12. działanie momentu skręcającego

Transkrypt

Część 2
12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO
12
1
Í Ï Î
DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO
12.1. ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE
12.1.1. Podstawy teorii skręcania swobodnego prętów sprężystych
Rozważmy jednorodny, izotropowy, liniowo-sprężysty pręt pryzmatyczny poddany czystemu skręcaniu (rys. 12.1). Problem skręcania rozwiążemy w sposób wskazany w 1855 roku przez de Saint-Venanta.
Przyjmujemy mianowicie, że przekroje pręta nie ulegają odkształceniom postaciowym, tzn. w procesie
deformacji zachowują swój pierwotny kształt. Zgodnie z powyższą hipotezą kinematyczną dwa przekroje
oddalone od siebie o x1 obracają się względem siebie wokół podłużnej osi pręta o kąt skręcenia ψ.
Uwzględnimy jednak możliwość deplanacji (spaczenia) przekrojów, które przed odkształceniem były
płaskie. Dopuszczamy więc możliwość wystąpienia przemieszczeń u1 wzdłuż osi pręta x1. Okazuje się, że
przy powyższych założeniach uzyskuje się ścisłe rozwiązanie problemu skręcania na gruncie teorii sprężystości.
Rys. 12.1
Zasadnicze rozważania przeprowadzimy w zapisie wskaźnikowym. Z podanych wyżej założeń kinematycznych dla bardzo małych wartości kąta skręcenia wynikają następujące związki:
u1 = θ ⋅ t ( x2 , x3 ),
u2 = −ψ ⋅ x3 = −θ ⋅ x1x3 ,
(12.1)
u3 = ψ ⋅ x2 = θ ⋅ x1x2 .
gdzie t(x2, x3) jest tzw. funkcją deplanacji, kąt θ = dψ / dx1 i nazywa się jednostkowym kątem skręcenia.
Ponieważ pręt jest jednorodny i pryzmatyczny, więc podczas czystego skręcania (M = const) jednostkowy kat skręcenia ma wartość stałą θ = ψ (l ) / l , gdzie l jest długością pręta.
Rozważany problem nosi nazwę skręcania swobodnego. Określenie to wiąże się z założeniem, że
wszystkie przekroje pręta mają swobodę deplanacji. Dlatego rozwiązanie tak sformułowanego zagadnienia ma charakter przybliżony. W praktyce istnieje wiele takich przypadków, w których skręcanie swobodne nie występuje. Mamy tu na myśli np. pełne utwierdzenie pręta na podporze, gdzie przekrój musi
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
Część 2
2
pozostać płaski, tzn. u1 = 0. Podobna sytuacja występuje w środkowym przekroju pręta, który jest obciążony skupionym momentem skręcającym w połowie długości. W tych przypadkach powinno się stosować
teorię skręcania nieswobodnego.
W praktyce efekty skręcania nieswobodnego trzeba uwzględniać tylko w przekrojach cienkościennych.
Problematykę tę omówimy w rozdziale 13. (por. również p. 12.1.6).
Wzory (12.1) pozwalają obliczyć odkształcenia ze związków geometrycznych (por. wzór (2.6)):
ε11 = ε 22 = ε 33 = ε 23 = 0,
1
ε12 = θ ⋅ (t ,2 − x3 ),
2
1
ε13 = θ ⋅ (t ,3 + x2 ).
2








(12.2)
Stan odkształcenia obrazuje macierz:
 0 ε12
e = ε 21 0
ε 31 0
ε13 
0  .
0 
(12.2a)
Z kolei ze związków fizycznych (wzory (5.4)) otrzymujemy naprężenia:
σ 11 = σ 22 = σ 33 = σ 23 = 0,

σ 12 = Gθ ⋅ ( t ,2 − x3 ),


σ 13 = Gθ ⋅ (t ,3 − x2 ),

(12.3)
a macierz naprężeń przyjmuje postać:
 0 σ 12 σ13 
s = σ 21 0
0  .
σ 31 0
0 
(12.3a)
Wykorzystamy jeszcze równania różniczkowe równowagi naprężeń (wzór (1.9)) dla pręta nieważkiego (Gi = 0):
 σ11,1 + σ 21,2 + σ 31,3 = 0,

σ ji , j = 0 :  σ12 ,1 + σ 22,2 + σ 32,3 = 0,
 σ
 13,1 + σ 23,2 + σ 33,3 = 0,
które po uwzględnieniu równań (12.3) prowadzą do zależności:

σ 21,2 + σ 31,3 = 0,

(12.4)
σ 12,1 = 0,


σ 13,1 = 0.

