E - WikiDyd

Podstawy elektromagnetyzmu
Wykład 12
Energia PEM
Energia pola elektromagnetycznego
Pole elektryczne
Całkowita energia
W =∭V w E w H  dV =
W E =∭V w E dV
2
w E=
2
E⋅D  E D
=
=
2
2
2
=
Pole magnetyczne
1
 E⋅DH⋅B dV =
∭
V
2
1
= ∭V  E 2  B 2  dV
2
Objętościowa gęstość energii EM
W H =∭V w H dV
2
2
H⋅B  H
B
wH=
=
=
2
2
2
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 2
w=
E⋅D H⋅B

2
2
Dotyczy to tylko materiałów liniowych
i niedyspersyjnych
D= E
B= H
Zmiana energii w czasie
Przeanalizujmy pochodną energii po czasie
∂ wE ∂ w H
∂W
1
∂ E2
∂ B2
=∭V

dV = ∭V 

dV =
∂t
∂t
∂t
2
∂t
∂t
R-nia Maxwella
∂E
∂H
∂E
=∭V  E
 H
dV =
∇×H = E 
∂t
∂t
∂t
∂E






=∇× H − E
∂t
∂H
∇ ×E=−
∂t
∂H

=−∇×E
∂t

=∭V  E⋅∇ ×H − E −H⋅∇×E  dV =
2
E ∇×H −H ∇× E=∇⋅ E×H 
Tożsamość dla wektorów
=−∭V  E 2 d V −∭V ∇⋅ E× H d V =
Twierdzenie Stokesa
=−∭V  E 2 d V −∯∂V E×H d S
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 3
Pierwszy składnik prawej strony to energia
zamieniająca się w ciepło.
Drugi składnik odpowiada za zmianę energii
w (małej) objętości.
Zmiana energii w czasie
(kontynuacja)
Interpretacja
Moc przekształcająca się w ciepło.
Zmiana jest ujemna, gdyż energia
- jest “tracona” (fdla PEM;-)


∂ wE ∂ w H
∂W
=∭V

dV =−∭V  E 2 d V −∯∂V E×H d S
∂t
∂t
∂t
H
S
E
S=E×H
Wektor Poyntinga reprezentuje gęstość
strumienia mocy EM.
Jednostki: W /m2
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 4
Moc wypromieniowywana przez brzeg
małej objętości V. Jest ujemna lub dodatnia
w zależności od znaku (zwrotu) wektora
E×H względem wektora normalnego do ∂V
(brzegu V).
Wektor Poyntinga został wynaleziony równolegle
przez Johna Henry'ego Poynting, Olivera Heaviside
i Nikolaja Umowa. Umow opublikował
Pracę 10 lat wcześniej, niż Poynting, ale pisał
o transferze energii w ciałach stałych i cieczach.
Przykład
Prosty, długi przewód z prądem stałym
H
E
S
I
S
J
E
S
Wewnątrz:
E – wzdłuż przewodu
H– wokół osi
S – do wnętrza przewodu
S=E× H
E
H
H
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 5
Na zewnątrz:
E – od przewodu na zewnątrz
H– dookoła przewodu
S – równoległy do przewodu
Przykład
Długi prosty przewód z prądem przemiennym
(kontynuacja)
S t =E t ×H t 
H t 
E t 
i
S t 
j t 
S t 
S t  E t 
E t 
H t 
Wewnątrz:
E – wzdłuż przewodu
H– wokół osi
S – do wnętrza przewodu
H t 
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 6
Zwróć uwagę, że E i H
zmieniają zwrot, gdy zmienia
się kierunek prądu, ale S
zawsze zachowuje kierunek.
Na zewnątrz:
E – od przewodu na zewnątrz
H– dookoła przewodu
S – równoległy do przewodu
Przykład
(kontynuacja)
Długi prosty przewód ze stałym prądem I
Wewnątrz:
I
J =J z , J =
 R2
J
I
E=E z , E= =
   R2
Ir
H =H r  , H r =
2 R2
I2r
S =S r r=E H r= 2
2  R4
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 7
Strumień S przez zewnętrzną pow. przewodu
∬O S d O=2 R l⋅S  R=
2 R l I 2 R 2 l
=
=I
2
4
2  R
  R2
l
  R2
– rezystancja walca (R,l)
Strumień wektora Poyntinga przez zewnętrzną
powierzchnię jest równa mocy zamieniającej
się w przewodzie w ciepło.
Energia wnika do wnętrza metalu
(przewodnika) i zamienia się tam w ciepło.
Wektor Poyntinga w kablu koncentrycznym
Strumień wektora S przez przekrój poprzeczny izolacji
U
E r=
r ln R 2 / R1 
I
H =
2 r
R2
S z=
R1
E
H
Strumień wektora Poyntinga przez
poprzeczny przekrój izolacji jest równy
mocy przekazywanej kablem.
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 8
dp=S z 2 r dr
UI
2
2  r ln R 2 / R1 
R 1
UI
P=∫R dp=
dr=
∫
R
ln  R2 / R1 
r
UI
=
⋅ln  R2 / R1 
ln  R2 / R1 
R2
2
1
1
P=U I
Kabel koncentryczny
(kontynuacja)
Strumień S przez zewnętrzną powierzchnię żyły:
I
J
I 1
H =
E Z= =
⋅
2
  R1 
2  R1
R2
S R1 = E  R1 ×H R1 
R1
E
H
Ten sam wynik otrzymamy dla
przewodzącego ekranu: energia wnika
w przewodnik i zmienia się tam w
ciepło.
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 9
I2
S=
2  2  R31
l
2
S
d
O=2

