Chaos deterministyczny

Chaos
Chaos deterministyczny
Zachowaniem wielu układów fizycznych rządzą deterministyczne prawa fizyczne zapisane
matematycznie w postaci równań różniczkowych lub różnicowych np. równania ruchu wynikające
z drugiej zasady dynamiki Newtona, równania kinetyki reakcji chemicznych itp. Oznacza to, że
jeśli znamy stan układu w wybranej chwili początkowej oraz równania opisujące dynamikę układu,
powinniśmy być w stanie jednoznacznie przewidzieć bieg zdarzeń, w zasadzie dla dowolnej chwili
czasu w przyszłości, podobnie znana powinna być też przeszłość badanego układu. Taki pogląd
zwany absolutnym determinizmem lub redukcjonizmem królował w XIX w. Uważano wówczas
Wszechświat za ogromny mechanizm taki jak np. zegar, tyle, że oczywiście znacznie bardziej
skomplikowany. Zachowanie odwiecznie zmieniającego się Wszechświata miało być, więc
całkowicie przewidywalne – można je zredukować do ewolucji pewnych warunków początkowych
pod działaniem niezmiennych praw fizyki. Wszystko można dokładnie obliczyć, jedyną trudność
może tylko stanowić określenie stanu układu (warunków początkowych) oraz rozwiązanie
skomplikowanych równań dynamiki układu. Są to trudności niebagatelne – np. w każdym cm3
pokoju znajduje się ok. 1018 cząsteczek powietrza, doznających ok. 1027 zderzeń w każdej
sekundzie. Aby określić stan ruchu 1 cząstki traktowanej jak punkt materialny potrzebujemy
podać zbiór 6 liczb, dla oznaczenia współrzędnych jej położenia i prędkości (pędu), dla N cząstek
daje to 6N niezależnych danych. W naszym przykładzie N=1018! W tym wypadku trudność polega
na konieczności zgromadzenia niewyobrażalnie dużej ilości informacji wejściowych i rozwiązania
tyluż równań ruchu – a więc mamy do czynienia z ogromną złożonością przetwarzania informacji.
Pamiętajmy w tym miejscu, że dzisiejsi specjaliści od modelowania dynamiki molekularnej, z
dostępem do najszybszych superkomputerów, są w stanie symulować ruch jakichś 105 cząstek i
to w dodatku tylko w przybliżeniu. Przekorny determinista mógłby się jednak upierać, że wszystko
to są przejściowe ograniczenia praktyczne, nie sięgające istoty rzeczy, bo w zasadzie
hipotetycznie nic nie stoi na przeszkodzie, aby można było każdy ruch obliczyć dokładnie, a więc
przewidzieć. Tymczasem okazuje się, że tak nie jest i to przynajmniej z dwóch różnych powodów.
1. Pierwszy wiąże się z faktem, że właściwą teorią podstawową ruchu ciał fizycznych nie jest
mechanika klasyczna (newtonowska) lecz mechanika kwantowa. Zawarta jest w niej zasada
nieoznaczoności, która ogranicza dokładność, z jaką możemy jednocześnie określić położenie
i pęd cząstki. Kiedy próbujemy wyznaczyć jedną z tych wielkości dokładnie, druga staje się
coraz bardziej niepewna. To wzajemne powiązanie położenia i pędu pozwala na jedynie
probabilistyczne przewidywanie przyszłości obiektów mikroskopowych tzn. w skali
atomów, cząsteczek i jeszcze mniejszych obiektów. W większych skalach „świata średnich
i dużych rozmiarów”, a więc w świecie znanym z codziennego, dla wszystkich praktycznych
celów obowiązują prawa mechaniki klasycznej. Kwantową nieoznaczoność w świecie
makroskopowym możemy zaniedbać, niemniej jednak powinniśmy być świadomi jej istnienia.
2. Drugim
powodem
jest
nieprzewidywalność
makroskopowa
zwana
chaosem
deterministycznym, pojawiająca się w układach makroskopowych, niejednokrotnie bardzo
prostych, których dynamikę opisują deterministyczne prawa fizyczne. Tego rodzaju
zachowania nie należy mylić z mikroskopowym nieporządkiem cieplnym (np. ruchami Browna).