Równania (12.4)2 i (12.4)3 są spełnione tożsamościowo. Pozostaje więc tylko równanie (12.4)1. Po podstawieniu wzoru (12.3) do (12.4)1 otrzymujemy równanie różniczkowe Laplace'a na funkcję deplanacji:
t,22 + t,33 = 0
lub
∂2
+
.
∂x22 ∂x32
Funkcja deplanacji t(x2, x3) jest więc funkcją harmoniczną.
∇ 2 t = 0,
gdzie ∇ 2 =
∂2
(12.5)
Część 2
3
Aby wyznaczyć naprężenia, wygodnie jest wprowadzić pewną funkcję F(x2, x3), zwaną funkcją naprężeń. Jeżeli przyjmiemy, że
σ 12 = F,3 ,
(12.6)

σ 13 = − F,2 .
to funkcja naprężeń F(x2, x3) spełnia tożsamościowo równanie równowagi (12.4)1.
Równanie problemu skręcania otrzymujemy na podstawie wzorów (12.6). Po zróżniczkowaniu równania (12.6)1 względem x3, a równania (12.6)2 względem x2 mamy:
σ 12,3 = F ,33 = Gθ ⋅ t,23 − 1 ,
(
(
)
)
σ 13,2 = F ,22 = − Gθ ⋅ t,32 + 1 .
Jeśli funkcja deplanacji t(x2, x3) jest ciągła wraz z drugimi pochodnymi, to t,23 = t,32 i po dodaniu stronami uzyskujemy poszukiwane równanie skręcania, wyrażone przez funkcję naprężeń:
(12.7)
∇ 2 F = −2Gθ .
Jest to równanie różniczkowe Poissona.
Należy jeszcze przeanalizować warunki brzegowe odpowiadające temu równaniu. Warunki te są określone przez warunki na powierzchniach bocznych ograniczających pręt (wzór (1.7b)):
pi( n) = σ ji n j .
Pobocznica pręta jest wolna od naprężeń, więc p1( n) = p2( n) = p3( n) = 0. Zatem
p1( n ) = σ11n1 + σ 21n2 + σ 31n3 = 0,
p2( n ) = σ12 n1 + σ 22 n2 + σ 32 n3 = 0,
p3( n ) = σ13n1 + σ 23n2 + σ 33n3 = 0.
Ponieważ w pręcie pryzmatycznym n1 = 0, a n2 = ∂x3 / ∂c i n3 = −∂x2 / ∂c (por. rys. 12.2), pozostaje
tylko pierwsze z równań:
σ 21n2 + σ 31n3 = 0 .
(12.8)
Rys. 12.2
Z zależności (12.8) wynika, że naprężenia σ12 i σ13 muszą przybierać takie wartości, by wypadkowe
naprężenie τ1 było styczne do konturu przekroju. Warto przypomnieć, że w identyczny sposób ustaliliśmy kierunek wypadkowego naprężenia t1 = tx*) w punktach konturu przekroju przy omawianiu działania siły poprzecznej (por. wzór (11.7)).
*)
t x ≡ t1 = txy + txz.
Część 2
4
Po wprowadzeniu funkcji naprężeń do warunku (12.8) mamy:
− F,3n2 + F,2 n3 = 0
lub
∂F ∂x3 ∂F ∂x2
⋅
+
⋅
= 0.
∂x3 ∂c ∂x2 ∂c
Lewa strona powyższego równania jest pochodną funkcji F = F [ x2 (c), x3 (c)] względem zmiennej c, mierzonej wzdłuż linii tworzącej kontur przekroju:
dF ∂F ∂x3 ∂F ∂x2
.
=
⋅
+
⋅
dc ∂x3 ∂c ∂x2 ∂c
Warunek ten można zapisać krócej:
dFc
= 0,
dc
gdzie Fc oznacza wartości funkcji F na konturze przekroju pręta. Wynika stąd, że
Fc = const.
Funkcja naprężeń musi na konturze przekroju przyjmować jednakową wartość. Najwygodniej jest przyjąć, że brzegowa wartość funkcji Fc jest równa zeru:
Fc = 0.
(12.9)
