkcji oraz kwantyfikatora
egzystencjalnego, pozwala uprościć funkcjonalnie rachunek kwantyfikatorów
do rachunku dla formuł budowanych z formuł atomowych za pomocą znaków:
¬, ∧, ∀. Więcej, moŜemy pokazać, Ŝe dla rachunku zdań, otrzymamy wtedy
system funkcjonalnie pełny, tj. kaŜda funkcja Boolowska
B:{0,1}×{0,1}×…×{0,1} = {0,1}n → {0,1},
reprezentuje pewną formułę Ψ(p1,p2,…pn) rachunku zdań, do napisania której
uŜyto jedynie symboli: p1,p2,…pn, ¬ , ∧, w taki sposób, Ŝe
v(Ψ(p1,p2,…pn)) = B(v(p1), v(p2),…,v(pn)).
Systemami funkcjonalnie pełnymi są takŜe systemy zbudowane z formuł
atomowych oraz
1) spójników: ¬, ∨,
2) spójników: ¬, ⇒,
3) spójników: ¬, ∧, ∨.
Formuły rachunku zdań mogą być zapisane równowaŜnie w systemie trzecim,
jako koniunkcje alternatyw pewnych literałów lub jako alternatywy koniunkcji
pewnych literałów, a wtedy te ich równowaŜne postacie nazywamy postaciami
kanonicznymi tych formuł, odpowiednio: koniunkcyjno-alternatywną,
alternatywno-koniunkcyjną. Gdy formuły te pisane są równowaŜnie w
systemie, którego język budowany jest z formuł atomowych oraz symbolu
negacji i koniunkcji, to równowaŜną im postać nazywamy redukcyjną postaci
kanoniczną.
1.2.4 RównowaŜność logiczna formuł
ZauwaŜmy takŜe, Ŝe metoda sprawdzania tautologiczności zastosowana do
dowolnej formuły zamkniętej prowadzi do wyznaczenia tej samej wartości
logicznej, gdy dowolne formuły zamknięte zawarte w tej formule zastąpimy
formułami posiadającymi dla dowolnej funkcji interpretacji te same wartości
logiczne co zastąpione formuły. WaŜna jest zatem następująca definicja:
Definicja 1.2.4.1 (równowaŜność logiczna formuł)
Dwie zamknięte formuły φ i ϕ rachunku kwantyfikatorów są równowaŜne
logicznie wttw gdy dla wszystkich interpretacji v, v(φ)= v(ϕ). Klasę wszystkich
równowaŜnych logicznie formuł zamkniętych traktujemy jako pojęcie (wiedzę) o
interpretacji logicznej formuł.
Metatwierdzenie 1.2.4.1 (o zasadzie ekstensjonalności dla równowaŜności)
Dwie równowaŜne logicznie formuły A i B moŜemy wzajemnie zastępować we
wszystkich formułach zamkniętych, w których formuły A, B występują nie
zmieniając dla dowolnej funkcji interpretacji wartości tych funkcji.
Przechodząc do zapisów dowodów formuł moŜemy więc wprowadzić nową
regułę wnioskowania, zwaną regułą ekstensjonalności dla równowaŜności:
Metatwierdzenie 1.2.4.2 (regułą ekstensjonalności dla równowaŜności EXE)
Niech dla formuły Φ, zapis Φ[X] oznacza tę formułę z wyróŜnionymi w tej
formule miejscami, w których występuje zamknięta formuła X. JeŜeli w tekście
dowodu akceptowane są formuła Φ[X] oraz równowaŜność A⇔B formuł
zamkniętych A,B, to do dowodu moŜemy dopisać akceptację równowaŜności
Φ[A/X]⇔ Φ[B/X],
gdzie człony równowaŜności powstały przez zastąpienie: raz X przez A (zapis
A/X), a drugi raz X przez B (zapis B/X). UŜywając notację stosowaną w zapisach
reguł wnioskowania, powyŜsze sformułowanie reguły moŜemy zapisać
następująco:
(EXE)
Φ[ X ] ∧ ( A ⇔ B)
.
