ciśnienie w płaskim łożysku ślizgowym smarowanym olejem

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
38, s. 87-94, Gliwice 2009
ISSN 1896-771X
CIŚNIENIE W PŁASKIM ŁOŻYSKU ŚLIZGOWYM
SMAROWANYM OLEJEM MIKRPOLARYM
PAWEŁ KRASOWSKI
Katedra Podstaw Techniki, Akademia Morska w Gdyni
e-mail: [email protected]
Streszczenie. W pracy przedstawiono rozwiązanie numeryczne równania
Reynoldsa opisującego laminarny, stacjonarny przepływ oleju smarującego
o strukturze mikropolarnej w płaskim łożysku ślizgowym. Założono stałą gęstość
oraz lepkości dynamiczne oleju mikropolarnego. Wyniki przedstawiono w postaci
rozkładu ciśnienia, jego wartości maksymalnej w zależności od liczby sprzężenia
N2 oraz bezwymiarowego parametru długości Λ1 cieczy mikropolarnej.
Rozwiązanie dotyczy izotermicznego modelu łożyska o nieskończonej szerokości.
1. WSTĘP
Rozwój inżynierii materiałowej oraz tribologii umożliwia wprowadzanie jako czynników
smarujących olejów o złożonej strukturze, w tym o strukturze mikropolarnej. Wymagania
eksploatacyjne skłaniają konstruktorów maszyn do stosowania specjalnych dodatków
uszlachetniających do olejów i powodujących zmianę ich własności lepkościowych. Jak
wykazują badania doświadczalne, większość uszlachetnionych czynników smarujących zaliczyć
można do płynów o własnościach nienewtonowskich z mikrostrukturą [3,4,6]. Przedstawione
w pracy rozważania dotyczą laminarnego, stacjonarnego przepływu w szczelinie poprzecznego
płaskiego łożyska ślizgowego. Czynnikiem smarującym jest ciecz nienewtonowska
o strukturze mikropolarnej. Lepkość dynamiczna izotropowego płynu mikropolarnego
charakteryzowana jest pięcioma lepkościami: lepkością ścinania η (znaną przy płynach
newtonowskich), lepkością sprzężenia κ oraz trzema lepkościami rotacyjnymi, które są
związane z rotacją wokół osi układu współrzędnych. Taka charakterystyka lepkościowa cieczy
mikropolarnej wynika z rozważanych związków konstytutywnych omówionych w [3,4].
Z uwagi na ograniczoną objętość pracy zainteresowanych odsyłam do tych prac.
W odróżnieniu od klasycznego oleju o własnościach newtonowskich płyn mikropolarny
charakteryzowany jest gęstością mikrobezwładności elementu płynu oraz polem prędkości
mikrorotacji. Fakt ten powoduje dodatkową rozbudowę układu równań opisujących przepływ
płynu mikropolarnego o równania momentu pędu, w wyniku czego następuje sprzężenie pola
prędkości przepływu z polem prędkości mikrorotacji. W omawianym przepływie pominięto
wpływ sił bezwładności czynnika smarującego oraz pole zewnętrznych jednostkowych sił
masowych [3,4]. Rozpatrzono przepływ płynu nieściśliwego oraz przyjęto, że współczynniki
lepkości dynamicznej charakteryzującej płyn mikropolarny są stałe. Wobec powyższego pole
takiego przepływu jest niezależne od pola temperatur a równanie pędu, momentu pędu oraz
88
P. KRASOWSKI
równanie ciągłości przepływu stanowią zamknięty układ równań ruchu. Powyższe równania są
wyprowadzone i szczegółowo omówione w pracach [2,3]. Elementami nowości w niniejszej
pracy jest uzyskanie rozwiązania analityczno numerycznego, zbieżnego w przypadku
granicznym do rozwiązania przy smarowaniu olejem newtonowskim. Rozwiązanie dotyczy
łożyska płaskiego o nieskończonej szerokości.
2. RÓWNANIE REYNOLDSA
W pracy przyjęto stałe wartości lepkości oleju mikropolarnego, niezależne od warunków
termicznych i ciśnieniowych w łożysku. Wielkości współczynników lepkości uzależniono od
lepkości dynamicznej ścinania η, która jest decydującą lepkością w przypadku płynów
newtonowskich. Ciśnienie odniesienia p0 jest też określone na podstawie tej lepkości, aby
uzyskane wyniki dla olejów mikropolarnych można było porównać z olejem newtonowskim.