Rys. 12.3
Warunek (12.9) jest poszukiwanym warunkiem brzegowym funkcji naprężeń, spełniającej równanie różniczkowe skręcania (12.7). Przebieg funkcji naprężeń obrazuje rys. 12.3a. Na rysunku 12.3b przedstawiono plan warstwicowy powierzchni F(x2, x3). Rozważmy jeszcze pewien punkt warstwicy F(x2, x3) =
const. Na krzywej tej przyrost funkcji F jest równy zeru, tzn.
dF ∂F ∂x2 ∂F ∂x3
=
⋅
+
⋅
= 0,
dc1 ∂x2 ∂c1 ∂x3 ∂c1
ale
∂F
= −σ 13 ,
∂x2
∂F
= σ 12 ,
∂x3
Część 2
5
skąd
σ 12 dx2
=
.
σ 13 dx3
Z ostatniej zależności (por. rys. 12.3c) wynikają następujące wnioski:
− wektor naprężenia t1 = σ12·e2 + σ13·e3 jest w każdym punkcie styczny do warstwicy F(x2,x3) =
const; warstwice funkcji F są więc trajektoriami naprężeń stycznych,
− wartość wypadkowego naprężenia stycznego obliczona z zależności
2
2
τ 1 = σ 12
+ σ 13
=
(F ,3 )2 + (F ,2 )2
pozwala traktować to naprężenie jako moduł gradientu funkcji naprężeń F,
τ 1 = grad( F ) .
Jeśli uda się nam wyznaczyć funkcję naprężeń, możemy obliczyć jednostkowy kąt skręcenia
z definicji momentu skręcającego:
M = ∫ (σ13 ⋅ x2 − σ12 ⋅ x3 )dA = ∫ (− F ,2 ⋅x2 − F ,3⋅x3 )dA =
A
A
∫
∫
= − F ,2 x2 dx2 dx3 − F ,3 x3dx2 dx3 .
A
A
Po wykonaniu całkowania przez części oraz uwzględnieniu, że Fc = 0 otrzymujemy:
M = 2 F ( x2 , x3 )dA .
∫
(12.10)
A
Moment skręcający równa się więc podwójnej objętości ograniczonej powierzchnią F(x2, x3) oraz płaszczyzną przekroju.
Jeżeli do rozwiązania stosujemy funkcję deplanacji t(x2, x3), a nie funkcję naprężeń F(x2, x3), to warunek brzegowy (12.8) po wykorzystaniu równań (12.3) prowadzi do zależności:
t,2 − x3 n2 + t,3 + x2 n3 = 0.
(12.11)
(
)
(
)
Funkcja t(x2,x3) musi być tak obrana, by na konturze przekroju spełniała warunek (12.11). Drugi sposób
rozwiązania problemu skręcania polega więc na wyznaczeniu funkcji deplanacji t(x2, x3), która spełnia
równanie Laplace'a (12.5) i warunek brzegowy (12.11) w każdym punkcie konturu przekroju.
12.1.2. Skręcanie pręta o przekroju eliptycznym
Kontur przekroju pręta jest opisany równaniem:
z2
+
− 1 = 0,
a 2 b2
gdzie a i b (a ≥ b) są głównymi osiami sprzężonymi elipsy (por. rys. 12.4).
(a)
y2
Rys. 12.4
Część 2
6
Zastosujemy funkcję naprężeń o następującej postaci:
 y2 z2 
F ( y , z ) = m ⋅ 
+
− 1 ,
 a 2 b2 
(b)
gdzie m jest pewną stałą. Z budowy wzoru (b) wynika, że warunek brzegowy na konturze przekroju jest
spełniony (Fc = 0). Stałą m obliczymy przez podstawienie funkcji F(y, z) do równania różniczkowego
(12.7):
1
 1
∇ 2 F = 2m
+  = −2Gθ ,
 a 2 b2 
skąd
m = − Gθ ⋅
Wobec tego
a 2b 2
a 2 + b2
.
 y2 z2 
⋅ 
+
− 1 .
a 2 + b2  a 2 b2 
Na podstawie wzoru (12.10) otrzymujemy:


a 2b 2 
1
1
2
2 
M = 2 FdA = 2Gθ 2 2 dA − 2 y dA − 2 z dA =

a +b 
a
b
A
A
A
A

F ( y , z ) = − Gθ ⋅
(c)
a 2b2
∫
(d )
= 2Gθ
∫
∫
∫
a 2b 2 
1
1

A−
J −
J .
2
2 
2 z
2 y 
a +b
a
b
Dla elipsy momenty bezwładności Jy i Jz oraz pole przekroju wynoszą:
1
1
J y = πb 3a ,
J z = πba 3 ,
A = πab,
4
4
co po podstawieniu do równania (d) prowadzi do zależności:
M=
(e)
πa 3b 3
⋅ Gθ .
a 2 + b2
Gdy uwzględnimy wartość iloczynu Gθ obliczoną ze wzoru (e), to na podstawie wzoru (c) otrzymamy
ostateczną postać funkcji naprężeń F(y, z) :
M  y2 z2 

F ( y, z) = −
+
− 1 .
(f)
πab  a 2 b 2 
Naprężenia styczne zmieniają się liniowo. Wynika to z zależności (12.6):
2M
∂F

⋅ z,
 τ xy = ∂z = −
πab 3
(g)

 τ xz = − ∂F = 2M ⋅ y.
∂y πa 3b

Dosyć istotne dla dalszych rozważań jest to, że moment skręcający przenoszony przez naprężenia τxy
jest równy M/ 2 . Taką samą część momentu przenoszą oczywiście naprężenia τxz. Wniosek ten wynika z
następującego obliczenia:
2M
2M
1
 ( z)
2
M (τ xz ) = τ xz ⋅ y dA = 3 y dA = 3 ⋅ J z = 2 M ,
πa b
πa b

A
A
(h)

M ( y ) τ xy = − τ xy ⋅ z dA = 2M z 2 dA = 2M ⋅ J y = 1 M .

2
πa 3b
πab 3
A
A

∫
( ) ∫
∫
∫
Część 2
7
Warto również zwrócić uwagę, że pola każdego z wykresów naprężeń wypadkowych τ x są zawsze jednakowe
2M a 2M b M
Aτ x = 2 ⋅ =
.
⋅ =
πa b 2 πab 2 2 πab
Największe naprężenia występują więc w punktach konturu leżących najbliżej środka ciężkości przekroju
(tzn. w punktach B i D na rys. 12.5). Ponieważ a ≥ b, więc
τ x max =
(i)
2M
πab
2
=
M
,
Ws
gdzie Ws = πab2 / 2 i oznacza tutaj tzw. wskaźnik wytrzymałości na skręcanie.
Aby wyznaczyć przemieszczenia, trzeba określić funkcję deplanacji t(y, z). Funkcję tę najwygodniej
obliczymy z jednego z równań (12.3):
2M
a 2 − b2
∂ t τ xy
z
z
=
+z=−
⋅
+
=
−
⋅ z.
∂y Gθ
Gθπab 3
a 2 + b2
Po scałkowaniu tego równania otrzymamy:
a 2 − b2
⋅ yz + C.
t ( y , z) = − 2
a + b2
Stałą C wyznaczymy z uwzględnieniem wymagania, by punkty leżące na osi pręta nie doznawały przemieszczeń. Inaczej mówiąc przyjmujemy, że oś pręta nie wydłuża się i nie skraca. Mamy więc t(0,0) = 0,
skąd C = 0.
a 2 − b2
⋅ yz .
t ( y , z) = − 2
a + b2
Z równania (e) można obliczyć jednostkowy kąt skręcenia:
(j)
θ=
M
,
2
2 

