Pomiar współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa

M16
Pomiar współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika lepkości badanej cieczy. Współczynnik ten
należy wyznaczyć w oparciu o pomiary czasu przelotu kulek wody przez cylinder wypełniony
cieczą.
Zagadnienia do przygotowania:
- lepkość;
- prawo Stokesa;
- prawa hydrodynamiki.
1.
Podstawowe pojęcia i definicje
Lepkość to właściwość rzeczywistych cieczy i plastycznych ciał stałych. Objawia się pojawieniem
się siły tarcia pomiędzy warstwami cieczy, poruszającymi się równolegle względem siebie
z różnymi co do wartości prędkościami. Warstwa poruszająca się szybciej działa przyspieszająco na
warstwę poruszającą się wolniej i odwrotnie. Pojawiające się wtedy siły tarcia wewnętrznego
skierowane są stycznie do powierzchni styku tych warstw.
Lepkość można ilościowo scharakteryzować współczynnikiem η równym wartości siły stycznej,
która przyłożona do jednostki powierzchni spowoduje jednostajny, laminarny przepływ
z jednostkową prędkością.
Sir George Stokes wyliczył w 1851 roku wzór na siłę tarcia działającą na kulkę o promieniu r,
poruszającą się z prędkością v w płynie o współczynniku lepkości η . Wynosi ona:
Na kulkę opadającą z prędkością
Ziemi działają trzy siły: ciężkości,
(1.1)
w płynie o współczynniku lepkości η w polu grawitacyjnym
wyporu
oraz lepkości . Zobrazowano to na Rys.1.
Kulka wrzucona do płynu po pewnym czasie zaczyna poruszać
się ruchem jednostajnym. Dzieje się tak dlatego, że po pewnym
czasie wszystkie siły działające na nią się równoważą i zgodnie z
I zasadą dynamiki kulka osiąga stałą prędkość taką, że
.
(1.2)
Rys.1. Rozkład sił działających na kulkę
opadającą w ośrodku lepkim.
1
Możemy nieco rozwinąć ten warunek, wiedząc, jak wyrażają się poszczególne siły w powyższym
wzorze:
(1.3)
gdzie
to gęstość materiału, z jakiego zbudowana jest kulka,
to gęstość płynu, w jakim się
porusza, r to jej promień, v + prędkość, a g - przyspieszenie ziemskie.
Oznacza to, że aby wyznaczyć współczynnik lepkości płynu badając ruch opadającej w nim kulki,
musimy znać gęstość tego płynu, gęstość materiału, z jakiego wykonana jest kulka, jej promień
oraz prędkość.
Po kilku prostych przekształceniach (przyjmując, że prędkość = droga/czas), dostajemy wzór na η:
(1.4)
gdzie l to droga, jaką przebyła kulka w czasie t.
2.
Przebieg pomiarów i opis układu doświadczalnego
Wiemy już, jak teoretycznie można doprowadzić do sytuacji, w której można zmierzyć
współczynnik lepkości - musimy wrzucić kulkę z materiału o znanej gęstości do płynu, którego
współczynnik lepkości chcemy zbadać, a następnie, gdy kulka zacznie się poruszać ruchem
jednostajnym, zmierzyć czas jej przelotu na ustalonej przez nas drodze. Należy też zmierzyć jej
promień.
Aby pomiar był dokładny, najlepiej wrzucić kilka takich samych
kulek i zmierzyć czas dla każdej z nich. Rozwiązanie stosowane w I
PF pokazano na Rys. 2.
Do cylindra napełnionego badaną cieczą (olejem parafinowym)
wpuszczane są krople wody destylowanej. Za pomocą kranika na
biurecie z wodą można ustalić stałe tempo wypływu kropel.
W ten sposób wiedząc, ile wody w biurecie ubyło dla danej ilości
kulek, możemy wyliczyć objętość pojedynczej kulki, a następnie
również jej promień. Spadające krople poruszają się na tle
podziałki, dzięki czemu można wyznaczyć drogę spadania kulki, dla
której będziemy mierzyć czas. Gęstość oleju możemy wyznaczyć,
korzystając z naczyń połączonych i znając dokładną gęstość wody.
Dzięki temu będziemy mieć wszystkie potrzebne dane do
wyliczenia η.
