Jak obliczać niepewności i zaokrąglać wyniki

Jak wyznaczać niepewności pomiarowe i zaokrąglać wyniki?
UWAGA: większość z poniższych zasad ma charakter ogólny, ale niektóre są tylko konwencją obowiązującą
na moich zajęciach - wymagania innych prowadzących mogą się różnić od tych przedstawionych przeze mnie.
W Laboratorium Podstaw Fizyki stosujemy uproszczony schemat wyznaczania niepewności oraz zaokrąglania wyników. Jest on streszczony w dokumencie ”Uwagi dotyczące obliczania niepewności pomiarowych” na
stronie LPF. Może on nie być do końca zgodny z informacjami podanymi na kursie metrologii (jeśli takowy
Państwo mieli), ani też ze starszymi materiałami na stronie LPF – do których jednak warto zajrzeć w celu
poszerzenia swojej wiedzy.
1
Niepewności pomiarów bezpośrednich
W LPF stosujemy dwie metody wyznaczania niepewności pomiarów bezpośrednich: statystyczną, obliczaną na
podstawie wielokrotnych pomiarów (typ A) oraz szacowaną, określaną na podstawie przyrządu pomiarowego
(typ B).
Niepewność typu A obliczamy, kiedy wykonujemy wiele pomiarów, a jako wynik przyjmujemy średnią z nich.
Jest ona równa odchyleniu standardowemu średniej
sP
s
n
2
(x1 − x̄)2 + (x2 − x̄)2 + ... + (xn − x̄)2
i=1 (xi − x̄ )
=
,
(1)
uA (x) =
n(n − 1)
n(n − 1)
gdzie xi to wynik pomiaru nr i, x̄ to średnia ze wszystkich pomiarów, a n to liczba pomiarów.
UWAGA:
Istnieją dwa wzory na odchylenie standardowe: odchylenie standardowe dla pojedynczego pomiaru
rP
=1n (xi −x̄2 )
i
i odchylenie standardowe średniej (wzór (1) powyżej). Oba są poprawne, ale ich znaczenie jest
(n−1)
inne: pierwszy pozwala policzyć niepewność każdego z pojedynczych pomiarów w serii, a drugi niepewność średniej. Średnia jest wyznaczona dokładniej niż pojedynczy pomiar (dlatego wykonujemy serię pomiarów – każdy
kolejny pomiar zwiększa dokładność wyznaczenia średniej).
UWAGA#2: Jeśli wykonujemy wiele pomiarów tej samej wielkości, ale przy każdym z nich zmieniamy jakieś
parametry układu, nie liczymy średniej i nie wyznaczamy niepewności za pomocą odchylenia standardowego.
Na przykład jeśli wyznaczamy opór opornika za pomocą regresji liniowej, wykonujemy serię pomiarów napięcia
i natężenia, ale każdego z nich dokonujemy dla innej wartości napięcia na zasilaczu. Wtedy różnice między pomiarami nie są tylko efektem niedokładności pomiaru, ale też (i przede wszystkim!) naszego celowego działania.
Obliczanie średniej i odchylenia standardowego nie ma wtedy sensu.
Niepewność typu B możemy określić także dla pojedynczego pomiaru, o ile znamy parametry przyrządu pomiarowego, lub możemy w inny sposób oszacować przedział wartości, jakie może przyjmować wynik. Niepewność
ta wynosi
r
∆p x 2
∆e x 2
+
+ ...,
(2)
uB (x) =
3
3
gdzie ∆x to połowa szerokości przedziału, w jakim może znajdować się zmierzona wartość. Indeksy odpowiadają
poszczególnym źródłom niepewności, np. ∆p x - dla niepewności wzorcowania, ∆e x - dla niepewności eksperymentatora itd. W praktyce będziemy się stykać prawie wyłącznie z niepewnością wzorcowania, więc, o ile nie
powiem inaczej, można używać wzoru
∆p x
uB (x) = √ .
(3)
3
∆p x wyznaczamy na różne sposoby w zależności od typu przyrządu pomiarowego:
• Dla prostych przyrządów posiadających podziałkę (np. linijki, suwmiarki, kątomierze itd.) przyjmujemy
∆p x równe najmniejszej działce przyrządu.
• Dla analogowych mierników elektrycznych przyjmujemy ∆p x = C · Z, gdzie C to klasa przyrządu (zazwyczaj wyrażona w procentach), a Z to zakres pomiarowy.