W olejach mikropolarnych decydujące znaczenie [1,3] ma wartość lepkości dynamicznej
sprzężenia κ. W niektórych pracach dotyczących smarowania łożysk olejem mikropolarnym
można spotkać sumę tych dwóch lepkości jako efektywną lepkość dynamiczną smarowania
mikropolarnego. W niniejszej pracy lepkość sprzężenia scharakteryzowano liczbą sprzężenia
N2, która dla oleju newtonowskiego jest równa zero:
N=
k
h+ k
0 £ N <1
(1)
Wartość N2 w przypadku cieczy mikropolarnej określa udział lepkości sprzężenia w efektywnej
lepkości dynamicznej oleju. Z liczby sprzężenia N2 można wyznaczyć stosunek obu lepkości
dynamicznych, który jest bezwymiarową lepkością sprzężenia κ1:
k1 =
k
N2
=
h 1- N2
k1 ³ 0
(2)
Z dynamicznych lepkości rotacyjnych przy laminarnym smarowaniu poszczególne lepkości
porównywalne są w stosunku do lepkości γ, którą wielu autorów [3] uważa za najważniejszą.
Jej stosunek do lepkości ścinania η związany jest z charakterystyczną długością mikropolarną
Λ przepływu, który w przypadku płynu newtonowskiego przyjmuje wartość zero.
Bezwymiarowa wielkość Λ1 długości mikropolarnej oraz długość mikropolarna
Λ zdefiniowane są następująco:
L=
g
;
h
LL1 = e
(3)
Bezwymiarowa długość mikropolarna Λ1 w przypadku oleju newtonowskiego dąży do
nieskończoności. Analizę przepływu w szczelinie smarnej płaskiego łożyska przeprowadzono
w układzie współrzędnych prostokątnych x, y, z, gdzie współrzędna x określa kierunek
wzdłużny łożyska, współrzędna y kierunek wysokości szczeliny smarnej a współrzędna
z określa kierunek szerokości łożyska płaskiego. Schemat przekroju poprzecznego szczeliny
smarnej pokazano na rys.1. Szczelinę smarną opisano następującymi parametrami
CIŚNIENIE W PŁASKIM ŁOŻYSKU ŚLIZGOWYM SMAROWANYM OLEJEM MIKROPOLARNYM 89
geometrycznymi: maksymalną wysokością szczeliny ho, minimalną wysokością szczeliny he,
długością L szczeliny oraz szerokością b. W niniejszej pracy założono, że obie powierzchnie
współpracujące zachowują identyczne wymiary szczeliny smarnej wzdłuż jej szerokości, czyli
że nie występuje przekoszenie w łożysku. Ze względu na założenie braku przekoszenia
Rys. 1. Schemat szczeliny smarnej łożyska płaskiego
współpracujących powierzchni wysokość szczeliny smarnej nie zależy od współrzędnej y.
Wysokość szczeliny smarnej po długości opisano następującą zależnością w postaci
bezwymiarowej:
h1 (x1 ) = e - (e - 1)x1
dla
0 £ x1 £ 1
(4)
Wprowadzono [1,2] bezwymiarowe wielkości charakteryzujące szczelinę smarną: współrzędną
długości x1, bezwymiarową współrzędną wysokości szczeliny h1, bezwymiarowy współczynnik
zbieżności ε szczeliny według schematu:
x1 =
x
;
L
h1 =
h
;
hm
e=
he
hm
(5)
Równanie Reynoldsa dla przepływu stacjonarnego, laminarnego płynu mikropolarnego
w szczelinie poprzecznego cylindrycznego łożyska ślizgowego można przedstawić [1,2,7]
w postaci wymiarowej:
¶ æ h3
¶p ö ¶ æ h 3
¶p ö
dh
ç F (L, N, h ) ÷ + ç F (L, N, h ) ÷ = 6
ç
÷
ç
÷
¶x è h
¶x ø ¶z è h
¶z ø
dx
(6)
Funkcja Φ(Λ,N,h) przyjmuje postać (7) i w przypadku płynu newtonowskiego ma wartość 1.
W tej sytuacji równanie Reynoldsa (6) przechodzi w równanie dla płynu newtonowskiego.
