Materiały do laboratorium z Matematyki finansowej, część 2

Materiały do laboratorium z Matematyki finansowej, część 2
Reguła bankowa, stosowana często przez banki, opiera się na założeniu, że przy liczeniu oprocentowania z lokaty (lub
przy pobieraniu odsetek od kredytu), każdy miesiąc jest tak samo ważny. Czyli iż trwa dokładnie 30 dni, a cały rok 360
dni. Standardową praktyką stosowaną przez banki jest nie uwzględnianie dni założenia i likwidacji lokaty przy
dopisywaniu odsetek od niej. Natomiast w przypadku brania kredytu od banku dni te są uwzględniane. Na przykład
lokata założona 26 lutego i zlikwidowana 5 maja trwa 4 dni w lutym (27, 28, 29,30), po 30 dni w marcu i kwietniu oraz
4 dni w maju. Okres dopisywania odsetek od kredytu jest o dwa dni dłuższy i wynosi 70 dni. We wzorach stosowanych
w matematyce finansowej czas podaje się w latach. W przypadku okresu mniejszych niż rok czas podany będzie
w postaci ułamka. I tak w poprzednim przykładzie czas dopisywania odsetek od kredytu wynosi ‫ = ݐ‬68/360 ≈
0,1889, a czas trwania kredytu ‫ = ݐ‬70/360 ≈ 0,1944.
Zad. Używając funkcji programu Excel obliczyć czas pomiędzy 26 lutym, a 5 maja według reguły bankowej.
Odp. W programie Excel datę zapisuje się w formacie rok-miesiąc-dzień (na przykład 2014-02-26) lub dzień-mie,
gdzie mie to pierwsze trzy litery miesiąca (na przykład 26-lut, 1-cze, 11-lis itd.). Zapisujemy w dwóch różnych
komórkach daty 26-lut i 5-maj, na przykład w komórkach A1 i B1. W osobnej komórce piszemy
=DNI.360(A1;B1). Komenda =YEARFRAC(A1;B1) da taki sam rezultat jak komenda
=DNI.360(A1;B1)/360.
Przy dopisywaniu odsetek istotne jest według jakiej reguły się to robi, czyli jaki jest model kapitalizacji. Kapitalizacja
prosta ma miejsce wtedy, gdy odsetki dopisuje się tylko od kapitału początkowego. Model kapitalizacji prostej stosuje
się najczęściej w przypadku krótkiego okresu kapitalizacji. Kapitalizacja złożona to kapitalizacja dla której co dany
okres odsetki dopisuje się do kapitału od którego oblicza się odsetki. Kapitalizacja z dołu, to kapitalizacja złożona przy
której odsetki dopisuje się do kapitalizowanej kwoty pod koniec okresu kapitalizacji. Kapitalizacja z góry ma miejsce
wtedy, gdy odsetki dopisuje się na początku okresu kapitalizacji. W zależności od okresu kapitalizacji wyróżnia się
kapitalizację roczną, półroczną, kwartalną, miesięczną czy dniową. Przy określaniu systemu kapitalizacji obowiązuje
konwencja, iż jeśli nie określa się czy chodzi o kapitalizację prostą czy złożoną, to przyjmuje się domyślnie, iż chodzi o
kapitalizację złożoną. Gdy nie określa się czy kapitalizacja jest z dołu czy z góry, przyjmuje się domyślnie kapitalizację
z dołu. Gdy nie podaje się okresu kapitalizacji domyślnie przyjmuje się roczny okres kapitalizacji. Na przykład zamiast
używać określenia kapitalizacja złożona z dołu z miesięcznym okresem kapitalizacji mówi się kapitalizacja miesięczna.
‫ ݐ‬- czas (wyrażany w latach); ‫ܭ‬௧ = ‫ – )ݐ(ܭ‬wartość kapitału w chwili ‫ – ݉ ;ݐ‬liczba okresów kapitalizacji (w okresie
jednego roku).
Kapitalizacja prosta – ‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ܭ‬ሺ0ሻ(1 + ‫)ݐݎ‬.
Modele kapitalizacji złożonej:
•
z dołu: odsetki są dopisywane pod koniec okresu kapitalizacji – ‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ܭ‬ሺ0ሻሺ1 + ‫ݎ‬/݉ሻ௠௧ .