1
• Dla cyfrowych mierników elektrycznych przyjmujemy
∆p x = a%rdg + b · dgt
gdzie a i b są współczynnikami podanymi przez producenta, rdg to wartość zmierzona, a dgt to najmniej
znacząca cyfra (tzn zapisujemy wynik z taką dokładnością jak na wyświetlaczu i na ostatniej pozycji
wstawiamy 1, a na pozostałych 0). Np. jeśli zmierzyliśmy napięcie 2.34 V , to dgt jest równe 0.01 V .
Jeśli nasz wzór na niepewność ma postać 1.2%rdg + 3dgt, to niepewność wynosi 0.012 · 2.34 V + 3 ·
0.01 V ). Wartości a i b dla mierników używanych w LPF są podane na stronie Laboratorium. Podobnie
jak niepewność typu A, niepewność typu B również jest równa odchyleniu standardowemu. Nie używamy
jednak wzoru na odchylenie standardowe. Zamiast tego wychodzimy z założenia że wynik pomiaru mógłby
przyjąć dowolną wartość z przedziału x−∆x , x+∆x z równym prawdopdobieństwem, i korzystamy z faktu
√x 1 .
że dla takiego rozkładu prawdopdobieństwa odchylenie standardowe jest równe ∆
3
Niepewność całkowitą obliczamy, jeśli potrafimy obliczyć oba typy niepewności (tzn wykonujemy wiele pomiarów przyrządem o znanej dokładności). Wynosi ona
q
u(x) = u2A (x) + u2B (x)
(4)
2
Niepewności pomiarów złożonych
W przypadku pomiarów złożonych (tzn. wtedy kiedy wyznaczamy jakąś wielkość na podstawie innych wielkości), stosujemy następującą metodę: jeśli wyznaczaną wielkością jest y = f (x1 , x2 , x3 , ...) (tzn. obliczamy y na
podstawie wielkości x1 , x2 , x3 , ... których wartości i ich niepewności znamy), to jej niepewność wynosi
r
∂y
∂y
∂y
u(x1 ))2 + (
u(x2 ))2 + (
u(x3 ))2 + ...
(5)
uC (y) = (
∂x1
∂x2
∂x3
∂y
to pochodna cząstkowa y po xi , czyli pochodna obliczona w taki sposób, że wszystkie zmienne w
gdzie ∂x
i
wyrażeniu na y z wyjątkiem xi są traktowane jak stałe. Na przykład obliczając opór ze wzoru
R=
U
I
mamy
∂R
1
= ,
∂U
I
r
więc niepewność oporu wynosi
∂R
U
= − 2,
∂I
I
u2 (U ) U 2 u2 (I)
+
I2
I4
UWAGA: Dawniej w LPF stosowano również metodę różniczki zupełnej, która jest przybliżeniem powyższej
metody. W metodzie różniczki zupełnej niepewność y wynosi.
uC (R) =
∂y
∂y
∂y
u(x1 ) +
u(x2 ) +
u(x3 ) + ...
(6)
∂x1
∂x2
∂x3
Zgodnie z nowymi zaleceniami metody różniczki zupełnej NIE STOSUJEMY na LPF. Proszę o zwrócenie
na to uwagi przy korzystaniu ze starszych materiałów lub materiałów spoza LPF.
uC (y) =
3
Niepewność standardowa i rozszerzona
Powyższe niepewności to tzw. niepewności standardowe, tzn. wyznaczone na podstawie odchylenia standardowego. Każdej z nich odpowiada pewien tzw. poziom ufności, tzn. pewne prawdopdobieństwo, że prawdziwa
wartość mierzonej wielkości znajduje się w przedziale [x − u(x), x + u(x)], gdzie x to wynik pomiaru. Na przykład dla niepewności typu A (i przy pewnych założeniach na temat rozkładu prawdopodobieństwa) wynosi ono
ok. 68%. Jeśli chcemy aby to prawdopodobieństwo było większe (a tym samym wynik oszacowany ostrożniej),
musimy rozszerzyć przedział, mnożąc niepewność przez tzw. współczynnik rozszerzenia k
U (x) = ku(x)
W LPF dla uproszczenia zawsze stosujemy współczynnik rozszerzenia równy 2.
