Wstęp do matematyki - Instytut Informatyki UG

Transkrypt

Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu
Społecznego
SKRYPT Z MATEMATYKI
Wstęp
do matematyki
Rafał Filipów
Piotr Szuca
Społecznego
SKRYPT Z MATEMATYKI
Rafał Filipów
Piotr Szuca
Wstęp do matematyki
Gdańsk 2010
Uniwersytet Gdański
Społecznego
© Copyright by Rafał Filipów, Piotr Szuca
Skład komputerowy (LaTeX): Rafał Filipów, Piotr Szuca
All rights reserved
Uniwersytet Gdański
Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki
Instytut Matematyki
80-952 Gdańsk, ul. Wita Stwosza 57
Spis treści
1 Logika
1.1 Rachunek zdań . . . . . . .
1.2 Prawa rachunku zdań . . .
1.3 Rachunek kwantyfikatorów .
1.4 Zadania dodatkowe . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Zbiory
2.1 Element zbioru, podzbiór i równość
2.2 Działania na zbiorach . . . . . . .
2.3 Prawa rachunku zbiorów . . . . . .
2.4 Zbiór potęgowy . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
7
14
20
zbiorów
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
22
25
40
46
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sprawdzian
48
3 Indukcja matematyczna
50
4 Funkcje
53
4.1 Funkcje różnowartościowe i „na” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Obrazy i przeciwobrazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Sprawdzian
5 Działania nieskończone na
5.1 Sumy nieskończone . . .
5.2 Przekroje nieskończone .
5.3 Prawa rachunku zbiorów
61
zbiorach
63
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6 Moce zbiorów
74
6.1 Równoliczność zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.2 Zbiory przeliczalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3 Zbiory mocy continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Sprawdzian
7 Relacje
7.1 Iloczyn kartezjański zbiorów . . . . . . . .
7.2 Własności relacji . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Relacje porządkujące . . . . . . . . . . . .
7.4 Relacje równoważności. Zasada abstrakcji.
81
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
83
83
85
90
96
Sprawdzian
100
8 Kolokwium
101
Literatura
103
1
1
1.1
LOGIKA
Logika
Rachunek zdań
Za zdanie uważamy dowolne stwierdzenie, o którym możemy powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.
„Prawdę” lub „fałsz” nazywamy wartościami logicznymi zdania. Pytanie „ jaka jest wartość logiczna zdania”
możemy więc traktować jako pytanie o to, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
W trakcie ćwiczeń najbardziej bedziemy zainteresowani zdaniami, które będą mówiły o obiektach matematycznych. Na przykład zdanie „sin 0 = 0” jest zdaniem prawdziwym, a zdanie „2|3” (2 jest dzielnikiem
liczby 3) jest zdaniem fałszywym.
Mając jakieś zdania możemy utworzyć z nich zdania bardziej skomplikowane poprzez połączenie ich
spójnikami logicznymi.
Zadanie 1. Jaka jest wartość logiczna zdania
π
1
=⇒ sin < 0 .
log2 3 =
3
3
Rozwiązanie. Zdanie to zostało utworzone z dwóch zdań przy pomocy spójnika implikacji „ =⇒ ” („ jeżeli
. . . to . . . ”). Tabela wartości logicznych „ =⇒ ” wygląda następująco:
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p =⇒ q
1
1
0
1
Sprawdzamy, że zdanie p (log2 3 = 13 ) jest fałszywe, zdanie q (sin π3 < 0) jest fałszywe, więc zdanie p =⇒ q
jest prawdziwe. Zadanie 2. Jaka jest wartość logiczna zdania
√ π
= 2 .
(2 ¬ 3) ∨ cos
12
Rozwiązanie. Zdanie to zostało utworzone z dwóch zdań przy pomocy spójnika alternatywy „∨” („lub”).
Tabela wartości logicznych „∨” wygląda następująco:
p
0
0
1
1
p∨q
0
1
1
1
q
0
1
0
1
√
π
Sprawdzamy, że zdanie p (2 ¬ 3) jest prawdziwe, zdanie q (cos 12
= 2) jest fałszywe, więc zdanie p ∨ q jest
prawdziwe. Uwaga. Zauważmy, że w zadaniach 1 i 2 nie musieliśmy wcale sprawdzać wartości logicznej zdania q (dlaczego?)
π √
= 3).
6
√
Rozwiązanie. Zdanie to zostało utworzone ze zdania tg π6 = 3 przy pomocy spójnika negacji „¬” („nie”).
Tabela wartości logicznych „¬” wygląda następująco:
¬(tg
p
0
1
Ponieważ zdanie p (tg
π
6
=
√
¬p
1
0
3) jest fałszywe, więc zdanie ¬p jest prawdziwe. 2
1.1
Rachunek zdań
1
LOGIKA
Zadanie 4. Czy prawdziwe jest zdanie
x0 = 3 jest pierwiastkiem równania x2 − 5x + 6 = 0 ∧ (3 jest liczbą pierwszą) .
Rozwiązanie. Zdanie to zostało utworzone z dwóch zdań przy pomocy spójnika koniunkcji „∧” („i”). Tabela
wartości logicznych „∧” wygląda następująco:
p
0
0
1
1
p∧q
0
0
0
1
q
0
1
0
1
Sprawdzamy, że zdanie p x0 = 3 jest pierwiastkiem równania x2 − 5x + 6 = 0 jest prawdziwe, zdanie q
(3 jest liczbą pierwszą) jest również prawdziwe, więc zdanie p ∧ q jest prawdziwe. Zadanie 5. Czy prawdziwe jest zdanie
(2 jest dzielnikiem liczby 15) ⇐⇒ (15 jest liczbą pierwszą) .
Rozwiązanie. Zdanie to zostało utworzone z dwóch zdań przy pomocy spójnika równoważności „ ⇐⇒ ”
(„wtedy i tylko wtedy, gdy”). Tabela wartości logicznych „ ⇐⇒ ” wygląda następująco:
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p ⇐⇒ q
1
0
0
1
Sprawdzamy, że zdanie p (2 jest dzielnikiem liczby 15) jest fałszywe, zdanie q (15 jest liczbą pierwszą) jest
również fałszywe, więc zdanie p ⇐⇒ q jest prawdziwe. Zadanie 6. Jaka jest wartość logiczna zdania
hp
i
42 + 32 = 7 ∧ (π = 2) ⇒ 27 > 103 .
Rozwiązanie. Zdanie to zostało utworzone z trzech zdań przy√pomocy spójników
„∧” i „⇒”.
Ponieważ zdanie „π = 2” jest fałszywe, więc koniunkcja „ 42 + 32 = 7 ∧(π = 2)” jest również fałszywa.
√
Czyli cała implikacja „
42 + 32 = 7 ∧ (π = 2) ⇒ 27 > 103 ” jest prawdziwa. Zadanie 7. Zanotować za pomocą symboli rachunku zdań wyrażenie „Jeśli a = 0 lub b = 0, to ab = 0”, w
którym litery a, b, c oznaczają dowolne liczby całkowite.
Rozwiązanie. [(a = 0) ∨ (b = 0)] ⇒ (ab = 0) . Zadanie 8. Zanotuj wyrażenie (ab > 0) =⇒ (((a > 0) ∧ (b > 0)) ∨ ((a < 0) ∧ (b < 0))), nie posługując się
symbolami rachunku zdań.
Rozwiązanie. Jeśli iloczyn dwóch liczb jest dodatni, to obie te liczby są dodatnie lub obie są ujemne. Zadanie 9. Za pomocą symboli arytmetycznych i symboli rachunku zdań zapisać następujące twierdzenie
arytmetyki liczb rzeczywistych:
„Różnica dwóch liczb rzeczywistych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy liczby te są równe”.
Rozwiązanie. a − b = 0 ⇐⇒ a = b. Zadanie 10. Dla jakich wartości logicznych zdań p i q prawdziwe jest zdanie (p =⇒ q) ⇐⇒ ((¬p) ∨ q).
3
1.1
Rachunek zdań
1
LOGIKA
Rozwiązanie. To zadanie możemy rozwiązać sprawdzając wszystkie możliwe wartości logiczne zdań p i q:
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p =⇒ q
1
1
0
1
(¬p) ∨ q
1
1
0
1
(p =⇒ q) ⇐⇒ ((¬p) ∨ q)
1
1
1
1
Z powyższej tabelki wynika, że zdanie jest prawdziwe dla dowolnych wartości p i q (jest to tzw. tautologia).
Zadanie 11. Dla jakich wartości logicznych zdań p i q prawdziwe jest zdanie (p ∧ (q
(p ∧ (¬r =⇒ q)).
=⇒
r))
=⇒
Rozwiązanie. To zadanie możemy rozwiązać sprawdzając wszystkie możliwe wartości logiczne zdań p, q i r:
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r
0
1
0
1
0
1
0
1
q =⇒ r
1
1
0
1
1
1
0
1
p ∧ (q =⇒ r) ¬r =⇒ q
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
p ∧ (¬r =⇒ q) (p ∧ (q =⇒ r)) =⇒ (p ∧ (¬r =⇒ q))
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
Z powyższej tabelki wynika, że zdanie jest prawdziwe dla wszystkich wartości p, q i r poza przypadkiem,
gdy p = 1,q = 0 i r = 0. Zadanie domowe
1. (cos π3 = 1) =⇒ (cos π6 = 12 ).
2. (cos π3 = 12 ) =⇒ (cos π6 =
4
3. ( 11
>
7
18 )
∨ (cos π > 0).
4
4. ( 11
>
7
18 )
∨ (cos 0 < π).
√
3
2 ).
5. ¬ (2 = 3) .
6. ¬ (sin(2) < 3) .
7. (2 jest dzielnikiem liczby 15) ∧ (15 jest liczbą pierwszą).
8. (równanie x2 − 5x + 6 = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek) ∧ (równanie x2 − 5x + 6 = 0 nie ma
pierwiastka).
9. x0 = 3 jest pierwiastkiem równania x2 − 5x + 6 = 0 ⇐⇒ (3 jest liczbą pierwszą) .
10. (równanie x2 − 5x + 6 = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek) ⇐⇒ (równanie x2 − 5x + 6 = 0 nie ma
pierwiastka).
Zadanie 2. Czy prawdziwe jest zdanie.
1. (cos π3 =
√
3
2 )
√
=⇒ (cos π6 = 23 ).
√ √
2. sin(cos(124◦ )) < 2 ∨ 2 2 jest liczbą wymierną .
4
1.1
Rachunek zdań
3. ¬ ¬ tg
π
6
= tg
1
7π
6
LOGIKA
.
4. ((2n − 1)2 jest liczbą nieparzystą dla każdej liczby naturalnej n) ∧ (istnieje liczba naturalna n, dla
której (2n − 1)2 jest liczbą pierwszą).
5. ((2n − 1)2 jest liczbą nieparzystą dla każdej liczby naturalnej n) ⇐⇒ (istnieje liczba naturalna n, dla
której (2n − 1)2 jest liczbą pierwszą).
1. ((log 2 < 0) ∨ (sin π = 0)) =⇒ (cos π = 0).
2. ((2|3) ∧ (2 jest liczbą pierwszą) ⇐⇒ ¬(2|3).
3. (trójkąt o bokach długości 3, 4, 5 jest prostokątny) ∧ ((2 + 1 > 0) =⇒ sin cos 2009◦ < 1).
Zadanie 4. Zanotować za pomocą symboli rachunku zdań następujące wyrażenia, w których litery a, b, c
oznaczają dowolne liczby całkowite.
1. Jeśli a|b i a|c, to a|(b + c).
2. Jeśli a|b i nieprawda, że a|c, to nieprawda, że a|(b + c).
3. (a > 0 i b > 0) wtedy i tylko wtedy, gdy (ab > 0 i a + b > 0).
4. (a < 0 i b < 0) wtedy i tylko wtedy, gdy (ab > 0 i a + b < 0).
5. Jeśli nieprawda, że a < b, to (a = b lub a > b).
Zadanie 5. Zanotuj następujące wyrażenia nie posługując się symbolami rachunku zdań.
1. ((a|b) ∧ (b|c)) =⇒ (a|c),
2. (¬(a < b) ∧ ¬(b < a)) =⇒ (a = b),
3. (a + b = a) ⇐⇒ (b = 0).
Zadanie 6. Za pomocą symboli arytmetycznych i symboli rachunku zdań zapisać następujące twierdzenia
arytmetyki liczb rzeczywistych.
1. Jeśli liczba jest różna od zera, to (jest ujemna lub jest dodatnia).
2. Jeśli iloczyn dwóch liczb jest różny od zera, to obie te liczby są różne od zera.
Zadanie 7. Dla jakich wartości logicznych zdań p i q prawdziwe jest zdanie
1. (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ ((p ∧ q) ∨ ((¬p) ∧ (¬q))).
2. (p ∧ q) ⇐⇒ (p ∨ q).
3. (p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p).
4. (p =⇒ (¬q)) =⇒ ((¬q) =⇒ p).
5
1.1
Rachunek zdań
1
LOGIKA
Odpowiedzi do zadań domowych
Odp. 1.
1. fałsz
2. prawda
3. fałsz
4. prawda
5. prawda
6. fałsz
7. fałsz
8. fałsz
9. prawda
10. fałsz
Odp. 2.
1. tak
2. tak
3. tak
4. nie
5. nie
Odp. 3.
1. fałsz
2. fałsz
3. prawda
Odp. 4.
1. (a|b ∧ a|c) =⇒ a|(b + c)
2. (a|b ∧ ¬a|c) =⇒ ¬a|(b + c)
3. a > 0 ∧ b > 0) ⇐⇒ (ab > 0 ∧ a + b > 0)
4. (a < 0 ∧ b < 0) ⇐⇒ (ab > 0 ∧ a + b < 0)
5. (¬a < b) =⇒ (a = b ∨ a > b)
Odp. 5.
1. jeśli a|b i b|c, to a|c
2. jeśli (nieprawda że a < b oraz nieprawda że b < a), to a = b
3. a + b = a wtedy i tylko wtedy, gdy b = 0 (lub np. do tego aby a + b = a potrzeba i wystarcza, że b = 0)
Odp. 6.
1. ¬a = 0 =⇒ (a < 0 ∨ a > 0)
6
1.2
Prawa rachunku zdań
1
LOGIKA
2. ab 6= 0 =⇒ (a > 0 ∧ b > 0)
Odp. 7.
1. dla wszystkich par p, q
2. dla p = 0, q = 0, dla p = 1, q = 1
3. dla p = 0, q = 0, dla p = 1, q = 1
4. dla p = 0, q = 1, dla p = 1, q = 0
1.2
Zdania prawdziwe przy każdym wartościowaniu zmiennych w nich występujących nazywamy prawami rachunku zdań lub tautologiami. Niektóre tautologie mają swoje nazwy.
Zadanie 8. Sprawdzić metodą zerojedynkową prawo rachunku zdań
¬¬p =⇒ p.
Rozwiązanie. Metoda zerojedynkowa polega na wypisaniu w tabelce wszystkich możliwych wartości zmiennych występujących w zdaniu, i sprawdzeniu dla każdej kombinacji wartości, że zdanie rzeczywiście jest
prawdziwe. Dla ułatwienia (i uniknięcia pomyłek) w tabeli takiej wpisujemy także pośrednie obliczenia —
w poniższym przykładzie kolumna 2 stanowi obliczenia pośrednie.
p
0
1
¬¬p
0
1
¬¬p =⇒ p
1
1
Ponieważ w prawej kolumnie tabeli są same jedynki, więc zdanie ¬¬p =⇒ p jest tautologią. Zadanie 9. Sprawdzić metodą zerojedynkową prawo rachunku zdań
¬(p ∧ q) ⇐⇒ (¬p ∨ ¬q) (prawo de Morgana, prawo negowania koniunkcji).
Rozwiązanie.
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
¬(p ∧ q)
1
1
1
0
¬p ∨ ¬q
1
1
1
0
¬(p ∧ q) ⇐⇒ (¬p ∨ ¬q)
1
1
1
1
Zadanie 10. Sprawdzić metodą zerojedynkową prawo rachunku zdań
(p =⇒ q) =⇒ ((q =⇒ r) =⇒ (p =⇒ r)).
Rozwiązanie.
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r
0
1
0
1
0
1
0
1
p =⇒ q
1
1
1
1
0
0
1
1
q =⇒ r
1
1
0
1
1
1
0
1
p =⇒ r
1
1
1
1
0
1
0
1
(q =⇒ r) =⇒ (p =⇒ r) (p =⇒ q) =⇒ ((q =⇒ r) =⇒ (p =⇒ r))
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
7
1.2
1
LOGIKA
Zadanie 11. Korzystając z prawa negowania alternatywy podaj zaprzeczenie zdania
proste l1 i l2 są równolegle lub skośne.
Rozwiązanie. Oznaczmy przez p zdanie „proste l1 , l2 są równoległe”, a przez q zdanie „proste l1 , l2 są skośne”.
Wtedy zaprzeczenie zdania p∨q, to — zgodnie z prawem de Morgana — zdanie ¬p∧¬q. Czyli zaprzeczeniem
zdania „proste l1 i l2 są równoległe lub proste l1 i l2 są skośne” jest zdanie „proste l1 i l2 nie są równoległe
i proste l1 i l2 nie są skośne”. Zadanie 12. Wykaż, że następujące wyrażenie nie jest prawem rachunku zdań.
(p =⇒ q) =⇒ (q =⇒ p).
Rozwiązanie. Aby pokazać, że dane zdanie jest tautologią należy sprawdzić wszystkie możliwe podstawienia
zmiennych występujących w zdaniu. Aby pokazać, że zdanie nie jest tautologią, wystarczy znaleźć taki
przykład wartościowania zmiennych, że zdanie staje się fałszywe. W przypadku zdania (p =⇒ q) =⇒
(q =⇒ p) wiemy, że aby było ono fałszywe musi być prawdziwe zdanie p =⇒ q i fałszywe zdanie
q =⇒ p. Drugie z tych zdań jest łatwiejsze do analizy, ponieważ implikacja q =⇒ p jest fałszywa
tylko w jednym przypadku: gdy q = 1 i p = 0. Sprawdzamy, że istotnie przy takim wartościowaniu zdanie
(p =⇒ q) =⇒ (q =⇒ p) jest fałszywe. W przypadku, gdy rozwiązaniem zadania jest przykład wartościowania, wartości p i q można zgadnąć
(jest to poprawne rozwiązanie zadania).
Czasami zamiast sprawdzania wszystkich możliwych wartości zmiennych użytych w zdaniu wygodniej
jest spróbować znaleźć takie wartościowanie zmiennych, dla którego formuła staje się fałszywa. Jeżeli takie
wartościowanie znajdziemy, to formuła nie jest tautologią, a jeżeli próba znalezienia takiego wartościowania
doprowadzi nas do sprzeczności, to formuła jest tautologią. Taką metodę dowodzenia tautologii nazywamy
metodą skróconą.
Zadanie 13. Zbadaj metodą skróconą, czy następujące wyrażenie jest prawem rachunku zdań
¬(p =⇒ q) =⇒ (p =⇒ q).
Rozwiązanie. Żeby implikacja była fałszywa, musi być prawdziwe zdanie ¬(p =⇒ q) (czyli fałszywe zdanie
p =⇒ q) i jednocześnie fałszywe zdanie p =⇒ q. Jeżeli dobierzemy p = 1 a q = 0, to spełnione są oba te
warunki. Podane zdanie nie jest więc tautologią. Zadanie 14. Zbadaj metodą skróconą, czy następujące wyrażenie jest prawem rachunku zdań
p =⇒ (¬p =⇒ q).
Rozwiązanie. Aby zdanie było fałszywe, musi być prawdziwe zdanie p i fałszywe zdanie ¬p =⇒ q. Ale
jeżeli zdanie p jest prawdziwe, to zdanie ¬p =⇒ q też musi być prawdziwe (jako implikacja o fałszywym
poprzedniku). Zdanie to nie może być jednocześnie prawdziwe i fałszywe przy tym samym wartościowaniu
zmiennych — więc założenie o istnieniu takiego wartościowania, dla którego wyjściowe zdanie jest fałszywe
doprowadziło nas do sprzeczności. Czyli takie wartościowanie nie istnieje. Podane zdanie jest więc tautologią.
Zadanie 15. Zbadaj metodą skróconą, czy następujące wyrażenie jest prawem rachunku zdań
((p =⇒ q) ∨ (r =⇒ q)) =⇒ ((p ∧ r) =⇒ q).
Rozwiązanie. Aby zdanie było fałszywe, musi być prawdziwe zdanie (p =⇒ q) ∨ (r =⇒ q) i fałszywe zdanie
(p ∧ r) =⇒ q. Zdanie (p ∧ r) =⇒ q jest fałszywe, gdy zdanie (p ∧ r) jest prawdziwe, a zdanie q jest fałszywe.
Zdanie p ∧ r jest prawdziwe, gdy zdania p i r są prawdziwe. Wówczas zdanie p =⇒ q i r =⇒ q są fałszywe,
czyli alternatywa (p =⇒ q) ∨ (r =⇒ q) też jest fałszywa, co jest sprzeczne z naszym założeniem, że ta
alternatywa jest prawdziwa. Więc założenie o istnieniu takiego wartościowania, dla którego wyjściowe zdanie
jest fałszywe doprowadziło nas do sprzeczności. Czyli takie wartościowanie nie istnieje. Podane zdanie jest
więc tautologią. 8
1.2
1
LOGIKA
Zadanie 16. Podać prawo, które wskazuje, że implikacja może być zdefiniowana za pomocą koniunkcji i
negacji.
Rozwiązanie. Wiemy, że (p =⇒ q) ⇐⇒ (¬p ∨ q). Z kolei zdanie z prawej strony równoważności możemy
zapisać w postaci prawa de Morgana (¬p ∨ q) ⇐⇒ ¬(p ∧ ¬q) (bo ¬¬q ⇐⇒ q). Zdanie po prawej stronie
równoważności pozwala zapisać funktor (spójnik logiczny) implikacji przy użyciu jedynie negacji i koniunkcji.
Powyższe rozumowanie możemy zapisać skrótowo:
p =⇒ q ≡ (¬p ∨ q) ≡ ¬(p ∧ ¬q).
Zadanie 17. Znaleźć formułę możliwie najkrótszej długości równoważną formule
(p ∧ q ∧ s) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ q ∧ ¬s) ∨ ¬(p ∧ r =⇒ q).
Rozwiązanie. Korzystając z faktu, że alternatywa nie zmienia wartości logicznej po zmianie kolejności wyrazów, powyższe wyrażenie jest równoważne wyrażeniu (zamieniamy 2 i 3 składnik alternatywy)
(p ∧ q ∧ s) ∨ (p ∧ q ∧ ¬s) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ ¬(p ∧ r =⇒ q).
Dalej, wykorzystując tautologię ((x ∧ y) ∨ (x ∧ z)) ⇐⇒ (x ∧ (y ∨ z)) (podstawiając za x zdanie p ∧ q, za y
zdanie s, za z zdanie ¬s), otrzymujemy, że wyjściowe zdanie jest równoważne zdaniu
(p ∧ q ∧ (s ∨ ¬s)) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ ¬(p ∧ r =⇒ q).
Ponieważ s ∨ ¬s jest tautologią, więc powyższe zdanie jest równoważne ze zdaniem
(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ ¬(p ∧ r =⇒ q).
Zdanie p ∧ ¬q ∧ ¬r jest prawdziwe tylko dla p = 1, q = 0 i r = 0, zdanie ¬(p ∧ r =⇒ q) jest prawdziwe tylko
dla p = 1, q = 0 i r = 1. Czyli (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ ¬(p ∧ r =⇒ q) jest prawdziwe, gdy p = 1 oraz q = 0, czyli
wtedy, gdy prawdziwe jest zdanie p ∧ ¬q. Stąd wyjściowe zdanie jest równoważne zdaniu
(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q).
Ponownie wykorzystując tautologię „rozdzielność alternatywy względem koniunkcji” otrzymujemy, że powyższe zdanie jest równoważne p. Najkrótszym zdaniem równoważnym zdaniu z zadania jest p. W skrócie
taki ciąg rozumowania można zapisać:
(p∧q∧s)∨(p∧¬q∧¬r)∨(p∧q∧¬s)∨¬(p∧r =⇒ q) ≡ (p∧q∧s)∨(p∧q∧¬s)∨(p∧¬q∧¬r)∨¬(p∧r =⇒ q) ≡
≡ (p ∧ q ∧ (s ∨ ¬s)) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ ¬(p ∧ r =⇒ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ ¬(p ∧ r =⇒ q) ≡
≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) ≡ p.
Dla danego twierdzenia p =⇒ q, które możemy nazwać prostym, twierdzenia: q =⇒ p, ¬q =⇒ ¬p i
¬p =⇒ ¬q nazywać będziemy, odpowiednio, odwrotnym, przeciwstawnym i przeciwnym.
Zadanie 18. Utworzyć twierdzenie odwrotne, przeciwstawne i przeciwne do twierdzenia.
(2|n ∧ 3|n) =⇒ 6|n.
Rozwiązanie. Jeżeli oznaczymy przez p zdanie 2|n ∧ 3|n, przez q zdanie 6|n, to zdaniem odwrotnym do
p =⇒ q jest 6|n =⇒ (2|n ∧ 3|n), zdaniem przeciwstawnym jest 66 |n =⇒ ¬(2|n ∧ 3|n) (lub, upraszczając
na podstawie prawa de Morgana, 66 |n =⇒ (26 |n ∨ 36 |n)), zdaniem przeciwnym jest ¬(2|n ∧ 3|n) =⇒ 66 |n
((26 |n ∨ 36 |n) =⇒ 66 |n). Zadanie 19. Wypowiedzieć w formie implikacji równoważnej stwierdzenie
jeżeli funkcja y = f (x) ma pochodną w punkcie x0 , to jest ciągła w punkcie x0 .
9
1.2
1
LOGIKA
Rozwiązanie. Zgodnie z tautologią (p =⇒ q) ⇐⇒ (¬q =⇒ ¬p) implikacja równoważna jest to implikacja
przeciwstawna. Oznaczmy przez p zdanie „y = f (x) ma pochodną w punkcie x0 ”, przez q zdanie „f jest
ciągła w punkcie x0 ”. Implikacją przeciwstawną do p =⇒ q jest ¬q =⇒ ¬p. Rozwiązaniem zadania jest
więc zdanie
jeżeli funkcja y = f (x) nie jest ciągła w punkcie x0 , to f nie ma pochodnej w punkcie x0 .
Zadanie 20. Używając sformułowania „warunek wystarczający” i „warunek konieczny” wypowiedzieć twierdzenie: liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x) jest podzielny
przez dwumian (x − a).
Rozwiązanie. Warunkiem koniecznym i wystarczającym do tego, aby liczba a była pierwiastkiem wielomianu
W (x) jest to, że wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian (x − a) (do tego aby liczba a była pierwiastkiem wielomianu W (x) potrzeba i wystarcza, aby wielomian W (x) był podzielny przez dwumian (x − a)).
Zadanie 21. Czy prawdziwe jest zdanie: jeżeli z faktu, że wszystkie boki trójkąta ABC są równe wynika, że
wszystkie kąty trójkąta ABC są równe, i trójkąt ABC ma nierówne kąty, to ma on również nierówne boki.
Rozwiązanie. Oznaczmy przez p zdanie „wszystkie boki trójkąta ABC są równe”, przez q zdanie „wszystkie
kąty trójkąta ABC są równe”. Wtedy powyższe zdanie można zapisać jako ((p =⇒ q) ∧ ¬q) =⇒ ¬p, co
jest tautologią (sprawdzić!) Zadanie domowe
Zadanie 1. Sprawdzić metodą zerojedynkową prawa rachunku zdań.
1. p ⇐⇒ ¬¬p,
2. ¬(p ∨ q) ⇐⇒ (¬p ∧ ¬q) (prawo de Morgana, prawo negowania alternatywy),
3. ¬(p =⇒ q) ⇐⇒ (p ∧ ¬q) (prawo negowania implikacji),
4. (p =⇒ q) =⇒ ((q =⇒ r) =⇒ (p =⇒ r)),
5. ((p ⇐⇒ q) ∧ (q ⇐⇒ r)) =⇒ (p ⇐⇒ r)
Zadanie 2. Korzystając z praw negowania alternatywy, koniunkcji i implikacji podaj zaprzeczenia zdań.
1. Prosta l ma jeden punkt wspólny z danym okręgiem, lub prosta l nie ma żadnego punktu wspólnego
z danym okręgiem.
2. Liczba a jest podzielna przez liczby b i c.
3. Para liczb a, b spełnia układ równań
2x −
x +
3y
2y
=
=
5
1
4. Jeśli liczba a jest podzielna przez 2, to jest podzielna przez 4.
Zadanie 3. Wykaż, że następujące wyrażenia nie są prawami rachunku zdań.
1. (p =⇒ q) =⇒ (q =⇒ p),
2. ¬(p ∧ q) =⇒ (¬p ∧ ¬q),
3. ¬(p ∨ q) =⇒ (¬p ∨ ¬q),
4. ((p =⇒ q) ∧ ¬p) =⇒ ¬q,
10
1.2
1
LOGIKA
5. (p ∨ q) =⇒ p.
Zadanie 4. Zbadaj metodą skróconą, które z następujących wyrażeń są prawami rachunku zdań.
1. ¬((p =⇒ q) ∨ (q =⇒ p)),
2. ((p =⇒ q) ∨ (r =⇒ q)) =⇒ ((p ∧ r) =⇒ q),
3. (p ∧ q) ⇐⇒ p,
4. (p ∧ p) ⇐⇒ p,
5. (p =⇒ q) =⇒ (q =⇒ p),
6. (p ⇐⇒ q) =⇒ (¬p ⇐⇒ ¬q),
7. ((p ∧ q) =⇒ r) =⇒ ((p ∧ ¬r) =⇒ ¬q),
8. (p ∧ (q =⇒ r)) =⇒ ((p ∧ (¬r =⇒ ¬q)),
9. (p ∧ (q ∨ r)) =⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)),
10. (p ∨ (q ∧ r)) =⇒ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)).
Zadanie 5. Sprawdzić, czy następujące wyrażenie jest tautologią.
1. p =⇒ (q =⇒ (p ∧ q)).
2. (p =⇒ ¬p) =⇒ (¬p).
3. ((p ⇐⇒ q) ⇐⇒ r) ⇐⇒ (q ⇐⇒ (p ⇐⇒ r)).
4. ((p ∧ q) =⇒ r) =⇒ (p ∧ (q =⇒ r)).
5. (p =⇒ q) ⇐⇒ (p ∨ ¬q).
6. (p ∧ q) ⇐⇒ (p ∨ q).
Zadanie 6. Wykazać, że następujące wyrażenie jest tautologią.
1. p ∨ ¬p.
2. ¬(p ∧ ¬p).
3. (¬p) =⇒ (p =⇒ q).
4. (¬p) =⇒ ¬(p ∧ q).
5. p =⇒ (q =⇒ (p =⇒ q)).
6. (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ ((p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p)).
7. (p =⇒ q) ⇐⇒ (¬q =⇒ ¬p).
8. (p =⇒ q) =⇒ ((t ∨ p) =⇒ (t ∨ q)).
Zadanie 7. Podać prawa, które wskazują, że
1. alternatywa może być zdefiniowana za pomocą koniunkcji i negacji,
2. alternatywa może być zdefiniowana za pomocą implikacji i negacji,
3. równoważność może być zdefiniowana za pomocą implikacji i koniunkcji.
Zadanie 8. Znaleźć formułę możliwie najkrótszej długości równoważną formule:
11
1.2
1
LOGIKA
1. ¬p =⇒ ¬¬q
2. (p ∧ q) ∨ ¬(¬p =⇒ q)
3. (q ∧ r ∧ s ∧ ¬q) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬p) ∨ (r ∧ s)
Zadanie 9. Utworzyć twierdzenie odwrotne, przeciwstawne i przeciwne do twierdzenia.
1. (x > 0 ∨ x = −1) =⇒ x2 > −1.
2. Jeżeli dwa boki przeciwległe czworokąta są równe i równoległe, to czworokąt jest równoległobokiem.
Zadanie 10. Wypowiedzieć w formie implikacji równoważnej stwierdzenie.
1. Jeżeli f 0 (x) < 0 na przedziale (a, b), to funkcja y = f (x) jest malejąca na tym przedziale.
2. Jeżeli dwie izometrie są zgodne w trzech niewspółliniowych punktach, to są identyczne.
Zadanie 11. Używając sformułowania „warunek wystarczający” i „warunek konieczny” wypowiedzieć twierdzenie.
1. Czworokąt ma środek symetrii wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoległobokiem.
2. Liczba całkowita jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr tej liczby jest podzielna
przez 3.
3. Różnica dwóch liczba rzeczywistych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy liczby te są równe.
4. Iloczyn dwóch liczb jest różny od zera wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są niezerowe.
Zadanie 12. Czy prawdziwe są zdania:
1. jeżeli figura A jest czworokątem i A ma wszystkie boki równe, to z faktu że A jest czworokątem wynika,
że A ma równe boki.
2. jeżeli liczba a dzieli się przez 3 i dzieli się przez 5, to z faktu, że a nie dzieli się przez 3, wynika, że a
nie dzieli się przez 5.
3. jeżeli Jan nie zna Logiki, to jeśli Jan zna Logikę, to Jan urodził się w IV wieku pne.
Odp. 2.
1. Prosta l ma 2 punkty wspólne z okręgiem.
2. Liczba a nie jest podzielna przez b lub liczba a nie jest podzielna przez c.
3. 2a − 3b 6= 5 lub a + 2b 6= 1.
4. Liczba a jest podzielna przez 2 i nie jest podzielna przez 4.
Odp. 3. Dla podanych wartości p i q odpowiednie zdania są fałszywe.
1. p = 0, q = 1.
2. p = 1, q = 0.
3. p = q = 0.
4. p = 0, q = 1.
5. p = 0, q = 1.
Odp. 4.
12
1.2
1
LOGIKA
1. Nie jest.
2. Jest.
3. Nie jest.
4. Jest.
5. Nie jest.
6. Jest.
7. Jest.
8. Jest.
9. Jest.
10. Jest.
Odp. 5.
1. Jest.
2. Jest.
3. Nie jest.
4. Nie jest.
5. Nie jest.
6. Nie jest.
Odp. 7.
1. p ∨ q = ¬(¬p ∧ ¬q).
2. p ∨ q = ¬p ⇒ q.
3. p ⇐⇒ q = (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
Odp. 8.
1. p ∨ q.
2. p ⇐⇒ q.
3. r ∧ s.
Odp. 9.
1.
• x2 > −1 =⇒ (x > 0 ∨ x = −1).
• x2 ¬ −1 =⇒ (x ¬ 0 ∧ x 6= −1).
• (x ¬ 0 ∧ x 6= −1) =⇒ x2 ¬ −1.
2.
• Jeżeli czworokąt jest równoległobokiem, to dwa boki przeciwległe tego czworokąta są równe i
równoległe.
• Jeżeli czworokąt nie jest równoległobokiem, to dwa boki przeciwległe tego czworokąta są różnej
długości lub nie są równoległe.
