1 Wprowadzenie 2 Układy 3 Współrz˛edne satelity w

1 Wprowadzenie
W geodezji satelitarnej funkcjonuja˛ dwa układy współrz˛ednych zwiazane
˛
z ruchem obrotowym Ziemi Earth
Centered Earth Fixed (ECEF), oraz układ ekwinokcjalny. Ze wzgl˛edu na prosta˛ form˛e matematyczna˛ a także
niewielkie ilości danych, orbity satelitów sa˛ wysyłane w postaci elementów orbity keplerowskiej w układzie
ekwinokcjalnym. Orbity typu broadcast zostaja˛ zapisane w pliku RINEX n, w rozdzielczości dwu godzinnej.
Dla wyznaczenia współrz˛ednych satelitów w układzie ECEF na dany moment należy dokonać transformacji.
Poniższy przykład ilustruje schemat przeliczeń mi˛edzy tymi dwoma układami współrz˛ednych.
2 Układy
2.1 Układ ekwinokcjalny
Współrz˛edne satelitów w układzie ekwinokcjalnym, składaja˛ si˛e z sześciu podstawowych parametrów orbity keplerowskiej: Ω rektanscenzji w˛ezła wst˛epujacego,
˛
i inklinacji, ω argumentu perygeum, f anomali
prawdziwej, a dłuższej półosi orbity, e ekscentryczności, W tym układzie oś X skierowana jest w stron˛e
punktu równonocy, oś Z jest zgodna z osia˛ obrotu Ziemi, za to oś Y jest prostopadła do dwóch poprzednich
tworzac
˛ układ prawoskr˛etny rys. 2a. Środek układu znajduje si˛e w środku mas Ziemi. Istotnymi punktami
zwiazanymi
˛
z obrita˛ sa:
˛ w˛ezeł wst˛epujacy
˛ - jedno z miejsc przeci˛ecia si˛e płaszczyzny orbity z płaszczyzna˛
równika, to w którym satelita porusza si˛e z południa na północ, oraz perygeum P czyli punkt w którym
satelita znajduje si˛e najbliżej Ziemi.
2.2 Układ współrz˛ednych w płaszczyźnie orbity
Zgodnie z rys. 1 układ współrz˛ednych w płaszczyźnie orbity składa si˛e z osi ξ skierowanej w stron˛e
perygeum, z osi η skierowanej w stron˛e w˛ezła zst˛epujacego
˛
(przeciwnie do w˛ezła wst˛epujacego)
˛
oraz z
osi ζ prostopadłej do płaszczyzny orbity. Środek układu znajduje si˛e w centrum mas Ziemi.
2.3 Układ zwiazany
˛
z ruchem obrotowym Ziemi ECEF
W tym układzie oś X jest zwiazana
˛
z południkiem osiowym Greenwich który obraca si˛e wokół osi Z układu
(osi obrotu Ziemi). Natomiast oś Y układu jest prostopadła do dwóch poprzednich i tworzy z nimi układ
prawoskr˛etny rys. 2a.
3 Współrz˛edne satelity w płaszczyźnie orbity
Zgodnie z rys. 1 współrz˛edne satelity w płaszczyźnie orbity (ξ η ζ) uzyskujemy wia˛żac
˛ anomalie prawdziwa˛
z anomalia˛ ekscentryczna.
˛ Jak wynika z rys 1
ξ = r · cos(f ) = a · cos(E) − a · e = a · (cos(E) − e)
p
b
η = r · sin(f ) = · sin(E) = b · sin(E) = a · 1 − e2 · sin(E)
a
ζ = 0;
(1)
(2)
(3)
Anomali˛e mimośrodowa˛ E otrzymamy, używajac
˛ równania Keplera (rozwiazanie
˛
iteracyjne):
E = µ + e · sin(E)
(4)
gdzie µ to anomalia średnia czyli kat
˛ jaki średnio w czasie t − t0 zakreśli promień wodzacy
˛
satelity.Anomalia średnia µ uzależniona jest od średniej pr˛edkości katowej
˛
satelity:
n=
p
T
= GM/a3
2·π
1
(5)
h
(-ae,a)
S’
(-ae,b)
x
S
r
h
u0
f
E
(-ae,0)
x
(0,0)
(a,0)
Rysunek 1: Układ współrz˛ednych w płaszczyźnie orbity, S - położenie satelity na orbicie
µ(t) = n · (t − t0 )
(6)
4 Przeliczenia
4.1 Keplerowskie parametry ruchu satelitów
Aby wykonać transformacj˛e X, Y , Z na ξ, η, ζ należy wykonać trzy obroty: wokół osi Z o kat
˛ rektanscenzji
w˛ezła wst˛epujacego
˛
Ω rys. 2a przy pomocy macierzy rotacji Rz (Ω) w ten sposób przechodzimy do układu
przejściowego x′ , y ′ , z ′ , rys. 2b kolejno przy pomocy macierzy rotacji Rx (i) o kat
˛ inklinacji i, przechodzac
˛
do układu x”, y”, z”, a nast˛epnie wykonujac
˛ obrót przy pomocy macierzy rotacji Rz (ω), wokół osi z” rys.