Jak jednak układ może być deterministyczny, a równocześnie zachowywać się
chaotycznie (w sposób nieprzewidywalny)? Czy nie są to wyrażenia sprzeczne ze sobą. Otóż
okazuje się, że nie. Istota chaosu deterministycznego tkwi we wrażliwości układu na warunki
początkowe. Jak wielokrotnie mówiliśmy, prawa deterministyczne dają nam przepis, dzięki
któremu dany zestaw warunków początkowych prowadzi do jednoznacznego, możliwego do
obliczenia, stanu układu w dowolnej przyszłej chwili czasu. W domyśle zakładamy jednak, że
warunki początkowe są dane z nieograniczoną dokładnością, lub jak kto woli, z dokładnością do
nieskończenie dużej liczby cyfr dziesiętnych. Jest to jednak ideał nieosiągalny - błędy i
niepewności pomiarowe są przecież wszechobecne, a więc warunki początkowe znamy zawsze
tylko w przybliżeniu.
Jeśli podczas ewolucji układu błędy związane z niepewnością warunków początkowych nie
narastają w czasie, mówimy, że układ zachowuje się w sposób regularny i przewidywalny.
Jednak prawa deterministyczne nie dają gwarancji regularnego zachowania układu. Zdarza się,
że początkowe błędy rosną z czasem (i to w dodatku wykładniczo), wówczas układ ma charakter
1
Chaos
chaotyczny i długofalowe przewidywanie jego ewolucji staje się niemożliwe. Często nazywa się to
obrazowo efektem motyla.
W 1963 roku meteorolog N.E. Lorenz badał stosunkowo prosty układ trzech sprzężonych
nieliniowych równań różniczkowych, opisujący (w przybliżeniu) ruch powietrza w ziemskiej
atmosferze, a więc pośrednio zagadnienia prognozowania pogody. Jak zauważył, wyniki
długoczasowych obliczeń numerycznych były niesłychanie czułe na warunki początkowe, do tego
stopnia, że np. machnięcie skrzydeł motyla w Brazylii mogło stać się przyczyną tornada w
Teksasie. Nie wierzcie długoterminowym prognozom pogody!
Czy można uściślić i matematycznie opisać pojęcie wrażliwości na warunki początkowe? Jak
mówiliśmy, stan układu dynamicznego można dogodnie przedstawić w postaci punktu w
abstrakcyjnej przestrzeni fazowej (zwanej też inaczej przestrzenią stanów). Natura i wymiar
przestrzeni fazowej zależy oczywiście od rodzaju badanego układu. Tak więc np. dla układów
mechanicznych współrzędnymi punktu w przestrzeni fazowej będą liczby określające położenia i
pędy wszystkich cząstek tworzących układ (dla N cząstek swobodnych będzie to przestrzeń 6N
wymiarowa), w przypadku reakcji chemicznej współrzędnymi punktu w przestrzeni fazowej będą
®
stężenia poszczególnych reagentów np. dla reakcji A + B¬
C - przestrzeń fazowa jest 3
wymiarowa. Ewolucja czasowa układu opisywana jest jako trajektoria punktu w przestrzeni
fazowej. W języku przestrzeni fazowej niewielka zmiana warunków początkowych sprowadza się
do puszczenia układu w ruch z dwóch sąsiadujących ze sobą punktów prze strzeni stanów. Dla
układu regularnego trajektorie punktów przestrzeni fazowej sąsiadujących ze sobą w chwili
początkowej będą przebiegały blisko siebie również w dowolnej chwili przyszłości, natomiast
charakterystyczną cechą układów chaotycznych jest to, że dowolne trajektorie startujące z
bliskich sobie punktów przestrzeni fazowej rozbiegają się, przy czym odległość pomiędzy nimi
rośnie wykładniczo jak exp(lt ) . Parametr , zwany wykładnikiem Lapunowa, jest miarą
szybkości rozbiegania się (lub zbiegania dla <0) trajektorii w przestrzeni stanów oraz
wrażliwości układu na warunki początkowe.