• Jeżeli dwa boki przeciwległe czworokąta są różnej długości lub nie są równoległe, to czworokąt nie
jest równoległobokiem.
13
1.3
Rachunek kwantyfikatorów
1
LOGIKA
Odp. 10.
1. Jeżeli funkcja y = f (x) jest niemalejąca na przedziale (a, b), to f 0 (x) 0 dla x ∈ (a, b),
2. Jeżeli dwie izometrie nie są identyczne, to nie są zgodne w trzech niewspółliniowych punktach.
Odp. 11.
1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym do tego, aby czworokąt miał środek symetrii jest to, aby był
równoległobokiem.
2. Warunkiem koniecznym i wystarczającym do tego, aby liczba całkowita była podzielna przez 3 jest to,
aby suma cyfr tej liczby była podzielna przez 3.
3. Warunkiem koniecznym i wystarczającym do tego, aby różnica dwóch liczb rzeczywistych była równa
zeru jest to, aby liczby te były równe.
4. Warunkiem koniecznym i wystarczającym do tego, aby iloczyn dwóch liczb był różny od zera jest to,
aby obie liczby były niezerowe.
Odp. 12.
1. Tak.
2. Nie.
3. Tak.
1.3
Wyrażenie p(x), które po podstawieniu za x jakiegokolwiek elementu ze zbioru X staje się zdaniem nazywać
będziemy funkcją zdaniową zmiennej x (lub, wymiennie, formą zdaniową zmiennej x). Zbiór X nazywać
będziemy dalej zakresem zmienności p(x).
Jeżeli funkcja zdaniowa jest prawdziwa po podstawieniu pewnego elementu x1 ∈ X, to mówimy, że x1
spełnia funkcję zdaniową, Jeżeli funkcja zdaniowa jest fałszywa po podstawieniu pewnego elementu x2 ∈ X,
to mówimy, że x2 nie spełnia funkcji zdaniowej.
Funkcję zdaniową p(x) nazywamy prawdziwą na danym niepustym zbiorze X, jeżeli dla każdego elementu
x ze zbioru X zdanie p(x) jest prawdziwe. Funkcję zdaniową p(x) nazywamy fałszywą na danym niepustym
zbiorze X, jeżeli dla każdego elementu x ze zbioru X zdanie p(x) jest fałszywe. Jeżeli istnieje element x1 ze
zbioru X taki, że zdanie p(x1 ) jest prawdziwe oraz istnieje element x2 ze zbioru X taki, że zdanie p(x2 ) jest
fałszywe, to funkcja zdaniowa nie jest ani prawdziwa ani fałszywa.
Zadanie 13. Rozważmy funkcję zdaniową x > 0, x ∈ R. Podać po jednym przykładzie elementu x ∈ R
spełniającego i nie spełniającego funkcję zdaniową.
Rozwiązanie. Jeżeli za x podstawimy np. 1, to zdanie 1 > 0 jest prawdziwe. Czyli 1 spełnia funkcję zdaniową.
Jeżeli za x podstawimy np. −π, to zdanie −π > 0 jest fałszywe. Czyli −π nie spełnia funkcji zdaniowej. Zadanie 14. Zaznacz (na płaszczyźnie lub na prostej) zbiór elementów spełniających formę zdaniową
x2 + y 2 > 0 ∧ y + x < 0.
Rozwiązanie. Podana forma zdaniowa jest koniunkcją dwóch prostszych form: x2 + y 2 > 0 oraz y + x < 0.
Na rysunku nanosimy najpierw zbiór tych par x, y, że x2 + y 2 > 0 (czyli cała płaszczyzna poza punktem
(0, 0)), następnie zbiór tych punktów (x, y), że y + x < 0 (czyli y < −x, czyli zbiór punktów znajdujących
się „pod” prostą y = −x). Rozwiązaniem jest część wspólna obu zbiorów. Zadanie 15. Czy prawdziwa (lub fałszywa) jest funkcja zdaniowa (x oznacza liczbę rzeczywistą)
x2 − 3x + 2 > 0?
14
1.3
1
LOGIKA
Rozwiązanie. Zauważmy, że równanie x2 − 3x + 2 = 0 ma dwa różne rozwiązania, więc istnieją takie liczby
x0 , x1 ∈ R (np. x0 = 3, x1 = 1 12 ), że x20 − 3x0 + 2 > 0 oraz x21 − 3x1 + 2 ¬ 0. Czyli podana forma zdaniowa nie
jest ani prawdziwa (ponieważ po podstawieniu x = x1 otrzymujemy fałsz), ani nie jest fałszywa (ponieważ
po podstawieniu x = x0 otrzymujemy prawdę). Zadanie 16. Czy prawdziwa (lub fałszywa) jest funkcja zdaniowa (x oznacza liczbę rzeczywistą)
x2 + 3x + 2 < 0?
Rozwiązanie. Ponieważ x2 + 3x + 2 = 0 nie ma rozwiązań, więc dla każdego x wiadomo, że x2 + 3x + 2 > 0.
Czyli nie istnieje x spełniający podaną formę zdaniową, czyli jest ona fałszywa. Jeśli funkcja zdaniowa p(x) jest prawdziwa dla każdego x, to piszemy
∀ p(x) (czytamy: dla każdego x zachodzi p(x)).
x
Jeśli istnieje przynajmniej jeden element x spełniający p(x), to piszemy
∃ p(x) (czytamy: istnieje x taki, że p(x)).
x
Symbole „∀” i „∃” nazywamy kwantyfikatorami.
Zadanie 17. Podaną formę zdaniową poprzedź kwantyfikatorami tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe
(odpowiednio, zdanie fałszywe).
x2 = 2.
√
Rozwiązanie. Ponieważ dla x = 2, x2 = 2, więc przykład zdania prawdziwego, to
∃ x2 = 2.
x
Z kolei, ponieważ istnieje taki x, że x2 6= 2 (np. x = 1), więc przykład zdania fałszywego, to
∀ x2 = 2.
x
Zadanie 18. Podaną formę zdaniową poprzedź kwantyfikatorami tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe
(odpowiednio, zdanie fałszywe).
x>0∨y >x
Rozwiązanie. Ponieważ dla dowolnego x potrafimy znaleźć taki y, że y > x (np. y = x + 1), więc prawdziwe
jest na przykład zdanie
∀ ∃ (x > 0 ∨ y > x).
x y
(innym przykładem zdania prawdziwego jest ∃ ∃ (x > 0 ∨ y > x)). Ponieważ dla x = 0 i y = −1 zdanie
x y
x > 0 ∨ y > x jest fałszywe, więc przykład zdania fałszywego, to
∀ ∀ (x > 0 ∨ y > x).
x y
Zadanie 19. Oceń wartość logiczną zdania, a następnie utwórz jego zaprzeczenie.
∀ (x2 + 2x + 6 < 0)
x
15
1.3
1
LOGIKA
Rozwiązanie. Ponieważ dla x = 0 nie jest prawdą, że x2 + 2x + 6 < 0, więc podane zdanie jest fałszywe. Aby
zaprzeczyć zdaniu, korzystamy z prawa de Morgana dla kwantyfikatorów:
¬∀ p(x) ⇐⇒ ∃ ¬p(x).
x
x
W przykładzie podanym w zadaniu, po zastosowaniu prawa de Morgana otrzymamy:
∃ ¬(x2 + 2x + 6 < 0),
x
co możemy zapisać także jako
∃ (x2 + 2x + 6 0),
x
Zadanie 20. Oceń wartość logiczną zdania, a następnie utwórz jego zaprzeczenie.
∀ ∃ (x2 − y 2 > 0 =⇒ x > 0)
x y
Rozwiązanie. Jeżeli ustalimy dowolny x = x0 , to biorąc y = x otrzymamy zdanie
x20 − x20 > 0 =⇒ x > 0.
Zdanie to składa się z implikacji o fałszywym poprzedniku, czyli jest to zdanie prawdziwe. W takim razie, dla
dowolnego x = x0 udało się tak dobrać y = x0 , aby forma zdaniowa x2 − y 2 > 0 =⇒ x > 0 po podstawieniu
x i y była prawdziwa. Czyli zdanie
∀ ∃ (x2 − y 2 > 0 =⇒ x > 0)
x y
jest prawdziwe. Aby zaprzeczyć zdaniu, korzystamy najpierw z prawa de Morgana dla kwantyfikatora ogólnego („∀”):
¬∀ p(x) ⇐⇒ ∃ ¬p(x).
x
x
Otrzymujemy wówczas zdanie:
∃ ¬∃ (x2 − y 2 > 0 =⇒ x > 0).
x
y
Ponownie korzystamy z prawa de Morgana, tym razem dla kwantyfikatora szczególnego („∃”):
¬∃ p(x) ⇐⇒ ∀ ¬p(x).
x
x
Otrzymujemy wówczas zdanie:
∃ ∀ ¬(x2 − y 2 > 0 =⇒ x > 0).
x y
Korzystając z tautologii o zaprzeczaniu implikacji i prawa de Morgana otrzymujemy:
∃ ∀ (x2 − y 2 > 0 ∧ ¬x > 0),
x y
co możemy zapisać jako
∃ ∀ (x2 − y 2 > 0 ∧ x ¬ 0).
x y
Zadanie 21. Korzystając ze spójników logicznych i kwantyfikatorów, zapisać zdanie
równanie x2 − x − 2 = 0 ma dodatni pierwiastek.
Rozwiązanie. Równanie ma pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje x, po podstawieniu którego do
formy zdaniowej x2 − x − 2 = 0 otrzymamy zdanie prawdziwe. Jeżeli pierwiastek ma być dodatni, to formę
zdaniową możemy rozszerzyć o warunek x > 0. W takim razie podane zdanie można zapisać
∃ (x2 − x − 2 = 0 ∧ x > 0).
x
16
1.3
1
LOGIKA
istnieje liczba m, od której nie jest mniejszy kwadrat dowolnej liczby x.
Rozwiązanie. Fakt, że od m nie jest mniejszy kwadrat dowolnej liczby x jest równoważny temu, że jakąkolwiek
byśmy nie wzięli liczbę x, to jej kwadrat nie będzie mniejszy od m. Podane zdanie możemy więc zapisać
∃ ∀ ¬x2 < m,
mx
lub, w sposób równoważny,
∃ ∀ x2 m.
mx
Zadanie 23. Wskaż, które zmienne w wyrażeniu są związane przez które kwantyfikatory.
∃ (x > 3) =⇒ (x > 1)
x
Rozwiązanie. Kwantyfikator wiąże zmienną tylko w wyrażeniu znajdującym się najbliżej kwantyfikatora. W
powyższym wyrażeniu kwantyfikator „∃ ” wiąże więc tylko zmienną x w formie „x > 3”. W formie „x > 1”
x
zmienna x nie jest związana przez kwantyfikator (jest to tzw. zmienna wolna). Zadanie 24. Wskaż, które zmienne w wyrażeniu są związane przez które kwantyfikatory.
∃ ((x > 3) =⇒ (x > 1))
x
Rozwiązanie. Kwantyfikator wiąże zmienną w wyrażeniu znajdującym się najbliżej kwantyfikatora. Ze względu na nawias, najbliżej kwantyfikatora znajduje się forma zdaniowa (x > 3) =⇒ (x > 1). W powyższym
wyrażeniu kwantyfikator „∃ ” wiąże więc zmienną x w formie „x > 3” oraz w formie „x > 1”. W powyższym
x
wyrażeniu nie ma zmiennych wolnych. Zadanie domowe
Zadanie 1. Podać po jednym przykładzie elementu spełniającego i nie spełniającego funkcję zdaniową.
1. x2 0, x ∈ R.
2. x2 − x = 0, x ∈ R.
3. x > 1, x ∈ N.
4. x2 = 2, x ∈ R.
Zadanie 2. Zaznacz (na płaszczyźnie lub na prostej) zbiór elementów spełniających formę zdaniową.
1. x2 + y 2 + 4x − 6y + 12 ¬ 0 ∨ y − x − 5 0,
2. x2 + 2x − 3 < 0 =⇒ x > −1,
3. x2 + 2x − 8 > 0 ⇐⇒ −3 < x < 3.
Zadanie 3. Czy prawdziwa (lub fałszywa) jest funkcja zdaniowa (x oznacza liczbę rzeczywistą).
1. x2 + 2x < 0,
2. x2 + 2x + 5 > 0,
3. cos2
x
2
− sin2
x
2
= cos x,
4. x2 + 4 < 0,
17
1.3
1
LOGIKA
5. x2 + 1 = 0,
6. x2 + 3x + 2 = 0.
Zadanie 4. Podaną formę zdaniową poprzedź kwantyfikatorami tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe (odpowiednio, zdanie fałszywe).
1. x2 + y 2 1
2. x2 + 2x + 6 = 9
3. x jest liczbą pierwszą
4. x2 + y 2 > 0
Zadanie 5. Oceń wartość logiczną zdań, a następnie utwórz ich zaprzeczenia.
1. ∀ (x < 0 ∨ x = 0 ∨ x > 0)
x
2. ∀ (x2 + 1 < 0 =⇒ x = 2009)
x
3. ∀ ∃ (y 2 = x)
x y
4. ∀ ∃ (x2 + y 2 1)
x y
1. Dla dowolnego m równanie x2 + mx − 2m2 = 0 ma rozwiązanie.
2. Nie dla każdej liczby x jej kwadrat jest większy od tej liczby.
3. Dla dowolnej liczby x jej wartość bezwzględna jest nieujemna.
4. Każda liczba jest równa sobie samej.
5. Żadna liczba nie jest mniejsza od siebie samej.
6. Dla każdej liczby x istnieje liczba od niej większa i jednocześnie mniejsza od x + 1.
7. Dla każdych dwóch liczb istnieje ich średnia arytmetyczna.
8. Istnieje liczba będąca wspólnym pierwiastkiem równań x2 − 5x + 6 = 0 i x2 − 6x + 9 = 0.
Zadanie 7. Wskaż, które zmienne następujących wyrażeń są związane przez które kwantyfikatory.
1. ∃ (2x + 1 = 0) ∧ ∃ (x + 2 = 5)
x
x
2. ∃ ((2x + 1 = 0) ∧ (x + 2 = 5))
x
3. ∃ (2x + 1 = 0) ∧ (x + 2 = 5)
x
4. ∀ (x > 0) ∨ ∀ (x ¬ 0)
x
x
5. ∀ ((x > 0) ∨ (x ¬ 0))
x
6. (x ¬ 0) ∨ ∀ (x > 0)
x
7. ∀ ((x > 0) =⇒ ∃ (x > 0))
x
x
8. ∃ ((x > 0) ∧ ∀ (x 6= 0)).
x
x
18
1.3
1
LOGIKA
Odp. 1.
1. x = 3 spełnia; nie ma elementu który nie spełnia tej funkcji zdaniowej.
2. x = 0 spełnia; x = 2 nie spełnia.
√
Odp. 2.
1. Ponieważ x2 + y 2 + 4x − 6y + 12 ¬ 0 jest równoważne nierówności (x + 2)2 + (y − 3)2 ¬ 1, więc formę
zdaniową x2 + y 2 + 4x − 6y + 12 ¬ 0 spełniają wszystkie punkty koła o środku w punkcie (−2, 3) i
prominiu 1 (razem z brzegiem).
Ponieważ y − x − 5 0 jest równoważne nierówności y x + 5, więc formę zdaniową y − x − 5 0
spełniają wszystkie punkty, które są nad prostą y = x + 5.
Czyli rozwiązaniem jest suma obu zbiorów .
2. Ponieważ równanie x2 + 2x − 3 = 0 ma dwa pierwiastki x1 = −3 i x2 = 1 więc formę zdaniową
x2 + 2x − 3 < 0 spełniają tylko liczby z przedziału (−3, 1).
Formę zdaniową x > −1 spełniają tylko liczby z przedziału (−1, +∞).
Wówczas liczby ze zbioru (−∞, −3] ∪ [1, +∞) spełniają formę x2 + 2x − 3 = 0 ⇒ x > −1, bo dla tych
liczb poprzednik tej implikacji jest fałszywy, czyli cała implikacja jest prawdziwa.
Również liczby z przedziału (−1, 1) spełniają formę x2 + 2x − 3 = 0 ⇒ x > −1, bo dla tych liczb
zarówno poprzednik jak i następnik jest prawdziwy.
Pozostałe liczby (tzn. liczby z przedziału (−3, −1]) nie spełniają formy x2 + 2x − 3 = 0 ⇒ x > −1, bo
dla tych liczb poprzednik jest prawdziwy a następnik jest fałszywy, czyli cała implikacja jest fałszywa.
Ostatecznie, tylko liczby ze zbioru (−∞, −3] ∪ (−1, +∞) spełniają formę zdaniową x2 + 2x − 3 = 0 ⇒
x > −1.
3. Forma jest spełniona tylko przez liczby ze zbioru [−4, −3] ∪ (2, 3).
Odp. 3.
1. Ani prawdziwa, ani fałszywa.
2. Prawdziwa.
3. Prawdziwa.
4. Fałszywa.
5. Fałszywa.
6. Ani prawdziwa, ani fałszywa.
Odp. 4.
1. ∃ ∃ x2 + y 2 1 - prawdziwe. ∀ ∀ x2 + y 2 1 - fałszywe.
x y
x y
2. ∃ x2 + 2x + 6 = 9 - prawdziwe; ∀ x2 + 2x + 6 = 9 - fałszywe.
x
x
3. ∃ (x jest liczbą pierwszą) - prawdziwe; ∀ (x jest liczbą pierwszą) - fałszywe.
x
x
2
2
2
2
4. ∀ ∃ x + y > 0 - prawdziwe; ∀ ∀ x + y > 0 - fałszywe.
x y
x y
19
1.4
Zadania dodatkowe
1
LOGIKA
Odp. 5.
1. ∀ (x < 0 ∨ x = 0 ∨ x > 0) - zdanie prawdziwe. ¬(∀ (x < 0 ∨ x = 0 ∨ x > 0)) = ∃ ((x 0 ∧ x 6= 0 ∧ x ¬ 0))
x
x
x
2. ∀ (x2 + 1 < 0 =⇒ x = 2009) - zdanie prawdziwe. ¬(∀ (x2 + 1 < 0 =⇒ x = 2009)) = ∃ (x2 + 1 <
x
x
x
0 ∧ x 6= 2009)
3. ∀ ∃ (y 2 = x) - zdanie fałszywe. ¬(∀ ∃ (y 2 = x)) = ∃ ∀ (y 2 6= x)
x y
x y
x y
4. ∀ ∃ (x2 + y 2 1) - zdanie prawdziwe. ¬(∀ ∃ (x2 + y 2 1)) = ∃ ∀ (x2 + y 2 < 1)
x y
x y
x y
Odp. 6.
1. ∀ ∃ x2 + mx − 2m2 = 0.
mx
2. ¬(∀ x2 > x).
x
3. ∀ |x| 0.
x
4. ∀ x = x.
x
5. ¬(∃ x < x).
x
6. ∀ ∃ x < y < x + 1.
x y
7. ∀ ∀ ∃ s =
x y s
x+y
2 .
8. ∃ ((x2 − 5x + 6 = 0) ∧ (x2 − 6x + 9 = 0)).
x
Odp. 7.
1. Wszystkie zmienne są związane.
3. Zmienna x w formie 2x + 1 = 0 jest związana, ale zmienna x w formie x + 2 = 5 jest wolna.
6. Zmienna x w formie x > 0 jest wolna, ale zmienna x w formie x ¬ 0 jest związana.
1.4
Zadania dodatkowe
Zadanie 8. Wyrażenie logiczne f zależy od n zmiennych. Ile wartościowań należy rozpatrzyć przy badaniu,
że wyrażenie logiczne f jest tautologią?
Zadanie 9. Rozważmy wyrażenie postaci:
1. (. . . ((p =⇒ p) =⇒ p) =⇒ p) . . .) =⇒ p (n razy).
2. (. . . ((p =⇒ (p =⇒ (p =⇒ p)) . . .) (n razy).
Dla jakich n wyrażenie to jest tautologią?
20
1.4
Zadania dodatkowe
1
LOGIKA
Zadanie 10. Sprawdzić, że każda formuła logiczna jest równoważna formule, w której występują jedynie
spójniki:
1. ¬, ∨, ∧;
2. ¬, =⇒ ;
3. ¬, ∨;
4. ¬, ∧;
5. N AN D (funktor Sheffera, dyzjunkcja);
6. N OR (funktor jednoczesnego zaprzeczenia).
Zadanie 11. Uzasadnić, że nie istnieje formuła równoważna p ∧ q zapisana z użyciem jedynie p, q, =⇒ .
Wskazówka. Jeżeli φ zawiera jedynie p, q, =⇒ , to zawsze istnieją co najmniej dwa wartościowania p, q takie,
że φ jest prawdziwa.
Zadanie 12. Uzasadnić, że za pomocą ∨, ∧ nie można zdefiniować =⇒ .
Wskazówka. Za pomocą ∨, ∧ można jedynie zdefiniować p, q, p ∨ q, p ∧ q.
Zadanie 13. Czy za pomocą alternatywy i koniunkcji można zdefiniować:
1. implikację,
2. dyzjunkcję?
Zadanie 14. Czy za pomocą równoważności i negacji można zdefiniować:
1. alternatywę,
2. koniunkcję?
21
2
2
ZBIORY
Zbiory
2.1
Element zbioru, podzbiór i równość zbiorów
Zadanie 1. Podać wszystkie elementy zbioru A dla
1. A = {0, 1, 2};
2. A = {a};
3. A = {a, b, c, a, b, c, a, b, a};
4. A = {x ∈ R : x2 − 2x + 1 = 0};
5. A = {x ∈ R : x2 + 1 = 0};
6. A = {n ∈ N : n2 < 12};
7. A = {x ∈ R : x2 − 5x + 6 < 0};
8. A = ∅;
9. A = {∅};
10. A = {a, {a}};
11. A = {{a}};
12. A = {x, y, {x}, {y}, {x, y}, {{x}, {y}}}.
Rozwiązanie.
1. Elementy zbioru A to: 0, 1 i 2.
2. Jedynym elementem zbioru A jest a.
3. Zbiór A ma trzy elementy: a, b, c.
4. Zbiór A ma jeden element: 1.
5. Zbiór A nie ma elementów.
6. Zbiór A ma 4 elementy: 0, 1, 2, 3.
7. Zbiór A składa się ze wszystkich liczb z przedziału (2, 3).
8. Zbiór A nie ma elementów.
9. Jedynym elementem zbioru A jest ∅.
10. Zbiór A ma 2 element: a i {a}.
11. Zbiór A ma 1 element: {a}.
12. Zbiór A ma 6 elementów: x, y, {x}, {y}, {x, y}, {{x}, {y}}.
Zadanie 2. Czy ∅ = {∅}?
Rozwiązanie. Zbiór ∅ to (zgodnie z definicją) zbiór nie zawierający żadnego elementu. Zbiór po prawej stronie
znaku “=” ma jeden element. Zbiory te są więc różne. Zadanie 3. Czy dla dowolnych A, B, C prawdą jest, że
1. {A, B} ∈ {{A, B, C}, {A, C}, A, B};
22
2.1
2
ZBIORY
2. {A, B} ⊂ {{A, B, C}, {A, C}, A, B}?
Rozwiązanie.
1. Musimy sprawdzić, czy obiekt “{A, B}” (uwaga: interesuje nas cały obiekt, włącznie z zewnętrznymi nawiasami) znajduje się wśród elementów zbioru po prawej stronie znaku “∈”. Elementy te
to: {A, B, C}, {A, C}, A, B. Żaden z nich nie jest równy {A, B}, więc nie jest prawdą, że {A, B} ∈
{{A, B, C}, {A, C}, A, B}.
2. Zbiór {A, B} zawiera się w zbiorze {{A, B, C}, {A, C}, A, B} wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
elementu zbioru {A, B} (elementy te to: A i B), element ten należy do zbioru {{A, B, C}, {A, C}, A, B}.
Sprawdzamy, że zarówno A jak i B należą do zbioru po prawej stronie znaku “⊂”, więc prawdą jest,
że {A, B} ⊂ {{A, B, C}, {A, C}, A, B}.
Zadanie 4. Udowodnić, że jeżeli A ⊂ B i B ⊂ A, to A = B.
Rozwiązanie. Musimy pokazać, że z założeń
1. A ⊂ B, i
2. B ⊂ A
wynika, że A = B. Aby sprawdzić równość zbiorów wystarczy pokazać, że każdy element zbioru po lewej
stronie równości jest elementem zbioru po prawej stronie równości (i na odwrót). Weźmy więc dowolny
element x ∈ A. Z założenia (1) wynika, że każdy element zbioru A jest także elementem zbioru B, czyli z
tego, że x ∈ A wynika, że x ∈ B. Sprawdzamy też „na odwrót”: jeżeli x ∈ B, to z założenia (2) wynika, że
x ∈ A. Czyli zbiory A i B są równe. Zadanie 5. Udowodnić, że istnieje tylko jeden zbiór nie mający żadnych elementów.
Rozwiązanie. Wystarczy pokazać, że jeżeli A i B są zbiorami nie mającymi żadnych elementów, to A = B.
Niech A i B będą dowolnymi zbiorami nie mającymi żadnych elementów. Wystarczy pokazać, że dla
dowolnego x,
1. jeżeli x ∈ A, to x ∈ B, oraz
2. jeżeli x ∈ B, to x ∈ A.
Zdania (1) i (2) są implikacjami o fałszywym poprzedniku (ponieważ zarówno A jak i B nie mają żadnego
elementu), czyli są prawdziwe. Czyli A = B. Zadanie 6. Podać przykład zbioru dwuelementowego, takiego, że każdy jego element jest jego podzbiorem.
Rozwiązanie. Uprośćmy zadanie i spróbujmy skonstruować zbiór 1-elementowy, którego każdy element jest
też podzbiorem. Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru, więc zgadujemy, że zbiór pusty ma być także
elementem naszego zbioru. W istocie, zbiór A1 = {∅} ma tę własność, że każdy jego element jest też jego
podzbiorem.
Próbujemy rozszerzyć zbiór A1 do zbioru A2 o dwóch elementach. Wiemy, że A1 jest także podzbiorem
A1 , więc zgadujemy, że jeżeli rozszerzymy A1 o element równy zbiorowi A1 , to otrzymany zbiór będzie miał
dwa elementy i będzie spełniał warunki zadania. W istocie, zbiór A2 = A1 ∪ {A1 } = {∅, {∅}} spełnia żądania
podane w treści zadania. Zadanie domowe
Zadanie 1. Podać wszystkie elementy zbioru A, jeżeli
1. A = {a, {a, b}};
2. A = {{a}};
23
2.1
2
ZBIORY
3. A = {{{a}}};
4. A = {∅, {∅}};
5. A = {x ∈ R : x2 = 2};
6. A = {n ∈ N : 2n − 5 < n − 1};
7. A = {w ∈ Q : 4w2 = 1};
8. A = {x ∈ R : |x − 2| < 5};
Zadanie 2. Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe dla dowolnych A, B i C.
1. Jeżeli A ∈ B i B ∈ C, to A ∈ C.
2. Jeżeli A ∈ B i B ⊂ C, to A ∈ C.
3. Jeżeli A ⊂ B i B ∈ C, to A ∈ C.
Zadanie 3. Udowodnić, że
1. A ⊂ A;
2. jeżeli A ⊂ B i B ⊂ C, to A ⊂ C.
Zadanie 4.
1. Podać przykład zbioru trzyelementowego, takiego, że każdy jego element jest jego podzbiorem.
2. Podać przykład zbioru czteroelementowego, takiego, że każdy jego element jest jego podzbiorem.
Odp. 1.
1. Elementy zbioru A to: a oraz {a, b}.
2. Jedynym elementem zbioru A jest: {a}.
3. Jedynym elementem zbioru A jest: {{a}}.
4. Elementy zbioru A to: ∅ i {∅}.
√ √
5. Elementy zbioru A to: − 2 i 2.
6. Elementy zbioru A to: 0, 1, 2, 3.
7. Elementy zbioru A to: − 32 i 32 .
8. Elementami zbioru A są wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału (−3, 7).
Odp. 2.
1. Nieprawdziwe. Wystarczy podać kontrprzykład. Np. weźmy A = ∅, B = {∅} i C = {{∅}}. Wtedy
A ∈ B i B ∈ C, ale A ∈
/ C.
2. Prawdziwe. Ponieważ B ⊂ C, więc dowolny element B jest też elementem C. Czyli z tego, że A ∈ B
wynika, że A ∈ C.
3. Nieprawdziwe. Wystarczy podać kontrprzykład. Np. weźmy A = {1}, B = {1, 2} i C = {{1, 2}}.
Wtedy A ∈ B i B ∈ C, ale A ∈
/ C.
Odp. 3.
24
2.2
Działania na zbiorach
2
ZBIORY
1. Żeby udowodnić, że A ⊂ A wystarczy pokazać, że dowolny x ∈ A (czyli x należący do zbioru po lewej
stronie znaku “⊂”) spełnia warunek x ∈ A (czyli należy do zbioru po prawej stronie znaku “⊂”. Co
jest oczywiste.
2. Wystarczy pokazać, że jeżeli x ∈ A, to x ∈ C. Weźmy dowolny x ∈ A. Ponieważ (z pierwszego założenia
podanego w zadaniu) A ⊂ B, więc x ∈ B. Ponieważ (z drugiego założenia podanego w zadaniu) B ⊂ C,
więc z tego, że x ∈ B wynika, że x ∈ C. Udało nam się pokazać, że z tego, że x ∈ A wynika, że x ∈ C.
Czyli A ⊂ C.
Odp. 4.
1. A3 = A2 ∪ {A2 } = {∅, {∅}, {∅, {∅}}};
2. A4 = A3 ∪ {A3 } = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}.
2.2
X
Niech dany będzie ustalony zbiór X (nazywać będziemy go dalej przestrzenią). Jeżeli p(x) jest formułą zdaniową o zakresie zmienności X, to zbiór
A złożony z tych x będących elementami zbioru X,
dla których formuła p(x) jest prawdziwa oznaczmy
symbolem
{x ∈ X : p(x)} .
A
Często używana jest również notacja {x : p(x)} .
Graficzna interpretacja zbioru A = {x ∈ X : p(x)}
jest przedstawiona na rysunku obok.
X
Symbolem A ∪ B oznaczać będziemy sumę zbiorów,
czyli zbiór tych elementów, które należą do zbioru
A lub należą do zbioru B, inaczej pisząc
A
B
{x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Graficzna interpretacja sumy zbiorów A i B jest
przedstawiona na rysunku obok.
25
2.2
2
ZBIORY
X
Symbolem A ∩ B oznaczać będziemy przekrój zbiorów, czyli zbiór tych elementów, które należą do
zbioru A i jednocześnie należą do zbioru B, inaczej
pisząc
{x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
A
B
Graficzna interpretacja przekroju zbiorów A i B
jest przedstawiona na rysunku obok.
X
Symbolem A\B oznaczać będziemy różnicę zbiorów,
czyli zbiór tych elementów, które należą do zbioru
A i nie należą do zbioru B, inaczej pisząc
A
B
{x : x ∈ A ∧ x ∈
/ B}.
Graficzna interpretacja różnicy zbiorów A i B jest
X
Symbolem A0 oznaczać będziemy dopełnienie zbioru, czyli zbiór tych elementów przestrzeni X, które
nie należą do zbioru A, inaczej pisząc X \ A, lub
A
{x : x ∈
/ A}.
Graficzna interpretacja dopełnienia zbioru A jest
Zadanie 1. Niech A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Wyznaczyć zbiory A ∪ B, A ∩
B, A \ B, B \ A.
Rozwiązanie.
• A ∪ B = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
• A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5}.
• A \ B = {6, 7, 8, 9}.
26
2.2
2
ZBIORY
• B \ A = {−2, −, 1, 0}.
Zadanie 2. Niech A = {x, y, {x}}, B = {x, y, {{x}}}. Wyznaczyć zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A.
Rozwiązanie.
• A ∪ B = {x, y, {x}, {{x}}}.
• A ∩ B = {y}.
• A \ B = {{x}}.
• B \ A = {{{x}}}.
Zadanie 3. Wyznaczyć zbiory A ∩ B i B \ A wiedząc, że A = {x ∈ R : |x| > 3} i B = {x ∈ R : x2 − 7x + 10 ¬
0}.
Rozwiązanie. Na początek wyznaczamy zbiór A. Ponieważ
|x| > 3 ⇐⇒ x < −3 ∨ x > 3,
więc A = (−∞, −3) ∪ (3, +∞).
Teraz wyznaczamy zbiór B. Ponieważ równanie x2 − 7x + 10 = 0 ma dwa pierwiastki: x1 = 2 i x2 = 5
więc
x2 − 7x + 10 ¬ 0 ⇐⇒ 2 ¬ x ¬ 5.
Czyli B = [2, 5].
Teraz możemy już wyznaczyć przekrój i różnicę zbiorów: A ∩ B = (3, 5], B \ A = [2, 3].
Graficznie można to przedstawić w następujący sposób:
−3
0
2 3
5
A
B
A∩B
B\A
Zadanie 4. Dane są dwa zbiory punktów płaszczyzny OXY: A = {(x, y) : x + 2y −2} i B = {(x, y) :
x2 + 4y ¬ 4}. Znaleźć i narysować zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B i B \ A.
Rozwiązanie.
27
2.2
2
ZBIORY
y
Zbiór A, to zbiór punktów płaszczyzny (x, y), które
leżą nad prostą o równaniu y = − 12 x − 1, łącznie
z tą prostą. Rysunek obok przedstawia ten zbiór A
narysowany w układzie współrzędnych (zakreskowany liniami pionowymi).
−2
x
−1
y = − 21 x − 1
y
−2
1
2
x
Zbiór B, to zbiór punktów płaszczyzny (x, y), które leżą pod parabolą o równaniu y = − 14 x2 + 1,
łącznie z tą parabolą. Rysunek obok przedstawia
ten zbiór B narysowany w układzie współrzędnych
(zakreskowany liniami poziomymi).
y = − 41 x2 + 1
y
x
Zbior A i B w jednym układzie współrzędnych.
28
2.2
2
ZBIORY
y
x
Zbiór A ∪ B jest to zbiór tych punktów (x, y), które
należą do A lub należą do B. Rysunek obok przedstawia sumę zbiorów A i B narysowaną w układzie
współrzędnych (szary obszar wraz z krawędziami).
y
Zbiór A ∩ B jest to zbiór tych punktów (x, y), które
należą jednocześnie do A i B. Rysunek obok przedstawia przekrój zbiorów A i B narysowaną w układzie współrzędnych (szary obszar wraz z krawędziami).
x
y
x
Zbiór A \ B jest to zbiór tych punktów (x, y), które należą do A, ale nie należą do B. Rysunek obok
przedstawia różnicę zbiorów A i B narysowaną w
układzie współrzędnych (szary obszar wraz z krawędziami szarymi i bez krawędzi przerywanych).
29
2.2
2
ZBIORY
y
Zbiór B \ A jest to zbiór tych punktów (x, y), które należą do B, ale nie należą do A. Rysunek obok
przedstawia różnicę zbiorów B i A narysowaną w
układzie współrzędnych (szary obszar wraz z krawędziami szarymi i bez krawędzi przerywanych).
x
Zadanie 5. Wyznaczyć zbiory liczb rzeczywistych A = {x :
znaleźć zbiór C = (A ∩ B)0 .
x2 +1
2x
< 1} i B = {x : |x| < 2}, następnie
Rozwiązanie. Wyznaczamy zbiór A.
Ponieważ
x2 + 1
x2 + 1
x2 − 2x + 1
< 1 ⇐⇒
− 1 < 0 ⇐⇒
< 0 ⇐⇒
2x
2x
2x
(x − 1)2
⇐⇒
< 0 ⇐⇒ x(x − 1)2 < 0 ⇐⇒ x < 0,
2x
więc A = (−∞, 0).
Wyznaczamy zbiór B.
Ponieważ
|x| < 2 ⇐⇒ −2 < x < 2,
więc B = (−2, 2).
Wyznaczamy zbiór C.
C = (A ∩ B)0 = R \ (A ∩ B) = R \ (−2, 0) = (−∞, −2] ∪ [0, +∞).
Graficznie można to przedstawić w następujący sposób:
−2
0
2
A
B
A∩B
(A ∩ B)0
Zadanie 6. Dane są zbiory punktów płaszczyzny A = {(x, y) : y ¬ − 23 x + 4 i y ¬ −2x + 8}, Lm = {(x, y) :
x + y = m}, gdzie m jest dowolną liczbą rzeczywistą. Dla jakich m spełniony jest warunek A ∩ Lm = ∅?
Rozwiązanie. Zauważmy, że A ∩ Lm = ∅ wtedy i tylko wtedy, gdy układ równań i nierówności:

 y ¬ − 32 x + 4
y ¬ −2x + 8

x+y =m
30
2.2
2
ZBIORY
nie ma rozwiazań. Wygodniej jest sprawdzać zaprzeczenie tego warunku, czyli kiedy układ równań ma
rozwiązanie. Z ostatniej równości mamy, że y = m−x, skąd po podstawieniu do pierwszych dwóch nierówności
otrzymujemy układ
m − x ¬ − 23 x + 4
m − x ¬ −2x + 8
czyli
m − x ¬ − 23 x + 4
m − x ¬ −2x + 8
czyli
m ¬ 13 x + 4
m ¬ −x + 8
3m ¬ x + 12
m ¬ −x + 8
czyli
czyli
4m ¬ 20
skąd m ¬ 5. Po odwróceniu warunku otrzymujemy rozwiązanie zadania: m > 5.
Interpretacja graficzna rozwiązania jest następująca. Wyznaczamy przekrój zbiorów A1 = {(x, y) : y ¬
− 23 x + 4} (poziome kreski) i A2 = {(x, y) : y ¬ −2x + 8} (pionowe kreski). Po rozwiązaniu układu równań
y = − 32 x + 4
y = −2x + 8
otrzymujemy współrzędne punktu przecięcia się prostych ograniczających obszary A1 i A2 : (3, 2).
Następnie szukamy takiego m, że prosta x + y = m przechodzi przez punkt (3, 2). (Po podstawieniu za
x = 3 i y = 2 otrzymujemy m = 5). Prosta o wzorze x + y = m nie ma punktów wspólnych z obszarem A
dla m > 5.
y = −2x + 8
y
8
x+y =5
y = − 23 x + 4
4
2
x
3 4
6
Zadanie domowe
Zadanie 1. Dane są zbiory
1. A = {a, b, {c}, {c, d}} i B = {a, {a}, c, {c}}.
2. A = {x ∈ Z : x2 < 5} i B = {n ∈ N : n jest liczbą parzystą}.
Znaleźć zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B i B \ A.
31
2.2
2
ZBIORY
Zadanie 2. Dane są zbiory liczb rzeczywistych A = {x : x3 + 2x2 − 9x − 18 > 0} i B = {x : x2 + 3x − 4 < 0}.
Znaleźć zbiory A ∩ B i A ∪ B.
Zadanie 3. Znaleźć zbiory A ∩ B i B \ A wiedząc, że A i B są następującymi zbiorami liczb rzeczywistych
A = {x : |x| + |x − 1| > 5}, B = {x : x2 − 7x ¬ 0}.
Zadanie 4. Dane są dwa zbiory punktów płaszczyzny A = {(x, y) : x2 ¬ 2y} i B = {(x, y) : x2 +y −2x ¬ 1}.
Znaleźć zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B i B \ A.
Zadanie 5. Dane są dwa zbiory punktów płaszczyzny A = {(x, y) : 4x + 3y ¬ 12} i B = {(x, y) : |y| ¬ 2}.
Narysować zbiór A ∩ B.
Zadanie 6. Dane są dwa zbiory punktów płaszczyzny A = {(x, y) : y 2} i B = {(x, y) : y ¬ 2|x|}.
Wyznaczyć zbiory C = A ∩ B i D = (A ∪ B)0 .
Zadanie 7. Dane√są trzy zbiory punktów płaszczyzny A = {(x, y) :
C = {(x, y) : y < x}. Wyznaczyć zbiór A ∩ B ∩ C.
Zadanie 8. Wyznaczyć zbiory liczb rzeczywistych A = {x :
znaleźć zbiór C = (A ∩ B)0 .
x2 +1
2x
x2
9
+
y2
4
¬ 1}, B = {(x, y) : x + y 1},
< 1} i B = {x : |x| < 2}, następnie
Zadanie 9. Dane są zbiory punktów płaszczyzny A = {(x, y) : x2 + y 2 − 2x + 4y + 4 < 0}, Lm = {(x, y) :
x − 2y = m}, gdzie m jest dowolną liczbą rzeczywistą. Dla jakich m spełniony jest warunek A ∩ Lm = ∅?
Zadanie 10. Dane są zbiory punktów płaszczyzny A = {(x, y) : x2 + y − 2x + 4 0}, Lm = {(x, y) :
2x − y = m}, gdzie m jest dowolną liczbą rzeczywistą. Dla jakich m spełniony jest warunek A ∩ Lm = ∅?
Odp. 1.
1. A ∪ B = {a, b, c, {a}, {c}, {c, d}}, A ∩ B = {a, {c}}, A \ B = {b, {c, d}}, B \ A = {{a}, c}.
2. A ∪ B = {−2, −1, 0, 1, 2, 4, 6, 8, 10, . . . , 2n, . . . }, A ∩ B = {0, 2}, A \ B = {4, 6, . . . , 2n, . . . }, B \ A =
{−2, −1, 1}.
Odp. 2.
• A = (−3, −2) ∪ (3, +∞);
• B = (−4, 1);
• A ∩ B = (−3, −2);
• A ∪ B = (−4, 1) ∪ (3, +∞).
Odp. 3.
• A = (−∞, −2) ∪ (3, ∞);
• B = (0, 7);
• A ∩ B = (3, 7);
• B \ A = (0, 3].
Odp. 4.
32
2.2
2
ZBIORY
y = 12 x2
y
2
Zbiór A, to zbiór punktów płaszczyzny (x, y), które
leżą nad parabolą o równaniu y = 12 x2 , łącznie z
tą parabolą. Rysunek obok przedstawia ten zbiór A
narysowany w układzie współrzędnych (zakreskowany liniami poziomymi).
1
2
x
−2
−1
1
2
y
2
1
Zbiór B, to zbiór punktów płaszczyzny (x, y), które
leżą pod parabolą o równaniu y = −x2 + 2x + 1,
łącznie z tą parabolą. Rysunek obok przedstawia
ten zbiór B narysowany w układzie współrzędnych
(zakreskowany liniami pionowymi).
x
−2
−1
0
1
2
y = −x2 + 2x + 1
Następny rysunek przedstawia oba zbiory w jednym układzie współrzędnych.
y
2
1
1
2
x
−2
−1
0
33
1
2
2.2
2
ZBIORY
y
2
1
1
2
x
−2
−1
0
1
2
Rysunek obok przedstawia sumę zbiorów A i B narysowaną w układzie współrzędnych (szary obszar).
y
2
1
Rysunek obok przedstawia część wspólną zbiorów
A i B narysowaną w układzie współrzędnych (szary
obszar).
1
2
x
−2
−1
0
1
2
y
2
1
1
2
x
−2
−1
0
1
2
Rysunek obok przedstawia różnicę zbiorów A i B
narysowaną w układzie współrzędnych (szary obszar).
34
2.2
2
ZBIORY
y
2
1
Rysunek obok przedstawia różnicę zbiorów B i A
narysowaną w układzie współrzędnych (szary obszar).
1
2
x
−2
−1
0
1
2
Odp. 5.
y
4
y = − 43 x + 4
1
x
0 1
3
Rysunek obok przedstawia zbiór A narysowany w
układzie współrzędnych (zakreskowany liniami poziomymi).
y
Rysunek obok przedstawia zbiór B narysowany w
układzie współrzędnych (zakreskowany liniami pionowymi).
2
1
x
0 1
−2
Na poniższym rysunku mamy oba zbiory w jednym układzie współrzędnych.
35
2.2
2
ZBIORY
y
4
2
1
x
0 1
3
−2
y
4
2
1
Rysunek obok przedstawia przekrój zbiorów A i
B narysowany w układzie współrzędnych (szary
obszar).
x
0 1
3
−2
Odp. 6.
y
2
1
y=2
x
0 1
Rysunek obok przedstawia zbiór A narysowany
w układzie współrzędnych (zakreskowany liniami
poziomymi).
36
2.2
2
y
y = 2|x|
Rysunek obok przedstawia zbiór B narysowany
pionowymi).
2
1
x
0 1
y
2
1
x
Zbiory A i B w układzie współrzędnych.
0 1
y
2
1
Część wspólna zbiorów A i B w układzie współrzędnych.
x
1
37
ZBIORY
2.2
2
ZBIORY
y
2
x
1
Dopełnienie sumy zbiorów A i B w układzie współrzędnych.
Odp. 7.
y
2
Rysunek obok przedstawia zbiór A narysowany
poziomymi).
x2
9
+
y2
4
=1
x
3
y
1
x
1
Rysunek obok przedstawia zbiór B narysowany
pionowymi).
y = −x + 1
38
2.2
2
ZBIORY
y
√
Rysunek obok przedstawia zbiór C narysowany
w układzie współrzędnych (obszar zakropkowany).
y=
5
√
x
1
x
1
5
y
1
x
1
Rysunek obok przedstawia wszystkie trzy zbiory A,
B i C w jednym układzie współrzędnych.
y
Rysunek obok przedstawia przekrój zbiorów A, B i
C (obszar szary).
Odp. 8.
• A = (−∞, 0),
• B = (−2, 2),
• (A ∩ B)0 = (−∞, −2] ∪ [0, +∞).
h
√ i
√
5
5
Odp. 9. m ∈ −∞, −5−3
∪ −5+3
, +∞ .
10
10
Odp. 10. m ∈ (−∞, 4).
39
1
x
1
2.3
Prawa rachunku zbiorów
2.3
2
ZBIORY
Zadanie 1. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B prawdziwy jest wzór A \ B = A ∩ B 0 .
Rozwiązanie. Wystarczy pokazać, że x należy do zbioru po lewej stronie równości wtedy i tylko wtedy, gdy
x należy do zbioru po prawej stronie równości. Sprawdzamy, że
x ∈ A \ B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈
/ B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B 0 ⇐⇒ x ∈ A ∩ B 0 .
Zadanie 2. Sprawdzić, że dla dowolnych zbiorów A, B, jeżeli A \ B = B \ A, to A = B.
Rozwiązanie. Załóżmy, że A \ B = B \ A. Musimy pokazać, że jeżeli x ∈ A, to x ∈ B (oraz, że jeżeli x ∈ B, to
x ∈ A). Pokażemy tylko, że jeżeli x ∈ A, to x ∈ B (drugie zawieranie można pokazać w analogiczny sposób).
Niech x ∈ A. Załóżmy dodatkowo, że x ∈
/ B. Wtedy x ∈ A \ B. Z założenia wiemy, że A \ B = B \ A,
czyli jeżeli x ∈ A \ B, to x ∈ B \ A. Stąd wynika, że x ∈ B — co jest sprzeczne z założeniem, że x ∈
/ B. Do
tej sprzeczności doprowadziło nas fałszywe założenie, że x ∈
/ B. Pokazaliśmy więc, że jeżeli x ∈ A, to x ∈ B.
Zadanie 3. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B i C prawdziwa jest równość (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B.
Rozwiązanie. Sposób 1. Wystarczy sprawdzić, że dowolny x należy do zbioru po lewej stronie równości wtedy i
tylko wtedy, gdy należy do zbioru po prawej stronie równości. Sprawdzamy, że (zwrócić uwagę na zastosowaną
tautologię — prawo przemienności koniunkcji — odpowiadającą za trzecią równoważność)
x ∈ (A \ B) ∩ C ⇐⇒ x ∈ A \ B ∧ x ∈ C ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈
/ B ∧ x ∈ C ⇐⇒
⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ C ∧ x ∈
/ B ⇐⇒ x ∈ A ∩ C ∧ x ∈
/ B ⇐⇒ x ∈ (A ∩ C) \ B.
Sposób 2. Do wykazania tej równości wykorzystamy diagramy Venna. Najpierw zaznaczamy na diagrmie
Venna lewą stronę tej równości, czyli zbiór (A \ B) ∩ C:
A
B
A
B
A
B
C
C
C
Zbiór A
Zbiór A \ B
Zbiór (A \ B) ∩ C
(zakropkowany obszar)
Teraz zaznaczamy na diagrmie Venna prawą stronę naszej równości, czyli zbiór (A ∩ C) \ B):
40
2.3
A
B
C
2
A
B
A
ZBIORY
B
C
C
Zbiór A
Zbiór A ∩ C
Zbiór (A ∩ C) \ B
(zakreskowany obszar)
Widzimy, że oba zbiory (A \ B) ∩ C (zakropkowany) i (A ∩ C) \ B (zakreskowyny) są identyczne, więc
równość (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B jest prawdziwa dla dowolnych zbiorów A, B i C. Zadanie 4. Wykazać, że działania dodawania i mnożenia zbiorów mają własność rozdzielności mnożenia
względem dodawania.
Rozwiązanie. Musimy pokazać, że równość (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) zachodzi dla dowolnych zbiorów
A, B i C. Wystarczy sprawdzić, że dowolny x należy do zbioru po lewej stronie równości wtedy i tylko wtedy,
gdy należy do zbioru po prawej stronie równości. Sprawdzamy, że (zwrócić uwagę na nawiasy w wyrażeniu
napisanym po drugiej równoważności, oraz zastosowaną tautologię odpowiadającą za trzecią równoważność)
x ∈ (A ∩ B) ∪ C ⇐⇒ x ∈ A ∩ B ∨ x ∈ C ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ x ∈ C ⇐⇒
⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ C) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇐⇒ x ∈ A ∪ C ∧ x ∈ B ∪ C ⇐⇒ x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Zadanie 5. Sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów A i B prawdziwa jest równość (B \ A) ∩ A = ∅.
Rozwiązanie. Zgadujemy (lub sprawdzamy na diagramie), że odpowiedź brzmi „tak”. Szukamy uzasadnienia
dla takiej odpowiedzi:
x ∈ (B \ A) ∩ A ⇐⇒ x ∈ B \ A ∧ x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B ∧ x ∈
/ A ∧ x ∈ A,
czyli jeżeli x należy do zbioru po prawej stronie, to musi spełniać fałszywy warunek x ∈
/ A ∧ x ∈ A. Stąd
taki x nie może istnieć, czyli zbiór po lewej stronie równości jest zbiorem pustym. Zadanie 6. Sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów A, B i C prawdziwa jest równość (A∪B)\C = (A\C)∪B.
Rozwiązanie. Sposób 1. Zgadujemy (lub sprawdzamy na diagramie), że odpowiedź brzmi „nie”. Uzasadnieniem dla takiej odpowiedzi jest podanie kontrprzykładu. Np. A = {0}, B = {0, 1} i C = {0, 1, 2}.
Sposób 2. Do sprawdzenia tej równości możemy również wykorzystać diagramy Venna. Najpierw zaznaczamy na diagrmie Venna lewą stronę tej równości, czyli zbiór (A ∪ B) \ C:
41
2.3
A
B
2
A
C
B
A
ZBIORY
B
C
C
Zbiór A
Zbiór A ∪ B
Zbiór (A ∪ B) \ C
Teraz zaznaczamy na diagrmie Venna prawą stronę naszej równości, czyli zbiór (A \ C) ∪ B):
A
B
A
B
A
B
C
C
C
Zbiór A
Zbiór A \ C
Zbiór (A \ C) ∪ B
Widzimy, że zbiory (A ∪ B) \ C (zakropkowany) i (A \ C) ∪ B (zakreskowyny) są różne, więc równość
(A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ B nie jest prawdziwa dla wszystkich zbiorów A, B i C. Zadanie 7. Sformułować i uzasadnić wzór algebry zbiorów odpowiadający tautologii rachunku zdań: ¬(p ∧
¬q) ⇐⇒ ((¬p) ∨ q).
Rozwiązanie. Podczas analizy dotychczas napisanych dowodów zauważyliśmy, że znak „¬” odpowiada operacji brania dopełnienia zbioru, znak „∧” odpowiada przekrojowi zbiorów, a znak „∨” odpowiada sumie
zbiorów. Zgadujemy więc, że chodzi o wzór:
(A ∩ B 0 )0 = A0 ∪ B.
Zadanie 8. Zdefiniować operację „∪” przy pomocy operacji „∩” i „0 ”.
Rozwiązanie. Musimy zgadnąć wzór, pozwalający zapisać operację „A ∪ B” przy pomocy operacji „∩” i
operacji dopełnienia. Przypominamy sobie jedno z praw de Morgana:
(A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0 ,
42
2.3
2
ZBIORY
z którego — po zastosowaniu operacji dopełnienia do obu stron równości — wynika rozwiązanie:
A ∪ B = (A0 ∩ B 0 )0 .
Zadanie 9. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B prawdziwa jest równoważność
(A ⊂ B) ⇐⇒ (A ∩ B = A).
Rozwiązanie. (⇒). Zakładamy, że A ⊂ B i mamy wykazać, że A ∩ B = A. Żeby wykazać równość zbiorów
A ∩ B = A należy pokazać 2 implikacje:
1. x ∈ A ∩ B =⇒ x ∈ A oraz
2. x ∈ A =⇒ x ∈ A ∩ B.
(1). Jeśli x ∈ A ∩ B, to (zgodnie z definicją przekroju) mamy że x ∈ A i x ∈ B. Tak więc x ∈ B.
(2). Niech x ∈ A. Ponieważ A ⊂ B więc x ∈ B.
(⇐). Zakładamy, że A ∩ B = A i mamy wykazać, że A ⊂ B.
Zgodnie z definicją zawierania mamy wykazać, że x ∈ A =⇒ x ∈ B. Niech x ∈ A. Z naszego założenia
A ∩ B = A wynika, że x ∈ A ∩ B, czyli x ∈ A ∧ x ∈ B. Tak więc x ∈ B.
Zadanie 10. Sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów A i B prawdziwe jest stwierdzenie: jeżeli A0 ∪ B 0 = B 0
i A ⊂ B, to A = B.
Rozwiązanie. Żeby wykazać równość zbiorów A = B musimy wykazać, że
1. x ∈ A =⇒ x ∈ B i
2. x ∈ B =⇒ x ∈ A.
(1). Wynika z naszego założenia, że A ⊂ B.
(2). Niech x ∈ B. Przypuśćmy, że x ∈
/ A. Wówczas x ∈ A0 . Ponieważ zgodnie z założeniem A0 ∪ B 0 = B 0
0
więc x ∈ B . Czyli x ∈
/ B, a to jest sprzeczne z założeniem, że x ∈ B. Tak więc przypuszczenie, że x ∈
/ A
doprowadziło nas do sprzeczności, czyli x ∈ A. Zadanie 11. Wyznaczyć wszystkie zbiory A, B i C takie, że (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ B.
Rozwiązanie. Tak jak w zadaniu 6 rysujemy oba zbiory używając diagramów Venna:
A
B
A
B
C
C
Zbiór (A ∪ B) \ C
Zbiór (A \ C) ∪ B
Z diagramów widać, że te dwa zbiory będą równe wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór B ∩ C będzie zbiorem
pustym. Tak więc równość (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ B zachodzi dla dowolnych zbiorów A, B, C takich, że
zbiory B i C są rozłączne. 43
2.3
2
ZBIORY
Zadanie 12. Rozwiązać układ równań
A ∩ X = B,
A ∪ X = C,
gdzie A, B i C są zbiorami spełniającymi warunek B ⊂ A ⊂ C.
Rozwiązanie. Z drugiego równania naszego układu mamy, że A∪X = C czyli A∪X = A∪(C \A). Odejmując
zbiór A od obu stron ostatniej równości otrzymujemy: (A ∪ X) \ A = (A ∪ (C \ A)) \ A, czyli X \ A = C \ A.
Tak więc X = (X ∩ A) ∪ (X \ A) = B ∪ (C \ A). Zadanie domowe
Zadanie 1. Sprawdzić, że dla dowolnych zbiorów A i B zachodzi równość
1. (A ∩ B) ∪ B = B
2. (A ∪ B) ∩ B = B
3. (A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0
4. (A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0
5. (A ∩ B) ∪ (A0 ∩ B) = B
Zadanie 2. Wykazać, że działanie dodawania (mnożenia) zbiorów ma własność przemienności i łączności.
Zadanie 3. Wykazać, że działania dodawania i mnożenia zbiorów mają własność rozdzielności dodawania
względem mnożenia.
Zadanie 4. Sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów A i B prawdziwa jest równość
1. (A \ B) ∪ B = A ∪ B
2. (A \ B) ∪ A = B
3. A \ B = A \ (A ∩ B)
4. (A ∩ B) ∪ (A \ B) = A
5. (A ∪ B) \ B = A
6. (A ∪ B) \ A = B
Zadanie 5. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B i C prawdziwa jest równość
1. (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B
2. (A ∪ C) \ B = (A \ B) ∪ (C \ B)
3. (B ∩ C) ∪ (C \ A) = C \ (A \ B)
Zadanie 6. Sformułować i uzasadnić wzór algebry zbiorów odpowiadający tautologii rachunku zdań:
1. ((p ∧ q) ∨ r) ⇐⇒ ((p ∨ r) ∧ (q ∨ r));
2. (¬(¬p)) ⇐⇒ p;
3. p ∨ (¬p).
Zadanie 7. Zdefiniować operację „∩” przy pomocy operacji „∪” i „0 ”.
Zadanie 8. Zdefiniować operację „\” przy pomocy operacji „∩” i „0 ”.
Zadanie 9. Zdefiniować operację „\” przy pomocy operacji „∪” i „0 ”.
44
2.3
2
ZBIORY
Zadanie 10. Niech A, B bedą dowolnymi zbiorami. Zbadać, czy prawdziwe jest stwierdzenie: (B ⊂ A) ⇐⇒
((A0 ∩ B 0 ) = A0 ).
Zadanie 11. Niech A, B i C będą dowolnymi zbiorami. Zbadać, czy prawdziwe jest twierdzenie: A 6= C =⇒
B \ A 6= B \ C.
Zadanie 12. Wykazać własności
1. A ⊂ B =⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C;
2. A ⊂ B =⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C;
3. A ⊂ B =⇒ A \ C ⊂ B \ C;
4. A ⊂ B =⇒ B 0 ⊂ A0 ;
5. A ∪ B = A ∩ B =⇒ A = B.
A \ X = B,
A ∪ X = C,
gdzie A, B i C są zbiorami spełniającymi warunek B ⊂ A ⊂ C.
A \ X = B,
X \ A = C,
gdzie A, B i C są zbiorami spełniającymi warunki B ⊂ A i A ∩ C = ∅.
Odp. 4.
1. Równość prawdziwa dla dowolnych zbiorów.
2. Równość nie jest prawdziwa dla dowolnych zbiorów (np. A = {0}, B = {1}).
Odp. 6.
1. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (A ∪ B).
2. (A0 )0 = A.
3. A ∪ A0 = X.
Odp.
Odp.
Odp.
Odp.
Odp.
Odp.
Odp.
7. A ∩ B = (A0 ∪ B 0 )0 .
8. A \ B = A ∩ B 0 .
9. A \ B = (A0 ∪ B)0 .
10. Jest prawdziwe.
11. Nie jest prawdziwe (np. A = {0}, B = {0}, C = {0, 1}).
13. X = B 0 ∩ C = (A \ B) ∪ (C \ A).
14. X = (A \ B) ∪ C.
45
2.4
2.4
Zbiór potęgowy
2
ZBIORY
Zbiór potęgowy
Zadanie 1. Podać wszystkie podzbiory zbioru A dla
1. A = {0, 1, 2};
2. A = {a};
3. A = ∅;
4. A = {∅}.
Rozwiązanie. Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A nazywamy zbiorem potęgowym A i będziemy oznaczać
symbolami P (A) lub 2A . Ten drugi symbol ma swoje uzasadnienie, ponieważ w przypadku n-elementowych
zbiorów skończonych, liczba elementów zbioru potęgowego wynosi 2n .
1. P (A) = {∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} (zbiór potęgowy ma 23 elementów).
2. P (A) = {∅, {a}} (zbiór potęgowy ma 21 elementów).
3. P (A) = {∅} (zbiór potęgowy ma 20 elementów). Zauważmy, że zbiór pusty znajdzie się w zbiorze
potęgowym dowolnego zbioru (zbiór pusty jest zawarty w każdym zbiorze).
4. P (A) = {∅, {∅}} (zbiór potęgowy ma 21 elementów).
Zadanie 2. Ile elementów ma zbiór P (P (X)), jeżeli X jest zbiorem n-elementowym?
Rozwiązanie. Wiadomo, że dla dowolnego zbioru A jeśli A ma n elementów, to zbiór potęgowy P (A) ma 2n
elementów.
n
Niech A = P (X). Wówczas zbiór A ma 2n elementów, czyli zbiór P (P (X)) = P (A) ma 22 elementów.
Zadanie 3. Sprawdzić, że dla dowolnych zbiorów A, B, jeżeli A ⊂ B, to P (A) ⊂ P (B).
Rozwiązanie. Musimy pokazać, że C ∈ P (A) =⇒ C ∈ P (B).
Niech C ∈ P (A). Wówczas C ⊂ A. Ponieważ z naszego założenia A ⊂ B, więc C ⊂ B. Tak więc
C ∈ P (B). Zadanie domowe
Zadanie 1. Podać wszystkie podzbiory zbioru A, jeżeli
1. A = {a, {a, b}};
2. A = {{a}};
3. A = {{{a}}};