2c. Na rys. 2, zaznaczono kolejne położenia transformowanego układu.
z z’
z
z z’
y’’
z’’ z
z
h
z
h
y’
x
i
W
i
v
W
x
ity
or b
sa
ika
i
i
wnik
rzut ró
y
a
wni
rzut ró
ty
tel
0
y
W
ty
ówn
rzut r
W
0
y
i
t
rzu
P
P
ity
i
x
x
P
0
h
y’
x’
x’’
to
rzu
s
ty
rb i
a te
li
x’
x
Rysunek 2: Zestawienie kolejnych obrotów pomi˛edzy układami ω, i, Ω
2
rz u
x
to
it
rb
ys
l
a te
ka
W notacji macierzowej zapiszemy:




Xs (tj )
r · cos(f )
 Ys (tj )  = Rz (−Ω) · Rx (−i) · Rz (−ω) ·  r · sin(f ) 
Zs (tj )
0
gdzie, macierze rotacji Rz , Rx , dla dowolnego kata
˛ K to

1
0
0
Rx =  0 cos(K) sin(K)
0 −sin(K) cos(K)

cos(K) sin(K) 0
Rz =  −sin(K) cos(K) 0
0
0
1
(7)


(8)


(9)
Znaki − w (7) zwiazane
˛
sa˛ z przejściem odwrotnym (tzn. ξ, η, ζ na X, Y , Z).
4.2 Poprawki do keplerowskich parametrów orbity
Ponieważ rzeczywisty ruch satelity odbiega od teorii keplerowskiej, w depeszy nawigacyjnej wyst˛epuja˛ także
poprawki do sześciu podstawowych parametrów orbity. Poprawki te należy uwzgl˛ednić przed wstawieniem
ostatecznych parametrów do równania (7). Efemerydy satelitów zostały wyznaczone na pewien konkretny
moment (o pełnej godzinie z interwałem co dwie godziny), z tego wzgl˛edu należy najpierw obliczyć ile czasu
min˛eło od czasu efemeryd (t − toe )
tj = t − toe
(10)
p
µ = µ0 + ( GM/a3 + δn) · tj
(11)
anomalia średnia w czasie tj
14
3
2
GM = 3.986005 ·10 m /s
rozwiazanie
˛
iteracyjne równania Keplera (4),
nast˛epnie wyznaczyć anomali˛e prawdziwa:
˛
η
fj = arctan
= arctan
ξ
!
√
1 − e2 · sin(Ej )
cos(Ej ) − e
(12)
rektascenzj˛e w˛ezła wst˛epujacego:
˛
Ωj = Ω0 + (Ω̇0 − ωe ) · tj − ωe · toe
(13)
ωe = 7.292115147 · 10−5 rad/s
Argument perygeum (tego parametru nie poprawiamy ze wzgl˛edu na całościowa˛ poprawk˛e do argumentu
szerokości).
ωj = ω + fi + CωC · cos(2 · (ω + fj )) + CωS · cos(2 · (ω + fj ))
(14)
Odległość radialna(długość promienia wodzacego)
˛
rj = a · (1 − e · cos(Ej ) + CrC · cos(2 · (ω + fj )) + CrS · cos(2 · (ω + fj ))
(15)
ij = i0 + idotj + CiC · cos(2 · (ω + fj )) + CiS · cos(2 · (ω + fj ))
(16)
inklinacj˛e:
3
5 Materiały
Szewczyk J., Góral W., Zastosowanie technologii GPS w precyzyjnych pomiarach deformacji ,
Strang G., Borre K., Linear Algebra, Geodesy, and GPS ,
Lamparski J., NAVSTAR GPS od teorii do praktyki ,
Śledziński J., Geodezja satelitarna
6 Przykład obliczeniowy
W kolejnej cz˛eści zrealizowane zostanie przeliczenie parametrów orbit kepplerowskich na współrz˛edne
ECEF. Do zadania zostały użyte dane z 11 11 2008 roku ze stacji WROC. Zaprezentowano możliwość wyznaczenia orbity w dowolnym momencie pomi˛edzy kolejnymi epokami toe .
