linia pret

1.9. PROSTE SKRĘCANIE
1.9.1. Wprowadzenie
Proste skręcanie występuje wówczas, gdy obciążenie zewnętrzne redukuje się do
wektora momentu skręcającego M s , którego kierunek pokrywa się z główną, centralną
osią przekroju Ox .
Wiele elementów konstrukcji budowlanych podlega działaniu momentu skręcającego.
Przykładami takich konstrukcji są: rygle ram przestrzennych, wieńce stropów, belki
podporowe płyt balkonowych, belki podsuwnicowe czy belki skrajne obciążone
jednostronnie płytą. Działanie momentu skręcającego jest szczególnie istotne w przypadku
cienkościennych przekrojów metalowych.
Zagadnienie brzegowe skręcania prętów pryzmatycznych o dowolnym kształcie przekroju
poprzecznego jest trudne do rozwiązania. Przekroje takie ulegają deplanacji (spaczeniu),
więc do rozwiązania zagadnienia brzegowego trzeba wykorzystać metody teorii
sprężystości.
Jedynie w przypadku prętów o przekroju kołowo symetrycznym spełniona jest hipoteza
BERNOULLI’EGO (przekroje pozostają płaskie po odkształceniu), zatem wyznaczenie w nich
stanu naprężenia i odkształcenia jest stosunkowo łatwe, możliwe do uzyskania prostymi
metodami wytrzymałości materiałów.
1.9.2. Stan naprężenia i odkształcenia w prętach o przekroju kołowym
Rozważmy pręt kołowo symetryczny (okrągły) o długości l i promieniu r , obciążony
momentem skręcającym M (rys. 1).
Rys. 1
Z rysunku tego wynika, że jedyną siłą przekrojową w takim pręcie jest moment skręcający
M s . Zatem rozważany pręt jest poddany prostemu skręcaniu.
Stan naprężeń i odkształceń w rozważanym pręcie wyznaczymy przyjmując następujące
założenia upraszczające:
(i) wpływ siły masowej jest pomijalny
g x  g y  gz  0
(1)
(ii) osie Cy i Cz są osiami głównymi, centralnymi przekroju
Sy  Sz  0, Iyz  0
(2)
(iii) spełniona jest hipoteza płaskich przekrojów BERNOULLI’EGO
(iv) spełniona jest hipoteza DE SAINT-VENANTA
Strona geometryczna
Ze sposobu odkształcenia pręta wynika (rys. 2), że wszystkie jego przekroje poprzeczne
obracają się względem osi podłużnej o kąt Θ x  , zwany kątem skręcania, zachowując –
zgodnie z założeniem (iii) – swój pierwotny kształt, przy czym promienie przekrojów
poprzecznych pręta po odkształceniu pozostają odcinkami linii prostych. Natomiast
tworzące pręta przyjmują kształt linii śrubowych (helis). Każda z tych linii przecina
tworzące pod stałym kątem, równym odkształceniu postaciowemu (kątowemu)    .
Rys. 2
Na podstawie powyższej analizy możemy przyjąć, że wektor przemieszczenia uux , u , u 
punktów przekroju pręta ma w cylindrycznym (walcowym) układzie odniesienia (rys. 3)
następujące współrzędne:
ux  0, u  0, u  Θx 
(3)
gdzie u  jest przemieszczeniem promieniowym (radialnym), u – przemieszczeniem
obwodowym, natomiast Θ – kątem skręcania, który należy wyznaczyć. Ponieważ oś x
jest osią symetrii przekroju (przekrój jest kołowo symetryczny), zatem współrzędne te nie
zależą od kąta Θ .
Rys. 3
W celu wyznaczenia współrzędnych wektora przemieszczenia w prostokątnym układzie
odniesienia skorzystamy z zależności (rys. 4)
Rys. 4
u0
v  u sin  Θ x  sin  Θ x z
(4)
w  u cos   Θ x  cos   Θ x y
Równania geometryczne (1.4.13) – przedstawione w zapisie inżynierskim (1.4.28) – mają
następującą postać:
 x  u,x ,  y  v ,y ,  z  w ,z
 xy   yx  u,y  v ,x
 xz   zx  u,z  w ,x
(5)
 yz   zy  v ,z  w ,y
skąd, po uwzględnieniu postaci współrzędnych (4), otrzymujemy
 x  0,  y  0,  z  0
 xy   yx  Θ,x z
 xz   zx  Θ,x y
 yz   zy  0
(6)
Zatem macierz odkształceń (1.4.28) ma postać
 21 Θ,x z
 0
 ij    21 Θ,x z 0
 21 Θ,x y
0
1
2
Θ,x y 