Φ[ X / A] ⇔ Φ[ X / B]
Wskazania słuŜące do budowy systemów dowodzenia
Znajomość wiedzy o interpretacji logicznej oraz budowie formuł pozwala na:
1. podzielenie klasy formuł o tej samej interpretacji logicznej na podklasy
formuł wśród których istnieje formuła będąca najprostszym schematem
budowy dla pozostałych formuł w danej podklasie; dla tautologii taką
formułę traktujemy w metajęzyku jako schemat prawa logicznego,
2. dołączenie do zbioru reguł wnioskowania reguły ekstensjonalności dla
równowaŜności i rozpoczynanie dowodów od formuł równokształtnych z
pewnymi prawami logicznymi ( formuły te nazwiemy aksjomatami
systemu),
3. wybranie moŜliwie najmniej licznego zbioru aksjomatów, pozwalającego
na wyprowadzenie moŜliwie wielu tez logicznych: odpowiedzieć na
pytanie, czy rozwaŜany system jest aksjomatyzowalny, tj. czy moŜna
wskazać zbiór (najlepiej skończony) zbiór aksjomatów, z których
wyprowadzimy wszystkie tezy systemu,
4. w celu uproszczenia języka, dla niektórych schematów formuł,
wprowadzenie skrótowych oznaczeń (tzw. skrótów definicyjnych),
5. ustalenie schematów tworzenia dowodu (np. wprost, niewprost,
1.2.5 Systemy
logiczne pierwszego
rzędu oraz teorie
załoŜeniowego,
itp.).
Wymienione wskazania słuŜące do budowy systemów dowodzenia umoŜliwiają
określenie zbioru T formuł rachunku kwantyfikatorów będących tezami
wyprowadzonymi ze zbioru aksjomatów A z uŜyciem reguł wnioskowania
naleŜących do zbioru reguł R. PoniewaŜ reguły wnioskowania są relacjami
określonymi na zbiorze formuł, więc rozwaŜamy tu pewnego rodzaju systemy
relacyjne (struktury relacyjne).
Definicja 1.2.5.1 (systemu logicznego pierwszego rzędu)
System <Form*,T,A,R> określony przez zbiór T formuł zamkniętych rachunku
kwantyfikatorów będących tezami wyprowadzonymi ze zbioru aksjomatów A z
uŜyciem reguł wnioskowania naleŜących do zbioru reguł R nazywamy
systemem logicznym pierwszego rzędu lub logiką pierwszego rzędu.
Dla dowolnego systemu logicznego pierwszego rzędu moŜna przyjąć zgodnie z
wiedzą o interpretacji formuł pewne schematy tworzenia dowodu,
reprezentujące wiedzę o sprawdzaniu wartości logicznych formuł. Najprostszym
schematem tworzenia dowodu jest sekwencyjne stosowanie reguł wnioskowań.
Szczególnymi regułami są
1) reguły ustalające formuły jako aksjomaty,
2) reguły dopisujące do dowodu formuły będące podstawieniami praw
logicznych,
3) reguła dedukcji, pozwalająca do dowodu dopisać implikację jeśli
wcześniej wyprowadzony został poradnik implikacji, a następnie
wyprowadzony (wywiedziony) następnik implikacji,
4) reguła dowodu niewprost pozwalająca do dowodu dopisać formułę z
negacji której otrzymano sprzeczność (lub formułę false).
Schematy tworzenia dowodu określają relację wyprowadzenia |- . Operacja ta
pozwala zdefiniować następującą operację Cn określoną na zbiorach formuł
zamkniętych:
Definicja 1.2.5.2 (operacja konsekwencji)
Niech dla systemu <Form*,T,A,R> ustalone są schematy tworzenia dowodu.
Dla dowolnego X ⊆ Form*
Cn(X) = {F∈Form*: X ∪ A |- F}.