•
z góry (odsetki dopisuje się na początku okresu kapitalizacji) – ‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ܭ‬ሺ0ሻሺ1 − ‫ݎ‬/݉ሻି௠௧ .
•
ciągły (odsetki dopisuje się według wzoru ‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ܭ‬ሺ0ሻ݁ ௧௥ ).
W praktyce, zamiast kapitalizacji dziennej, godzinnej czy sekundowej stosuje się kapitalizację ciągłą, gdyż jeśli
kapitalizacja jest odpowiednio częsta rezultat jest praktycznie taki sam, a wzór na kapitalizację ciągłą jest wygodniejszy
௫ ௡
௫ ି௡
w stosowaniu. Jest to prosta konsekwencja wzoru lim௡→ஶ ቀ1 + ௡ቁ = lim௡→ஶ ቀ1 − ௡ቁ
= ݁ ௫ , gdzie ݁ ≈ 2,71828 –
podstawa logarytmu naturalnego lub inaczej stała Eulera.
Zad. Wpłacono na lokatę 1000 zł. Obliczyć wartość lokaty po 4 latach przy r=6,5% dla: a) modelu kapitalizacji
prostej; b) dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu; c) dla modelu kapitalizacji z dołu z kwartalnym okresem
kapitalizacji; d) dla modelu kapitalizacji złożonej z góry z miesięcznym okresem kapitalizacji; e) dla modelu
kapitalizacji ciągłej.
Odp. a) ‫(ܭ‬4) = 1000(1 + 0,065 ∙ 4) = 1260; b) ‫(ܭ‬4) = 1000ሺ1,065ሻସ ≈ 1286,47;
଴,଴଺ହ ସ∙ସ
ቁ
ସ
≈ 1294,22; d) ‫(ܭ‬4) =
଴,଴଺ହ ିସ଼
1000 ቀ1 −
ቁ
ଵଶ
c) ‫(ܭ‬4) = 1000 ቀ1 +
≈ 1297,85; e) ‫(ܭ‬4) = 1000݁ ସ∙଴,଴଺ହ ≈ 1296,93.
Warto zauważyć, iż kapitalizacja prosta daje mniejsze odsetki niż kapitalizacja złożona z dołu roczna, ta daje mniejsze
odsetki niż kapitalizacja złożona z dołu kwartalna, ta z kolei daje mniejsze odsetki niż kapitalizacja ciągła, a ciągła niż
௥ ଶ௧
złożona z góry. Zależność tą opisuje wzór: ሺ1 + ‫ݎ‬ሻ௧ ≤ ቀ1 + ቁ
ଶ
݁ ௧௥ ≤ ⋯ ≤ ቀ1 −
௥ ିଷ଺଴௧
ቁ
ଷ଺଴
௥ ସ௧
≤ ቀ1 + ସቁ
௥ ଵଶ௧
≤ ቀ1 + ଵଶቁ
≤ ቀ1 + ଷ଺଴ቁ
௥
ଷ଺଴௧
≤⋯≤
≤ ⋯ ≤ ሺ1 − ‫ݎ‬ሻି௧ . Na przykład, jeśli bank oferuje kredyt na 12%, to kapitalizacja kredytu
z dołu jest dla kredytobiorcy korzystniejsza niż kapitalizacja z góry. A gdy wiadomo, iż odsetki od kredytu będą
naliczane według kapitalizacji z góry, to czym częstsza kapitalizacja tym lepiej.
Efektywna stopa procentowa (lub inaczej rzeczywista roczna stopa oprocentowania) służy do porównania lokat bądź
kredytów bankowych. Jest to oprocentowanie dla której dana lokata dałaby odsetki takie same jak lokata przy
kapitalizacji rocznej. Na przykład, gdy nominalna stopa oprocentowania lokaty wynosi 7%, to gdy obowiązuje
kapitalizacja
półroczna
଴,଴଻ ିଶ
‫ ܭ‬ቀ1 − ଶ ቁ
z
góry,
jej
efektywna
stopa
oprocentowania
wynosi
7,385%,
gdyż
≈ ‫(ܭ‬1 + 0,07385).
Pojęcie procentu związane jest z działaniami mnożenia i dzielenia. Dlatego w większości przypadków, gdy liczy się
średnią, używa się średniej geometrycznej, nie arytmetycznej.