0 
0 
(7)
Strona fizyczna
Uwzględniając współrzędne tensora odkształceń (6) w równaniach fizycznych (1.5.11’),
przy wykorzystaniu oznaczeń (1.3.6), dostajemy następujące współrzędne tensora
naprężeń:
x  y  z  0
 xy   yx  GΘ,x z
 xz   zx  GΘ,x y
(8)
 yz   zy  0
gdzie G jest modułem sprężystości poprzecznej (modułem KIRCHOFFA). Zatem
macierz naprężeń (1.3.6) ma postać
 GΘ,x z GΘ,x y 
 0


 ij    GΘ,x z 0
0 
 GΘ,x y
0
0 
(9)
Strona statyczna
Z uwagi na stan naprężenia w pręcie (rys. 5)
Rys. 5
zależności (1.3.56)2,4 (równania równowagi elementarnego wycinka pręta skręcanego)
przyjmują postać


 
A
A
A
xy
xz
dA  GΘ,x  zdA  0
A
dA  GΘ,x  ydA  0
xz
(10)
A


y   xy z dA  GΘ,x  y 2  z 2 dA  M s
A
zaś równania (1.3.56)1,3 są spełnione tożsamościowo. Ponieważ

A
ydA  Sz ,
 zdA  S
A
y
,
to z uwagi na założenie (ii) pierwsze dwa z powyższych równań są również spełnione
tożsamościowo. Podstawiając w trzecim z powyższych równań  2  y 2  z 2 otrzymujemy
GΘ,x   2dA  M s
A
Ponieważ

A
(11)
 2dA  Io jest biegunowym momentem bezwładności, zatem z (11) wynika, że
Θ,x 
Ms
GI o
(12)
przy czym Io  Πr 4 2 . Warto zauważyć, że jeśli moment skręcający jest stały, to pochodna
kąta skręcania też jest stała.
1.9.3. Naprężenie styczne i obroty w przekroju kołowym
Podstawiając funkcję (12) do wzorów (8)2,3 otrzymujemy zależności
 xy   yx  
 xz   zx
Ms
z
Io
M
 sy
Io
Ponieważ (rys.6)
Rys. 6
(13)
   xy sin   xz cos 
  xy
z

  xz
y


Ms y 2  z 2 Ms


Io

Io
(14)
zatem zależność określająca naprężenie styczne (ścinające) przy prostym skręcaniu
przyjmuje postać

Ms

Io
(15)
Z powyższego wzoru wynika, ze rozkład naprężeń stycznych w przekroju kołowym jest
liniowy, są one prostopadłe do promienia wodzącego punktu, zaś wartość maksymalną,
równą
 max     r  
Ms
r
Io
(16)
naprężenia styczne osiągają we włóknach skrajnych przekroju poprzecznego (rys. 7). Z
uwagi na kołową symetrię przekroju taki sam rozkład naprężeń występuje na każdym
odcinku przechodzącym przez środek przekroju poprzecznego.
Rys. 7
Podobny rozkład naprężeń ma miejsce na płaszczyznach równoległych do osi podłużnej
pręta i przechodzących przez jego środek ciężkości (rys. 8).
Rys. 8
Wzór (16) można przedstawić w następującej, równoważnej postaci:
 max 
Ms
Wo
(17)
Io
r
(18)
gdzie
Wo 
nazywamy wskaźnikiem wytrzymałości przy skręcaniu (biegunowym wskaźnikiem
wytrzymałości) pręta okrągłego, przy czym Wo  Πr 3 2 .
Całkując równanie (12) otrzymujemy
Θ
,x
dx 
Ms
M
dx  Θx   s x  c x

GIo
GIo
(19)
gdzie c x jest stałą całkowania. Ponieważ w miejscu utwierdzenia pręta kąt skręcania jest
równy zeru (warunek brzegowy w przemieszczeniach), zatem z powyższego równania
wynika, że
Θ0  c x  0
(20)
Θx  
(21)
i w konsekwencji
Ms
x
GI o
Zatem obrót końca pręta o przekroju kołowym (maksymalny kąt skręcania) i długości l
wynosi
Θl   Θmax 
Ms l
GIo
Warto zwrócić uwagę na podobieństwo powyższego wzoru do wzoru (1.7.23).
Ponieważ przy małych odkształceniach spełniona jest zależność (rys. 9)
Rys. 9
(22)
 x  Θ   
Θ

x
(23)
zatem wykorzystując wzór (21) dostajemy następującą formułę określającą odkształcenie
postaciowe (kątowe) przy prostym skręcaniu
 