Gdzie X ∪ A |- F oznacza wyprowadzenie formuły F ze zbioru X ∪ A przy
wykorzystaniu reguł wnioskowania w systemie <Form*,T,A,R>, zgodnie ze
schematami tworzenia dowodu.
Wniosek 1.2.5.1
Dla dowolnych X, Y ⊆ Form*
1.
Cn(A) = T,
2.
X ⊆ Cn(X),
3.
jeśli X⊆Y , to Cn(X) ⊆ Cn(Y),
4.
Cn(Cn(X)) = Cn(X).
Operator przyporządkowujący dowolnym zbiorom formuł zamkniętych pewne
zbiory formuł i spełniający warunki 2-4 zwany jest operatorem
Kuratowskiego. Niekiedy zbiór formuł zamkniętych z operatorem
Kuratowskiego utoŜsamiany jest z określeniem logiki jako systemu
konsekwencji (w szczególności systemu dedukcji). Pierwsze badania takich
systemów były prowadzone przez polskiego logika Alfreda Tarskiego. Do
dzisiaj w tej dziedzinie badań jest wiele problemów nierozwiązanych.
Wniosek 1.2.5.2
a) System tabel semantycznych z regułą dowodu niewprost jest logiką
pierwszego rzędu,
b) W systemie tabel semantycznych zbiór aksjomatów jest pusty :
Cn(∅) = T.
Przykład 1.2.5.1 (system hilbertowski )
Do najprostszych systemów logicznych pierwszego rzędu naleŜy system
hilbertowski (zaprezentowany w 1928 r. w pracy D. Hilberta , W. Ackermanna).
Aksjomaty
Dla dowolnych formuł A,B,C∈Form*
Aks.1
(A ⇒ (B ⇒ A)).
Aks.2
((A ⇒ (B ⇒ C)) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C))).
Aks.3
((¬B ⇒ ¬A) ⇒ (A ⇒ B)).
Dla dowolnej stałej a
Aks.4
(∀xA(x) ⇒ A(a)).
Aks.5
(∀x(A ⇒ B(x)) ⇒ (A ⇒ ∀xB(x))),
pod warunkiem, Ŝe zmienna x nie występuje w formule A jako
zmienna wolna.
Reguły wnioskowania (dowodzenia)
(modus ponens - MP)
(reguła generalizacji)
A
A⇒ B
B
A(a)
∀xA( x)
jeśli a jest dowolnie ustaloną stałą.
1.2.6 Teorie formalne
Ludzkość przez tysiąclecia swojej historii opanowywała środki pozyskiwania
wiedzy, zróŜnicowane w czasie i dostępie do zdobyczy kulturowych i
cywilizacyjnych oraz umoŜliwiające grupowanie obiektów w klasy (pojęcia)
wykorzystywane w działalności praktycznej i poznawczej. Tak rodziły się
wszelkie dziedziny wiedzy, którymi współcześnie się posługujemy w Ŝyciu
codziennym i społecznym.
Pojawienie się systemów logicznej wiedzy
pozwoliło człowiekowi odnieść się do takich obiektów jak dziedziny wiedzy i
ich reprezentacje (głównie językowe). Systemy logiczne pierwszego rzędu
odsłoniły nam wiedzę nie tylko o budowie zdań, ale takŜe wiedzę o interpretacji
formuł w systemach reprezentacji wiedzy: potrafimy określić klasy zdań
równokształtnych, a takŜe klasy formuł tautologicznych - zawsze
interpretowalnych (dla dowolnej funkcji interpretacji). Jakie korzyści
poznawcze odnosimy dysponując wiedza logiczną?
Posiadanie wiedzy logicznej prowadzi do znacznego powiększenia efektywności
poznawczej człowieka: wystarczy, Ŝe dysponuje on interpretacjami schematów
zdań atomowych danej dziedziny reprezentacji wiedzy, rozumianej jako
struktura relacyjna, lub przyjmuje te zdania za pewniki (aksjomaty), wtedy
podstawienia praw logicznych lub konsekwencje wyróŜnionych formuł
atomowych, umoŜliwiają otrzymać schematy zdań reprezentujących wiedzę w
danej dziedzinie wiedzy: zdań prawdziwych, zdań będących twierdzeniami danej
dziedziny wiedzy.