G πa b / a + b


a ze wzorów (12.1) współrzędne wektora przemieszczenia:

M

⋅ yz ,
u1 = u = θ ⋅ t = −  3 3
G πa b / a 2 − b 2 




M

⋅ xz ,
u2 = v = −θ ⋅ x1x3 = −
(l)
G  πa 3b 3 / a 2 + b 2 





M
⋅ xy.
u3 = w = θ ⋅ x1x2 =  3 3
2
2 
G πa b / a + b




(k)
3 3
(
)
(
)
(
(
)
)
Rys. 12.5
Część 2
8
Warstwice funkcji u(y, z) są hiperbolami. Na rysunku 12.5b warstwice oznaczone liniami ciągłymi
odpowiadają wartościom dodatnim, natomiast linie przerywane − ujemnym wartościom przemieszczeń
u(y, z).
Stosownie do wzoru (k) jednostkowy kąt skręcenia można zapisać jeszcze inaczej:
θ=
M
GJ s
,
(12.12)
gdzie GJs jest sztywnością skręcania przekroju, a Js − tzw. momentem bezwładności na skręcanie:
A4
A4
πa 3b 3
Js = 2
;
=
≈
a + b 2 4 π 2 Jb 40 Jb
(12.12a)
przy czym Jb = Jy + Jz i oznacza tu biegunowy moment bezwładności. De Saint--Venant doszedł do
wniosku, że wzór (12.12a) dla innych kształtów przekroju daje również bardzo dokładne wyniki. Można
więc przyjąć, że sztywność na skręcanie jest równa są sztywności na skręcanie prętów o przekroju eliptycznym o tej samej powierzchni A i tym samym biegunowym momencie bezwładności Jb. Sztywność na
skręcanie jest więc odwrotnie proporcjonalna do biegunowego momentu bezwładności, a nie wprost proporcjonalna, jak przyjmowali poprzednicy de Saint-Venanta.
12.1.3. Skręcanie prętów o przekrojach kołowych
i pierścieniowych
Zwróćmy uwagę na to, że dla przekroju kołowego (a = b = r) przemieszczenia u(y, z) = 0. Oznacza to,
że podczas skręcania przekrój kołowy nie ulega deplanacji. Wzory na naprężenia i kąt skręcania są następujące (rys. 12.6a):
τx =
M
⋅ ρ,
Jb
τ x max =
M
,
Ws
A4
Ws =
πr 3
,
2
πr 4
Js =
=
= Jb .
2
4π 2 Jb
M
,
θ=
GJ s







(12.13)
Wzory (12.13) obowiązują również dla przekrojów pierścieniowych, przy czym:
J s = Jb =
(
π 4 4
R −r
2
)
oraz
Ws = J s / R .
(12.14)
Dla przekrojów kołowych i pierścieniowych moment bezwładności na skręcanie Js jest liczbowo równy momentowi biegunowemu Jb. Było to źródłem błędnego założenia w dawniej stosowanych teoriach
skręcania. W przekrojach pierścieniowych − podobnie jak w przekrojach kołowych − nie występuje deplanacja przekroju.
Rys. 12.6
Część 2
9
12.1.4. Skręcanie pręta o przekroju w kształcie trójkąta
równobocznego
Ścisłe rozwiązania zamknięte można uzyskać jeszcze dla przypadku, gdy przekrój pręta pryzmatycznego jest trójkątem równobocznym. Funkcja naprężeń jest iloczynem równań opisujących boki trójkąta
(rys. 12.7):
(
F ( y , z) = m 3x − a
(m)
)(
3 y − 3z + 2a
)(
)
3 y + 3z + 2a .
Rys. 12.7
W ten sposób − podobnie jak dla przekroju eliptycznego − funkcja naprężeń zgodnie
z warunkiem brzegowym (12.9) przyjmuje wartości zerowe na konturze przekroju. Stałą m dobieramy
tak, by było spełnione równanie skręcania (12.6):

a 
∂ 2F
= 18 3m y +
,

3
∂y 2
∂ 2F
∂z
2
a 

= −18 3m y −
.