Na naszych zajęciach zazwyczaj będziemy używali tylko niepewności standardowej. Proszę o podawanie jej
w sprawozdaniach, chyba że w instrukcji znajdzie się wyraźne polecenie użycia niepewności rozszerzonej (bądź
ja dam takie polecenie na zajęciach).
1 Tak naprawdę odchylenia standardowe używane przy obliczaniu niepewności typu A i B to matematycznie dwa różne obiekty.
Przy wyznaczaniu uB (x) używamy tzw. odchylenia standardowego zmiennej losowej, a przy obliczaniu uA (x) tzw. odchylenia
standardowego z próby. Pominąłem to rozróżnienie dla uproszczenia.
2
4
Zaokrąglanie niepewności i zapis wyników
Niepewności zaokrąglamy do dwóch cyfr znaczących, zawsze w górę. Cyframi znaczącymi są wszystkie cyfry
pominięciem początkowych zer. Na przykład w liczbie 0.000042 cyfry znaczące to 4 i 2. Wyniki zaokrąglamy do
rzędu niepewności, w dół lub w górę (w dół jeśli następna cyfra jest mniejsza od 5, w górę jeśli jest większa lub
równa 5). Na przykład, wynik
U = 7.455245 V, u(U ) = 0.012302 V
zaokrąglamy jako
U = 7.455 V, u(U ) = 0.13 V
a wynik
U = 3.055845 V, u(U ) = 0.014502 V
zaokrąglamy jako
U = 3.056 V, u(U ) = 0.15 V
Co zrobić jeśli zaokrąglona z dokładnością do 2 cyfr znaczących niepewność jest dokładniejsza niż wynik (tzn.
jest tak mała że nie da się jej odczytać z przyrządu)? Na przykład, jeśli odczytamy z miernika U = 3.45 V
(tzn. na ekranie będziemy mieli tylko dwa miejsca po przecinku), a niepewność po zaokrągleniu do dwóch cyfr
znaczących wyniesie 0.012 V ? Istnieją dwie konwencje. Jedna zakłada że zapisujemy wynik z taką dokładnością, z jaką go odczytaliśmy, a niepewność zaokrąglamy do takiej samej dokładności (co dałoby 0.02 V ). Druga
mówi, że pozostawiamy niepewność zaokrągloną do dwóch cyfr znaczących i zwiększamy dokładność wyniku
(tzn dopisujemy zera na końcu), tak aby ich dokładności się zgadzały (co dałoby U = 3.450 V i u(U ) = 0.012 V .
Na naszych zajęciach można stosować dowolną z nich, proszę jednak wybrać jedną i trzymać się jej w całym
sprawozdnaiu.
Wynik pomiaru z niepewnością standardową zapisujemy umieszczając cyfry znaczące niepewności w nawiasie.
U = 3.056(15)V
oznacza że U = 3.056 V, u(U ) = 0.15 V
Zapis z symbolem ± jest zarezerwowany dla niepewności rozszerzonej:
U = (3.056 ± 0.30)V
UWAGA: Jeśli na ostatniej pozycji znajduje się zero, jest ono również cyfrą znaczącą. Wynik 0.09999 zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących to 0.10, a nie 0.1 (należy o tym pamiętać zwłaszcza używając Excela, który
domyślnie nie pokazuje tego zera)
UWAGA#2: Dwie cyfry znaczące to nie dwa miejsca po przecinku! (częsty błąd)
UWAGA#3: Jeśli dana wielkość jest większa lub równa 1, cyframi znaczącymi są też cyfry przed przecinkiem (tzn 1.08234 zaokrąglone do 2 cyfr znaczących to 1.1). W szczególności. jeśli mamy np. wielkość trzy- lub
więcej-cyfrową, to po zaokrągleniu powinniśmy wstawiać na ostatnich pozycjach zera, np. 2293 zaokrąglone do
dwóch cyfr znaczących to 2300.
UWAGA#4: Powyższy sposób zaokrąglania należy stosować do wyniku końcowego. W toku obliczeń można
używać większej dokładności w celu uniknięcia błędów zaokrąglenia.
UWAGA#5: Dawniej w LPF stosowano metodę zaokrąglania do jednej cyfry znaczącej lub dwóch, o ile zaokrąglenie do jednej zmieni niepewność o więcej niż 10%. Można stosować ja na moich zajęciach. Proszę jednak
trzymać się jednej konwencji w obrębie sprawozdania.
3