Czy można przewidzieć (np. na podstawie postaci równań różniczkowych opisujących
ewolucję układu) czy w danym układzie będzie występował chaos deterministyczny? Tak. Z
matematycznego punktu widzenia, wszystkie nieliniowe układy dynamiczne o więcej niż dwóch
stopniach swobody mogą przejawiać chaos. Podstawowym warunkiem koniecznym (ale nie
wystarczającym) do pojawienia się chaosu jest więc nieliniowość równań opisujących
dynamikę układu. Z drugiej strony chaos nie pojawia się jeśli istnieje możliwość podania
rozwiązania analitycznego równań ewolucji układu dla dowolnej chwili czasu. Nieliniowe równania
ewolucji układu rozwiązujemy numerycznie, krok po kroku, od stanu początkowego, do wybranej
chwili końcowej. Tylko w takich warunkach może uwidocznić się wrażliwość na warunki
początkowe.
Można odnieść wrażenie, że konieczna dla chaosu wrażliwość na warunki początkowe
wymaga szczególnego dopasowania parametrów równania, co w przyrodzie może zdarzyć się
wyjątkowo i przypadkowo. Czyniłoby to z chaosu ciekawostkę, osobliwość rzadko mogącą
występować w świecie fizycznym, niewartą zainteresowania. Takie wyobrażenie jest jednak
nieprawdziwe. W ostatnich latach stało się jasne, że zjawisko chaosu deterministycznego
występuje powszechnie w przyrodzie i pociąga za sobą daleko idące konsekwencje w wielu
dziedzinach nauki. A oto przykłady układów wykazujących zachowania typowe dla chaosu
deterministycznego: wahadło z siłą wymuszającą, płyny w pobliżu progu turbulencji, lasery,
nieliniowe urządzenia optyczne, reakcje chemiczne, klasyczne układy wielu ciał (już np.
zagadnienie 3 ciał), akceleratory cząstek, biologiczne modele populacji, sygnały EKG pacjentów z
arytmią serca i EEG osób cierpiących na epilepsję, makroskopowe fluktuacje cen towarów i akcji.
Niemal każdy rzeczywisty układ dynamiczny, odpowiednio napędzany, okazuje się chaotyczny.
Omówimy teraz (bardzo krótko) typy układów mechanicznych wykazujących chaos
deterministyczny oraz możliwe drogi (albo scenariusze) dochodzenia układów nieliniowych do
chaosu przy zmianie parametru kontrolnego. Wszystkie te scenariusze można zrealizować
doświadczalnie. Zauważmy przy tym, że przejście do chaosu w układach dyssypatywnych ma
miejsce jedynie wtedy gdy układ jest pobudzany z zewnątrz (np. poprzez mieszanie,
pompowanie, ogrzewanie, uderzanie). Takie układy nazywamy otwartymi.
2
Chaos
Pierwsza z dróg dochodzenia chaosu zwana jest drogą bifurkacji, albo podwajania okresu.
Zilustrujmy ją prostym przykładem cieknącego kranu. Wszystko czego potrzeba do naszego
eksperymentu to cieknący kran oraz urządzenie do pomiaru odstępu czasu pomiędzy kolejnymi
kroplami (ponieważ może zachodzić konieczność pomiaru odstępów czasu rzędu mili- lub nawet
mikrosekund należałoby użyć detektorów innych niż tylko nasze oczy i uszy, najodpowiedniejsze
wydaje się użycie fotodiody rejestrującej przerwanie wiązki światła przez padającą kroplę i
rejestracja uzyskanych danych przy pomocy komputera. Parametrem kontrolnym, stopniowo
zwiększanym podczas doświadczenia, będzie natężenie przepływu cieczy. Przy dostatecznie
małym natężeniu przepływu kran cieknie z monotonną powtarzalnością – kap, kap, kap, ...(rys.)