4. A = {∅, {∅}};
5. A = {x ∈ R : x2 = 2};
6. A = {n ∈ N : 2n − 4 < n − 1}.
7. A = {w ∈ Q : 4w2 = 1}.
Zadanie 2. Ile elementów ma zbiór P (P (P (X))), jeżeli X jest zbiorem n-elementowym?
Zadanie 3. Sprawdzić, że dla dowolnych zbiorów A, B, jeżeli P (A) = P (B), to A = B.
Zadanie 4. Czy dla dowolnych zbiorów A, B zachodzi P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B)?
46
2.4
Zbiór potęgowy
2
Odp. 1.
1. P (A) = {∅, {a} {{a, b}}, {a, {a, b}}}.
2. P (A) = {∅, A} = {∅, {{a}}}.
3. P (A) = {∅, A} = {∅, {{{a}}}}.
4. P (A) = {∅, {∅} {{∅}}, {∅, {∅}}}.
√
√
√ √
5. P (A) = {∅, {− 2}, { 2}, {− 2, 2}}.
6. P (A) = {∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}.
7. P (A) = {∅, {− 12 }, { 12 }, {− 12 , 12 }}.
2n
Odp. 2. 22 .
Odp. 4. Tak.
47
ZBIORY
2.4
Zbiór potęgowy
2
ZBIORY
Sprawdzian
Grupa 1
Zadanie 1. Czy zdanie ¬(p ∧ q) ⇐⇒ ¬p ∨ ¬q jest tautologią?
Zadanie 2. Wyznacz i naszkicuj zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B i B \ A, gdy A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 4},
B = {(x, y) ∈ R2 : x + y < 2}.
Zadanie 3. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru ∅, N, 21 .
Grupa 2
Zadanie 1. Utwórz zaprzeczenie zdania (2π = 6, 28) ⇒ (π 2 > 9, 9).
Zadanie 2. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzi równość A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).
Zadanie 3. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru {∅, {∅} , {∅, {∅}}}.
Grupa 3
Zadanie 1. Utwórz negację zdania ∀ ∃ x2 + y 2 > 4.
x y
Zadanie 2. Wyznacz i naszkicuj zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B i B \ A, gdy A = {(x, y) ∈ R2 : y = |x|},
B = {(x, y) ∈ R2 : x = |y|}.
Zadanie 3. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru {∅, {∅} , {∅, {∅}}}.
Grupa 4
Zadanie 1. Używając symboliki rachunku zdań i arytmetyki zapisz wyrażenie „nie istnieje największa liczba
naturalna”.
Zadanie 2. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzi równość A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).
Zadanie 3. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru {{∅} , {{∅}}}.
Grupa 5
Zadanie 1. Czy zdanie (p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ (q ∨ r)) jest tautologią?
Zadanie 2. Wyznacz i naszkicuj zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B i B \ A, gdy A = {(x, y) ∈ R2 : y − x ¬ 0},
B = {(x, y) ∈ R2 : x + y < 3}.
Zadanie 3. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru {{∅} , {{∅}}}.
Grupa 6
Zadanie 1. Utwórz negację zdania ∀ ∃ ((x + y = 0) ∨ (x > y)) .
y x
Zadanie 2. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzi równość (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C).
Zadanie 3. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru {N, {N}}.
Grupa 7
Zadanie 1. Sprawdź, czy wyrażenie (p ⇐⇒ q) =⇒ (¬p ⇐⇒ ¬q) jest prawem rachunku zdań.
Zadanie 2. Za pomocą negacji i alternatywy zdefiniować koniunkcję.
Zadanie 3. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B i C prawdziwa jest równość (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B.
48
2.4
Zbiór potęgowy
2
ZBIORY
Grupa 8
Zadanie 1. Sprawdź, czy wyrażenie (q ⇐⇒ p) =⇒ (¬q ⇐⇒ ¬p) jest prawem rachunku zdań.
Zadanie 2. Za pomocą negacji i koniunkcji zdefiniować alternatywę.
Zadanie 3. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów X, Y i Z prawdziwa jest równość (X \Y )∩Z = (X ∩Z)\Y .
49
3
3
INDUKCJA MATEMATYCZNA
Indukcja matematyczna
Zadanie 1. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n 1 prawdziwy jest wzór
1 + 2 + ··· + n =
n(n + 1)
.
2
Rozwiązanie. Niech φ będzie funkcją zdaniową taką że:
n(n + 1)
.
2
Tak więc nasze zadanie sprowadza się do wykazania, że funkcja zdaniowa φ(n) jest prawdziwa dla dowolnej
liczby naturalnej n 1. Wykażemy to korzystając z zasady indukcji matematycznej.
Na początek musimy sprawdzić, że liczba n = 1 spełnia funkcję zdaniową φ. Ale
φ(n) ⇐⇒ 1 + 2 + · · · + n =
1(1 + 1)
2
czyli widzimy, że faktycznie zdanie φ(1) jest prawdziwe.
Teraz musimy wykazać, że jeśli zdanie φ(n) jest prawdziwe, to również zdanie φ(n + 1) jest prawdziwe.
Załóżmy więc, że zdanie φ(n) jest prawdziwe.
Wówczas
n(n + 1)
n(n + 1) + 2(n + 1)
(n + 1)(n + 2)
+(n+1) =
=
,
1+2+· · ·+n+(n+1) = 1+2+· · ·+n +(n+1) =
2
2
2
φ(1) ⇐⇒ 1 =
(w drugiej równości skorzystaliśmy z naszego założenia, że zdanie φ(n) jest prawdziwe). Równość ta pokazuje,
że zdanie φ(n + 1) jest prawdziwe.
Tak więc na mocy zasady indukcji matematycznej funkcja zdaniowa φ jest prawdziwa dla każdej liczby
naturalnej n 1. Zadanie 2. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n 1 prawdziwy jest wzór
n
X
i=1
1
n
=
.
i(i + 1)
n+1
Rozwiązanie. Niech φ będzie funkcją zdaniową taką że:
φ(n) ⇐⇒
n
X
i=1
1
n
=
.
i(i + 1)
n+1
Zadanie sprowadza się do wykazania, że funkcja zdaniowa φ(n) jest prawdziwa dla dowolnej liczby naturalnej n 1. Wykażemy to korzystając z zasady indukcji matematycznej.
Na początek musimy sprawdzić, że liczba n = 1 spełnia funkcję zdaniową φ. Ale
φ(1) ⇐⇒
1
X
i=1
1
1
1
=
=
,
i(i + 1)
1·2
1+1
czyli widzimy, że faktycznie zdanie φ(1) jest prawdziwe.
Wówczas
!
n+1
n
X
X
1
1
1
n
1
=
+
=
+
i(i
+
1)
i(i
+
1)
(n
+
1)(n
+
2)
n
+
1
(n
+
1)(n
+ 2)
i=1
i=1
=
n(n + 2) + 1
n2 + 2n + 1
(n + 1)2
n+1
=
=
=
(n + 1)(n + 2)
(n + 1)(n + 2)
(n + 1)(n + 2)
n+2
50
3
(w drugiej równości skorzystaliśmy z naszego założenia, że zdanie φ(n) jest prawdziwe). Równość ta pokazuje,
że zdanie φ(n + 1) jest prawdziwe.
Tak więc na mocy zasady indukcji matematycznej funkcja zdaniowa φ jest prawdziwa dla każdej liczby
naturalnej n 1. Zadanie 3. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n 1 prawdziwy jest wzór
1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n · (n + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
.
3
Rozwiązanie. Niech
A=
n : 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n · (n + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
3
.
Widać, że 1 ∈ A (bo 1 · 2 = 1·2·3
3 ).
Teraz musimy pokazać, że jeżeli liczba n należy do zbioru A, to również liczba n + 1 należy do zbioru A.
Załóżmy, że n ∈ A.
Wówczas
1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n · (n + 1) + (n + 1) · (n + 2) = 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n · (n + 1) + (n + 1) · (n + 2)
n(n + 1)(n + 2) + 3(n + 1)(n + 2)
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
n(n + 1)(n + 2)
+ (n + 1)(n + 2) =
=
,
3
3
3
(w drugiej równości skorzystaliśmy z naszego założenia, że n ∈ A). Równość ta pokazuje, że n + 1 ∈ A.
Tak więc na mocy zasady indukcji matematycznej każda liczba naturalna należy do zbioru A, czyli
równość
=
1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n · (n + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
3
jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej. Zadanie 4. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n 1 liczba n2 + n jest parzysta.
Rozwiązanie. Niech
A = n : n2 + n jest liczbą parzystą .
Widać, że 1 ∈ A (bo 12 + 1 = 2).
Teraz musimy pokazać, że jeżeli liczba n należy do zbioru A, to również liczba n + 1 należy do zbioru A.
Załóżmy, że n ∈ A. Wówczas liczba n2 + n jest parzysta, czyli istnieje k takie, że n2 + n = 2k.
Ponadto,
(n + 1)2 + (n + 1) = (n2 + 2n + 1) + (n + 1) = (n2 + n) + 2n + 2 = 2k + 2(n + 1) = 2(k + n + 1),
(w trzeciej równości skorzystaliśmy z naszego założenia, że n ∈ A), czyli n + 1 ∈ A.
Tak więc na mocy zasady indukcji matematycznej każda liczba naturalna należy do zbioru A, czyli liczba
n2 + n jest parzysta dla każdej liczby naturalnej. Zadanie 5. Udowodnić, że w każdym niepustym zbiorze liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza.
Rozwiązanie. Niech A będzie niepustym podzbiorem liczb naturalnych. Przypuśćmy, że w zbiorze A nie ma
liczby najmniejszej.
Niech φ będzie funkcją zdaniową taką że:
φ(n) ⇐⇒ żadna z liczb 0, 1, 2, . . . , n nie należy do zbioru A.
Korzystając z zasady indukcji matematycznej pokażemy, że zdanie φ(n) jest prawdziwe dla każdej liczby
naturalnej n.
51
3
Na początek musimy sprawdzić, że liczba n = 0 spełnia funkcję zdaniową φ. Gdyby 0 ∈ A, to 0 byłoby
najmniejszą liczbą w zbiorze A, a przypuściliśmy, że takiej liczby nie ma. Czyli zdanie φ(0) jest prawdziwe.
Gdyby zdanie φ(n+1) było fałszywe, to jedna z liczb 0, 1, . . . , n, n+1 należałaby do zbioru A. Z założenia
indukcyjnego wiemy, że zdanie φ(n) jest prawdziwe, czyli żadna z liczb 0, 1, 2, . . . , n nie należy do A. To
znaczy, że liczba n + 1 należy do A i byłaby on wówczas najmniejszą liczbą w tym zbiorze, a to jest sprzeczne
z naszym przypuszczeniem, że w zbiorze A nie ma liczby najmniejszej.
Tak więc na mocy zasady indukcji matematycznej zdanie φ(n) jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej
n.
To oznacza, że zbiór A jest pusty (bo dla dowolnej liczby naturalnej n zdanie φ(n) jest prawdziwe, czyli
liczba n nie należy do A), a to jest sprzeczne z naszym założeniem, że zbiór A jest niepusty. Do sprzeczności
doprowadziło nas przypuszczenie, że w zbiorze A nie ma liczby najmniejszej. Czyli w zbiorze A istnieje liczba
najmniejsza. Zadanie domowe
1 2 + 2 2 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
13 + 23 + · · · + n3 =
n2 (n + 1)2
.
4
n
X
i=1
1
n
=
.
(2i − 1)(2i + 1)
2n + 1
Zadanie 4. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n 1 liczba n3 − n jest podzielna przez 3.
Zadanie 5. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n 1 liczba 2n+2 · 3n + 5n − 4 jest podzielna
przez 25.
Zadanie 6. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n 4 prawdziwa jest nierówność n! > 2n .
Zadanie 7. Udowodnić, że w dowolnym niepustym ograniczonym z góry zbiorze liczb naturalnych istnieje
liczba największa.
52
4
4
4.1
FUNKCJE
Funkcje
Funkcje różnowartościowe i „na”
Funkcje różnowartościowe
Funkcja f : X → Y jest różnowartościowa, gdy
∀
(x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ))
∀
(f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 )
x1 ,x2 ∈X
lub równoważnie, gdy
x1 ,x2 ∈X
Zadanie 1. Czy funkcja f : R → R dana wzorem f (x) = 2x jest różnowartościowa?
Rozwiązanie. Niech x, y ∈ R takie, że f (x) = f (y). Wówczas 2x = 2y , czyli 2x−y = 1, czyli x − y = 0. Tak
więc x = y. A to pokazuje, że funkcja f jest różnowartościowa. Zadanie 2. Czy funkcja f : R → R dana wzorem f (x) = x3 jest różnowartościowa?
Rozwiązanie. Niech x, y ∈ R takie, że f (x) = f (y). Wówczas x3 = y 3 , czyli 0 = x3 −y 3 = (x−y)·(x2 +xy+y 2 ).
Czyli x − y = lub x2 + xy + y 2 = 0. W pierwszym przypadku mamy x = y. W drugim, przypadku mamy
x = y = 0 (dlaczego?). Tak więc w obu przypadkach mamy x = y. A to pokazuje, że funkcja f jest
różnowartościowa. Zadanie 3. Czy funkcja f : R → R dana wzorem f (x) = x2 jest różnowartościowa?
Rozwiązanie. Niech x = 1 a y = −1. Wówczas f (x) = 1 oraz f (y) = 1. Czyli funkcja f nie jest różnowartościowa. Zadanie 4. Czy funkcja f : R → R dana wzorem f (x) = sin x jest różnowartościowa?
Rozwiązanie. Niech x = 0 a y = π. Wówczas f (x) = 0 oraz f (y) = 0. Czyli funkcja f nie jest różnowartościowa. Zadanie 5. Czy funkcja φ : N2 → N dana wzorem φ((n, k)) = n + k + 5 jest różnowartościowa?
Rozwiązanie. Niech (n1 , k1 ) = (1, 2) oraz (n2 , k2 ) = (2, 1). Wówczas f ((n1 , k1 )) = 7 oraz f ((n2 , k2 )) = 7.
Czyli funkcja f nie jest różnowartościowa. Zadanie 6. Czy funkcja F : R2 → R2 dana wzorem F ((x, y)) = (x + y, x − 3y) jest różnowartościowa?
Rozwiązanie. Niech (x1 , y1 ) i (x2 , y2 ) takie, że F ((x1 , y1 )) = F ((x2 , y2 )). Wówczas (x1 + y1 , x1 − 3y1 ) =
(x2 + y2 , x2 − 3y2 ). Czyli
(
x1 − y1 = x2 − y2 ,
x1 − 3y1 = x2 − 3y2 .
Rozwiązując ten układ równań (traktując x1 i y1 jako niewiadome, a x2 i y2 jako liczby) otrzymujemy, że
x1 = x2 i y1 = y2 . Czyli (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ). Tak więc funkcja F jest różnowartościowa. Funkcje „na”
Funkcja f : X → Y jest „na”, gdy
∀
∃ y = f (x).
y∈Y x∈X
Zadanie 7. Czy funkcja f : R → R dana wzorem f (x) = 2x jest „na”?
Rozwiązanie. Niech y = −1. Ponieważ 2x jest liczbą dodatnią dla każdego x ∈ R, więc nie znajdziemy takiego
x ∈ R, żeby f (x) = −1, czyli funkcja f nie jest „na”. Zadanie 8. Czy funkcja f : R → R dana wzorem f (x) = x3 jest „na”?
53
4.1
Funkcje różnowartościowe i „na”
4
Rozwiązanie. Niech y ∈ R. Szukamy takiego x ∈ R, że f (x) = y. Ale jeżeli x3 = y, to x =
√
dowolnego y ∈ R istnieje x = 3 y takie, że f (x) = y. Czyli funkcja f jest „na”. √
3
FUNKCJE
y. Czyli dla
Zadanie 9. Czy funkcja f : R → R dana wzorem f (x) = x2 jest „na”?
Rozwiązanie. Niech y = −1. Ponieważ x2 jest liczbą nieujemną dla każdego x ∈ R, więc nie znajdziemy
takiego x żeby f (x) = −1. Czyli funkcja f nie jest „na”. Zadanie 10. Czy funkcja f : R → R dana wzorem f (x) = sin x jest „na”?
Rozwiązanie. Niech y = 2. Wiadomo, że dla dowolnego x ∈ R mamy −1 ¬ sin x ¬ 1. Czyli nie znajdziemy
takiego x ∈ R, żeby f (x) = 2. Czyli funkcja f nie jest „na”. Zadanie 11. Czy funkcja φ : N2 → N dana wzorem φ((n, k)) = n + k + 5 jest „na”?
Rozwiązanie. Niech y = 1. Ponieważ dla dowolnych liczb naturalnych n, k ∈ N mamy φ((n, k)) = n+k+5 5,
więc nie znajdziemy takiego elementu (n, k) ∈ N2 , żeby φ((n, k)) = 1. Czyli funkcja φ nie jest „na”. Zadanie 12. Czy funkcja F : R2 → R2 dana wzorem F ((x, y)) = (x + y, x − 3y) jest „na”?
Rozwiązanie. Niech (z, w) ∈ R2 . Szukamy takiej pary (x, y) ∈ R2 , żeby F ((x, y)) = (z, w). Ta równość
oznacza, że (x + y, x − 3y) = (z, w). A to jest równoważne układowi równań
(
x − y = z,
x − 3y = w.
Rozwiązując ten układ równań (traktując x i y jako niewiadome,
a z i w jako liczby) otrzymujemy, że
−z−w
z−w −z−w
i
y
=
.
Tak
więc
dla
pary
(x,
y)
=
,
mamy
F (x, y) = (z, w). Czyli funkcja F jest
x = z−w
2
2
2
2
„na’. Zadanie domowe
Zadanie 1. Dla danego przekształcenia f : R → R zbadać, czy f jest przekształceniem różnowartościowym.
1. f (x) =
1
3x ;
2. f (x) = x4 ;
3. f (x) = [x];
2x+1
x−1
4. f (x) =
0
dla x 6= 1;
dla x = 1;
5. f (x) = 2x + x;
6. f (x) = cos x.
Zadanie 2. Czy funkcja φ : N2 → N dana wzorem φ((n, k)) = n · k jest różnowartościowa?
Zadanie 3. Czy funkcja F : (0, +∞) → R2 dana wzorem F (x) = (x, x2 ) jest różnowartościowa?
Zadanie 4. Czy funkcja G : R2 → R3 dana wzorem G((x, y)) = (x, x + y, x − y) jest różnowartościowa?
Zadanie 5. Dla danego przekształcenia f : R → R zbadać, czy f jest przekształceniem „na”.
1. f (x) =
1
3x ;
2. f (x) = x4 ;
3. f (x) = [x];
2x+1
x−1
4. f (x) =
0
dla x 6= 1;
dla x = 1;
54
4.2
Obrazy i przeciwobrazy
4
FUNKCJE
5. f (x) = 2x + x;
6. f (x) = cos x.
Zadanie 6. Czy funkcja φ : N2 → N dana wzorem φ((n, k)) = n · k jest „na”?
Zadanie 7. Czy funkcja F : (0, +∞) → R2 dana wzorem F (x) = (x, x2 ) jest „na”?
Zadanie 8. Czy funkcja G : R2 → R3 dana wzorem G((x, y)) = (x, x + y, x − y) jest „na”?
Odp. 1.
1. Jest.
2. Nie jest.
3. Nie jest.
4. Nie jest.
5. Jest. (Wskazówka. Funkcja rosnąca jest różnowartościowa.)
6. Nie jest.
Odp.
Odp.
Odp.
Odp.
2. Nie jest.
3. Jest.
4. Jest.
5.
1. Nie jest.
2. Nie jest.
3. Nie jest.
4. Nie jest.
5. Jest (Wskazówka. Funkcje ciągłe mają własność Darboux.)
6. Nie jest.
Odp. 6. Jest.
Odp. 7. Nie jest.
Odp. 8. Nie jest.
4.2
Obrazy
Dla dowolnej funkcji f : X → Y oraz zbioru A ⊂ X definiujemy zbiór
f [A] = y ∈ Y : ∃ y = f (a)
a∈A
i nazywamy go obrazem zbioru A przy funkcji f .
Zadanie 1. Niech f : R → R będzie dane wzorem f (x) = x2 − 3x + 2. Wyznaczyć f [A] dla A = [0, 1].
Rozwiązanie. Na początek rysujemy wykres funkcji f w układzie współrzędnych.
55
4.2
4
FUNKCJE
f (x)=x2 −3x+2
y
2
f [A]
x
A 1
2
Z rysunku widać, że f [[0, 1]] = [0, 2]. Musimy to jeszcze uzasadnić formalnie. Żeby wykazać równość
dwóch zbiorów należy wykazać dwa zawierania:
1. f [[0, 1]] ⊂ [0, 2],
2. [0, 2] ⊂ f [[0, 1]].
(1). Niech y ∈ f [[0, 2]] Wówczas istnieje x ∈ [0, 1] takie, że y = f (x). Ponieważ funkcja f jest malejąca
(jak to uzasadnić?) na odcinku [0, 1] więc 2 = f (0) f (x) f (1) = 0. Czyli y = f (x) ∈ [0, 2].
(2). Niech y ∈ [0, 2]. Ponieważ f (0) = 2 i f (1) = 0 a funkcja f jest ciągła (więc ma własność Darboux1 ),
czyli istnieje x ∈ [0, 1] takie, że f (x) = y. Czyli y ∈ f [[0, 1]]. Zadanie 2. Niech f : R → R będzie dana wzorem f (x) = sin x + 1. Znaleźć f [A] dla A = {0, π}.
Rozwiązanie. Twierdzimy, że f [{0, π}] = {0}. Żeby wykazać równość dwóch zbiorów musimy pokazać dwa
zawierania:
1. f [{0, π}] ⊂ {0},
2. {0} ⊂ f [{0, π}].
(1). Niech y ∈ f [{0, π}]. Wówczas istnieje x ∈ {0, π} taki, że y = f (x). Ale w naszym przypadku mamy,
że albo x = 0 i wówczas f (x) = sin 0 = 0 ∈ {0}, albo x = π i wówczas f (x) = sin π = 0 ∈ {0}.
(2). Niech y ∈ {0}. Wówczas y = 0. Niech x = 0. Wówczas x ∈ {0, π} i f (x) = 0. Zadanie 3. Niech φ : N2 → N będzie określona następującym wzorem φ((n, k)) = n + k + 1. Znaleźć
φ[N × {1}].
Rozwiązanie. Ponieważ elementy zbioru N×{1} są postaci (n, 1) (gdzie n ∈ N) oraz φ((n, 1)) = n+1+1 = n+2
więc twierdzimy, że φ[N × {1}] = {2, 3, 4, . . . }. Żeby wykazać równość dwóch zbiorów musimy pokazać dwa
zawierania:
1. φ[N × {1}] ⊂ {2, 3, 4, . . . },
2. {2, 3, 4, . . . } ⊂ φ[N × {1}].
1 Własność Darboux jest to tzw. własność przyjmowania wartości pośrednich. Funkcja f : [a, b] → R ma własność Darboux,
gdy dla każdego y ∈ [f (a), f (b)] istnieje x ∈ [a, b] takie, że y = f (x). Wiadomo, że każda funkcja ciągła f : [a, b] → R ma
własność Darboux.
56
4.2
4
FUNKCJE
(1). Niech y ∈ φ[N×{1}]. Wówczas istnieje n ∈ N takie, że φ(n, 1) = y. Ale φ(n, 1) = n+1+1 = n+2 2
oraz n + 2 jest liczbą naturalną, czyli y ∈ {2, 3, 4, . . . }.
(2). Niech y ∈ {2, 3, 4, . . . }. Niech n = y − 2. Wówczas y ∈ N, czyli (n, 1) ∈ N × {1} oraz φ(n, 1) =
n + 1 + 1 = (y − 2) + 1 + 1 = y. Zadanie 4. Udowodnić, że jeśli A ⊂ B, to f [A] ⊂ f [B].