R
l⋅S
=I
⋅
∬O
1
  R12
Jak poprzednio, strumień wektora Poyntinga jest równy
mocy zamienianej na ciepło.
Energia wnika w przewodnik i zmienia się tam w ciepło.
Wektor Poyntinga dla pól harmonicznych
1
*
S =  E× H  =P j Q
2
1
*

P=Re ∮s E× H  dS
2
1
*
Q= Im ∮s  E× H  dS
2
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 10
Moc w obwodzie elektrycznym
S =P j Q
Zespolony wektor Poyntinga pozwala
wyznaczać parametry obwodowe dla
przebiegów sinusoidalnych.
[
[
[
]
Z=
1 1
I2 2
R=
1
1
Re
2
I2
X=
1
1
*
Im

E×
H
 dS
∮
2
s
2
I
*

 dS
E×
H
∮s
∮s  E× H *  dS
]
]
Siły mechaniczne
Pole elektryczne
1 2
f e = E− E ∇ 
2
Pole magnetyczne
1 2
f m =J × B− H ∇ 
2
Pole elektromagnetyczne
∂p
f em= f e  f m 
∂t
1
p=   E×H  = 2  E×H 
c
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 11
Efekt naskórkowości
Jeżeli założymy, że ferromagnetyk się
nie nasyca, a s >> b, to możemy
przyjąć uproszczony model polal:
H = [ Hx(y), 0, 0 ]
J = [ 0,0,Jz(y) ]
Prostokątny przewodnik o wymiarach
a >> b
w żłobku ferromagnetycznym
Rozwiązanie takiego modelu pokazuje,
że prąd jest wypierany ze żłobka i
płynie tylko w części przewodu
położonej blisko pow. żłobka.
I sinh  y
H  y=
bsinh  a
2
 r≈1000
H ≈0
∫L H dl= I
b⋅H a=I
∂ H  y
2
−
H  y=0
2
∂y
H 0=0,
∇ ×H = J
I
−∂ H
H a=
J  y =
b
∂y
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 12
z
x
I  cosh  y
J  y=
b sinh a
Model numeryczny
Model
jest
znacznie
bardziej
realistyczny, ale płynące z niego
wnioski są podobne: prąd jest
wypierany ku górze i płynie tylko
blisko pow, żłobka.
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 13
Wpływ częstotliwości
Zwiększenie częstotliwości
uwypukla efekt: dla dużych
częstotliwości
można
przyjąć, że prąd płynie
tylko
po
powierzchni
przewodu.
Zjawisko jest wykorzystywane
przy hartowaniu powierzchniowym oraz w testowaniu nieniszczącym
(metody wieloczęstotliwościowe).
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 14
Przewód w powietrzu
Jeżeli wyjmiemy przewód ze
żłobka, to zjawisko staje się
symetryczne:
prąd
jest
wypierany w górę i w dół
(oczywiście także na lewo i
prawo, ale to jest mniej
widoczne, gdyż a >> b.
y
J
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 15
Przewód cylindryczny
W przewodzie cylindrycznym
prąd jest wypierany osiowosymetrycznie, ku powierzchni
cylindra.
d2 J 1 d J

− j    J =0
2
r dr
dr
J r =
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 16
I  − j     J 0   − j    
2 R J 1   − j    
Funkcja Bessela
Silny efekt naskórkowości –
uproszczenia
Kiedy możemy go stosować?
Grubość przewodnika >> Głębokość wnikania
Jak?
Analizujemy falę EM wnikającą w przewodnik.
Głębokość wnikania:

2
d=
 
H r=H s e
I
H s=
2 R
−  R−r
J r=H s     e
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 17
j  / 4 −  R−r
e
Efekt zbliżenia
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 18
Ekran elektromagnetyczny
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 19
Ekran elektromagnetyczny
(kontynuacja)
Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 20