Seria nr 6. Termin oddania — 06-11

Seria nr 6.
Termin oddania — 06-11-2007.
Osoby o parzystych numerach indeksu rozwiązują i oddają na kartkach zadanie 2, te o nieparzystych
— 1. Kolejne zadania są dodatkowe. Ze względu na skrajne uproszczenia (i dość przypadkowy
dobór funkcji) zadanie 5 nie ma związku z rzeczywistością - ale i tak warto je zrobić.
√
1. Zbadaj różnowartościowość funkcji g : R × R+ → R2 , g(x, y) = (2x2 + x − 2 + 3y 3 , y + 1).
Zbadaj w jakich punktach funkcja jest lokalnie odwracalna. Podaj możliwie duży obszar, na
którym jest globalnie odwracalna. Wyznacz wzór odwzorowania odwrotnego. Oblicz pochodną
odwzorowania odwrotnego g −1 w punkcie (4, 2) na dwa sposoby: jako pochodną wyznaczonego
odwzorowania odwrotnego oraz z twierdzenia o funkcji odwrotnej.
√
2. Zbadaj różnowartościowość funkcji g : R+ × R → R2 , g(x, y) = ( x + 3, y 2 − 2y + 1 − 2x3 ).
Zbadaj w jakich punktach funkcja jest lokalnie odwracalna. Podaj możliwie duży obszar, na
którym jest globalnie odwracalna. Wyznacz wzór odwzorowania odwrotnego. Oblicz pochodną
odwzorowania odwrotnego g −1 w punkcie (4, −1) na dwa sposoby: jako pochodną wyznaczonego
odwzorowania odwrotnego oraz z twierdzenia o funkcji odwrotnej.
3. Zbadaj w jakich punktach odwzorowanie H : (R \ {0}) × R → R2 dane wzorem H(x, y) =
4
(x2 y, yx ) jest lokalnie odwracalne. Znajdź możliwie duży zbiór po obcięciu do którego H jest
globalnie odwracalne. Znajdź pochodną odwzorowania odwrotnego w punkcie w = (4, 12 ). Wyznacz wzór odwzorowania odwrotnego.
4. Dane są odwzorowania: u(x, y) = 2xy − 3x + y, v(x, y) = x4 + y 3 , f (u, v) = u3 ln v. Znajdź
df
df
i dy
. Zakładając dodatkowo, że x i y są funkcjami zmiennej
pochodne cząstkowe (zupełne) dx
t danymi wzorami x(t) = 2t, y(t) = 1 − 2t2 wyznacz wartość pochodnej df
(1).
dt
5. Zakład ubezpieczeń oferuje swoim klientom ubezpieczenie na życie z wybraną przez klienta
wysokością sumy ubezpieczenia. Zgodnie z obowiązującym prawem (i ze zdrowym rozsądkiem
ekonomicznym) musi część pieniędzy „zamrozić”, tworząc tzw. rezerwę matematyczną u. Do
określenia wysokości tej rezerwy stosuje wzór:
√
yx(x + 2)
,
u(x, y, v) =
v
gdzie x – ilość klientów (np. w milionach), y – łączna
sum ubezpieczenia, v – pewien
1 wysokość
czynnik zależny od inflacji. (x > 0, y > 0, v ∈ 10 , 1 ) Zakład przynosi tym większy zysk,
im mniejszy jest stosunek rezerwy do łącznej wysokości sum ubezpieczenia. Czyli zakład chce
minimalizować funkcję
√
yx(x + 2)
x(x + 2)
h(x, y, v) =
= √
.
vy
yv
a) Dział analiz zakładu zaobserwował, że łączna wysokość sum ubezpieczenia jest funkcją ilości
2 +2x
. W chwili obecnej zakład ma x = 3 klientów. Zbadaj,
klientów daną wzorem y(x) = xx+1
czy warto jest reklamować produkt (koszt reklamy pomijamy), tzn. jak zwiększenie ilości
klientów x wpłynie na wartość funkcji h. (Zakładamy, że v jest stałe).
b) Polska Izba Ubezpieczeń ogłosiła wyniki badań, z których wynika, że liczba ubezpieczonych
(klientów zakładu) jest zależna od wielkości v przez zależność x(v) = 3v 2 . Przy zależności
y(x) jak w poprzednim podpunkcie oraz obecnej wysokości v = 0,9 odpowiedz na pytanie:
Co ucieszy akcjonariuszy zakładu: obniżenie czy podniesienie współczynnika v?