F (L, N, h ) = 1 + 12
L2
NL
æ Nh ö
-6
cothç
÷
2
h
h
è 2L ø
(7)
Równanie Reynoldsa (6) można przedstawić w postaci bezwymiarowej [1], [7]. Stosując
przedstawiony wcześniej sposób przekształceń, opisane wyżej wielkości otrzymamy w postaci:
90
P. KRASOWSKI
dh
¶p ö
¶ æ
¶p ö 1 ¶ æ
çç F1 (L1 , N, h1 ) 1 ÷÷ = 6 1
çç F1 (L1 , N, h1 ) 1 ÷÷ + 2
dx1
¶z1 ø
¶x1 è
¶x1 ø L1 ¶z1 è
dla
0 £ x1 £ 1; 0 £ y1 £ h1; - 1 £ z1 £ 1
F1 = h13 + 12
gdzie:
(8)
h1
Nh12
æ h NL ö
6
cothç 1 1 ÷
2
L1
L1
è 2 ø
(9)
Dodatkowo przyjęto [2] wielkość bezwymiarową dla ciśnienia p1 , szerokości L1 szczeliny
oraz pozostałych współrzędnych y1 oraz z1 według następujących oznaczeń:
p = p 0 p1 ,
b = L L1
z = b z1 ,
y = h e y1 ,
(10)
Ciśnienie odniesienia po wywołane ruchem posuwistym suwaka z prędkością liniową
U przyjęto w postaci (11) uwzględniającej lepkość dynamiczną ścinania η oraz luz względny ψ
łożyska ( 10 -4 £ y £ 10 -3 ):
Uh
h
p0 =
y= e
(11)
yL
L
3. CIŚNIENIE HYDRODYNAMICZNE
Poniżej przedstawiono rozwiązanie równania (8) dla łożyska płaskiego o nieskończonej
szerokości. Funkcja rozkładu ciśnienia w przypadku smarowania mikropolarnego
w rozważanym przypadku przyjmuje postać:
1 h
1
dx1
ò
x1
h1 - C1
0 F1
p1 ( x1 ) = 6 ò
dx1 ;
C1 = 1
(12)
1
0 F1 (L1 , N, h 1 )
dx1
ò
0 F1
W przypadku granicznym smarowania płynem newtonowskim (N→0, Λ1→∞) funkcja rozkładu
ciśnienia przyjmuje postać ciśnienia p1N(x1).
lim F1 = h13
lim C1 = 1
N ®0
N ®0
L1 ® ¥
L1 ® ¥
p1N =
x1
p1N ( x1 ) = 6 ò
0
h1 - 1
dx1
h13
6(e - 1)(1 - x1 )x1
(e + 1)(e - ex1 + x1 ) 2
Przykładowe obliczenia numeryczne wykonano dla łożyska o optymalnej zbieżności
εopt = 1+ 2 oraz o zbieżności ε=1, 4 oznaczonymi linią ciągłą i przerywaną.
(13)
CIŚNIENIE W PŁASKIM ŁOŻYSKU ŚLIZGOWYM SMAROWANYM OLEJEM MIKROPOLARNYM 91
0,35
2
p1
L 1=20
N =0,5
N2 =0,9
2
N =0,7
0,3
0,25
0,2
0,15
2
2
N =0
N =0,1
0,1
N2=0,3
0,05
eopt
e=1,4
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
x1
1
Rys.2. Rozkład ciśnienia p1 w kierunku wzdłużnym łożyska przy smarowaniu płynem
mikropolarnym (N2>0) oraz newtonowskim (N2=0) ,długości mikropolarnej Λ1=20
i zbieżności szczeliny εopt oraz ε =1,4
Na rys. 2 przedstawiono rozkłady ciśnień dla poszczególnych liczb sprzężenia N2 przy stałej
długości mikropolarnej Λ1 =20. Wzrost rozkładu ciśnienia spowodowany jest zwiększeniem
efektywnej lepkości dynamicznej oleju wynikającej z lepkości sprzężenia κ. Przy N2= 0,5
lepkość sprzężenia jest równa lepkości ścinania. Wykresy ciśnienia przedstawione na rys.2 dla
smarowania olejem mikropolanym (N2>0) są położone powyżej wykresu ciśnienia przy
smarowaniu olejem newtonowskim (N2=0). Jest to spowodowane wzrostem efektywnej
lepkości dynamicznej oleju. Na wykresach (rys. 3) przedstawiono analogiczne przebiegi
ciśnienia p1 dla kilku wartości długości mikropolarnej Λ1.
0,35
p1
4
2
N =0,4
5
0,3
3
0,25
0,2
0,15
1
2
0,1
0,05
e opt
e=1,4
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
x1
1
Rys.3. Rozkład ciśnienia p1 w kierunku wzdłużnym łożyska w łożysku w zależności
od długości mikropolarnej Λ1:1) olej newtonowski, 2) Λ1=40, 3) Λ1=30, 4) Λ1=20,
5) Λ1=10, przy zbieżności szczeliny εopt oraz ε =1,4 oraz liczbie sprzężenia N2=0,4
Zmniejszanie się wartości tego parametru oznacza wzrost lepkości dynamicznej rotacyjnej
oleju mikropolarnego. Rozkłady ciśnienia przedstawiono przy stałej liczbie sprzężenia N2=0,4.