Rozwiązanie. Niech y ∈ f [A]. Wówczas istnieje a ∈ A taki, że y = f (a). Ponieważ A ⊂ B, więc a ∈ B. Czyli
y = f (a) ∈ f [B]. Zadanie 5. Niech a 6= b, X = {a, b, {a, b}}, Y = {a, b}, a f : X → Y będzie określona równaniem f (a) =
f (b) = a, f ({a, b}) = b. Znaleźć obraz zbioru {a, b} względem f .
Rozwiązanie. Z defninicji obrazu mamy, że
f [{a, b}] =
y∈Y :
∃
y = f (x) .
x∈{a,b}
Jeżeli x ∈ {a, b}, to albo x = a i wówczas f (x) = f (a) = a, albo x = b i wówczas f (x) = f (b) = a.
Twierdzimy, że f [{a, b}] = {a}. Żeby wykazać równość dwóch zbiorów musimy pokazać dwa zawierania:
1. f [{a, b}] ⊂ {a},
2. {a} ⊂ f [{a, b}].
(1). Niech y ∈ f [{a, b}]. Wówczas istnieje x ∈ {a, b} takie, że y = f (x). W naszym przypadku albo x = a
i wówczas f (x) = f (a) = a ∈ {a}, albo x = b i wówczas f (x) = f (b) = a ∈ {a}.
(2). Niech y ∈ {a}. Wówczas y = a. Niech x = a. Wówczas x ∈ {a, b} i f (x) = a. Przeciwobrazy
Dla dowolnej funkcji f : X → Y oraz zbioru A ⊂ Y definiujemy zbiór
f −1 [A] = {x ∈ X : f (x) ∈ A}
i nazywamy go przeciwobrazem zbioru A przy funkcji f .
Zadanie 6. Niech f : R → R będzie dane wzorem f (x) = x2 − 3x + 2. Wyznaczyć f −1 [A] dla A = (−∞, 6).
Rozwiązanie. Wyznaczamy dla jakich x-ów funkcja f przyjmuje wartość 6: x = −1 i x = 4. Wyznaczamy
wierzchołek paraboli: ( 23 , − 14 ). Następnie rysujemy wykres funkcji f w układzie współrzędnych.
57
4.2
4
FUNKCJE
f (x)=x2 −3x+2
y
6
2
x
−1
1
2
f
−1
[A]
4
A
Z rysunku widać, że f −1 [(−∞, 6)] = (−1, 4). Musimy to jeszcze uzasadnić formalnie. Żeby wykazać
równość dwóch zbiorów należy wykazać dwa zawierania:
1. f −1 [(−∞, 6)] ⊂ (−1, 4),
2. (−1, 4) ⊂ f −1 [(−∞, 6)].
(1). Niech x ∈ f −1 [(−∞, 6)]. Wówczas f (x) ∈ (−∞, 6), czyli x2 − 3x + 2 < 6. Rozwiązując tą nierówność
otrzymujemy, że −1 < x < 4, czyli x ∈ (−1, 4).
(2). Niech x ∈ (−1, 4). Mamy dwa przypadki:
1. −1 < x < 32 ,
2.
3
2
< x < 4.
W pierwszym przypadku
funkcja f jest malejąca (na odcinku −1, 32 ), czyli 6 = f (−1) > f (x) > f ( 23 ) = − 14 .
Tak więc f (x) ∈ − 14 , 6 .
3
W drugim przypadku,
funkcja
f
jest
rosnąca
(na
odcinku
,
4
), czyli − 14 = f ( 32 ) < f (x) < f (4) = 6.
2
Tak więc f (x) ∈ − 14 , 6 .
Widzimy więc, że (nieważne który przypadek rozważymy) mamy f (x) ∈ (− 14 , 6) ⊂ (−∞, 6), czyli x ∈
−1
f [(−∞, 6)] Zadanie 7. Niech f : R → R będzie dana wzorem f (x) = sin x + 1. Znaleźć f −1 [A], gdy A = {0}.
Rozwiązanie. Funkcja sin xprzyjmuje wartość
−1 dla wszystkich liczb postaci 23 π + 2kπ, gdzie k ∈ Z.
3
Twierdzimy, że f −1 [{0}] = 2 π + 2kπ : k ∈ Z . Aby to wykazać, musimy udowodnić dwa zawierania:
1. f −1 [{0}] ⊂ 32 π + 2kπ : k ∈ Z ,
2. 32 π + 2kπ : k ∈ Z ⊂ f −1 [{0}].
(1). Niech x ∈ f −1 [{0}]. Wówczas f (x) = 0, czyli sin x+1 = 0. Rozwiązując
to równanie
trygonometryczne
3
3
otrzymujem, że istnieje
k
∈
Z
takie,
że
x
=
π
+
2kπ.
Czyli
x
∈
π
+
2kπ
:
k
∈
Z
.
2
2
(2). Niech
x ∈ 32 π + 2kπ : k ∈ Z . Wówczas istnieje k ∈ Z takie, że x = 23 π + 2kπ. Czyli f (x) =
f 32 π + 2kπ = sin 32 π + 2kπ = sin 32 π + 1 = −1 + 1 = 0 ∈ {0}. Czyli x ∈ f −1 [{0}]. 58
4.2
4
FUNKCJE
Zadanie 8. Niech φ : N2 → N będzie określona następującym wzorem φ((n, k)) = n + k + 1. Znaleźć
φ−1 [({0}].
Rozwiązanie. Twierdzimy, że φ−1 [({0}] = ∅. Musimy to jeszcze wykazać formalnie.
Przypuśćmy przeciwnie, że istneje x ∈ φ−1 [({0}]. Wówczas isnieją n, k ∈ N takie, że φ((n, k)) = 0, czyli
n + k + 1 = 0. Ale n, k 0, czyli n + k + 1 1, czyli mamy 0 1, a to jest nieprawda. Tak więc nasze
przypuszczenie, że zbiór φ−1 [({0}] jest niepusty doprowadziła nas do sprzeczności, czyli φ−1 [({0}] = ∅. Zadanie 9. Udowodnić, że f −1 [A ∪ B] = f −1 [A] ∪ f −1 [B];
Rozwiązanie. Żeby wykazać równość dwóch zbiorów musimy udowodnić dwa zawierania:
1. f −1 [A ∪ B] ⊂ f −1 [A] ∪ f −1 [B],
2. f −1 [A] ∪ f −1 [B] ⊂ f −1 [A ∪ B].
(1). Niech x ∈ f −1 [A∪B]. Wówczas f (x) ∈ A∪B. Czyli f (x) ∈ A lub f (x) ∈ B. W pierwszym przypadku
mamy, że x ∈ f −1 [A], a w drugim, że x ∈ f −1 [B]. Czyli ostatecznie x ∈ f −1 [A] ∪ f −1 [B].
(2). Niech x ∈ f −1 [A]∪f −1 [B]. Wówczas x ∈ f −1 [A] lub x ∈ f −1 [B]. W pierwszym przypadku, f (x) ∈ A,
a w drugim f (x) ∈ B. Czyli f (x) ∈ A ∪ B. Tak więc x ∈ f −1 [A ∪ B]. Zadanie domowe
Zadanie 1. Niech f : R → R będzie dane wzorem f (x) = x2 − 3x + 2. Wyznaczyć f [A], gdy:
1. A = [−2, −1];
2. A = {1, 2}.
Zadanie 2. Niech f : R → R będzie dana wzorem f (x) = sin x + 1. Znaleźć f [A] dla A = [0, 32 π].
Zadanie 3. Niech φ : N2 → N będzie określona następującym wzorem φ((n, k)) = n + k − 1. Znaleźć
φ[{5} × N].
Zadanie 4. Udowodnić wzory
1. f [A ∪ B] = f [A] ∪ f [B];
2. f [A ∩ B] ⊂ f [A] ∩ f [B] (uzasadnić, że zawierania nie można odwrócić);
Zadanie 5. Niech f : R → R będzie dane wzorem f (x) = x2 − 3x + 2. Wyznaczyć f −1 [A] dla A = {−3, −4}.
Zadanie 6. Niech f : R → R będzie dana wzorem f (x) = sin x + 1. Znaleźć f −1 [A], gdy A = (−∞, 1].
Zadanie 7. Niech φ : N2 → N będzie określona następującym wzorem φ((n, k)) = n + k + 1. Znaleźć
φ−1 [{0, 2, 4, 6, 8, . . . }].
Zadanie 8. Udowodnić, że jeśli A ⊂ B, to f −1 [A] ⊂ f −1 [B].
Zadanie 9. Udowodnić wzory:
1. f −1 [A ∩ B] = f −1 [A] ∩ f −1 [B];
2. f [f −1 [A]] = A;
3. f −1 [f [A]] ⊃ A.
59
4.2
4
FUNKCJE
Odp. 1.
1. [6, 12].
2. {0}.
Odp. 2. [0, 2].
Odp. 3. {4, 5, 6, 7, . . . }.
Odp. 4.
2. Zawieranie przeciwne nie zachodzi dla funkcji f : R → R, f (x) = x2 i zbiorów A = (0, 1), B = (−1, 0).
Odp. 5. ∅.
Odp. 6. {x ∈ R : (2k + 1)π ¬ x ¬ (2k + 2)π ∧ k ∈ Z}.
Odp. 7. {(n, k) ∈ N2 : (n jest parzyste i k jest nieparzyste) lub (n jest nieparzyste i k jest parzyste)}.
60
4.2
4
FUNKCJE
Sprawdzian
Grupa 1
Zadanie 1. Sprawdzić, czy funkcja f : N2 → N2 dana wzorem f (n, m) = (2n + 2m, 2n − 2m) jest różnowartościowa.
Zadanie 2. Znaleźć f [A] dla funkcji f : R → R danej wzorem f (x) = x2 i zbioru A = [−1, 2].
Zadanie 3. Udowodnić wzór f −1 [A ∪ B] = f −1 [A] ∪ f −1 [B].
13 + 23 + · · · + n3 = (1 + 2 + · · · + n)2 .
Grupa 2
Zadanie 1. Sprawdzić, czy funkcja f : R2 → R2 dana wzorem f (x, y) = (x + y, x − y) jest różnowartościowa.
Zadanie 2. Znaleźć f −1 [A] dla funkcji f : R → R danej wzorem f (x) = x2 i zbioru A = [1, 4].
Zadanie 3. Udowodnić wzór f −1 [A ∩ B] = f −1 [A] ∩ f −1 [B].
n
X
i=1
n
1
=
.
(3i − 2)(3i + 1)
3n + 1
Grupa 3
Zadanie 1. Sprawdzić, czy funkcja f : N2 → N dana wzorem f (n, m) = 3n · 5m jest różnowartościowa.
Zadanie 2. Znaleźć f [A] dla funkcji f : N × N → N danej wzorem f (n, m) = max(n, m) i zbioru A =
{1056 } × N.
Zadanie 3. Udowodnić wzór f [A ∩ B] ⊂ f [A] ∩ f [B].
Grupa 4
Zadanie 1. Sprawdzić, czy funkcja f : N2 → N dana wzorem f (n, m) = 3n · 5m jest „na”.
Zadanie 2. Znaleźć f −1 [A] dla funkcji f : N × N → N danej wzorem f (n, m) = max(n, m) i zbioru
A = {1056 }.
Zadanie 3. Udowodnić wzór f [f −1 [A]] = A.
Grupa 5
Zadanie 1. Sprawdzić, czy funkcja f : N2 → N dana wzorem f (n, m) = 2n · 7m jest różnowartościowa.
Zadanie 2. Znaleźć f [A] dla funkcji f : N × N → N danej wzorem f (n, m) = min(n, m) i zbioru A =
{1056 } × N.
Zadanie 3. Udowodnić wzór f −1 [f [A]] ⊃ A.
Zadanie 4. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n 4 prawdziwa jest nierówność n2 < 3n−1 .
61
4.2
4
FUNKCJE
Grupa 6
Zadanie 1. Sprawdzić, czy funkcja f : N2 → N dana wzorem f (n, m) = 2n · 7m jest „na”.
Zadanie 2. Znaleźć f −1 [A] dla funkcji f : N × N → N danej wzorem f (n, m) = min(n, m) i zbioru
A = {1056 }.
Zadanie 3. Udowodnić wzór f [A ∪ B] = f [A] ∪ f [B].
Zadanie 4. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n 8 prawdziwa jest nierówność n3 < 2n .
62
5
5
DZIAŁANIA NIESKOŃCZONE NA ZBIORACH
Działania nieskończone na zbiorach
5.1
Sumy nieskończone
Jeżeli każdej liczbie naturalnej n ∈ N odpowiada jakiś zbiór An to mówimy, że mamy zdefiniowaną rodzinę
zbiorów (An )n∈N . Zbiór wszystkich elementów, które należą do chociaż jednego ze zbiorów An nazywamy
sumą rodziny (An )n∈N i oznaczamy symbolem
[
An (lub
∞
[
An ).
n=0
n∈N
Tak więc
x∈
[
An ⇐⇒
n∈N
∃
n∈N
x ∈ An .
Zadanie 5. Znaleźć sumę rodziny zbiorów (An )n∈N , gdy An = {x ∈ R : n ¬ x < n + 1}.
Rozwiązanie. Na początek wyznaczamy i rysujemy kilka pierwszych zbiorów z tej rodziny.
1. A0 = {x ∈ R : 0 ¬ x < 1} = [0, 1),
2. A1 = {x ∈ R : 1 ¬ x < 2} = [1, 2),
3. A2 = {x ∈ R : 2 ¬ x < 3} = [2, 3),
4. A3 = {x ∈ R : 3 ¬ x < 4} = [3, 4).
0
1
2
3
4
A0
A1
A2
A3
Twierdzimy, że
∞
[
An = [0, ∞). Musimy wykazać to jeszcze formalnie. Dwa zbiory są równe, gdy zacho-
n=0
dzą następujące dwa zawierania:
1.
∞
[
An ⊂ [0, ∞),
n=0
2. [0, ∞) ⊂
∞
[
An .
n=0
(1). Niech x ∈
∞
[
An . Wówczas istnieje liczba naturalne n ∈ N taka, że x ∈ An . Czyli n ¬ x < n + 1.
n=0
Ponieważ n 0, więc x 0. Tak więc x ∈ [0, ∞).
(2). Niech x ∈ [0, ∞). Wówczas istnieje liczba naturalna n ∈ N taka, że n ¬ x < n + 1 (np. n = [x], gdzie
∞
[
[x] oznacza część całkowitą z liczby n). Czyli x ∈ An . Czyli x ∈
An . n=0
n
1
Zadanie 6. Znaleźć sumę rodziny zbiorów (An )n∈N , gdy An = x : − n+1
<x¬
63
1
n+1
o
.
5.1
Sumy nieskończone
5
Rozwiązanie. Na początek wyznaczamy i rysujemy kilka pierwszych zbiorów z tej rodziny.
1. A0 = (−1, 1],
2. A1 = − 12 , 12 ,
3. A2 = − 13 , 13 ,
4. A3 = − 14 , 14 .
−1
− 12 − 31− 14
1 1
4 3
0
1
2
1
A0
A1
A2
A3
Twierdzimy, że
∞
[
An = (−1, 1]. Musimy wykazać to jeszcze formalnie. Dwa zbiory są równe, gdy
n=0
zachodzą następujące dwa zawierania:
1.
∞
[
An ⊂ (−1, 1],
n=0
2. (−1, 1] ⊂
∞
[
An .
n=0
(1). Niech x ∈
∞
[
1
An . Wówczas istnieje n ∈ N takie, że x ∈ An . Czyli − n+1
<x¬
1
n+1 .
Ale dla dowolnej
n=0
1
liczby naturalnej n mamy −1 ¬ − n+1
i
1
n+1
¬ 1. Tak więc −1 < x ¬ 1, czyli x ∈ (−1, 1].
∞
[
(2). Niech x ∈ (−1, 1]. Wówczas x ∈ A0 . Czyli x ∈
An . n=0
Niech T będzie dowolnym zbiorem. Jeżeli każdemu elementowi t ∈ T odpowiada jakiś zbiór At to mówimy,
że mamy zdefiniowaną rodzinę zbiorów (At )t∈T . Zbiór wszystkich elementów, które należą do chociaż jednego
ze zbiorów At nazywamy sumą rodziny (At )t∈T i oznaczamy symbolem
[
At .
t∈T
Tak więc
x∈
[
At ⇐⇒
t∈T
∃
t∈T
x ∈ At .
Zadanie 7. Niech T = R+ oraz At = {x : −t ¬ x ¬ t}. Znaleźć sumę rodziny (At )t∈T .
Rozwiązanie. Na początek wyznaczamy i rysujemy kilka zbiorów z tej rodziny.
1. A 31 = − 13 , 13 ,
2. A1 = [−1, 1],
√ √
3. A√2 = [− 2, 2],
4. A2 = [−2, 2].
64
5.1
Sumy nieskończone
5
√
− 2 −1
−2
− 31
0
√
1
3
1
2
2
A 13
A1
A√ 2
A2
Twierdzimy, że
[
At = R. Musimy wykazać to jeszcze formalnie. Dwa zbiory są równe, gdy zachodzą
t∈R+
następujące dwa zawierania:
[
At ⊂ R,
1.
t∈R+
2. R ⊂
[
At .
t∈R+
(1). Niech x ∈
[
At . Wówczas istnieje liczba t ∈ R+ taka, że x ∈ At . Ale At ⊂ R, czyli x ∈ R.
t∈R+
(2). Niech x ∈ R. Niech t = |x|. Wówczas x ∈ At , czyli x ∈
[
t∈R+
Zadanie domowe
Zadanie 1. Znaleźć sumę rodziny (An )n∈N , gdy
1. An = {x : −n < x < n};
2. An = {x : n ¬ x};
n
3. An = x : 0 ¬ x <
n
4. An = x :
n
n+1
1
n+1
o
;
n+1
n+2
¬x<
o
;
5. An = {x : n2 < x < (n + 1)2 };
6. An = {x : sin x = n}.
Zadanie 2. Znaleźć sumę rodziny (At )t∈R+ , gdy
1. At = {x : t ¬ x < t + 1};
2. At = {x : t ¬ x};
n
3. At = x : 0 ¬ x <
1
t+1
o
;
n
1
4. At = x : − t+1
<x<
n
5. At = x :
t
t+1
¬x<
1
t+1
t+1
t+2
o
;
o
;
6. At = {x : t2 < x < (t + 1)2 };
7. At = {x : sin x = t}.
65
At . 5.2
Przekroje nieskończone
5
Odp. 1.
1. R.
2. [0, +∞).
3. [0, 1).
4. [0, 1).
5. (0, +∞) \ {n2 : n ∈ N}.
6. {πk : k ∈ Z} ∪ π2 + 2kπ : k ∈ Z .
Odp. 2.
1. (0, +∞).
2. (0, +∞).
3. [0, 1).
4. (−1, 1).
5. (0, 1).
6. (0, ∞).
7. {x : 2πk < x < 2πk + π ∧ k ∈ Z}.
5.2
Niech (At )t∈T będzie pewną rodziną zbiorów. Zbiór wszystkich elementów, które należą do wszystkich zbiorów At nazywamy przekrojem rodziny (At )t∈T i oznaczamy symbolem
\
At .
t∈T
Tak więc
x∈
\
At ⇐⇒
t∈T
∀
t∈T
x ∈ At .
Zadanie 1. Znaleźć przekrój rodziny (An )n∈N , gdy An = {x ∈ R : n ¬ x}.
1. A0 = [0, ∞),
2. A1 = [1, ∞),
3. A2 = [2, ∞),
4. A3 = [3, ∞).
0
1
2
A0
A1
A2
A3
66
3
5.2
∞
\
Twierdzimy, że
5
An = ∅. Weźmy dowolną liczbę x ∈ R. Pokażemy, że x ∈
/
n=0
∞
\
An .
n=0
Niech n ∈ N taka, że x < n (dlaczego takie n istnieje?). Wówczas x ∈
/ An , więc x ∈
/
∞
\
An . n=0
n
Zadanie 2. Znaleźć przekrój rodziny (At )t∈R+ , gdy At = x : 0 ¬ x <
1
t+1
o
.
1. A0 = [0, 1),
2. A 21 = 0, 23 ,
3. A1 = 0, 12 ,
h
1
.
4. A√3 = 0, √3+1
0
√1
3+1
1
2
2
3
1
A0
A 21
A1
A√ 3
\
Twierdzimy, że
At = {0}. Dwa zbiory są równe, gdy zachodzą następujące dwa zawierania:
t∈R+
\
1.
At ⊂ {0},
t∈R+
2. {0} ⊂
\
At .
t∈R+
(1). Niech x ∈
\
At . Ponieważ x ∈ A0 = [0, 1), więc x 0. Przypuśćmy, że x 6= 0. Niech t ∈ R+ takie,
t∈R+
że
1
t+1
< x (dlaczego takie t istnieje?). Wówczas x ∈
/ At , czyli x ∈
/
\
At . Otrzymaliśmy sprzeczność, bo
t∈R+
założyliśmy, że x ∈
\
At . Do sprzeczności doprowadziło nas przypuszczenie, że x 6= 0. Tak więc x = 0,
t∈R+
czyli x ∈ {0}.
(2). Niech x ∈ {0}. Wówczas x = 0. Dla dowolnego t ∈ R+ mamy 0 <
\
t ∈ R+ , czyli x ∈
At . t∈R+
Zadanie 3. Niech An,m = {x : n ¬ x < m} dla n, m ∈ N. Znaleźć
[
1.
An,m ,
n,m∈N
2.
\
An,m ,
n,m∈N
67
1
t+1 .
Więc x ∈ At dla dowolnego
5.2
3.
[ \
5
An,m ,
n∈N m∈N
4.
\ [
An,m .
n∈N m∈N
[
Rozwiązanie. (1). Twierdzimy, że
An,m = [0, ∞). Dwa zbiory są równe, gdy zachodzą następujące dwa
n,m∈N
zawierania:
[
(a)
An,m ⊂ [0, ∞),
n,m∈N
(b) [0, ∞) ⊂
[
An,m .
n,m∈N
(a). Niech x ∈
[
An,m . Wówczas istnieją liczby n1 ∈ N i m1 ∈ N takie, że x ∈ An1 ,m1 . Czyli
n,m∈N
n1 ¬ x < m1 . Tak więc x ∈ [0, ∞).
(b). Niech x ∈ [0, ∞). Niech n1[
, m1 ∈ N takie, że n1 ¬ x < m1 (dlaczego takie liczby naturalne istnieją?).
Wówczas x ∈ An1 ,m1 , czyli x ∈
An,m .
n,m∈N
(2). Twierdzimy, że
\
An,m = ∅. Przypuśćmy, że istnieje x ∈
n,m∈N
\
An,m . Wówczas x ∈ An,m dla
n,m∈N
dowolnych liczby naturalnych n, m. Niech n1 = 1, m1 = 2 i n1 = 3, m2 = 4. Wówczas x ∈ A1,2 i \
x ∈ A3,4 ,
czyli 1 ¬ x < 2 i 3 ¬ x < 4, a to jest niemożliwe. Tak więc przypuszczenie, że istnieje x ∈
An,m
n,m∈N
doprowadziło nas do sprzeczności,
czyli ten zbiór nie zawiera żadnego[
elementu.
[ \
\
An,m . Wówczas istnieje n1 ∈ N
n∈N m∈N
takie, że x ∈
\
n∈N m∈N
An1 ,m . Czyli dla dowlnej liczby natralnej m ∈ N mamy x ∈ An1 ,m . W szczególności, dla
m∈N
m =[
n1 \
mamy x ∈ An1 ,n1 , czyli n1 ¬ x < n1 , a to jest niemożliwe. Tak więc przypuszczenie, że istnieje
x∈
An,m doprowadziło nas do sprzeczności, czyli ten zbiór nie zawiera żadnego elementu.
n∈N m∈N
\ [
\ [
An,m . Wówczas dla dowolnego
n∈N
m∈N
n∈N
m∈N
S
n ∈ N mamy x ∈ m∈N An,m . Czyli dla dowolnego n ∈ N istnieje mn ∈ N taki, że x ∈ An,mn .
Niech n ∈ N takie, że x < n. Wówczas, zgodnie z powyższym, istnieje mn \
∈ N[
takie, że x ∈ An,mn . Czyli
n ¬ x < mn , a to jest niemożliwe. Tak więc przypuszczenie, że istnieje x ∈
An,m doprowadziło nas
n∈N m∈N
do sprzeczności, czyli ten zbiór nie zawiera żadnego elementu.
Zadanie domowe
Zadanie 1. Znaleźć przekrój rodziny (An )n∈N , gdy
1. An = {x : n < x < n + 1};
2. An = {x : −n − 1 < x < n + 1};
o
n
1
;
3. An = x : 0 ¬ x < n+1
n
1
4. An = x : − n+1
<x<
n
5. An = x :
n
n+1
¬x<
1
n+1
n+1
n+2
o
;
o
;
68
5.2
5
6. An = {x : n2 < x < (n + 1)2 };
7. An = {x : sin x = n}.
Zadanie 2. Znaleźć przekrój rodziny (At )t∈R+ , gdy
1. At = {x : t ¬ x < t + 1};
2. At = {x : −t ¬ x ¬ t};
3. At = {x : t ¬ x};
n
1
<x<
4. At = x : − t+1
n
5. At = x :
t
t+1
¬x<
1
t+1
t+1
t+2
o
;
o
;
6. At = {x : t2 < x < (t + 1)2 };
7. At = {x : sin x = t}.
Zadanie 3. Niech An,m = {x ∈ R : n2 ¬ x < m2 } dla n, m ∈ N. Znaleźć
[
An,m ,
1.
n,m∈N
2.
\
An,m ,
n,m∈N
3.
[ \
An,m ,
n∈N m∈N
4.
\ [
An,m .
n∈N m∈N
Odp. 1.
1. ∅.
2. (−1, 1).
3. {0}.
4. {0}.
5. ∅.
6. ∅.
7. ∅.
Odp. 2.
1. ∅.
2. {0}.
3. ∅.
4. {0}.
5. ∅.
69
5.3
5
6. ∅.
7. ∅.
Odp. 3.
1. [0, ∞).
2. ∅.
3. ∅.
4. ∅.
5.3
!0
[
Zadanie 1 (Prawo de Morgana). Uzasadnić, że
Ai
=
i∈I
\
A0i .
i∈I
Rozwiązanie. Żeby wykazać równość dwóch zbiorów musimy pokazać dwa zawierania:
!0
[
\
1.
Ai ⊂
A0i ,
i∈I
i∈I
!0
2.
\
A0i
⊂
i∈I
[
Ai
.
i∈I
!0
[
(1). Niech x ∈
. Wówczas x ∈
/
Ai
i∈I
[
Ai , czyli dla każdego i ∈ I mamy x ∈
/ Ai . Tak więc dla
i∈I
\
każdego i ∈ I mamy x ∈ A0i , czyli x ∈
A0i .
i∈I
\
(2). Niech x ∈
A0i . Wówczas dla każdego i ∈ I mamy x ∈ A0i , czyli dla każdego i ∈ I mamy x ∈
/ Ai .
i∈I
!0
!
Tak więc x ∈
/
[
Ai , czyli x ∈
i∈I
[
Ai
.
i∈I
Zadanie 2. Uzasadnić następującą równość
n
[
Ai ∩
m
[
Bi =
(Ai ∩ Bj ).
i=1 j=1
i=1
i=1
m
m [
[
Rozwiązanie. Powyższą równość udowodnimy, gdy pokażemy, że następujące dwa zawierania są prawdziwe:
1.
n
[
Ai ∩
i=1
2.
m [
m
[
m
[
Bi ⊂
i=1
m [
m
[
(Ai ∩ Bj ) ⊂
i=1 j=1
(1). Niech x ∈
(Ai ∩ Bj );
i=1 j=1
n
[
Ai ∩
i=1
n
[
i=1
Ai ∩
m
[
m
[
Bi .
i=1
Bi . Wówczas x ∈
i=1
i1 ¬ n takie, że x ∈ Ai1 , a z drugiego –
n
[
Ai i x ∈
i=1
istnieje i2 ¬
m [
m
[
i2 ¬ m takie, że x ∈ Ai1 ∩ Bi2 . Tak więc x ∈
m
[
Bi . Z pierwszego należenia wynika, że istnieje
i=1
m takie, że x ∈ Bi1 . Czyli znaleźliśmy liczby i1 ¬ n i
(Ai ∩ Bj ).
i=1 j=1
70
5.3
m [
m
[
(2). Niech x ∈
5
(Ai ∩ Bj ). Wówczas istnieje i1 ¬ n takie, że x ∈
i=1 j=1
m
[
(Ai1 ∩ Bj ). Następnie istnieje
j=1
j2 ¬ m takie, że x ∈ Ai1 ∩ Bj2 . Czyli x ∈ Ai1 i x ∈ Bj2 . Z pierwszego należenia mamy, że x ∈
drugiego – x ∈
m
[
n
[
Bi . Czyli x ∈
i=1
Ai ∩
i=1
m
[
n
[
Ai , a z
i=1
Bi . i=1
Zadanie 3. Czy prawdziwa jest równości
\
\
\
(Ai ∪ Bi ) =
Ai ∪
Bi .
i∈I
i∈I
i∈I
Rozwiązanie. Pokażemy, że równość ta nie jest prawdziwa. Żeby to wykazać musimy znaleźć przykłady
zbiorów dla których nie ma powyższej równości. Niech I = {1, 2}. Niech A1 = [1, 4), A2 = [4, 8] oraz
B1 = [4, 8] i B2 = [1, 4).
Wówczas
\
(Ai ∪ Bi ) =
2
\
(Ai ∪ Bi ) = (A1 ∪ B1 ) ∩ (A2 ∩ B2 ) = [1, 8] ∩ [1, 8] = [1, 8].
i=1
i∈I
Z drugiej strony,
\
Ai ∪
i∈I
\
Bi =
2
\
Ai ∪
Bi = (A1 ∩ A2 ) ∪ (B1 ∩ B2 ) = ∅ ∪ ∅ = ∅.
i=1
i=1
i∈I
2
\
Widzimy więc, że
2
\
(Ai ∪ Bi ) 6=
2
\
Ai ∪
Bi ,
i=1
i=1
i=1
2
\
czyli równość
\
(Ai ∪ Bi ) =
i∈I
\
Ai ∪
i∈I
\
Bi
i∈I
nie jest prawdziwa dla dowolnych zbiorów.
Zadanie 4. Uzasadnić, że