6.1 Pobieranie danych
Sieć stacji permanentnych obejmuje swoim zasi˛egiem cała˛ kul˛e ziemska,
˛ jedna ze stacji IGS znajduje si˛e w
budynku Wydziału Inżynierii Kształtowania Środowiska i Geodezji UP we Wrocławiu. Stacja ma symbol
kodowy WROC. Dane pochodzace
˛ z tej stacji można pobrać ze strony:
http://igs.bkg.bund.de/, zakładka: Download: IGS/obs/2008/doy/wroc[doy]0.08n.Z, otworzyć, kliknać
˛
showfile, skopiować zawartość do notatnika.
Produkty sieci IGS, w tym precyzyjne orbity, można sciagn
˛ ać
˛ z tego samego serwera:
http://igs.bkg.bund.de/,zakładka: Download: IGS/products/Tydzień GPS/Dzień tygodnia/igs[Tydzień
GPS][dzień tygodnia].sp3.Z, otworzyć, kliknać
˛ showfile, skopiować zawartość do notatnika.
6.2 Dane
Dane znajdujace
˛ si˛e w tabeli 1.
poniżej.Cz˛eść nagłówkowa pliku:
pochodza˛ z pliku WROC3150.08n z fragmentu zamieszczonego
2.11
NAVIGATION DATA
SPIDER V2,2,0,2479 IGG
2008 11 11 22:54
1.2107D-08 -7.4506D-09 -1.1921D-07 5.9605D-08
9.8304D+04 -8.1920D+04 -1.9661D+05 4.5875D+05
-5.587935447693D-09-2.575717417130D-14
405504
1505
14
RINEX VERSION / TYPE
PGM / RUN BY / DATE
ION ALPHA
ION BETA
DELTA-UTC: A0,A1,T,W
LEAP SECONDS
END OF HEADER
Cz˛eść z danymi:
7 08 11 11 14 00 0.0 2.311961725354D-05 3.410605131648D-13 0.000000000000D+00
4.300000000000D+01-1.465625000000D+01 4.187317159676D-09-1.114328016966D+00
-9.424984455109D-07 2.313868375495D-03 1.226924359798D-05 5.153689096451D+03
2.232000000000D+05-9.313225746155D-08-2.831047113047D-02-3.539025783539D-08
9.650716011630D-01 1.459062500000D+02 2.829229163768D+00-7.744251462327D-09
5.432368999081D-10 1.000000000000D+00 1.505000000000D+03 0.000000000000D+00
2.000000000000D+00 0.000000000000D+00-1.071020960808D-08 4.300000000000D+01
2.232000000000D+05 0.000000000000D+00
4
Tablica 1: Zestawienie danych z pliku WROC3150.08n. Litera D przy liczbie oznacza 10n
Satelita nr
Rekord w pliku *.08n
Czas zegara satelity toc
Bład
˛ średni zegara satelity a0
Dryft zegara satelity a1
Pr˛edkość dryftu zegara satelity a2
Rekord w pliku *.08n
IOED
Poprawka do długości promienia wodzacego
˛
r − Crs
Poprawka do ruchu średniego δn
Anomalia średnia µ0 w momencie przejścia satelity przez w˛ezeł wst˛epujacy
˛
Rekord w pliku *.08n
Poprawka do anomali średniej Cuc
Ekscentryczność e
Poprawka do anomali średniej Cus√
Pierwiastek z dłuższej półosi orbity a
Rekord w pliku *.08n
Czas efemerydy pokładowej toe
Poprawka do kata
˛ inklinacji Cic
Rektascenzja w˛ezła wst˛epujacego
˛
Ω0
Poprawka do kata
˛ inklinacji Cis
Rekord w pliku *.08n
Inklinacja orbity i0
Poprawka do długości promienia wodzacego
˛
Crc
Argument perygeum ω
Pr˛edkość zmiany rektascencji w˛ezła wst˛epujacego
˛
Ω̇
Rekord w pliku *.08n
Pr˛edkość zmiany kata
˛ nachylenia orbity (idot) i̇
7
0
[08 11 11 14 00 0.0]
2.311961725354D-05
3.410605131648D-13
0.000000000000D+00
1
4.300000000000D+01
-1.465625000000D+01
4.187317159676D-09
-1.114328016966D+00
2
-9.424984455109D-07
2.313868375495D-03
1.226924359798D-05
5.153689096451D+03
3
2.232000000000D+05
-9.313225746155D-08
-2.831047113047D-02
-3.539025783539D-08
4
9.650716011630D-01
1.459062500000D+02
2.829229163768D+00
-7.744251462327D-09
5
5.432368999081D-10
Do kontroli obliczeń wykorzystano informacje o położeniu satelitów z pliku igs15052.sp3. Pozycje