Zad. Przy systemie kapitalizacji miesięcznej bank zmieniał oprocentowanie rocznej lokaty. W pierwszym kwartale
‫ = ݎ‬6%, w drugim 3,5%, a w trzecim i czwartym kwartale ‫ = ݎ‬2,5%. Ile wynosiło średnie oprocentowanie
lokaty?
Odp. ቀ1 +
଴,଴଺ ଷ
଴,଴ଷହ ଷ
଴,଴ଶହ ଺
ቁ
ቀ1
+
ቁ
ቀ1
+
ቁ
ଵଶ
ଵଶ
ଵଶ
௥ҧ ଵଶ
= 1,03685 ≈ ቀ1 + ଵଶቁ . ‫ݎ‬ҧ = ( ඥ1,03685 − 1) ∙ 12 ≈ 3,62%.
భమ
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 5. Wykorzystując dane historyczne o inflacji (na przykład ze strony http://pl.wikipedia.org/wiki/Inflacja)
a) sporządzić wykres przedstawiający realną wartość kwoty miliona złotych z roku 1980 do roku obecnego
włącznie; b) sporządzić wykres przedstawiający wartości nominalne kwoty mającej taką samą wartość
nabywczą jak tysiąc złotych w chwili obecnej w latach ubiegłych od roku 2000 włącznie c) obliczyć średni
poziom inflacji w latach 1980-1999 oraz w latach 2010-2013.
Zad. 6. Przy systemie kapitalizacji prostej odsetki od lokaty wyniosły w dniu 1 października 66 zł. Obliczyć:
a) zdeponowaną na lokacie kwotę jeśli lokatę założono 24 lutego, a ‫ = ݎ‬5,5%; b) oprocentowanie lokaty, jeśli
12 marca zdeponowano na nią 2 400 zł; c) czas założenia lokaty, jeśli zdeponowano 3 000 zł, a ‫ = ݎ‬5,5%.
Zad. 7. Na rachunek oszczędnościowy oprocentowany na 6% w skali roku wpłacono 1 maja 450 zł, 23 maja 350 zł,
15 czerwca 820 zł i 150 zł 30 czerwca. Obliczyć wartość kapitału na koncie w dniu 1 sierpnia: a) przy
kapitalizacji prostej; b) przy kapitalizacji kwartalnej; c) przy kapitalizacji miesięcznej z góry; d) przy
kapitalizacji ciągłej.
Zad. 8. Rachunek oszczędnościowo – rozliczeniowy (ROR) oprocentowany jest na 2%, a kredyt na nim na -18%.
1 stycznia wpłacono na nie 1000 zł, 2 lutego wypłacono 450 zł, 20 lutego wpłacono 300 zł, 15 marca wypłacono
1000 zł, 15 kwietnia wpłacono 800 zł. Obliczyć jego stan na dzień 1 maja, jeśli: a) obowiązuje kapitalizacja
prosta; b*) odsetki są dopisywane do stanu konta w ostatnim dniu każdego miesiąca.
Zad. 9. Obliczyć efektywną roczną stopę procentową dla sumy 1000 zł ulokowanej na następujących lokatach:
a) lokata roczna, odsetki są dopisywane z dołu co kwartał, ‫ = ݎ‬5%; b) lokata roczna, odsetki są dopisywane
z dołu co kwartał, ‫ = ݎ‬5,5%, przy czym odsetki pomniejsza się o 20% podatek; c) lokata roczna, odsetki są
dopisywane z góry co miesiąc, ‫ = ݎ‬5%, przy czym odsetki pomniejsza się o 20% podatek; d) lokata roczna,
odsetki są dopisywane z góry codziennie, ‫ = ݎ‬4,5%; e*) lokata roczna, odsetki są dopisywane z góry
codziennie, ‫ = ݎ‬9%, przy czym bank na koniec każdego miesiąca potrąca z niej 5 zł.
Zad. 10. a) Znaleźć takie wartości stóp procentowych, aby dla każdej z lokat z zadania poprzedniego kwota 1000 zł
przyniosła praktycznie takie same odsetki jak przy kapitalizacji prostej dla ‫ = ݎ‬6%. b) Jakich wpłat należy
dokonać na lokaty określone w poszczególnych podpunktach zadania poprzedniego, aby dla każdej z nich
otrzymać tyle samo, co w przypadku lokaty 1000 zł dla kapitalizacji prostej dla ‫ = ݎ‬6%.