!
[
×
Ai
i∈I

[
Bi  =
j∈J
[[
(Ai × Bj ) .
i∈I j∈J

! 
[
[
[[
1.
Ai × 
Bi  ⊂
(Ai × Bj );
i∈I
j∈J
i∈I j∈J

!
2.
[[
(Ai × Bj ) ⊂
i∈I j∈J
(1). Niech (x, y) ∈
[
Ai
×
!

i∈I
[
i∈I
Ai

[
Bi .
j∈J
×

[
Bi . Wówczas x ∈
j∈J
[
i∈I
Ai oraz y ∈
[
Bi . Tak więc istnieje i1 ∈ I
j∈J
takie,
[ [ że x ∈ Ai1 oraz istnieje j1 ∈ J takie, że x ∈ Bj1 . Czyli (x, y) ∈ Ai1 × Bj1 . Tak więc (x, y) ∈
(Ai × Bj ).
i∈I j∈J
71
5.3
(2). Niech (x, y) ∈
[[
5
(Ai × Bj ). Wówczas istnieje i1 ∈ I takie, że (x, y) ∈
S
j∈J
(Ai1 × Bj ). Czyli
i∈I j∈J
istnieje również j1 ∈ J takie, że (x, y) ∈ Ai1 × Bj1 . Tak więc x ∈ Ai1 i y ∈ Bj1 . Wówczas x ∈

! 
[
[
[
y∈
Bj . Czyli (x, y) ∈
Ai × 
Bi . j∈J
i∈I
[
Ai i
i∈I
j∈J
Zadanie 5. Niech A, B bedą dowolnymi rodzinami zbiorów. Pokazać, że
[ [ [
(A ∪ B) =
A ∪
B .
[ [ [
1.
(A ∪ B) ⊂
A ∪
B ;
2.
[ [ [
A ∪
B ⊂
(A ∪ B).
(1). Niech x ∈
[
(A ∪ B). Wówczas istnieje zbiór Z ∈ A ∪ B takie, że x ∈ Z. Ponieważ Z ∈ A ∪ B więc
[ [ [
[
A, a w drugim – x ∈
B. Czyli x ∈
A ∪
B .
Z ∈ A lub Z ∈ B. W pierwszym przypadku x ∈
[ [ [
[
B . Wówczas x ∈
A lub x ∈
B. W pierwszym przypadku istnieje zbiór
A ∪
(2). Niech x ∈
A ∈ A taki, że x ∈ A, a w drugim – istnieje
[ zbiór B ∈ B taki, że x ∈ B. Czyli istniej Z ∈ A ∪ B taki, że
x ∈ Z (Z = A lub Z = B). Tak więc x ∈
(A ∪ B). Zadanie domowe
!0
Zadanie 1 (Prawo de Morgana). Uzasadnić, że
\
Ai
i∈I
=
[
A0i .
i∈I
Zadanie 2. Uzasadnić następującą równość
n
[
Ai =
i=1
n
[
(Ai \ Ai−1 ) ∪ (A1 \ An ) ∪ (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ).
i=2
Zadanie 3. Sprawdzić prawdziwość podanych równości
[
[
[
1.
(Ai ∪ Bi ) =
Ai ∪
Bi ;
2.
i∈I
i∈I
\
\
(Ai ∩ Bi ) =
i∈I
3.
[
\
(Ai ∩ B) =
(Ai ∪ B) =
[[
\\
i∈I j∈J
7.
Bi ;
i∈I
Ai ∩ B;
[[
i∈I j∈J
\
Ai ∪ B;
i∈I
Ai,j =
i∈I j∈J
6.
[
\
i∈I
i∈I
5.
Ai ∩
i∈I
i∈I
4.
i∈I
[[
Ai,j ;
j∈J i∈I
Ai,j =
\\
Ai,j ;
j∈J i∈I
(Ai ∩ Bj ) =
[
i∈I
Ai ∩
[
Bj ;
j∈J
72
5.3
8.
\\
(Ai ∪ Bj ) =
i∈I j∈J
\
i∈I
Ai ∪
5
\
Bj .
j∈J
Zadanie 4. Czy prawdziwa jest równości
[
[
[
Ai ∩
Bi =
(Ai ∩ Bi )?
i∈I
i∈I
i∈I
Zadanie 5. Uzasadnić, że
!
\
Ai
i∈I

×

\
Bi  =
j∈J
\\
(Ai × Bj ) .
i∈I j∈J
Zadanie 6. Niech A, B bedą dowolnymi rodzinami zbiorów. Czy prawdziwa jest równość
[ [ [
(A ∩ B) =
A ∩
B ?
Odp. 4. Nie.
Odp. 6. Nie.
73
6
6
6.1
MOCE ZBIORÓW
Moce zbiorów
Równoliczność zbiorów
Dwa zbiory A i B są równoliczne, gdy istnieje bijekcja f : A → B (tzn. funkcja f : A → B jest różnowartościowa i „na”).
Zadanie 1. Pokazać, że zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb parzystych są równoliczne.
Rozwiązanie. Niech P = {0, 2, 4, . . . } oznacza zbiór liczb parzystych. Zgodnie z definicją musimy znaleźć
bijekcję f : N → P . Definiujemy funkcję f : N → P wzorem f (n) = 2n. Wówczas funkcja f jest różnowartościowa i „na” (dlaczego?), czyli zbiory N i P są równoliczne. Zadanie 2. Pokazać, że zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych są równoliczne.
Rozwiązanie. Zgodnie z definicją musimy znaleźć bijekcję f : N → Z. Definiujemy funkcję f : N → Z wzorem
(
n
gdy n jest liczbą parzystą,
f (n) = 2 n+1
− 2
gdy n jest liczbą nieparzystą.
Wówczas funkcja f jest różnowartościowa i „na” (dlaczego?), czyli zbiory N i Z są równoliczne. √
Zadanie 3. Pokazać, że zbiór liczb naturalnych N i zbiór N ∪ { 2} są równoliczne.
√
Rozwiązanie.
Zgodnie z definicją musimy znaleźć bijekcję f : N → N ∪ { 2}. Definiujemy funkcję f : N →
√
N ∪ { 2} wzorem
(√
2
gdy n = 0,
f (n) =
n − 1 gdy n 1.
√
Wówczas funkcja f jest różnowartościowa i „na” (dlaczego?), czyli zbiory N i N ∪ { 2} są równoliczne. Zadanie 4. Pokazać, że zbiór liczb naturalnych N i zbiór N \ {2010} są równoliczne.
Rozwiązanie. Zgodnie z definicją musimy znaleźć bijekcję f : N → N \ {2010}. Definiujemy funkcję f : N →
N \ {2010} wzorem
(
n
gdy n < 2010,
f (n) =
n + 1 gdy n 2010.
Wówczas funkcja f jest różnowartościowa i „na” (dlaczego?), czyli zbiory N i N \ {2010} są równoliczne. Zadanie 5. Pokazać, że zbiory (0, 1) i R są równoliczne.
Rozwiązanie. Wiemy, że funkcja tangens tg : − π2 , π2 → R jest różnowartościowa (na odcinku − π2 , π2 oraz
„na”). Wykorzystując funkcję tangens znajdziemy funkcję dającą równoliczność zbiorów z naszego zadania.
Defniujemy funkcję f : (0, 1) → R wzorem f (x) = tg π(x − 21 ) . Wówczas dom(f ) = (0, 1), ran(f ) = R i
funkcja f jest różnowartościowa i „na” (dlaczego?), czyli zbiory (0, 1) i R są równoliczne. Zadanie 6. Pokazać, że zbiory (4, 5) i (7, 13) są równoliczne.
Rozwiązanie. Funkcją ustalającą równoliczność między odcinkami (4, 5) i (7, 13) będzie funkcja liniowa przechodząca przez punkty P = (4, 7) i K = (5, 13). Niech funkcja f : (4, 5) → (7, 13) będzie dana wzorem
f (x) = 6x − 17. Wówczas funkcja f jest różnowartościowa i „na” (dlaczego?), czyli zbiory (4, 5) i (7, 13) są
równoliczne. Zadanie 7. Pokazać, że zbiory (1, 3) i (1, 3) ∪ {4} są równoliczne.
Rozwiązanie. Funkcję ustalającą równoliczność naszych zbiorów otrzymamy modyfikując funkcję liniową
łączącą punkty P = (1, 1) i K = (3, 3). Niech f : (1, 3) → (1, 3) ∪ {4} będzie dana wzorem


gdy x = 2,
4
1
1
f (x) = 1 + n gdy x = 1 + n+1
, n ∈ N i n 1,


x
w przeciwnym przypadku.
74
6.1
6
y
MOCE ZBIORÓW
y=x
4
3
2
3
2
1
x
1
43
32
2
3
Wówczas funkcja f jest różnowartościowa i „na” (dlaczego?), czyli zbiory (1, 3) i (1, 3)∪{4} są równoliczne.
Zadanie domowe
Zadanie 1. Pokazać, że zbiory A i B są równoliczne, gdy
1. A = {0, 1, 2, 3}, B = 12 , 13 , 41 , 15 ;
√
2. A = {x ∈ R : x2 − 3x + 2 = 0}, B = { 2, π};
3. A jest zbiorem liczb naturalnych parzystych, a B jest zbiorem liczb naturalnych nieparzystych;
4. A jest zbiorem liczb całkowitch, a B jest zbiorem liczb naturalnych parzystych;
5. A = N, B = N \ {2010, 2011, . . . , 2019};
1
1
6. A = N, B = N ∪ { 13
, 17
};
n
o
n
o
1
1
7. A = n+1
: n ∈ N i B = n+1
: n ∈ N ∪ {−2, 3};
8. A = (1, 4), B = R;
9. A = (1, 2), B = (5, 6);
10. A = (1, 2), B = (7, 9);
11. A = [2, 4], B = [−1, 9];
12. A = [2, 4), B = [−5, 6);
13. A = [1, 5), B = (−3, 1];
14. A = (1, 2), B = (1, 2];
15. A = (1, 5), B = (1, 5) ∪ {6, 7, 8};
16. A = (0, +∞), B = (0, +∞) ∪ {−1, −2, −3, . . . };
17. A = (1, 20), B = (1, 20) \ {7, 8, 9};
75
6.1
6
MOCE ZBIORÓW
Odp. 1. Poniżej podane są przykładowe bijekcje ustalające równoliczność zbiorów A i B.
1
gdy x = 0,

2


 1 gdy x = 1,
1. f (x) = 31

gdy x = 2,


 41
gdy x = 3.
5
(√
2 gdy x = 1,
2. f (x) =
π
gdy x = 2.
3. f (n) = n + 1.
(
4x
gdy x 0,
4. f (x) =
−4x − 2 gdy x < 0.
(
n
gdy n < 2010,
5. f (n) =
n + 10 gdy n 2010.

1

gdy n = 0,
 13
1
6. f (n) = 17
gdy n = 1,


n − 2 gdy n 2.


−2 gdy x = 1,
7. f (x) = 3
gdy x = 12 ,

 1
1
gdy x = n+1
i n 2.
n−1
8. f (x) = tg π3 (x − 52 ) .
9. f (x) = x + 4.
10. f (x) = 2x + 5.
11. f (x) = 5x − 11.
12. f (x) =
11
2 x
− 16.
13. f (x) = −x + 2.


2
1
14. f (x) = 1 + n+1


x
gdy x = 32 ,
1
gdy x = 1 + n+2
, n ∈ N i n 1,

6
gdy x = 2,




1
1

, n ∈ N i n 1,
1 + n gdy x = 1 + n+1





7
gdy
x
=
3,

1
15. f (x) = 2 + n1 gdy x = 2 + n+1
, n ∈ N i n 1,



8
gdy x = 4,




3 + 1 gdy x = 3 + 1 , n ∈ N i n 1,

n
n+1


x


gdy x = n, n ∈ N i n 1,
−n
1
1
16. f (x) = (n − 1) + k gdy x = (n − 1) + k+1
, n, k ∈ N i n, k 1,