satelitów w układzie ECEF sa˛ wyznaczone z interwałem 15 minutowym. Plik jest dost˛eny po około tygodniu
od momentu obserwacji (dane z postprocessingu). Cz˛eść nagłówkowa pliku:
#cP2008 11 11 0 0 0.00000000
96 ORBIT IGS05 HLM IGS
## 1505 172800.00000000
900.00000000 54781 0.0000000000000
+
32
G01G02G03G04G05G06G07G08G09G10G11G12G13G14G15G16G17
+
G18G19G20G21G22G23G24G25G26G27G28G29G30G31G32 0 0
+
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
+
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
+
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
++
0 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 2 3 3
++
3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 2 3 3 0 0
++
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
++
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
++
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
%c G cc GPS ccc cccc cccc cccc cccc ccccc ccccc ccccc ccccc
%c cc cc ccc ccc cccc cccc cccc cccc ccccc ccccc ccccc ccccc
%f 1.2500000 1.025000000 0.00000000000 0.000000000000000
%f 0.0000000 0.000000000 0.00000000000 0.000000000000000
5
%i
%i
/*
/*
/*
/*
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
FINAL ORBIT COMBINATION FROM WEIGHTED AVERAGE OF:
cod emr esa gfz grg jpl mit ngs sio
REFERENCED TO IGS TIME (IGST) AND TO WEIGHTED MEAN POLE:
PCV:IGS05_1502 OL/AL:FES2004 NONE
Y ORB:CMB CLK:CMB
Cz˛eść zawierajaca
˛ dane o położeniu satelitów:
* 2008 11 11 16 0 0.00000000
PG01
6819.100318 22684.542613
PG02 -17329.253956
2856.130178
PG03 20102.586173
4117.986849
PG04 -11279.751100 -11738.202242
PG05 -13724.580949 15036.800475
PG06 20292.734384
8594.496315
PG07
5702.701494 -24605.518923
PG08 -3754.712097 -18439.057161
PG09 -14336.241697 20967.943635
PG10 -26725.180394
931.949808
PG11 11615.427277 -22551.724720
PG12 -18863.802451 11492.080442
PG13 -2207.463435 -22060.025269
PG14 16085.267891 20868.063299
PG15 -14494.281590
5746.985824
PG16 25725.167399
2974.040717
PG17 -15646.303743 -21510.484459
PG18
2321.089161 15546.041710
PG19 14056.482313 -6262.646171
PG20 15592.381753 -13630.642791
PG21 -1294.818127 23109.759466
PG22 15591.952708 12368.989530
PG23
5637.964924 -16307.046109
PG24 -13017.135109 23320.427687
PG25
8558.692736 -25236.036504
PG26 -16582.840398 -1768.208949
PG27
1429.315846 -24149.088523
PG28 -14040.989291 -12665.283190
PG29
634.799620 21301.354863
PG30 -4601.989205 15798.916457
PG31 12315.062801
8637.400382
PG32 22283.915124 -7747.817278
-11726.615294 999999.999999
-19947.396290
173.908276
16755.586569
309.673456
-21045.153370
-229.059453
-17288.041562
-382.023204
15018.444743
145.315970
8016.256940
23.140425
18461.527494
-177.581258
6906.222068
24.380977
-565.870759
-7.101661
7073.884357
15.874061
-14608.599782
-341.232918
-14740.545862
276.836701
-3705.901104
-195.869876
21537.437156
-209.170250
-6330.842531
95.982310
-1729.366793
40.383722
21633.147203
-114.009287
21723.703717
35.585619
-16722.241393
99.393020
12670.360164
43.009188
17780.047243
209.478767
-20163.708828
379.693574
-341.221443
140.238800
1066.432266
15.431173
20310.699333
14.048462
11518.417269
232.011155
19183.217733
-23.480632
-15773.708139
-30.471641