3
Wobec tego
∇2 F =
∂ 2F
∂ 2F
+
= 36am = −2Gθ ,
∂y 2
∂z 2
skąd
m=−
(n)
Gθ
.
18a
Z zależności (12.10) otrzymujemy:
∫
M = 2 F dA = 2m
A
∫(
A
)(

3y − a 

3 y + 2a
)
2
18a 5m 3
3

,
− 9 z 2  dA = −
= Gθa 4
5
5

więc
(o)
θ=
M
,
GJ s
gdzie
Js =
a4 3
.
5
(12.15)
Część 2
10
Naprężenia obliczymy z zależności (12.6):
Gθ
∂F

 τ xy = ∂z = −18m 3 y − a z = + a ⋅ 3 y − a z ,

(p)

 τ = − ∂F = −9 3m y 2 + 2a ⋅ y − z 2  = 3Gθ  y 2 + 2a − z 2  .
 xz



∂y
2a 
3
3
(
(
)
)
Po podstawieniu zależności (o) naprężenia określają są wzory:
(
)
(
)
M
M

3y − a z =
3 y − a z,
 τ xy = aJ
5
s
/
3
5
a

(q)

 τ = 3 M  y 2 + 2a ⋅ y − z 2  = M  y 2 + 2a ⋅ y − z 2  .



 xz 2a J s 


3
3
2a 5 / 5 

Wykresy naprężeń stycznych przedstawia rys. 12.7b. Maksymalne naprężenia styczne występują w punktach leżących najbliżej środka ciężkości (punkty A, B, C):
 a  M
2a 3
,0 =
,
.
(r)
Ws =
τ x max = τ xz 
 3  Ws
5
(
)
(
)
Naprężenia w narożach są równe zeru. Pola wykresów wypadkowego naprężenia stycznego τx, odniesionych do dowolnej linii wychodzącej ze środka ciężkości przekroju, są takie same. Dla przykładu wzdłuż
linii z = 0 pole dodatnich naprężeń
τx = τxz odłożone na odcinku OA jest równe polu ujemnych naprężeń odłożonych na odcinku OD.
Deplanację wyznacza się identycznie jak dla przekroju eliptycznego, a odpowiednie równanie funkcji
t(y, z) jest następujące:
3  2 z2 
 y −  ⋅ z.
t ( y , z) =
(s)
2a 
3 
Warstwice funkcji u(y, z) = θ⋅t(y, z) podano na rys. 12.7a.
12.1.5. Obliczanie naprężeń i kąta skręcania dla prętów
o dowolnym przekroju. Przekrój prostokątny
Dla prętów o dowolnym przekroju rozwiązanie ścisłe uzyskuje się za pomocą szeregów Fouriera.
Istnieją również przybliżone metody wyznaczania funkcji naprężeń lub funkcji deplanacji. Na uwagę
zasługuje również metoda różnic skończonych omówiona w dodatku. Bardzo dobre rezultaty daje przybliżona teoria skręcania swobodnego zbudowana na podstawie teorii płyt grubych [12,36]. Poza tym informacji o charakterze rozkładu naprężeń dostarczają analogie błonowa i hydrodynamiczna. Omówimy je
w p. 12.2.
Z punktu widzenia projektanta istotne jest wyznaczenie największego naprężenia stycznego |τx max |
oraz jednostkowego kąta skręcania. Ogólnie biorąc, wartości te oblicza się według wzorów:
M
,
Ws
M
.
θ=
GJ s
τ x max =
(12.16)
(12.17)
Wskaźniki wytrzymałości na skręcanie Ws oraz momenty bezwładności na skręcanie Js dla różnych
przekrojów zawierają poradniki i tablice do projektowania konstrukcji. Warunek wytrzymałościowy polega na spełnieniu nierówności:
σ red = 3 τ x max ≤ σ dop ,
Część 2
11
skąd
τ x max ≤ τ dop ,
gdzie
τ dop =
1
σ dop ≈ 0,6 ⋅ σ dop ,
3
(12.18)
przy czym σdop oznacza naprężenie dopuszczalne przy rozciąganiu (ściskaniu),
a τdop − dopuszczalne naprężenia przy ścinaniu. Warunek sztywnościowy polega na ograniczeniu maksymalnego całkowitego kąta skręcenia ψ :
∫
ψ = θ ( s)ds ≤ ψ dop .
(12.19)
s
W praktyce poza przekrojami kołowym i pierścieniowym najczęściej stosujemy prostokątny przekrój
pręta, dla którego obowiązują następujące zależności przybliżone:
(t)