x
76
6.2
Zbiory przeliczalne

6+



7 +
17. f (x) =

8+



x
6.2
1
n+2
1
n+2
1
n+2
6
MOCE ZBIORÓW
1
gdy x = 6 + n+1
i n ∈ N,
1
gdy x = 7 + n+1 i n ∈ N,
1
gdy x = 8 + n+1
i n ∈ N,
Zbiory przeliczalne
Mówimy, że zbiór A jest przeliczalny, gdy jest skończony lub równoliczny ze zbiorem N wszystkich liczb
naturalnych.
Zadanie 1. Zbiór Z wszystkich liczb całkowitych jest przeliczalny.
Rozwiązanie. Zbiór Z nie jest skończony, więc żeby udowodnić, że jest on przeliczalny musimy pokazać, że
jest on równoliczny ze zbiorem N wszystkich liczb naturalnych. Niech funkcja f : Z → N będzie dana wzorem
(
2x
gdy x 0;
f (x) =
−(2x + 1) gdy x < 0.
Wówczas f jest bijekcją (dlaczego?), więc zbiory Z i N są równoliczne. Poniżej będziemy podawali twierdzenia wykorzystywane przy pokazywaniu, że dany zbiór jest przeliczalny. Po każdym twierdzeniu będzie zadanie ilustrujące jego zastosowanie.
Twierdzenie 6.1. Dowolny podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny (tzn. jeżeli A jest zbiorem przeliczalnym i B ⊂ A, to B też jest zbiorem przeliczalnym).
Zadanie 2. Zbiór parzystych liczb całkowitych jest przeliczalny.
Rozwiązanie. Ponieważ wiemy, że zbiór wszystkich liczb całkowitych jest przeliczalny, więc zbiór parzystych
liczb całkowitych też jest przeliczalny (jako podzbiór zbioru przeliczalnego). Twierdzenie 6.2. Zbiór równoliczny ze zbiorem przeliczalnym jest zbiorem przeliczalnym.
√
Zadanie 3. Pokazać, że zbiór A = { 3 x : x ∈ Z} jest przeliczalny.
Rozwiązanie. Wcześniej pokazaliśmy, że zbiór Z wszystkich liczb całkowitych jest przeliczalny. Tak więc na
mocy powyższego twierdzenia√wystarczy pokazać, że zbiór A jest równoliczny ze zbiorem Z. Niech f : Z → A
będzie dana wzorem f (x) = 3 x. Wówczas f jest bijekcją (dlaczego?), więc zbiory A i Z są równoliczne. Twierdzenie 6.3. Zbiór Q wszystkich liczb wymiernych jest przeliczalny.
Twierdzenie 6.4. Niech A będzie zbiorem przeliczalnym. Jeżeli istnieje funkcja różnowartościowa f : B →
A, to zbiór B również jest przeliczalny.
Zadanie 4. Udowodnij, że dowolna rodzina parami rozłącznych przedziałów otwartych w R jest przeliczalny.
Rozwiązanie. Niech P będzie rodziną parami rozłącznych przedziałów otwartych w R. Pokażemy, że istnieje funkcja różnowartościowa f : P → Q, co na mocy Twierdzenia 6.4 będzie oznaczało, że zbiór P jest
przeliczalny.
Dla dowolnego przedziału (a, b) ∈ P oznaczmy przez qa,b liczbę wymierną taką, że a < qa,b < b (korzystamy tutaj z twierdzenia mówiącego, że pomiędzy dowolnymi dwoma liczbami rzeczywistymi istnieje liczba
wymierna).
Teraz definiujemy funkcję f : P → Q wzorem f ((a, b)) = qa,b .
Musimy jeszcze pokazać, że funkcja f jest różnowartościowa. Niech (a, b), (c, d) ∈ P będą dwoma przedziałami należącymi do rodziny P. Ponieważ wiemy, że rodzina P składa się z przedziałów parami rozłącznych,
więc (a, b) ∩ (c, d) = ∅. Z drugiej strony, qa,b ∈ (a, b) i qc,d ∈ (c, d), czyli qa,b 6= qc,d , czyli f ((a, b)) 6= f ((c, d)).
Twierdzenie 6.5. Jeżeli zbiory A i B są przeliczalne, to zbiór A × B też jest przeliczalny.
77
6.2
Zbiory przeliczalne
6
MOCE ZBIORÓW
Jako wniosek otrzymujemy, że np. zbiory N × N, Z × Z i Q × Q są przeliczalne.
Zadanie 5. Pokazać, że zbiór Q×Q×Q+ jest przeliczalny (Q+ – oznacza zbiór dodatnich liczb wymiernych).
Rozwiązanie. Niech A = Q × Q i B = Q+ . Wówczas A jest zbiorem przeliczalnym (jako iloczyn kartezjański
dwóch zbiorów przeliczalnych). Również zbiór B jest przeliczalny (jako podzbiór zbioru przeliczalnego).
Tak więc zbiór A × B jest przeliczalny (jako iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych). Ale
A × B = Q × Q × Q+ . Twierdzenie 6.6. Niech A będzie zbiorem przeliczalnym. Jeżeli istnieje funkcja „na” f : A → B, to zbiór
B również jest przeliczalny.
Zadanie 6. Udowodnij, że zbiór wszystkich kół otwartych w R2 , które mają wymierne promienie i środki
w punktach o obu współrzędnych wymiernych jest przeliczalny.
Rozwiązanie. Niech K oznacza rodzinę wszystkich kół otwartych w R2 , które mają wymierne promienie i
środki w punktach o obu współrzędnych wymiernych. Przez K((a, b), r) będziemy oznaczać koło o środku w
punkcie (a, b) i promieniu długości r.
Definiujemy funkcję f : Q × Q × Q+ → O wzorem f (p, q, r) = K((p, q), r). Wówczas funkcja f jest „na”
(dlaczego?). Ponieważ zbiór Q × Q × Q+ jest przeliczalny, więc również zbiór K jest przeliczalny. Twierdzenie 6.7. Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym
(tzn. je[
żeli zbiór T jest przeliczalny i dla każdego t ∈ T zbiór At jest przeliczalny, to suma
At jest zbiorem
t∈T
przeliczalnym).
Zadanie 7. Udowodnij, że zbiór
x∈R:
∃
∃
a∈Q\{0} b,c∈Q
ax2 + bx + c = 0 jest przeliczalny.
Rozwiązanie. Niech T = (Q \ {0}) × Q × Q. Dla każdego (a, b, c) ∈ T oznaczmy
Aa,b,c = x ∈ R : ax2 + bx + c = 0 .
Wówczas mamy trzy przypadki.
1. Jeżeli b2 − 4ac < 0, to Aa,b,c = ∅.
2. Jeżeli b2 − 4ac = 0, to Aa,b,c = −b
2a .
n
o
√
√
b2 −4ac −b+ b2 −4ac
3. Jeżeli b2 − 4ac > 0, to Aa,b,c = −b− 2a
,
.
2a
Widzimy więc, że w dla każdego
[ (a, b, c) ∈ T zbiór Aa,b,c jest przeliczalny. Ponadto, zbiór T również jest
przeliczalny. Tak więc suma
Aa,b,c też jest zbiorem przeliczalnym.
(a,b,c)∈T
Ale, z drugiej strony,
x∈R:
∃
∃
a∈Q\{0} b,c∈Q
ax2 + bx + c = 0 =
[
(a,b,c)∈T
Zadanie domowe
Zadanie 1. Pokazać, że następujący zbiór jest przeliczalny:
1. x ∈ N : x2 > 100 ;
1 1
2. N ∪ 13
, 17 ;
n
o
1
3. n+1
:n∈Z ;
78
Aa,b,c .
6.3
Zbiory mocy continuum
4.
k 2 + 2k : k ∈ Q ;
5.
x ∈ R : x2 − 3x + 2 = 0 ;
6
MOCE ZBIORÓW
6. {x ∈ R : cos x ∈ Q}.
Zadanie 2. Pokazać, że zbiór wszystkich macierzy 2 × 2 o wyrazach wymiernych jest przeliczalny.
Zadanie 3. Pokazać, że zbiór rozłącznych kół na płaszczyźnie jest przeliczalny.
Zadanie 4. Pokazać, że zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o pierwszej współrzędnej całkowitej a drugiej
wymiernej jest przeliczalny.
Zadanie 5. Pokazać, że zbiór wszystkich odcinków na prostej o obu końcach wymiernych jest przeliczalny.
Zadanie 6. Pokazać, że zbiór wszystkich kul w przestrzeni, które mają wymierny promień i środek w punkcie
o wszystkich współrzędnych wymiernych jest przeliczalny.
6.3
Mówimy że zbiór A jest mocy continuum (mocy c), gdy jest równoliczny ze zbiorem R wszystkich liczb
rzeczywistych.
Zadanie 1. Pokazać, że odcinek − π2 , π2 jest mocy c.
Rozwiązanie. Niech f (x) = tg x dla x ∈ − π2 , π2 . Wówczas funkcja f jest bijekcją ustalającą równoliczność
między odcinkiem − π2 , π2 a zbiorem R. Zadanie 2. Pokazać, że odcinek (0, 1) jest mocy c.
Rozwiązanie. Niech f (x) = tg π x − 12 dla x ∈ (0, 1). Wówczas funkcja f jest bijekcją ustalającą równoliczność między odcinkiem (0, 1) a zbiorem R. Twierdzenie 6.8. Jeżeli zbiór A jest równoliczny z B, a B jest równoliczby z C, to A jest równoliczny z C.
Zadanie 3. Pokazać, że odcinek (5, 8) jest mocy c.
Rozwiązanie. Niech f (x) = 3x + 5 dla x ∈ (0, 1). Wówczas f ustala równoliczność zbiorów (0, 1) i (5, 7). Z
poprzedniego zadania wiemy, że odcinek (0, 1) jest równoliczny z R. Czyli odcinek (5, 7) jest mocy c. Twierdzenie 6.9 (Cantor-Bernstein). Jeżeli A ⊂ B ⊂ C oraz zbiory A i C są równoliczne, to również zbiór
B jest równoliczny z A i C.
Zadanie 4. Pokazać, że odcinek [6, 7] jest mocy continuum.
Rozwiązanie. Ponieważ (5, 8) ⊂ [6, 7] ⊂ R oraz pokazaliśmy, że zbiór (5, 8) jest równoliczny z R, więc [6, 7]
również jest równoliczny z R, czyli jest mocy c. Twierdzenie 6.10. Jeżeli zbiór A jest mocy c oraz zbiór B jest przeliczalny, to różnica A \ B jest zbiorem
mocy c.
Zadanie 5. Pokazać, że zbiór wszystkich liczb niewymiernych jest mocy continuum.
Rozwiązanie. Wiemy, że zbiór wszystkich liczb wymiernych jest przeliczalny, czyli zbiór wszystkich liczb
niewymiernych R \ Q jest mocy continuum. Twierdzenie 6.11. Jeżeli zbiory A i B są mocy c, to iloczyn kartezjański A × B również jest mocy c.
Zadanie 6. Udowodnij, że zbiór wszystkich okręgów na płaszczyźnie jest mocy continuum.
Rozwiązanie. Niech A będzie rodziną wszystkich okręgów na płaszczyźnie. Definiujemy funkcję f : A →
(0, ∞) × R × R wzorem f (A) = (r, x, y), gdzie r jest promieniem okręgu A, a (x, y) - współrzędnymi środka
okręgu A.
Wówczas funkcja f ustala równoliczność między zbiorem A a (0, ∞) × R × R.
Z drugiej strony, zbiory R i (0, ∞) są mocy continuum, czyli (0, ∞) × R też jest mocy continuum, czyli
(0, ∞) × R × R też jest mocy continuum. 79
6.3
6
MOCE ZBIORÓW
Zadanie domowe
Zadanie 1. Pokazać, że następujące zbiory są mocy continuum:
1. (2, 5),
2. (−3, 2 12 ),
3. (π, 3π),
4. (a, b), gdzie a < b,
5. [3, 8],
6. [a, b], gdzie a < b,
7. [−2, 5),
8. (1, 7],
9. (a, b],
10. [a, b).
Zadanie 2. Pokazać, że następujące zbiory są mocy continuum:
1. (0, 1) ∪ {2, 3, 4},
n
o
1
2. R \ n+1
:n∈N ,
3.
x ∈ R : x < 0 lub x2 ∈ Q .
Zadanie 3. Udowodnij, że zbiór wszystkich trójkątów w R2 jest mocy continuum.
Zadanie 4. Udowodnij, że dowolny okrąg (o dodatnim promieniu) jest mocy continuum.
Zadanie 5. Udowodnij, że zbiór wszystkich prostych w R2 jest mocy continuum.
Zadanie 6. Udowodnij, że dowolne koło (o dodatnim promieniu) jest mocy continuum.
Zadanie 7. Udowodnij, że zbiór wszystkich kwadratów w R2 jest mocy continuum.
80
6.3
6
MOCE ZBIORÓW
Sprawdzian
Grupa 1
Zadanie 1. Znajdź
[
\
At i
t∈R
At , gdy At = {x ∈ R : x2 + (2 − t)x − 2t = 0}.
t∈R
Zadanie 2. Niech A = N i B = N \ {13, 14, . . . , 22}. Znajdź bijekcję z A na B.
Zadanie 3. Niech A = (7, 8) i B = (7, 8) ∪ N. Udowodnij, że |A| = |B|, znajdując bijekcję z A na B lub z
B na A.
Zadanie 4. Udowodnij, że zbiór wszystkich przedziałów otwartych w R o obu końcach wymiernych jest
przeliczalny.
Zadanie 5. Udowodnij, że zbiór wszystkich okręgów w R2 jest mocy continuum.
Grupa 2
Zadanie 1. Znajdź
∞
[
∞
\
An i
n=1
Zadanie 2. Niech A =
An , gdy An = {x ∈ R :
1
n
¬ x ¬ n}.
n=1
n
1
n+1
:n∈N
o
iB=
n
1
n+1
o
: n ∈ N ∪ {−4, 5}. Znajdź bijekcję z A na B.
Zadanie 3. Niech A = (2, 5) i B = (2, 5]. Udowodnij, że |A| = |B|, znajdując bijekcję z A na B lub z B na
A.
Grupa 3
Zadanie 1. Znajdź
[
t∈R
\
At i
At , gdy At = {x ∈ R : x2 + (2 − t2 )x − 2t2 = 0}.
t∈R
1
1
Zadanie 2. Niech A = N i B = N ∪ { 13
, 17
}. Znajdź bijekcję z A na B.
Zadanie 3. Niech A = (3, 7) i B = (3, 7]. Udowodnij, że |A| = |B|, znajdując bijekcję z A na B lub z B na
A.
Zadanie 4. Udowodnij, że dowolna rodzina rozłączna złożona z przedziałów otwartych w R jest przeliczalny.
Grupa 4
Zadanie 1. Znajdź
∞
[
n=1
An i
∞
\
An , gdy An = {x ∈ R : n2 < x < n + 100}.
n=1
Zadanie 2. Niech A = N i B = N \ {11, 12, . . . , 20}. Znajdź bijekcję z A na B.
Zadanie 3. Niech A = (3, 7) i B = (3, 7) ∪ {7, 8, 9}. Udowodnij, że |A| = |B|, znajdując bijekcję z A na B
lub z B na A.
Zadanie 4. Udowodnij, że dowolna rodzina rozłączna złożona z kół otwartych w R2 jest przeliczalny.
Zadanie 5. Udowodnij, że zbiór wszystkich prostych w R2 jest mocy continuum.
81
6.3
6
MOCE ZBIORÓW
Grupa 5
Zadanie 1. Znajdź
∞
[
∞
\
An i
n=1
Zadanie 2. Niech A =
1
n
¬ x ¬ n}.
n=1
n
1
n+1
:n∈N
o
iB=
n
1
n+1
o
: n ∈ N ∪ {−2, 3}. Znajdź bijekcję z A na B.
Zadanie 3. Niech A = (4, 9) i B = (4, 9) ∪ {9, 10, 11}. Udowodnij, że |A| = |B|, znajdując bijekcję z A na
B lub z B na A.
Zadanie 4. Udowodnij, że zbiór {x ∈ R : ∃p, q ∈ Q (x2 + px + q = 0)} jest przeliczalny.
Grupa 6
Zadanie 1. Znajdź
[
t∈R
At i
\
At , gdy At = {x ∈ R : |x − 5| < sin t + 2}.
t∈R
1
1
Zadanie 2. Niech A = N i B = N ∪ { 11
, 19
}. Znajdź bijekcję z A na B.
Zadanie 3. Niech A = (4, 5) i B = (4, 5) ∪ N. Udowodnij, że |A| = |B|, znajdując bijekcję z A na B lub z
B na A.
Zadanie 4. Udowodnij, że zbiór {x ∈ R : sin x ∈ Q} jest przeliczalny.
Zadanie 5. Udowodnij, że zbiór wszystkich kwadratów w R2 jest mocy continuum.
82
7
7
7.1
RELACJE
Relacje
Iloczyn kartezjański zbiorów
Iloczyn kartezjański zbiorów A i B jest to zbiór wszystkich par ha, bi takich, że a ∈ A oraz b ∈ B. Iloczyn
kartezjański zbiorów A i B oznaczamy symbolem A × B.
Zadanie 1. Znaleźć iloczyn A × B i B × A jeżeli A = {0, 1}, B = {1, 2}.
Rozwiązanie. W zbiorze A×B znajdują się wszystkie pary o pierwszym elemencie 0 lub 1, a drugim elemencie
1 lub 2, czyli
A × B = {h0, 1i, h0, 2i, h1, 1i, h1, 2i}.
Zadanie 2. Znaleźć elementy zbioru (B × A) \ (A × B) wiedząc, że A = {k ∈ Z
B = {k ∈ Z : k ∈ [1, 4]}.
:
k ∈ [−1, 3]} i
Rozwiązanie. Zbiory B × A i A × B zostały przedstawione na rysunku (elementy zbioru B × A oznaczone są
symbolem „◦”, elementy zbioru A × B oznaczone są symbolem „•”):
4
3
2
1
0
−1
−1
0
1
2
3
4
Z rysunku odczytujemy, że elementy zbioru (B×A)\(A×B) to h1, −1i, h2, −1i, h3, −1i, h4, −1i, h1, 0i, h2, 0i, h3, 0i, h4, 0i
oraz h4, 1i, h4, 2i, h4, 3i, czyli
(B × A) \ (A × B) = (B × {−1, 0}) ∪ ({4} × A).
Zadanie 3. Uzasadnić, że jeżeli A × B = B × A, to albo A = ∅, albo A = B, albo B = ∅.
Rozwiązanie. Jeżeli jeden ze zbiorów A, B jest pusty, to rzeczywiście A × B = ∅ = B × A. Pozostaje rozważyć
przypadek, gdy oba zbiory A i B są niepuste.
Pokażemy, że A ⊂ B. Weźmy dowolny a ∈ A. Ponieważ B 6= ∅, więc istnieje jakiś b ∈ B. Wtedy para
ha, bi ∈ A×B. Ponieważ A×B = B ×A, czyli również para ha, bi ∈ B ×A. Z definicji iloczynu kartezjańskiego
B × A wynika, że a ∈ B. Stąd A ⊂ B.
W analogiczny sposób możemy pokazać, że B ⊂ A. Stąd A = B. Zadanie 4. Obliczyć A × (B × C), (A × B) × C, A × B × C dla A = {0, 1}, B = {1}, C = {2, 3}.
Rozwiązanie. Zbiór A × (B × C) jest to zbiór składający się z par, których pierwszy element należy do zbioru
A, a drugi element jest parą ze zbioru B × C.
A × (B × C) = {h0, h1, 2ii, h0, h1, 3ii, h1, h1, 2ii, h1, h1, 3ii} .
Zbiór (A × B) × C jest to zbiór składający się z par, których pierwszy element jest parą należącą do
zbioru A × B, a drugi element należy do zbioru C.
(A × B) × C = {hh0, 1i, 2i, hh0, 1i, 3i, hh1, 1i, 2i, hh1, 1i, 3i} .
83
7.1
Iloczyn kartezjański zbiorów
7
RELACJE
Zbiór A × B × C jest to zbiór trójek.
A × B × C = {h0, 1, 2i, h0, 1, 3i, h1, 1, 2i, h1, 1, 3i} .
Zadanie 5.
Czy prawdziwe są równości
1. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C);
2. A ∩ (B × C) = (A ∩ B) × (A ∩ C)?
Rozwiązanie. Pierwsza równość jest prawdziwa. Aby to uzasadnić posłużymy się metodą sprawdzania, że
dowolny element (para!) należy do zbioru po lewej stronie równości wtedy i tylko wtedy, gdy należy do
zbioru po prawej stronie równości.
Zauważmy, że:
hx, yi ∈ A × (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A ∧ y ∈ B ∪ C ⇐⇒
⇐⇒ x ∈ A ∧ (y ∈ B ∨ y ∈ C) ⇐⇒ ⇐⇒ (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ y ∈ C) ⇐⇒
⇐⇒ hx, yi ∈ A × B ∨ hx, yi ∈ A × C ⇐⇒ hx, yi ∈ (A × B) ∪ (A × C).
Zadanie domowe
Zadanie 1. Znaleźć iloczyny A × B i B × A jeżeli
1. A = ∅, B = {1, 2, 3};
2. A = {∅}, B = {1, 2};
3. A = {2, 3}, B = {1, 2};
4. A = {1, 2}, B = {2, 3}.
√
Zadanie 2. Czy para h 2, 12 i należy do zbioru A × B, B × A, jeżeli
1. A = {x ∈ R : 1 < x < 2}, B = {x ∈ R : 0 < x < 1};
2. A = {x ∈ N : 0 < x}, B = {y ∈ N : 0 < y};
3. A = {x ∈ R : 0 < x < 1 ∨ 2 < x < 3}, B = {x ∈ R : 1 < x ¬ 2 ∨ 3 < x ¬ 4}.
Zadanie 3. Ile elementów ma iloczyn kartezjański dwóch zbiorów, z których pierwszy ma n elementów, a
drugi ma m elementów.
Zadanie 4. Czy prawdziwe są równości
1. A ∪ (B × C) = (A ∪ B) × (A ∪ C);
2. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).
84
7.2
Własności relacji
7
RELACJE
Odp. 1.
1. A × B = B × A = ∅;
2. A × B = {h∅, 1i, h∅, 2i} oraz B × A = {h1, ∅i, h2, ∅i};
3. A × B = {h2, 1i, h2, 2i, h3, 1i, h3, 2i} oraz B × A = {h1, 2i, h1, 3i, h2, 2i, h2, 3i};
4. A × B = {h1, 2i, h1, 3i, h2, 2i, h2, 3i} oraz B × A = {h2, 1i, h2, 2i, h3, 1i, h3, 2i}.
Odp. 2.
√
√
1. h 2, 12 i ∈ A × B oraz h 2, 12 i ∈
/ B × A;
√
2. h 2, 12 i ∈ A × B = B × A;
√
√
/ A × B oraz h 2, 12 i ∈ B × A.
3. h 2, 12 i ∈
Odp. 3. Iloczyn kartezjański zbiorów o n i m elementach ma n · m elementów.
Odp. 4.
1. Nie.
2. Tak.
7.2
Własności relacji
Relacją określoną na zbiorze X nazywamy dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego X × X. Inaczej pisząc,
relacja jest to zbiór par, których pierwszy i drugi element należą do zbioru X. Jeżeli R jest relacją na zbiorze
X, to fakt, że para hx, yi jest elementem relacji R oznaczamy: hx, yi ∈ R, lub xRy. Mówimy wówczas, że
elementy x i y są ze sobą w relacji. Do zapisu faktu, że R jest relacją na X będziemy również używać notacji
R ⊂ X × X (lub R ⊂ X 2 ).
Mówimy, że relacja R określona na zbiorze X jest zwrotna jeżeli
∀x∈X xRx.
Mówimy, że relacja R określona na zbiorze X jest przechodnia jeżeli
∀x,y,z∈X ((xRy ∧ yRz) =⇒ xRz).
Mówimy, że relacja R określona na zbiorze X jest symetryczna jeżeli
∀x,y∈X (xRy =⇒ yRx).
Mówimy, że relacja R określona na zbiorze X jest antysymetryczna jeżeli
∀x,y∈X (xRy =⇒ ¬yRx).
Mówimy, że relacja R określona na zbiorze X jest słabo antysymetryczna jeżeli
∀x,y∈X ((xRy ∧ yRx) =⇒ x = y).
Mówimy, że relacja R określona na zbiorze X jest spójna jeżeli
∀x,y∈X (xRy ∨ yRx).
Zadanie 1. Ile różnych relacji można określić na zbiorze X wiedząc, że zbiór X jest
1. jednoelementowy;
85
7.2
Własności relacji
7
RELACJE
2. dwuelementowy;
3. trzyelementowy;
4. czteroelementowy;
5. pięcioelementowy.
Rozwiązanie. Relacją jest dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego X × X. Jeżeli zbiór X ma n elementów,
to zbiór X × X ma n · n elementów. Podzbiorów zbioru n · n-elementowego jest 2n·n , czyli relacji na podanych
zbiorach jest:
1. 21·1 = 2;
2. 22·2 = 16;
3. 23·3 = 512.
4. 24·4 = 65536.
5. 25·5 = 33554432.
Zadanie 2. Zbadać, czy relacja R ⊂ N × N określona wzorem
hx, yi ∈ R ⇐⇒ x|y
jest
1. zwrotna;
2. przechodnia;
3. symetryczna;
4. antysymetryczna;
5. słabo antysymetryczna;
6. spójna.
Rozwiązanie. Aby sprawdzić zwrotność relacji R musimy sprawdzić, czy dla dowolnego x ∈ N para < x, x >
należy do zbioru R. Z definicji relacji wynika, że < x, x >∈ R gdy x|x (tj. x jest podzielne przez x, co jest
prawdą dla każdego x naturalnego). Czyli R jest zwrotna.
Aby sprawdzić przechodniość relacji R musimy sprawdzić, czy dla dowolnych x, y, z naturalnych, jeżeli
xRy i yRz, to xRz. Po skorzystaniu z definicji relacji R, warunek który musimy sprawdzić przyjmuje postać:
czy, jeżeli x|y oraz y|z, to x|z?
Ponieważ odpowiedź na powyższe pytanie jest twierdząca (jest to znana z kursu szkolnego własność liczb
naturalnych: jeżeli y = kx i z = ly dla pewnych k, l ∈ N, to z = klx, czyli z jest podzielne przez x), więc
relacja R jest przechodnia.
Aby sprawdzić symetrię relacji R musimy sprawdzić, czy jeżeli xRy, to yRx. W języku „podzielności”
oznacza to, że musimy sprawdzić, czy jeżeli x|y, to y|x. Nie jest to prawdą, jako przykład można podać liczby
x = 1 i y = 2. Relacja R nie jest więc symetryczna.
Aby sprawdzić antysymetrię relacji R sprawdzamy, czy z tego, że x|y wynika, że y 6 |x. Nie jest to prawda,
jako przykład można podać liczby naturalne x = 2 i y = 2. Relacja R nie jest więc antysymetryczna.
Aby sprawdzić słabą antysymetrię relacji R sprawdzamy, czy z tego, że x|y i y|x wynika, że x = y.
Zauważmy, że jeżeli y = kx i x = ly dla pewnych k, l ∈ N, to (podstawiając y z pierwszego wzoru do drugiej
równości) x = klx, czyli kl = 1. Jedyne liczby naturalne spełniające to równanie, to k = l = 1, czyli x = y.
Relacje R jest więc słabo antysymetryczna.
Aby sprawdzić spójność relacji R musimy sprawdzić, czy dla dowolnej pary liczb x, y ∈ N zachodzi
przynajmniej jedna z relacji: x|y lub y|x. Nie jest to prawda, jako przykład można podać liczby naturalne
x = 2 i y = 3. Relacja R nie jest spójna. 86
7.2
Własności relacji
7
RELACJE
Zadanie 3. Zbadać, czy relacja R ⊂ R × R określona wzorem
hx, yi ∈ R ⇐⇒ |x − y| > 2010
jest
1. zwrotna;
2. przechodnia;
3. symetryczna;
4. antysymetryczna;
5. słabo antysymetryczna;
6. spójna.
Rozwiązanie. Relacja R nie jest zwrotna. Jako przykład możemy wziąć dowolną liczbę rzeczywistą x.
Relacja R nie jest przechodnia. Jako przykład możemy wziąć liczby x = 0, y = 2011 i z = 0.
Relacja R jest symetryczna. Jeżeli |x − y| > 2010, to |y − x| = |x − y| > 2010.
Relacja R nie jest antysymetryczna. Jako przykład możemy wziąć liczby x = 0, y = 2011. (Ogólnie:
niepusta relacja R jeżeli jest symetryczna, to nie może być antysymetryczna).
Relacja R nie jest słabo antysymetryczna. Jako przykład możemy wziąć liczby x = 0, y = 2011. (Ogólnie:
niepusta relacja R jeżeli jest symetryczna i zawiera chociaż jeden element hx, yi taki, że x 6= y, to nie może
być słabo antysymetryczna).
Relacja R nie jest spójna. Jako przykład możemy wziąć liczby x = y = 0. (Ogólnie: relacja spójna musi
być zwrotna). Zadanie 4. Narysować relację R określoną na zbiorze N następująco:
xRy ⇐⇒ 3|(x − y).
Rozwiązanie. Relacja R jest to zbiór opisany następująco:
R = {hx, yi ∈ N × N : 3|(x − y)} .
Elementy relacji R oznaczone są na rysunku symbolem „•”:
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Z rysunku możemy odczytać, że badana relacja jest zwrotna (tj. rysunek zawiera przekątną), symetryczna
(tj. rysunek jest symetryczny względem przekątnej). Zadanie 5. Czy suma relacji zwrotnych jest zwrotna?
Rozwiązanie. Tak. Niech R1 , R2 będą zwrotnymi relacjami na X. Jeżeli x ∈ X, to xR1 x (ze zwrotności R1 ),
czyli hx, xi ∈ R1 . Stąd wynika, że hx, xi ∈ R1 ∪ R2 , więc R1 ∪ R2 również jest zwrotna. 87
7.2
Własności relacji
7
RELACJE
Zadanie 6. Czy przekrój relacji spójnych jest spójny?
Rozwiązanie. Nie. Jako przykład weźmy relacje R1 , R2 określone na zbiorze liczb naturalnych N następująco:
aR1 b ⇐⇒ a ¬ b oraz aR2 b ⇐⇒ a b.
Relacje R1 i R2 są spójne (sprawdzić!). Relacja R1 ∩ R2 jest to zbiór tych par ha, bi, że aR1 b i aR2 b, tj.
R1 ∩ R2 = {ha, bi ∈ N × N | a ¬ b ∧ a b} = {ha, bi ∈ N × N | a = b} ,
czyli relacja R1 ∩ R2 jest to relacja równości („=”). Relacja ta nie jest spójna (sprawdzić!) Zadanie domowe
hx, yi ∈ R ⇐⇒ |x − y| > 0
ma własność: zwrotności, przechodniości, symetrii, antysymetrii, słabej antysymetrii, spójności.
Zadanie 2. Zbadać, czy relacja R ⊂ Z × Z określona wzorem
hx, yi ∈ R ⇐⇒ x = 2010 ∨ y = 2010
ma własność: zwrotności, przechodniości, symetrii, antysymetrii, słabej antysymetrii, spójności. Które z
własności relacji R uległyby zmianie, gdyby funktor logiczny „∨” w definicji relacji zastąpić funktorem „∧”?
hx, yi ∈ R ⇐⇒ |x| |y|
własności relacji R uległyby zmianie, gdyby zbiór „R × R” w definicji relacji zastąpić zbiorem „N × N”?
hx, yi ∈ R ⇐⇒ x · y = 2010
ma własność: zwrotności, przechodniości, symetrii, antysymetrii, słabej antysymetrii, spójności.
hx, yi ∈ R ⇐⇒ 2010|(x + y)
własności relacji R uległyby zmianie, gdyby liczbę „2010” w definicji relacji zastąpić liczbą „2”?
Zadanie 6. Narysować relacje R1 , R2 , R3 i R4 jeżeli
1. R1 jest określona na zbiorze N \ {0} w taki sposób, że xR1 y ⇐⇒ x|y;
2. R2 jest określona na zbiorze N w taki sposób, że xR2 y ⇐⇒ x + y = 3;