Definicja 1.2.6.1 (teoria w ujęciu semantycznym)
Dowolny zbiór formuł mających pewną interpretację w danej dziedzinie wiedzy,
rozumianej jako struktura relacyjna, nazywamy teorią formalną w ujęciu
semantycznym tej dziedziny wiedzy.
Definicja 1.2.6.2 (teoria w ujęciu syntaktycznym)
Dowolny zbiór formuł będących schematami zdań przyjmowanej w pewnym
systemie reprezentacji wiedzy jako pewniki reprezentujące wiedzę w danym
systemie wiedzy lub konsekwencje tych schematów, nazywamy teoria formalna
w ujęciu syntaktycznym tej dziedziny wiedzy.
Definicja 1.2.6.3 (modelu zbioru formuł)
Dowolny zbiór formuł ma model w pewnej strukturze relacyjnej, jeśli jest
interpretowalny w tej strukturze (istnieje funkcja interpretacji dowolnych formuł
atomowych wyznaczająca zachodzenie pomiędzy obiektami odpowiadającymi
argumentom tych formuł atomowych relacji struktury przypisanych tym
formułom).
Z definicji modelu zbioru formuł oraz definicji teorii formalnej w ujęciu
semantycznym wynika
Metatwierdzenie 1.2.6.1
KaŜda teoria w ujęciu semantycznym posiada model w pewnej strukturze
relacyjnej.
PoniewaŜ zbiór formuł posiadających model w strukturze relacyjnej jest
zarazem zbiorem posiada formuł o wartości logicznej prawdy, więc nie zachodzi
pomiędzy tymi formułami sprzeczność (nie wyprowadzi się z tych formuł, Ŝe
dla pewnej formuły A jest: A i nieprawda Ŝe A), więcej, poniewaŜ zasady
sprawdzania tautologiczności jak i reprezentujące te zasady reguły
wnioskowania prowadzą od formuły prawdziwej do formuły prawdziwej, więc
wszystkie zbiory formuł wyprowadzonych z formuł posiadających model, takŜe
posiadają model. Zatem dobrze uzasadnione są następujące meta twierdzenia:
Metatwierdzenie 1.2.6.2
KaŜdy zbiór formuł posiadających model jest niesprzeczny.
Metatwierdzenie 1.2.6.3
KaŜda teoria formalna w ujęciu semantycznym posiada pewien model
Metatwierdzenie 1.2.6.4
KaŜda teoria formalna w ujęciu syntaktycznym posiada model jeśli jej aksjomaty
(schematy pewników) posiadają model.
Metatwierdzenie 1.2.6.5
KaŜda teoria (tak w ujęciu semantycznym jak i syntaktycznym) posiadająca
model jest niesprzeczna.
To co zostało wyŜej powiedziane o teoriach moŜna, takŜe powiedzieć o
systemach logicznych. W szczególności
Zbiór wszystkich tez systemu hilbertowskiego logiki pierwszego rzędu jest teorią
w ujęciu syntaktycznym: niesprzeczną i posiadająca model w dowolnej
strukturze relacyjnej.
Uwaga: ze względu na to, Ŝe kaŜda teoria w ujęciu semantycznym posiada
model, najczęściej modelach teorii mówi się dla teorii w ujęciu syntaktycznym,
dlatego w dalszym ciągu mówiąc w skrócie o teoriach będziemy je rozwaŜali w
ujęciu syntaktycznym.
1.2.7 Teorie zupełne i rozstrzygalne
Definicja 1.2.7.1 (teoria zupełna)
Niech T(U) będzie teorią, a zbiór U⊆T(U) będzie zbiorem jej aksjomatów.
Teorię T(U) nazywamy zupełną wttw, gdy U|- A lub U|- ¬A, dla dowolnej
zamkniętej formuły A.