1 4
0,052 
 J s = 3 b  n − 0,63 + 4  ,
n


3
W = 1 + n ⋅ J s , przy czym n = h > 1.
 s 0,35 + n 3 b
b

Rys. 12.8
Rozkłady naprężeń ilustruje rys. 12.8, a deformacje pręta skręcanego o przekroju prostokątnym −
rys. 12.9. Największe naprężenie styczne występuje na konturze przekroju w punkcie A, usytuowanym
najbliżej środka przekroju, tzn. w połowie dłuższego boku. Interesujące jest, że dla 1 ≤ h / b < 1,4513
funkcja deplanacji t(y, z) wykazuje cztery obszary wartości dodatnich i cztery obszary wartości ujemnych, natomiast dla h / b > 1,451 występują − podobnie jak w elipsie − po dwa takie obszary.
Część 2
12
Rys. 12.9
12.1.6. Uwagi o skręcaniu nieswobodnym
Jeżeli choć jeden przekrój pręta niekołowego pozostaje płaski, to stan naprężenia w pręcie skręcanym
różni się od podanego w poprzednich punktach i odpowiada skręcaniu nieswobodnemu. Dla ilustracji
omówimy przykład pręta prostokątnego, w którym z warunku symetrii przekrój x = 0 pozostaje płaski
(rys. 12.10).
Rys. 12.10
Część 2
13
Aby zapobiec deplanacji, w obrębie przekroju poprzecznego należy rozmieścić naprężenia normalne
σx. W obszarach, w których wystąpiłyby wypukłości, trzeba wprowadzić naprężenia ściskające, a w pozostałym obszarze − naprężenia rozciągające. Bliższa analiza tego problemu prowadzi do wniosku, że
macierz naprężeń ma wówczas postać:
 σx

s = τ yx
 τ zx

τ xy τ xz 

0 τ yz  ,
0 
τ zy
czyli oprócz naprężeń normalnych σx pojawiają się naprężenia styczne τyz. Zaburzenia stanu naprężenia,
gdy jeden przekrój pręta pozostaje płaski, są największe dla x = 0 i szybko zanikają w miarę wzrostu
współrzędnej x. Sztywność takiego pręta na skręcanie jest większa niż podczas skręcania swobodnego.
Wpływ skręcania nieswobodnego jest bardzo istotny w przekrojach cienkościennych. Problematyka ta
jest przedmiotem punktu 13.2.

12. działanie momentu skręcającego

Transkrypt

Podobne dokumenty

I rok ARCHITEKTURA - zakres przedmiotu Mechanika budowli Sem

1 Zadanie 1 1) Obciążenie przekroju najbardziej wytężonego

Zginanie ukośne

9. ← ↑ → DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ

Rozciąganie i ściskanie w układach statycznie niewyznaczalnych

1 Kolokwium zaliczeniowe nr 2 z przedmiotu MOSTY METALOWE II

linia pret

1.08. Ścinanie