Sx= 1 S x= 1

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności
pomiarowych
(w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Pomiary
Wyróżniamy dwa rodzaje pomiarów:
• pomiar bezpośredni, czyli doświadczenie, w którym przy pomocy odpowiednich przyrządów mierzymy
(porównujemy z jednostką) interesującą nas wielkość fizyczną (np. pomiar długości – linijka),
• pomiar pośredni, czyli doświadczenie, w którym wyznaczamy wartość interesującej nas wielkości
fizycznej przez pomiar innych wielkości fizycznych, związanych z daną wielkością znanym związkiem
funkcyjnym (np. pomiar prędkości (v) – linijka (odległość s) + stoper (czas t); v=s/t).
Wszystkie pomiary mogą być wykonane tylko ze skończoną dokładnością.
Wynik pomiaru bez podania dokładności (czyli niepewności pomiaru) jest bezwartościowy.
Niepewności pomiarowe
Wyróżniamy trzy rodzaje niepewności pomiarowych:
•
•
•
Grube – pojawiają się w wyniku pomyłki eksperymentatora (np. odczyt na niewłaściwej skali
przyrządu). Zwykle są one na tyle duże, że można je łatwo zauważyć.
Systematyczne – przesuwają wyniki pomiarów w jedną stroną w stosunku do prawdziwej wartości. Są
trudne do wyeliminowania. Mogą mieć one różne przyczyny: niewłaściwy sposób przeprowadzania
pomiaru (np. błąd paralaksy), stosowanie złych przyrządów (np. waga szalkowa o różnej długości
ramion).
Przypadkowe (statystyczne) – zmieniają się od pomiaru do pomiaru, powodując odchylenia od wartości
prawdziwej zarówno w dół jak i w górę. Zakłada się, że spowodowane są one przez wiele niezależnych
przyczyn o porównywalnym znaczeniu. Metody statystyki pozwalają na ich oszacowanie.
Niepewności przypadkowe (statystyczne)
Niepewności przypadkowe można zmniejszyć powtarzając dany pomiar wielokrotnie, czyli budując statystykę.
Wynikiem będzie średnia arytmetyczna pomiarów, czyli wielkość najbardziej zbliżona do wartości prawdziwej
1
(tzw. wartości oczekiwanej), wyrażająca się wzorem: 
x=
n
∑ xi
n i=1
gdzie: n – to liczba pomiarów.
Wielkością najlepiej opisującą niepewność pojedynczego pomiaru (niepewność metody pomiaru) jest
odchylenie standardowe, wyrażające się wzorem:

n
1
2
S x=
 x i − x 
∑
n−1 i=1
Wielkością najlepiej opisującą niepewność wyniku jest odchylenie standardowe średniej arytmetycznej:

n
1
S x =
 x i −x 2
∑
nn−1 i=1
czyli:
1/6
S x S x ; S x =
S x więc:
S x można zmniejszać zwiększając liczbę pomiarów n.
n
Rozkład Gaussa
Niepewności przypadkowe (statystyczne) opisywane są rozkładem Gaussa, wyrażającym się wzorem:
x 0 – wartość oczekiwana (prawdziwa),  – odchylenie standardowe
gdzie: x – to wartość mierzona,
(miara niepewności).
Rys.1 Rozkład Gaussa.
Wiemy z jakim prawdopodobieństwem otrzymamy daną wartość x . W przedziale [x0-Sx,x0+Sx] mieści się
68,3% wszystkich wyników, natomiast w przedziale [x0-3Sx,x0+3Sx] mieści się 99,7% wszystkich wyników.
Średnia ważona:
Mając wyniki z 2 niezależnych pomiarów tej samej wielkości: 
x A ± S x A i x B ± S x B
można policzyć średnią ważoną i jej niepewność, w następujący sposób:
x w =
w A x Aw B x B
w Aw B
z wagami:
w A=
1
2
S x
A
S x =
1
 w Aw B
w B=
1
2
S x
w
.
B
Można to łatwo uogólnić dla wielu pomiarów.
Pomiary pośrednie - propagacja niepewności statystycznych
Pomiar pośredni to funkcja wielu zmiennych (tutaj tylko dwie). Jego niepewność jest zależna od niepewności
poszczególnych zmiennych, w następujący sposób:
2/6
z = f  x , y 

∂f 2
∂f 2
2
S z = 
 ⋅S x  
 ⋅ S y 2
∂ x
∂ y
Przykłady:
z = x − y
S z =  12⋅S x 2−12⋅ S y 2
z =a⋅x
S z=  a2⋅ S x 2=∣a∣⋅S x
z = x⋅y
S z =   y  ⋅ S x   x  ⋅ S y 
2
2
2
2