Rys. 2. Schemat wykonania ćwiczenia
Przebieg pomiaru powinien wyglądać następująco: mierzymy poziomy wody i oleju w naczyniach
połączonych, po czym odczytujemy temperaturę powietrza w pracowni za pomocą termometru
(dzięki temu bardzo dokładnie będziemy znać gęstość wody). Napełniamy biuretę wodą,
a następnie wsuwamy jej końcówkę poniżej poziomu oleju. Z wyczuciem odkręcamy kranik, aby
wpuszczane do oleju krople wody opadały w tempie pozwalającym na pomiary. Poziom, od którego
mierzymy czas należy obrać w miarę głęboko pod powierzchnią tak, aby kulki poruszały się
2
ruchem jednostajnym. Odczytujemy poziom wody na podziałce biurety przed spadnięciem
pierwszej kulki z naszej serii pomiarowej (i zapisujemy). Dla ok. 20 kulek (należy koniecznie
zapisać ich ilość!) mierzymy czas na ustalonej drodze l. Po spadnięciu ostatniej kulki z serii
ponownie odczytujemy poziom wody na podziałce biurety (i zapisujemy). Pomiary możemy
powtórzyć założywszy inną końcówkę - dzięki temu kulki będą miały inny promień.
3.
Wskazówki do opracowania wyników
Naszym celem jest wyznaczenie współczynnika lepkości oleju dla każdej serii pomiarowej. W tym
celu do wzoru (1.4) potrzebujemy podstawić wyznaczone w ćwiczeniu wielkości: gęstość wody,
gęstość oleju, promień średniej kropli dla danej serii, średni czas ruchu kropli oraz drogę, jaką
krople przebywały.
I.
Wyznaczenie gęstości oleju.
Mając poziomy wody
i oleju
odczytane na naczyniach połączonych oraz znając dokładnie
gęstość wody w danej temperaturze, możemy wyznaczyć gęstość oleju
za pomocą wzoru:
(1.5)
II.
Wyznaczanie promienia kropel.
Znając poziomy wody w biurecie przed rozpoczęciem i po zakończeniu serii pomiarowej, znamy
sumaryczną objętość wody, jaka wypłynęła w danej serii pomiarowej. Wiemy zatem, że n razy
objętość średniej kropli = objętość wody, jaka ubyła w biurecie. Zapisując to za pomocą wzoru:
(1.6)
gdzie V to objętość wody, jaka ubyła w biurecie podczas pomiaru (czyli różnica zapisanych przed
i po poziomów), r - średni promień pojedynczej kulki, a n - liczba kulek.
Po przekształceniu:
(1.7)
Aby wyznaczyć niepewność pomiaru r znając niepewność pomiarową V, korzystamy ze wzoru:
(1.8)
III.
Wyznaczanie średniego czasu spadania kulki na ustalonej drodze l:
Wyliczamy średni czas spadania t jako średnią arytmetyczną wszystkich n pomiarów, ponieważ
bierzemy pod uwagę średnią kroplę.
Niepewność pomiarowa czasu t to suma odchylenia standardowego naszej serii pomiarowej oraz
błędu stopera (czyli 0,01s)
3
Wzór na odchylenie standardowe:
(1.9)
Gdzie ti to i-ty pomiar czasu, a t - czas średni.
IV.
Wyznaczenie współczynnika lepkości
Podstawiamy wyznaczone wielkości do wzoru na współczynnik lepkości (1.4).
Aby wyznaczyć niepewność pomiarową η, korzystamy z różniczki zupełnej (w dalszej części wzoru
wyliczone zostały poszczególne pochodne). Przyjęto, że do niepewności pomiarowej η wkład dają
wyznaczone uprzednio niepewności t i r.
(2.0)
Jeżeli wykonaliśmy więcej niż jedną serię pomiarową, to dla każdej serii osobno powtarzamy punkt
II, III i IV. W ten sposób otrzymamy kilka wartości współczynnika lepkości, które należy porównać
ze sobą. Czy zgadzają się ze sobą w ramach niepewności pomiarowych? Jeżeli nie, to co mogło być
przyczyną?
W sprawozdaniu powinien znaleźć się wstęp teoretyczny, w którym należy zawrzeć wszystkie
wzory, których używamy do opracowania wyników.
4