92
P. KRASOWSKI
Ciśnienie oleju newtonowskiego przedstawia przebieg o numerze 1. Wzrost lepkości rotacyjnej
oznacza wzrost rozkładu ciśnienia i jest on spowodowany tym, że prędkości przepływu oleju i
prędkości mikorotacji są ze sobą sprzężone. Wartości liczb sprzężenia N2 oraz
bezwymiarowych długości mikropolarnych Λ1, dla których wykonano przedstawione
obliczenia zaczerpnięto z prac [1,7].
0,4
e opt
p1m
e=1,4
0,375
2
0,35
1
3
0,325
4
0,3
0,275
0,25
0,225
0,2
0,175
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
N2
0,9
Rys.4. Maksymalne ciśnienie p1m w funkcji liczby sprzężenia N2 i długości mikropolarnej
Λ1: 1) Λ1=10, 2) Λ1=20, 3) Λ1=30, 4) Λ1=40 przy zbieżności szczeliny εopt oraz ε =1,4
Na podstawie uzyskanych rozkładów ciśnienia hydrodynamicznego p1 po długości łożyska x1
wyznaczono numerycznie wartości maksymalnych ciśnień p1m oraz współrzędną x1m położenia
maksimum. Wielkości p1m przedstawiono na wykresach rys.4 w funkcji liczby sprzężenia N2
dla wybranych długości mikropolarnych Λ1. Wszystkie linie wychodzą z punktu maksymalnego
ciśnienia w przypadku przepływu cieczy newtonowskiej. Wzrost ciśnienia maksymalnego
obserwujmy gdy rośnie liczba sprzężenia N2 (wzrasta lepkość sprzężenia κ) oraz maleje
długość mikropolarna Λ1 (wzrasta lepkość rotacyjna γ).
0,4
e opt
p1m
0,375
e=1,4
1
0,35
2
3
4
0,325
0,3
0,275
0,25
0,225
0,2
0,175
0
1
2
3
4
5
6
7
8
k1
9
Rys.5. Maksymalne ciśnienie p1m w funkcji lepkości sprzężenia κ1 i długości mikropolarnej
Λ1: 1) Λ1=10, 2) Λ1=20, 3) Λ1=30, 4) Λ1=40 przy zbieżności szczeliny εopt oraz ε =1,4
CIŚNIENIE W PŁASKIM ŁOŻYSKU ŚLIZGOWYM SMAROWANYM OLEJEM MIKROPOLARNYM 93
Pełny zakres zmienności liczby sprzężenia N2 obejmujący przedział [0; 1) dotyczy zmienności
lepkości sprzęgającej κ od wartości małych do bardzo dużych. Większość autorów wykresy
parametrów hydrodynamicznych łożyska przedstawiają w funkcji N2, która stanowi nieliniową
skalę dla lepkości sprzężenia κ1. Na rys. 5 przedstawiono ten sam wykres w funkcji
bezwymiarowej lepkości sprzężenia κ1, liniowej skali lepkości. Zakres zmiany N2 z rys.4
odpowiada zmianom κ1 na rys.5. Zdaniem autora przebiegi ciśnienia maksymalnego
przedstawione na wykresach (rys. 5) mogą lepiej obrazować przebiegi, szczególnie dla małych
wartości κ1. Współrzędna x1p położenia maksimum bezwymiarowego ciśnienia p1m zwiększa się
w przypadku smarowania mikropolarnego. Na wykresach (rys. 6) przedstawiono zmianę
(przesunięcie) współrzędnej położenia Δx1p w funkcji kwadratu liczby sprzężenia N2 dla
wybranych długości mikropolarnych Λ1. Przesunięcie Δx1p współrzędnej wzdłużnej położenia
ciśnienia maksymalnego określono następująco:
Dx1p = x1pm - x1pN
(14)
gdzie: x1pm – współrzędna maximum ciśnienia przy oleju mikropolarnym
x1pN – współrzędna maximum ciśnienia przy oleju newtonowskim
0,025
e opt
Dx 1p
e=1,4
0,0225
0,02
4
0,0175
1
2
3
0,015
0,0125
0,01
0,0075
0,005
0,0025
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
N2
0,9
Rys.6. Zmiana współrzędnej Δx1p położenia maksymalnego ciśnienia p1m w funkcji
liczby sprzężenia N2 dla długości mikropolarnej Λ1: 1) Λ1=10, 2) Λ1=20, 3) Λ1=30,
4) Λ1=40 i zbieżności szczeliny εopt oraz ε =1,4
Wzrost współrzędnej Δx1p położenia maksimum ciśnienia obserwujmy gdy rośnie liczba
sprzężenia N2 (wzrasta lepkość sprzężenia κ) oraz maleje długość mikropolarna Λ1 (wzrasta
lepkość rotacyjna γ). Linie wykresów na rys. 6 są opisane nieliniową skalą zmienności
bezwymiarowej lepkości sprzężenia κ1.