Kolejne krople spadają w równych odstępach czasu, powiedzmy T0. W miarę wzrostu natężenia
przepływu odstęp czasu T0 staje się oczywiście coraz krótszy, jednak sposób kapania pozostaje
niezmieniony, aż do momentu przekroczenia pewnego progowego natężenia przepływu. Po
przekroczeniu progu charakter kapania zmienia się – słyszymy kap-kap, kap-kap, kap-kap
...Odstępy między kroplami stają się nierówne – mamy krótki odstęp T1 na przemian z długim T2,
tworzące regularny ciąg T1,T2,T1,T2,... Mówimy, że okres kapania podwoił się (uległ bifurkacji).
Ten nowy sposób kapania utrzymuje się do kolejnego progowego natężenia przepływu, któremu
towarzyszy kolejna niestabilność i kolejne podwojenie okresu – każdy z odstępów T1 i T2 bifurkuje
na 2 nierówne odstępy, co prowadzi do wzoru T3,T4,T5,T6, T3,T4,T5,T6...Ta tendencja utrzymuje
się – przy n-tej bifurkacji mamy 2n różnych odstępów czasu. Kolejne bifurkacje pojawiają się
coraz szybciej, aż wreszcie dla pewnej krytycznej wartości natężenia przepływu n ® ¥ . Okres
staje się równy 2 ¥ czyli nieskończony – sposób kapania nigdy się nie powtarza – staje się
aperiodyczny. I to jest chaos. Odkryliśmy w ten sposób przejście układu do chaosu drogą
bifurkacji.
Drugi scenariusz przejścia do chaosu nazwany został scenariuszem intermitencji (czyli
przerywania). Oznacza to, że sygnał zachowujący się regularnie (albo przepływ laminarny) w
czasie przerywany jest raptownie przez wybuchy intermitencji, czyli przypadkowo rozłożone
okresy ruchu nieregularnego (lub przepływu turbulentnego czyli burzliwego). Wraz ze wzrostem
wartości parametru kontrolnego układu wzrasta liczba wybuchów intermitencji, aż do momentu,
gdy ruch układu staje się całkowicie chaotyczny. Tego rodzaju scenariusz bywa obserwowany w
doświadczeniu Benarda. W eksperymencie tym warstwa cieczy (o dodatnim współczynniku
rozszerzalności objętościowej) ogrzewana jest od dołu w polu grawitacyjnym. Parametrem
kontrolnym układu jest liczba Rayleigha, proporcjonalna do różnicy temperatur pomiędzy dolna i
górną warstwą cieczy. Płyn o wyższej temperaturze (a zatem mniejszej gęstości) znajdujący się
przy dnie „chce” unieść się do góry, a chłodniejszy płyn w górnej warstwie cieczy „chce” opaść na
dół. Tej tendencji przeciwstawiają się jednak siły lepkości. Przy małej różnicy temperatur
DT lepkość przeważa – płyn pozostaje w spoczynku, a ciepło przenoszone jest wyłącznie drogą
przewodnictwa. Przy pewnej progowej wartości DT pojawia się stacjonarny stan tzw. rolek
konwekcyjnych. Przy dalszym ogrzewaniu, powyżej drugiej wartości progowej DT , obracające się
rolki konwekcyjne stają się niestabilne, pojawiają się coraz bardziej złożone postacie przepływu,
aż do ruchu całkowicie turbulentnego.
Ostatnim dość dobrze poznaną drogą przejścia układów dyssypatywnych do chaosu jest
dziwny atraktor. O ile w scenariuszu bifurkacji ruch chaotyczny pojawiał się w wyniku
nieskończonego ciągu niestabilności, w tym wypadku już po dwóch niestabilnościach, przy
pojawieniu się trzeciej, trajektorie w przestrzeni fazowej zaczynają być przyciągane przez
ograniczony obszar przestrzeni fazowej, w którym ruch staje się chaotyczny (jest to tzw. dziwny
atraktor). Tego rodzaju przejście również było obserwowane w doświadczeniach Benarda.
3