1 2
−x 2
2
S z =   ⋅ S x   2  ⋅S y 2
y
y
x
z =
y
Niepewności systematyczne
Niepewności systematyczne są związane z urządzeniem, przy pomocy którego wykonujemy pomiar.
Wyróżniamy:
•
 s x – niepewność skali przyrządu
(związana jest z odległością między działkami na skali miernika,
zazwyczaj przyjmujemy odległość między dwoma kolejnymi działkami,
choć gdy te są daleko można przyjąć połowę tej odległości)
•
 k x – niepewność klasy przyrządu
 k x=klasa×100zakres
Pomiary pośrednie - propagacja niepewności systematycznych:
Niepewność systematyczną pomiaru pośredniego oblicza się w następujący sposób (przypadek funkcji 2
zmiennych):
z = f  x , y 
 z=∣
∂f
∂f
∣⋅ x∣ ∣⋅ y
∂ x
∂ y
Zapis wyników końcowych
z = z ± S z  stat  ±  z  sys [ jednostka]
Wartość i niepewność podajemy z taką samą dokładnością.
Zaokrąglając:
• podajemy najwyżej dwie cyfry znaczące niepewności pomiaru (tylko te mają sens fizyczny),
• wynik pomiaru zaokrąglamy do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego wyznaczono niepewność
pomiarową,
Przykład:
3/6
Obliczenia:
Wynik:
g =9.8145467 [
g =9.81 ± 0.21 [
m
]
2
s
S g =0.21434 [
m
]
s2
m
]
2
s
Wyniki najlepiej podawać w jednostkach, dla których wartość liczbowa zawarta jest w przedziale od 0,01 do
1000 (można używać przedrostków: ,m,M itd. lub notacji potęgowej: 2x106, 2x10-6), np.
I=0.00003121 A SI=0.00000012 A
I=31.21 A
SI=0.12 A
-6
I=31.21 10 A
SI=0.12 10-6A
Niepewność względna i bezwzględna
 z – niepewność bezwzględna
z
– niepewność względna
∣z∣
z
⋅100 % – niepewność procentowa
∣z∣
Przykład:
L = 100 (1) mm → L/|L| = 0.01 → 1%
Graficzne przedstawienie wyników – Wykresy
Przedstawiając zbiór danych w postaci wykresu należy pamiętać o wszystkich jego cechach, czyli:
• odpowiednio dobrany zakres osi (nie zawsze muszą zaczynać się od zera),
• podpisy osi wraz z jedostkami,
• zaznaczone niepewności punktów,
• punkty nie połączone linią,
• legenda wyjaśniająca co widać na wykresie.
(a)
(b)
Rys.2 Przykład wykresu wykonanego źle (a) i dobrze (b).
4/6
Regresja liniowa:
Często wielkości fizyczne x i y związane są zależnością liniową: y = ax + b.
Współczynniki a i b można obliczyć metodą regresji liniowej:
a – mówi o nachyleniu prostej,
b – to punkt przecięcia z osią współrzędnych.
Zazwyczaj mają interpretację fizyczną (są wyrażane w odpowiednich jednostkach). Ich znajomość pozwala
wyznaczyć niektóre wielkości fizyczne.
Rys.3 Regresja liniowa.
Parametry a i b dobieramy tak, aby zminimalizować sumę kwadratów odchyleń współrzędnych yi zespołu
punktów o współrzędnych (xi, yi) od tej linii, np. metodą najmniejszych kwadratów, wg wzoru:
n
∑  y i−ax i −b2
2= i=1
S 2y
=min
i
Rys.4 Regresja liniowa – ilustracja metody najmniejszych kwadratów.
Gdy wielkości yi zostały zmierzone z identyczną niepewnością, czyli Syi = Sy = const
To parametry a i b przyjmują proste wzory (tzw. regresja zwyczajna):
n
n
n
i=1
i=1
i=1
n ∑ x i y i −∑ x i  ∑ y i 
a=
5/6
W
S a=S y

n
W
n
2
i
n
n
n
 ∑ x  ∑ y i − ∑ x i  ∑ x i y i 
b=
i=1
i=1
i=1
W
n
gdzie: W =n
i= 1
2
i
n
S b=S y
2
∑ x −∑ xi 
i=1
i=1
Literatura
Wykład SMOP I
Prof. B. Kamys
http://users.uj.edu.pl/~ufkamys/BK/smop1N_p.pdf
Wstęp do analizy błędu pomiarowego
John R. Taylor
Wydawnictwo Naukowe PWN
Warszawa 1999
I Pracownia fizyczna
Pod redakcją Andrzeja Magiery
Instytut Fizyki UJ
Kraków 2006
6/6

n
∑ x2i
i=1
W