Ms

GIo
(24)
Warto podkreślić, że z uwagi na założenie o spełnieniu zasady de Saint-Venanta wzory
(15), (21) i (24) pozostają ważne również w przypadku innego, statycznie równoważnego
obciążenia pręta.
1.9.4. Naprężenie styczne w przekroju prostokątnym
Ponieważ przekrój prostokątny ulega spaczeniu (rys. 10), zatem określenie stanu
naprężenia i odkształcenia nie jest możliwe prostymi metodami wytrzymałości materiałów.
Rys. 10
Wyznaczony metodami teorii sprężystości rozkład naprężeń stycznych w przekroju
prostokątnym o wysokości h i szerokości b przedstawia rys. 11. Z rysunku tego wynika,
że naprężenia ścinające w narożnikach przekroju są równe zeru. Jest to rezultatem braku
obciążenia na powierzchniach bocznych pręta. W takim przypadku w punktach tych
 yx  0 oraz  zx  0 i w konsekwencji również  xy  0 i  xz  0 .
Rys. 11
max
max
  xy
Największą wartość naprężenia styczne  max   xz
w takim przekroju osiągają w
punkcie o współrzędnych y  b 2 , z  0 i obliczamy ją ze wzoru
Ms
Ws
 max 
(25)
W powyższym wzorze
Ws  b2h
(26)
jest wskaźnikiem wytrzymałości przy skręcaniu pręta prostokątnego.
Wartości funkcji  h b  przedstawia poniższa tabela
hb

1.0
1.5
1.75
2.0
2.5
3.0
4.0
6.0
8.0
10.0
0.141
0.196
0.214
0.229
0.249
0.263
0.281
0.299
0.307
0.313
1.9.4. Warunki projektowania prętów skręcanych
(a) Warunek wytrzymałości
 max 
Ms
 Rt
Wo
(27)
gdzie Rt oznacza wytrzymałość obliczeniową na ścinanie.
Powyższy warunek można wykorzystać do wyznaczenia nośności pręta
M s  W o Rt
(28)
lub pola powierzchni jego przekroju poprzecznego
Wo 
Ms
Rt
(29)
(b) Warunek sztywności
Θmax  Θdop
gdzie  dop dopuszczalny kąt skręcania pręta.
(30)
1.9.5. Stan naprężenia i odkształcenia w cylindrycznym układzie
odniesienia
Wyprowadzenie wzorów określających stan naprężenia i odkształcenia pręta skręcanego
o przekroju kołowym jest znacznie prostsze, jeśli wykorzystamy cylindryczny układ
odniesienia. Współrzędne prostokątne x, y , z są powiązane ze współrzędnymi
cylindrycznymi x, , następującymi relacjami:
x  x,
y   cos,
z   sin
(31)
Strona geometryczna
Z zależności (3) wynika, że współrzędne wektora przemieszczenia uux , u ,u  w
cylindrycznym układzie odniesienia mają postać
ux  0, u  0, u  Θx 
(3)
gdzie Θ jest kątem skręcania, który należy wyznaczyć.
Podstawiając niezerowe pochodne tych współrzędnych
u ,x  Θ,x , u ,  Θ, u ,  0
(32)
do równań geometrycznych w układzie cylindrycznym
 x  u x ,x ,    u  , ,   
 x   x  u ,x 
u ,  u 

u x,

(33)
 x    x  u  , x  u x , 
      u , 
u  ,  u

otrzymujemy następujące współrzędne tensora odkształcenia
 x       0
 x   x  Θ,x
 x   x  0
(34)
      0
Z powyższych zależności wynika, że macierz odkształceń przy prostym skręcaniu pręta
kołowego ma w układzie cylindrycznym następującą postać:
x
E   x
 x

 x

 
 x   0
0 Θ,x 
 

     0
0
0 
    Θ,x 0
0 
(35)
Strona fizyczna
Stan naprężeń w cylindrycznym układzie odniesienia przedstawia rys. 12
Rys. 12
Wykorzystując przedstawione na tym rysunku oznaczenia współrzędnych tensora
naprężeń w równaniach fizycznych (1.5.11’) dostajemy:






2G
1    x        
1  2
2G
1        x    
 
1  2
2G
1        x    
 
1  2
 x   x  G x ,  x   x  G x ,       G 
x 
(36)
Podstawiając do powyższych równań współrzędne tensora odkształceń (35) otrzymujemy
współrzędne tensora naprężeń
 x  0,    0,    0
 x   x  GΘ,x
(37)
 x   x  0
      0
Zatem macierz naprężeń (1.3.6) ma w układzie cylindrycznym następującą postać:
 x  x  x   0
T   x        0
 x       GΘ,x


0 GΘ,x 

0
0 
0
0 
(38)
Strona statyczna
Z uwagi na stan naprężenia w pręcie (rys 13) równanie równowagi elementarnego wycinka
pręta skręcanego (1.3.56)4 przyjmuje w układzie cylindrycznym następującą postać:
    dA  GΘ 
A
x
,x
A
 2dA  M s
(39)
zaś pozostałe równania (1.3.56) są spełnione tożsamościowo.
Rys. 13
Ponieważ

A
 2dA  Io jest biegunowym momentem bezwładności, zatem z (39) dostajemy
wzór określający pochodną poszukiwanego kąta skręcania
Θ,x 
Ms
GI o
(40)
Podstawiając (4) do zależności (34)2 i (37)2 otrzymujemy wzory określające odkształcenie
 x   x 
Ms

GIo
(41)
 x   x 
Ms

Io
(42)
oraz naprężenie
w pręcie skręcanym o przekroju kołowym. Są one takie same jak wzory (24) i (15). Sposób
wyznaczenie kąta skręcania przedstawiają zależności (19) do (21).
Przykład 1. Wyznaczyć naprężenia główne i kierunki główne przy prostym skręcaniu
Dane: Macierz naprężeń przy prostym skręcaniu
0

 ij   0
 x

 
0  x 

0 0 
0 0 
Szukane: 1,  2,  3, n1, n2, n3
Rozwiązanie:
Krok 1. Obliczamy naprężenia główne
Korzystając ze wzoru (1.3.26) obliczamy niezmienniki macierzy naprężeń
I1  0,
I2 
0
 x
 z
0
 2
   x , I3  0
Podstawiając powyższe niezmienniki do równania charakterystycznego (1.3.25) otrzymujemy


  2   x 2  0
Powyższe równanie ma następujące pierwiastki (naprężenia główne)
 1   x
2  0
 3   x
W układzie odniesienia wyznaczonym przez kierunki główne macierz naprężeń ma zatem postać
  x

 ij   0
 0

 
0 

0 0 
0  x 
0
Krok 2. Wyznaczamy kierunki główne
Podstawiając współrzędne tensora naprężeń do równań (1.3.23) sprowadzamy je do postaci
nx   x n  0
 n  0
 z nx  n  0
Natomiast warunek (1.3.28)1 zapisujemy jako
nx2  n2  n2  1
Podstawiając do powyższych równań kolejne naprężenia główne otrzymujemy
 1   x
 x n1x   x n1  0  n1x  n1  0  n1x  n1
  x n1  0  n1  0
n12x  n12  n12  1  2n12x  1  n1x 
2
 n1
2
2  0
 x n2  0  n2  0
 0  n2   0
 x n2 x  0   x n2 x  0  n2 x  0
n22x  n22  n22  1  n22  1  n2   1
 3   x
 x n3 x   x n3  0  n3 x  n3  0  n3 x  n3
  x n3   0  n3   0
n32x  n32  n32  1  2n32x  1  n3 x 
2
 n3
2
Czyli naprężenia główne i kierunki główne w przypadku prostego skręcania mają następującą postać:
 1   x  n1
2
, 0, 
 2
 2  0  n2 0, 1, 0
 3   x  n3 

2
2
, 0,
2
2
2
2




Z powyższych wzorów wynika, że kierunki główne są nachylone do tworzących pręta pod kątem 45º,
natomiast naprężenia główne, z których pierwsze jest ściskające, zaś drugie – rozciągające, są równe co do
wartości naprężeniom stycznym ścinającym (rys. P1); wektor n2 jest skierowany prostopadle do
płaszczyzny rysunku.
Rys. P1