4. WNIOSKI
Przedstawiony w pracy przykład rozwiązania równania Reynoldsa dla przepływu
stacjonarnego laminarnego nienewtonowskiego oleju smarującego o strukturze mikropolarnej
umożliwia wstępną ocenę rozkładu ciśnienia hydrodynamicznego jako podstawowego
parametru eksploatacyjnego łożyska ślizgowego. W porównaniu z olejem newtonowskim oleje
94
P. KRASOWSKI
o strukturze mikropolarnej mogą być stosowane w celu zwiększenia ciśnienia
hydrodynamicznego, a tym samym nośności łożyskowego węzła tarcia. Zastosowanie cieczy
mikropolarnych umożliwia w dwojaki sposób wzrost ciśnienia ze względu na własności
lepkościowe. Następuje wzrost efektywnej lepkości cieczy (wzrost lepkości sprzężenia) oraz
wzrost lepkości rotacyjnej (wzrost charakterystycznego parametru długości Λ). Autor ma
świadomość, że przyjęte w pracy założenia upraszczające modelu węzła łożyskowego
i dotyczące przyjęcia stałych parametrów charakteryzujących własności lepkościowe oleju nie
zmieniają jakościowo rozkładu ciśnienia, a jedynie ilościowo jego wartości. Autorowi nieznane
są prace uwzględniające zmianę lepkości dynamicznych płynu mikropolarnego z temperaturą i
ciśnieniem. Mimo że prezentowany przykład obliczeniowy dotyczy łożyska o nieskończonej
szerokości, to uzyskane wyniki mogą być przydatne do oceny rozkładu ciśnienia i siły nośnej
przy laminarnym, stacjonarnym smarowaniu płaskich łożysk ślizgowych o skończonej
szerokości. Przedstawione wyniki badań i modele rozwiązań mogą być wykorzystane jako
wartości porównawcze w dalszych pracach autora dotyczących numerycznego modelowania
laminarnych, niestacjonarnych przepływów płynów nienewtonowskich w szczelinach smarnych
poprzecznych łożysk ślizgowych.
LITERATURA
1. Das S., Guha S.K., Chattopadhyay A.K.: Linear stability analysis of hydrodynamic journal
bearings under micropolar lubrication. “Tribology International” 2005, 38 p.500-507.
2. Krasowski P.: Stacjonarny, laminarny przepływ mikropolarnego czynnika smarującego
w szczelinie smarnej poprzecznego łożyska ślizgowego. Gdynia : Akademia Morska,
2003. Zeszyty Naukowe nr 49, s. 72-90.
3. Łukaszewicz G.: Micropolar fluids : theory and applications. Boston : Birkhäuser, 1999.
4. Walicka A.: Reodynamika przepływu płynów nienewtonowskich w kanałach prostych
i zakrzywionych. Zielona Góra : Uniwersytet Zielonogórski, 2002.
5. Walicka A.: Inertia effects in the flow of a micropolar fluid in a slot between rotating
suffrages of revolution.” International Journal of Mechanics and Engineering”
2001,Vol.6, No. 3, p. 731-790.
6. Wierzcholski K.: Mathematical methods in hydrodynamic theory of lubrication. Szczecin
: Technical University Press, 1993.
7. Xiao-Li Wang, Ke-Qin Zhu: A study of the lubricating effectiveness of micropolar fluids in
a dynamically loaded journal bearing. “Tribology International” 2004, 37, p.481-490.
PRESSURE IN JOURNAL PLANE BEARING LUBRICATED
WITH MICROPOLAR OIL
Summary. The paper presents results of numerical solution of the Reynolds equation for
laminar, steady oil flow in a slide bearing gap. Lubrication oil is fluid with micropolar
stucture. The results of hydrodynamic pressure are shown on the diagrams in
dimensionless form. They depend on the coupling number N2 and characteristic
dimensionless length of micropolar fluid Λ1. Presented calculations are limited to
isothermal models of bearing with infinite breadth.