Intuicyjnie wydawałoby się, Ŝe najbardziej podstawowe teorie matematyczne są
zupełne. Okazuje się, ze nie. Jedno z najwaŜniejszych twierdzeń metalogicznych
XX w. udowodnionych przez Kurta Gödla w 1930 r. pokazało, Ŝe teoria liczb
naturalnych sformułowana aksjomatycznie przez Peano moŜe nie być teorią
zupełną.
Metatwierdzenie 1.2.7.1 (Gödla o niezupełności)
Niech NT będzie zbiorem aksjomatów teorii liczb naturalnych. Jeśli teoria
T(NP) jest niesprzeczna, to nie jest zupełna.
JeŜeli teorię T(NT) uznamy za niesprzeczną, to
Metatwierdzenie 1.2.7.2
KaŜdą teorię, w której moŜemy zinterpretować teorię liczb naturalnych naleŜy
zaliczyć do teorii, które nie są zupełne.
Czy sprawdzenie zupełności teorii jest algorytmicznie zawsze moŜliwe?
JeŜeli przyjmiemy hipotezę Churcha, Ŝe algorytmiczne jest wszelkie działanie
dające się opisać arytmetycznie i tym samym dające się zrealizować na
abstrakcyjnej maszynie obliczeniowej Turinga, to okaŜe się potrzebne nowe
pojęcie
Definicja 1.2.7.2 (rozstrzygalności teorii)
Niech T będzie teorią. Teoria T jest rozstrzygalna wttw, gdy istnieje algorytm,
który dla dowolnej formuły zamkniętej A pozwala stwierdzić, czy A∈T, czy teŜ
A∉T.
Stąd natychmiast wynika, Ŝe
Metatwierdzenie 1.2.7.3
Teoria liczb naturalnych jest nierozstrzygalna.
Przyjecie hipotezy Churcha prowadzi do wielu zaskakujących (paradoksalnych)
zestawień twierdzeń:
Metatwierdzenie 1.2.7.4 (lemat Lindenbauma)
Niech T będzie teoria niesprzeczną. Wówczas istnieje niesprzeczna i zupełna
teoria T’⊆ T.
Metatwierdzenie 1.2.7.5
Niech T będzie teorią niesprzeczną i rozstrzygalną. Wówczas istnieje
niesprzeczna, zupełna i rozstrzygalna teoria T’⊆T.
Przyjmijmy dodatkowo definicję
Definicja 1.2.7.3
Teoria T jest aksjomatyzowalna,jeśli istnieje zbiór aksjomatów U tej teorii oraz
algorytm, który dla podanej formuły A pozwala stwierdzić, czy A∈U, czy teŜ nie.
Metatwierdzenie 1.2.7.6
Niech T będzie teorią. Jeśli T jest teorią zupełna i nierozstrzygalną, to nie jest
teorią aksjomatyzowalną.
Metatwierdzenie 1.2.7.7
Niech T będzie teorią. Jeśli T jest teorią aksjomatyzowalną i nierozstrzygalną, to
nie jest teorią zupełną.
Na podstawie powyŜszych twierdzeń i definicji, Alonzo Church w latach
trzydziestych XX w. pokazał, wskazując interpretację teorii liczb naturalnych w
logice pierwszego rzędu, Ŝe
Metatwerdzenie 1.2.7.8
Logika pierwszego rzędu jako całość nie jest rozstrzygalna.
W tym, jak wykazał to
Interesujące jest to, Ŝe niektóre podsystemy logiki pierwszego rzędu są teoriami
rozstrzygalnymi. Np. w pewnej monografii W. Ackermanna wymienione są
następujące teorie:
(a) rachunek zdań
(b) formuły zawierające jedynie predykaty jednoargumentowe,
(c) formuły poprzedzone jedynie kwantyfikatorami generalnymi (ogólnymi),
(d) formuły poprzedzone jedynie kwantyfikatorami egzystencjalnymi),
(e) formuły, w których wszystkie kwantyfikatory generalne stoją przed
egzystencjalnymi.