-21194.796410
107.264033
-21674.224103
-37.838442
-11563.079862
314.328065
6
5
6
6
5
7
4
9
7
8
8
8
6
7
8
5
7
5
7
5
2
9
8
5
6
7
3
8
6
7
6
7
4
7
7
5
10
7
9
7
8
10
10
7
7
7
8
9
5
9
6
5
10
9
8
6
7
5
9
7
9
7
5
4
6
5
6
6
4
9
4
6
8
7
6
6
7
8
5
2
6
7
5
7
6
4
7
4
5
7
5
5
8
143
118
168
167
97
136
161
76
155
138
97
121
93
161
133
109
118
167
131
175
152
115
181
168
145
168
130
169
138
146
125
Współrz˛edne precyzyjne satelity nr 7 z SP3 to:
X = 5702.701494
Y = -24605.518923
Z = 8016.256940
6.3 Obliczenia
Stałe: potencjał Ziemski
GM = 3.986005D + 14
6
(17)
pr˛edkość obrotowa Ziemi
Dłuższa półoś orbity satelity
we = 7.2921151467D − 005
(18)
√
a = ( a)2 = 26560511.302
(19)
średnia pr˛edkość katowa
˛
satelity
n0 =
GM
(a3 )
1/2
= 1.4585D − 004
(20)
Czas na który chcemy policzyć współrz˛edne satelity (w sekundach tygodnia GPS)
t = [08 11 11 16 00 0.0]
t = 2d 16h 00m 0s
t = 230400 s
Czas zegara satelity (w sekundach tygodnia GPS)
t0 c = [08111114000.0]
t = 2d 14h 00m 0s
t = 223200 s
Poprawka do czasu zegata satelity
dt = a0 + a1 · (t − toc ) + a2 · (t − toc )2 = 2.3122D − 005
(21)
Czas na jaki chcemy wyznaczyć współrz˛edne satelity z uwzgl˛ednieniem bł˛edów zegara satelity
tj = t − toe − dt = 7.200 − 2.3122D − 005
(22)
Czas toc można uzyskać z pliku *.n w sekundach tygodnia GPS, może zdarzyć si˛e, że (t − toc ) czas
odbiega od założonego wzorca (środek tygodnia 302400), wypadajac
˛ w chwili po końcu tygodnia lub przed
poczatkiem.
˛
Należy poprawić wtedy: jeśli (t − toc ) > 302400 to (t − toc ) − 604800; natomiast jeśli
(t − toc ) < −302400 to (t − toc ) + 604800;
pr˛edkość katowa
˛
satelity
n = n0 + δn = 1.4586D − 004
(23)
Anomalia średnia
µj = µ0 + n · tj = −0.064158915
(24)
Anomalia mimośrodowa pierwsza iteracja
Ej0 = µj + e · sin(µj )
(25)
Ej1 = µj + e · sin(Ej0 )
(26)
Kolejne iteracje
Wartości kolejnych przybliżeń znajduja˛ si˛e w tabeli.
Tablica 2: Wartości E anomalii mimośrodowej z kolejnych iteracji
E0
E1
E2
E3
E4
E5
1.000000000
-0.062211862
-0.064302773
-0.064307601
-0.064307612
-0.064307612
7
Anomali˛e prawdziwa˛ f (12)- należy znaleźć stosujac
˛ sposób obliczeń podobny do wyznaczania azymutów ze współrz˛ednych (uwzgl˛edniajac
˛ czwartaki).
f = 6.218728826
(27)
Suma katów
˛
argumentu perygeum ω oraz anomalii prawdziwej f daje w efekcie argument szerokości u.
u = f + ω = 9.047957989
(28)
Wyznaczenie poprawek do argumentu szerokości, długości wektora wodzacego
˛
oraz inklinacji
duj = Cus · sin(2 · u) + Cuc · cos(2 · u) = −9.083085863D − 006
(29)
drj = Crs · sin(2 · u) + Crc · cos(2 · u) = 1.164244966D + 002
(30)
dij = Cis · sin(2 · u) + Cic · cos(2 · u) + idot · tj = 3.867610821D − 006
(31)
Uwzgl˛ednienie poprawek do argumentu szerokości, długości wektora wodzacego,
˛
inklinacji oraz rektascenzji.
uj = u + duj = 9.047948906
(32)
rj = a · (1 − e · cos(Ek)) + drj = 2.649929723D + 007
(33)
ij = io + dij = 0.965075468
(34)
Ωj = Ω0 + (Ω̇ − ωe ) · tj − ωe · toe = −16.829399526
(35)
Ze wzoru (7) - opuszczajac
˛ ostatnia˛ rotacj˛e, ponieważ kat
˛ ω został przeliczony na kat
˛ u (28). Ostatecznie w
wyniku otrzymano:
X = 5702699.51
Y = -24605519.25
Z = 8016258.12
Wyniki skontrolowano z plikiem SP3 (igs15052.sp3) otrzymujac
˛ odchyłki.
dX = -1.97
dY = -0.33
dZ = 1.18
8