3. R3 jest określona na zbiorze R w taki sposób, że xR3 y ⇐⇒ |x − y| > 0;
4. R4 jest określona na zbiorze R w taki sposób, że xR4 y ⇐⇒ x2 y 2 .
Zadanie 7. Czy przekrój relacji zwrotnych jest zwrotny?
Zadanie 8. Czy suma relacji spójnych jest spójna?
Zadanie 9. Czy suma relacji symetrycznych jest symetryczna?
Zadanie 10. Czy przekrój relacji symetrycznych jest symetryczny?
Zadanie 11. Czy suma relacji antysymetrycznych jest antysymetryczna?
Zadanie 12. Czy przekrój relacji antysymetrycznych jest antysymetryczny?
Zadanie 13. Czy relacja zwrotna może być antysymetryczna?
88
7.2
Własności relacji
7
RELACJE
Odp. 1. Zwrotność: nie; przechodniość: nie; symetria: tak; antysymetria: nie; słaba antysymetria: nie; spójność: nie.
Odp. 2. Zwrotność: nie; przechodniość: nie; symetria: tak; antysymetria: nie; słaba antysymetria: nie; spójność: nie. Po zamianie „∨” na „∧” relacja staje się przechodnia.
Odp. 3. Zwrotność: tak; przechodniość: tak; symetria: nie; antysymetria: nie; słaba antysymetria: nie; spójność: tak. Po zamianie „R2 ” na „N2 ” relacja staje się słabo antysymetryczna.
Odp. 4. Zwrotność: nie; przechodniość: nie; symetria: tak; antysymetria: nie; słaba antysymetria: nie; spójność: nie.
Odp. 5. Zwrotność: nie; przechodniość: nie; symetria: tak; antysymetria: nie; słaba antysymetria: nie; spójność: nie. Po zamianie „2010” na „2” relacja staje się zwrotna i przechodnia (jest to wówczas relacja, którą
możemy opisać słownie: „x i y są w relacji, gdy mają tą samą parzystość).
Odp. 6. Relacja R1 jest to zbiór opisany następująco:
R1 = {hx, yi ∈ (N \ {0}) × (N \ {0}) : x|y} .
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
Z rysunku możemy odczytać, że badana relacja jest zwrotna (R1 zawiera przekątną), słabo antysymetryczna
(wynika to z tego, że wszystkie elementy relacji są na przekątnej lub powyżej niej).
Relacja R2 jest to zbiór opisany następująco:
R2 = {hx, yi ∈ N × N : x + y = 3} .
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
Z rysunku możemy odczytać, że badana relacja jest symetryczna (R2 jest symetryczna względem przekątnej),
ale nie jest zwrotna (R2 nie zawiera przekątnej).
R3 = {hx, yi ∈ R × R : |x − y| > 0} ,
lub, korzystając z własności wartości bezwzględnej,
R3 = {hx, yi ∈ R × R : x 6= y} .
89
7.3
Relacje porządkujące
7
RELACJE
R3 jest to więc cała płaszczyzna bez przekątnej.
R4 = hx, yi ∈ R × R : x2 y 2 .
2
1
0
−2 −1 0
−1
1
2
−2
Z rysunku możemy odczytać, że badana relacja jest zwrotna (R4 zawiera przekątną).
Odp. 7. Tak.
Odp. 8. Tak.
Odp. 9. Tak.
Odp. 10. Tak.
Odp. 11. Nie.
Odp. 12. Tak.
Odp. 13. Nie, o ile zbiór X jest niepusty. Załóżmy, że relacja R na zbiorze niepustym X jest zwrotna i
antysymetryczna. Weźmy dowolny x ∈ X. Ze zwrotności relacji wynika, że xRx. Z antysymetrii R wynika,
że jeżeli xRx, to ¬xRx, co jest sprzeczne ze zwrotnością R. Do tej sprzeczności doprowadziło nas fałszywe
założenie, że R jest jednocześnie spójna i antysymetryczna.
7.3
Relację R określoną na zbiorze X nazywamy relacją porządku jeżeli R jest zwrotna, przechodnia i słabo
antysymetryczna. Mówimy wówczas, że zbiór X jest uporządkowany przez relację R.
Relację R określoną na zbiorze X nazywamy relacją liniowego porządku jeżeli R jest relacją porządku
oraz R jest spójna (tj. R jest zwrotna, przechodnia, słabo antysymetryczna i spójna). Mówimy wówczas, że
zbiór X jest liniowo uporządkowany przez relację R.
Jeżeli R porządkuje zbiór X, to elementami wyróżnionymi relacji nazywamy
• elementy najmniejsze: a ∈ X jest elementem najmniejszym, jeżeli:
∀x∈X (aRx)
(element a jest mniejszy lub równy od dowolnego innego elementu x ∈ X);
• elementy minimalne: a ∈ X jest elementem minimalnym, jeżeli:
∀x∈X (xRa =⇒ x = a)
(element a nie jest większy od żadnego innego elementu x ∈ X);
• elementy największe: a ∈ X jest elementem największym, jeżeli:
∀x∈X xRa
(element a jest większy lub równy od dowolnego innego elementu x ∈ X);
• elementy maksymalne: a ∈ X jest elementem maksymalnym, jeżeli:
∀x∈X (aRx =⇒ x = a)
(element a nie jest mniejszy od żadnego innego elementu x ∈ X).
90
7.3
7
RELACJE
Zadanie 1. Niech relacja R ⊂ [0, +∞) × [0, +∞) będzie określona następująco
xRy ⇐⇒ x ¬ y.
Sprawdzić, że R jest relacją porządkującą [0, +∞). Znaleźć wszystkie elementy minimalne i maksymalne,
najmniejsze oraz największe. Czy relacja R jest relacją liniowego porządku?
Rozwiązanie. Najpierw musimy sprawdzić, że R jest zwrotna, przechodnia i słabo antysymetryczna:
• zwrotność: ponieważ dla dowolnego x rzeczywistego x ¬ x, więc R jest zwrotna;
• przechodniość: jeżeli x, y, z są rzeczywiste, x ¬ y oraz y ¬ z, to x ¬ z, więc R jest przechodnia;
• słaba antysymetria: jeżeli x, y są rzeczywiste, x ¬ y i y ¬ x, to x = y, więc R jest słabo antysymetryczna.
Liczba 0 jest elementem najmniejszym relacji R, ponieważ 0Ry (czyli 0 ¬ y) dla dowolnego y ∈ [0, +∞).
Liczba 0 jest też elementem minimalnym R, ponieważ dla dowolnego y ∈ [0, +∞), jeżeli yR0 (czyli y ¬ 0),
to y = 0. (Ogólnie: element najmniejszy, o ile istnieje, jest jedynym elementem najmniejszym relacji).
Relacja R nie ma elementu największego: gdyby a był największy, to mielibyśmy yRa (czyli y ¬ a) dla
każdego y ∈ [0, +∞), co nie jest prawdą np. dla y = a + 1. Relacja R nie ma elementu maksymalnego: gdyby
a był maksymalnego, to mielibyśmy y = a dla każdego y ∈ [0, +∞) takiego, że aRy (czyli a ¬ y), co nie jest
prawdą np. dla y = a + 1. (Ogólnie: wystarczy sprawdzić, że nie ma elementów maksymalnych, bo każdy
element największy musi być elementem maksymalnym).
Ponieważ dla każdej pary liczb x, y ∈ [0, +∞) xRy lub yRx (czyli x ¬ y lub y ¬ x), więc relacja R jest
spójna. Zatem jest to relacja liniowego porządku. Zadanie 2. Niech relacja R ⊂ (N \ {0}) × (N \ {0}) będzie określona następująco
xRy ⇐⇒ x|y.
Sprawdzić, że R jest relacją porządkującą N \ {0}. Znaleźć wszystkie elementy minimalne i maksymalne,
najmniejsze oraz największe.
Czy relacja R jest relacją liniowego porządku?
Jakie byłyby elementy wyróżnione R gdyby R była określona na zbiorze N \ {0, 1} zamiast N \ {0}?
Rozwiązanie. Rozwiązując zadanie 7.2 w rozdziale 7.2 sprawdziliśmy, że R jest zwrotna, przechodnia i słabo
antysymetryczna. R jest więc relacją porządkującą N \ {0}.
Elementem najmniejszym R jest 1, ponieważ 1Ry (1|y) dla każdego y. Element najmniejszy zawsze jest
jedynym elementem minimalnym relacji.
Elementów maksymalnych brak, ponieważ dla dowolnego elementu a w zbiorze N \ {0} istnieje y 6= a
taki, że aRy (np. 2a). Jeżeli nie ma elementów maksymalnych, to nie ma też elementu największego.
Diagram Hassego relacji R obciętej do zbioru {1, 2, . . . , 12} wygląda następująco:
8
12
4
6
9
10
2
3
5
7
11
1
Ponieważ nie wszystkie elementy są ze sobą w relacji (np. ¬2R3 i ¬3R2), więc relacja R nie jest relacją
liniowego porządku.
Diagram Hassego relacji R obciętej do zbioru {2, 3, . . . , 12} wygląda następująco:
91
7.3
7
8
12
4
6
9
10
2
3
5
7
RELACJE
11
Z diagramu możemy odczytać, że taka relacja ma wiele elementów minimalnych (liczby pierwsze) i nie ma
elementu najmniejszego. Zadanie 3. Podać przykład zbioru X i relacji R porządkującej X, która
1. ma element najmniejszy i dwa elementy maksymalne;
2. ma dwa elementy minimalne i trzy elementy maksymalne;
3. ma dokładnie jeden element maksymalny, ale nie ma elementu największego.
Rozwiązanie. Rozwiązanie zadania najwygodniej podać w postaci diagramu Hassego.
Przykładowa relacja z elementem najmniejszym (musi być jeden!) i dwóch elementach maksymalnych
(relacja jest określona na zbiorze {a, b, c}):
a
b
c
Można również zapisać tę relację poprzez wypisanie jej elementów:
R = {hc, ai, hc, ci, hc, bi, ha, ai, hb, bi} .
Przykładowa relacja z dwoma elementami minimalnymi i trzema elementami maksymalnymi: (relacja
jest określona na zbiorze {a, b, c, d}):
a
c
b
d
Zwróćmy uwagę, że element c jest zarówno elementem minimalnym, jak i maksymalnym. Można również
zapisać tę relację poprzez wypisanie jej elementów:
R = {hd, ai, hd, di, hd, bi, ha, ai, hb, bi, hc, ci} .
Przykładowa relacja z jednym elementem maksymalnym, ale bez elementu największego: (relacja jest
określona na zbiorze {a, 0, 1, 2, . . .}):
2
a
1
0
92
7.3
7
RELACJE
Można również zapisać tę relację:
R = {ha, ai, h0, ai} ∪ hx, yi ∈ N2 | x ¬ y .
Czy jest możliwe wskazanie przykładu takiej relacji na zbiorze skończonym? Zadanie 4. Niech X = {1, 2, 3}, R ⊂ P (X) × P (X) dana jest wzorem
xRy ⇐⇒ x ⊃ y.
Znaleźć wszystkie elementy wyróżnione R. Czy relacja R jest relacją liniowego porządku?
Rozwiązanie. Diagram Hassego relacji R wygląda następująco:
∅
{1}
{2}
{3}
{1, 2}
{1, 3}
{2, 3}
{1, 2, 3}
Z diagramu odczytujemy, że elementem najmniejszym jest {1, 2, 3} (jest to jednocześnie jedyny element
minimalny), a elementem największym jest ∅ (jest to też jedyny element maksymalny).
Ponieważ nie wszystkie elementy są ze sobą w relacji (np. ¬{1, 2}R{2, 3} oraz ¬{2, 3}R{1, 2}, więc R nie
jest spójna. Zatem R nie jest relacją liniowego porządku. Zadanie 5. Uzasadnić, że w porządku liniowym każdy element maksymalny jest największy.
Rozwiązanie. Niech a ∈ X będzie elementem maksymalnym w porządku liniowym hX, Ri. Weźmy dowolny
x ∈ X. Ponieważ R jest liniowym porządkiem, więc aRx lub xRa. Pokażemy dalej, że w obu przypadkach
xRa, z czego już od razu wynika, że a jest największy.
Jeżeli aRx, to z tego, że a jest maksymalny wynika, że x = a. Ponieważ R jest zwrotna, więc xRa.
Przypadek xRa jest oczywisty. Zadanie domowe
Zadanie 1. Niech X = {3n : n ∈ N} ∪ {2010}, a R zdefiniowana jest wzorem
xRy ⇐⇒ y|x.
Sprawdzić, że R jest porządkiem. Znaleźć elementy wyróżnione dla R. Czy R jest liniowym porządkiem?
Czy R byłby liniowym porządkiem, gdyby w definicji zbioru X zamienić miejscami liczby „3” i „2010”?
Zadanie 2. Niech X = R2 . Definiujemy relację R wzorem
hx1 , y1 iRhx2 , y2 i ⇐⇒ (x1 < x2 ∨ (x1 = x2 ∧ y1 ¬ y2 )) .
93
7.3
7
RELACJE
Zadanie 3. Na zbiorze liczb naturalnych definiujemy relację R następująco:
xRy ⇐⇒ x ma mniej cyfr niż y, lub (x, y mają tyle samo cyfr i x y).
Zadanie 4. Niech π(n) będzie liczbą różnych dzielników pierwszych liczby naturalnej n. R jest relacją
określoną na N \ {0, 1} wzorem
xRy ⇐⇒ (π (x) < π (y) ∨ (π (x) = π (y) ∧ x ¬ y)) .
Sprawdzić, że R jest porządkiem. Znaleźć elementy wyróżnione dla R. Czy R jest liniowym porządkiem? Jak
zmieniłyby się elementy wyróżnione R, gdyby w definicji relacji symbol „x ¬ y” zmienić na „x y”?
Zadanie 5. Podać przykład relacji która ma dokładnie jeden element minimalny, jeden element maksymalny,
ale nie ma elementu najmniejszego ani największego.
Zadanie 6. Niech X będzie zbiorem, a P (X) rodziną wszystkich podzbiorów zbioru X. Pokazać, że relacja
„⊂” porządkuje zbiór P (X). Znaleźć wszystkie elementy wyróżnione w zbiorze uporządkowanym P (X). Jak
zmienią się elementy wyróżnione R po obcięciu relacji do zbioru P (X) \ {X}?
Zadanie 7. Niech X będzie zbiorem wszystkich ciągów skończonych (przynajmniej jednowyrazowych) o
wyrazach należących do zbioru R. Dla dowolnych x, y ∈ X mówimy, że
xRy ⇐⇒ ciąg x jest odcinkiem początkowym ciągu y.
Zadanie 8. Niech X = N[0,1] (zbiór wszystkich funkcji określonych na odcinku [0, 1] o wyrazach naturalnych). Definiujemy relację R wzorem
f Rg ⇐⇒ ∀x∈[0,1] (f (x) ¬ g(x)).
Zadanie 9. Niech X będzie zbiorem ciągów o wyrazach rzeczywistych, a R będzie określona na X wzorem
(xn )R(yn ) ⇐⇒ lim xn − yn istnieje oraz lim xn − yn ¬ 0.
n→∞
n→∞
Odp. 1. Diagram Hassego relacji R wygląda następująco:
1
3
9
2010
27
94
7.3
7
RELACJE
Z diagramu odczytujemy, że elementem największym jest 1 (jest to też jedyny element maksymalny). Element
minimalny to 2010, elementu najmniejszego brak.
Ponieważ nie wszystkie elementy są ze sobą w relacji (np. 9R2010 oraz ¬2010R9, więc R nie jest spójna.
Zatem R nie jest relacją liniowego porządku.
Gdyby X = {2010n : n ∈ N} ∪ {3}, to ponieważ 3|2010, relacja R byłaby spójna — byłby to liniowy
porządek, z elementem największym 1, bez elementów minimalnych.
Odp. 2. Relacja R jest liniowym porządkiem bez elementów minimalnych ani maksymalnych.
Odp. 3. Relacja R jest liniowym porządkiem. Elementem najmniejszym jest 9, brak elementów maksymalnych.
Odp. 4. Relacja R jest liniowym porządkiem. Elementem najmniejszym jest 2, brak elementów maksymalnych.
Gdyby R była określona wzorem
xRy ⇐⇒ (π (x) < π (y) ∨ (π (x) = π (y) ∧ x y)) ,
to byłby to liniowy porządek bez elementów minimalnych i maksymalnych.
Odp. 5. Przykładowa relacja z jednym elementem maksymalnym, jednym elementem minimalnym, ale bez
elementu największego ani najmniejszego: (relacja jest określona na zbiorze {a, 0, 1, 2, . . .}):
1
a
0
-1
Można również zapisać tę relację:
R = {ha, ai} ∪ hx, yi ∈ Z2 | x ¬ y .
Odp. 6. Relacja R jest relacją porządkującą zbiór P (X). Elementem najmniejszym (i jedynym minimalnym)
jest ∅. Elementu największego brak, elementy maksymalne to zbiory postaci X \ {x} dla x ∈ X.
Jeżeli zbiór X ma mniej niż 3 elementy, to R jest relacją liniowego porządku. W przypadku, gdy X
ma przynajmniej 3 elementy (oznaczmy je np. a, b, c), to nie wszystkie elementy P (X) są ze sobą w relacji (np. {a, b}R{b, c} oraz ¬{b, c}R{a, b}, więc R nie jest spójna. Zatem, w przypadku gdy zbiór X ma
przynajmniej 3 elemety, R nie jest relacją liniowego porządku.
Odp. 7. Relacja R nie jest relacją liniowego porządku (np. ciągi jednoelementowe (1) i (2) nie są ze sobą w
relacji). Elementami minimalnymi są wszystkie ciągi jednoelementowe, elementów maksymalnych, największych i najmniejszych brak.
Odp. 8. Elementem najmniejszym (i jedynym minimalnym) relacji R jest funkcja stała równa 0. Elementów
maksymalnych i największych brak.
Relacja R nie jest relacją liniowego porządku. Jako przykład elementów zbioru X, które nie są ze sobą
w relacji można wziąć funkcje f i g określone wzorami:
0 dla x < 12 ;
f (x) =
1 dla x 12 ;
g(x) =
1 dla x < 12 ;
0 dla x 12 .
95
7.4
Relacje równoważności. Zasada abstrakcji.
7
RELACJE
Odp. 9. Elementów minimalnych, maksymalnych, najmniejszych i największych brak.
Relacja R nie jest relacją liniowego porządku. Jako przykład elementów zbioru X, które nie są ze sobą
w relacji można wziąć ciągi xn = (−1)n i yn = 0.
7.4
Relację R określoną na zbiorze X nazywamy relacją równoważności jeżeli R jest zwrotna, przechodnia i
symetryczna.
Jeżeli R jest relacją równoważności na X, a a ∈ X, to symbolem [a]R oznaczamy zbiór tych elementów
X, które są w relacji R z a, tj.
[a]R = {x ∈ X | xRa} .
Zbiór [a]R nazywamy klasą abstrakcji elementu a.
Zasada abstrakcji mówi, że dowolna relacja równoważności dzieli zbiór X na rozłączne klasy abstrakcji. Twierdzenie odwrotne również jest prawdziwe: jeżeli mamy daną partycję zbioru X, to istnieje relacja
równoważności dla której elementy tej partycji są klasami abstrakcji.
Zadanie 1. Sprawdzić, że R ⊂ N × N jest relacją równoważności, jeżeli
xRy ⇐⇒ 2|(x + y).
Opisać klasy abstrakcji R.
Rozwiązanie. Musimy sprawdzić, że relacja R jest zwrotna, przechodnia i symetryczna:
• zwrotność: sprawdzamy, że xRx dla dowolnego x — wynika to z tego, że 2|(x + x);
• przechodniość: jeżeli xRy i yRz, to x + y = 2k, y + z = 2l dla pewnych k, l ∈ N, po dodaniu stronami
otrzymujemy x + z = 2(l + k − y), czyli xRz;
• symetria: xRy oznacza, że 2|(x + y), skąd wynika, że 2|(y + x), czyli yRx.
Klasą abstrakcji a jest zbiór wszystkich liczb naturalnych x takich, że 2|(a + x) — są to wszystkie liczby
o tej samej parzystości co a. Relacja R dzieli więc N na dwie klasy abstrakcji: liczby parzyste, i liczby
nieparzyste. Zadanie 2. Zbadać, czy relacja R określona na zbiorze X = {1, 2, 3} jest relacją równoważności, jeżeli
xRy ⇐⇒ x + y 6= 3.
Rozwiązanie. Sprawdzamy zwrotność, przechodniość i symetrię:
• relacja R jest zwrotna (sprawdzamy po kolei wszystkie przypadki: 1R1, 2R2 i 3R3);
• relacja R nie jest przechodnia, bo np. 1R3, 3R2, ale ¬1R2;
• relacja R jest symetryczna (jeżeli xRy, to x + y = y + x 6= 3, czyli yRx).
Relacja R nie jest relacją równoważności. Uwaga: oczywiście do rozwiązania tego zadania wystarczy sprawdzenie, że R nie jest przechodnia (sprawdzenie zwrotności i symetrii nie było konieczne). Zadanie 3. Niech R będzie relacją określoną na N w następujący sposób
xRy ⇐⇒ x oraz y mają tyle samo cyfr.
Sprawdzić, że R jest relacją równoważności. Podać klasy abstrakcji [3]R , [7]R [13]R .
• relacja R jest zwrotna (każda liczba naturalna x ma tyle samo cyfr co x);
96
7.4
7
RELACJE
• relacja R jest przechodnia (jeżeli x ma tyle samo cyfr co y, y ma tyle samo cyfr co z, to x ma tyle
samo cyfr co z);
• relacja R jest symetryczna (jeżeli x ma tyle samo cyfr co y, to y ma tyle samo cyfr co x).
Klasa abstrakcji liczby x, to zbiór wszystkich liczb naturalnych, które mają tyle samo cyfr, co x:
[3]R = [7]R = {0, 1, 2, . . . , 9},
[13]R = {10, 11, 12, . . . , 99}.
Zadanie 4. Wykazać, że relacja R ⊂ R × R określona następująco
hx, yi ∈ R ⇐⇒ (x − y ∈ Z)
jest relacją równoważności. Opisać klasy abstrakcji R.
• relacja R jest zwrotna (x − x = 0 ∈ Z);
• relacja R jest przechodnia (jeżeli x − y = c1 ∈ Z oraz y − z = c2 ∈ Z, to (po dodaniu stronami)
x − z = c1 + c2 ∈ Z);
• relacja R jest symetryczna (jeżeli x − y ∈ Z, to y − x = x − y ∈ Z).
Klasa abstrakcji liczby rzeczywistej x, to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różniących się od x o
wartość całkowitą (są to liczby o tej samej części ułamkowej), np.
2
2 2 1 1 1
1
= . . . − 2 , −1 , − , , 1 , 2 , . . . .
3 R
3
3 3 3 3 3
Zadanie 5. Rozpatrzmy podział płaszczyzny R2 na proste Lt (proste przecinające oś OX pod kątem π/4
w punkcie ht, 0i). Podać przykład relacji równoważności, której klasami abstrakcji są Lt .
Rozwiązanie. Musimy podać przykład takiej relacji R określonej na R2 , że hx1 , x2 iRhy1 , y2 i wtedy i tylko
wtedy, gdy hx1 , x2 i i hy1 , y2 należą do tej samej prostej Lt .
Samo powyższe sformułowanie jest już poprawną definicją relacji, ale będziemy szukać opisu bardziej
analitycznego.
Zauważmy, że prosta Lt opisana jest wzorem y = x − t, czyli
hx1 , x2 i ∈ Lt ⇐⇒ x2 = x1 − t,
hy1 , y2 i ∈ Lt ⇐⇒ y2 = y1 − t.
Eliminując t z powyższej pary równań otrzymujemy, że
hx1 , x2 iRhy1 , y2 i ⇐⇒ y2 − x2 = y1 − x1 .
97
7.4
7
RELACJE
Zadanie domowe
Zadanie 1. Dla danego zbioru X oraz relacji R ⊂ X 2 zbadać, czy R jest relacją równoważności. W przypadku odpowiedzi twierdzącej opisać klasy abstrakcji relacji R.
1. X = R2 , hx1 , x2 iRhy1 , y2 i ⇐⇒ x2 = y2 ;
2. X = R2 , hx1 , x2 iRhy1 , y2 i ⇐⇒ x1 = y2 ;
3. X = R2 , hx1 , x2 iRhy1 , y2 i ⇐⇒ (x1 = y2 ∧ x2 = y1 );
4. X = R, xRy ⇐⇒ x − y = 2010;
5. X = N, xRy ⇐⇒ 2010|(x − y);
6. X = liczby parzyste, xRy ⇐⇒ 3|(x − y);
7. X = N, xRy
naturalnej x;
⇐⇒ π(x) = π(y), gdzie π(x) oznacza liczbę różnych dzielników pierwszych liczby
8. X = R, xRy ⇐⇒ x2 ¬ y 2 ;
9. X = zbiór ciągów zbieżnych, (xn )R(yn ) ⇐⇒ limn→∞ xn = limn→∞ yn ;
10. X = zbiór ciągów, (xn )R(yn ) ⇐⇒ limn→∞ xn − yn istnieje oraz limn→∞ xn − yn = 0;
11. X = zbiór macierzy kwadratowych, xRy ⇐⇒ det x = det y;
12. X = C1 [0, 1], f Rg ⇐⇒ f 0 = g 0 , gdzie C1 [0, 1] oznacza zbiór funkcji różniczkowalnych o ciągłej
pochodnej, a f 0 oznacza pochodną funkcji f .
Zadanie 2. Wykazać, że relacja R ⊂ R × R określona następująco
hx, yi ∈ R ⇐⇒ (x − y ∈ Q)
jest relacją równoważności.
Zadanie 3. Niech R będzie relacją określoną na N w następujący sposób
xRy ⇐⇒ x oraz y mają taką samą ostatnią cyfrę.
Sprawdzić, że R jest relacją równoważności. Podać klasy abstrakcji [3]R , [77]R [13]R .
Zadanie 4. Dany jest podział R na odcinki Am = [m, m+1). Wskazać relację równoważności, której klasami
abstrakcji są Am .
Zadanie 5. Dany jest podział N na zbiór liczb parzystych i zbiór liczb nieparzystych. Wskazać relację
równoważności, której klasami abstrakcji są te zbiory.
Zadanie 6. Rozpatrzmy podział płaszczyzny R2 na okręgi Or (o środku w punkcie h0, 0i i promieniu r).
Podać przykład relacji równoważności, której klasami abstrakcji są Or .
Zadanie 7. Czy dla dowolnego X 6= ∅ można określić relację R na X porządkującą X tak, by R była
jednocześnie relacją równoważności na X?
98
7.4
7
RELACJE
Odp. 1.
1. Jest to relacja równoważności. Klasy abstrakcji to proste poziome.
2. Nie jest to relacja równoważności.
5. Jest to relacja równoważności. Jest 2010 klas abstrakcji: są to zbiory elementów dających taką samą
resztę przy dzieleniu przez 2010.
6. Jest to relacja równoważności. Są 3 klasy abstrakcji: są to zbiory liczb parzystych dających taką samą
resztę przy dzieleniu przez 3.
7. Jest to relacja równoważności. Klasy abstrakcji to zbiory liczb o tej samej ilości dzielników pierwszych
(np. jedną z klas abstrakcji jest zbiór liczb pierwszych).
9. Jest to relacja równoważności. Klasy abstrakcji to ciągi zbieżne do tej samej granicy.
10. Jest to relacja równoważności. Klasą abstrakcji ciągu (xn ) jest zbiór wszystkich ciągów postaci (xn +yn ),
gdzie (yn ) jest zbieżny do 0.
11. Jest to relacja równoważności. Klasy abstrakcji to zbiory macierzy o tej samej wartości wyznacznika.
12. Jest to relacja równoważności. Klasy abstrakcji to zbiory funkcji różniących się o stałą.
Odp. 3.
[3]R = [13]R = {3, 13, 23, 33, . . . , 93, 103, 113, . . .} ,
[77]R = {7, 17, 27, . . . , 97, 107, . . .} .
Odp. 4. Przykładowa definicja takiej relacji R ⊂ R × R, to
xRy ⇐⇒ część całkowita x jest taka sama jak część całkowita y.
Odp. 5. Przykładowa definicja takiej relacji R ⊂ N × N, to
xRy ⇐⇒ reszta z dzielenia x przez 2 jest taka sama jak reszta z dzielenia y przez 2,
lub
xRy ⇐⇒ 2|(x − y),
lub
xRy ⇐⇒ 2|(x + y).
Uwaga: wszystkie te wzory definiują tę samą relację.
Odp. 6. Zauważmy, że dwa punkty hx1 , x2 i, hy1 , y2 i należą do Or gdy ich odległość od punktu h0, 0i jest
równa r. Dwa punkty należą do tego samego okręgu Or , gdy ich odległości od środka układu współrzędnych
są sobie równe. Definicja relacji R ⊂ R × R może więc wyglądać następująco:
hx1 , x2 iRhy1 , y2 i ⇐⇒ odległość hx1 , x2 i od h0, 0i jest taka sama jak odległość hy1 , y2 i od h0, 0i,
lub
hx1 , x2 iRhy1 , y2 i ⇐⇒ x21 + x22 = y12 + y22 .
Odp. 7. Relacja „=” jest jednocześnie relacją porządku i relacją równoważności. Jest to jedyna taka relacja,
ponieważ gdyby xRy zachodziło dla chociaż jednej pary x 6= y, to z symetrii relacji równoważności wynikałoby, że yRx, co (z słabej antysymetrii relacji porządkującej) pociągnęłoby za sobą x = y (sprzeczność).
99
7.4
7
RELACJE
Sprawdzian
Grupa 1
Zadanie 1. Wykazać, że X × (Y ∪ Z) = (X × Y ) ∪ (X × Z).
Zadanie 2. Podać przykład zbioru X i relacji porządku R na X takiej, że R ma dwa elementy maksymalne
i jeden element najmniejszy. Czy R może mieć element największy?
Zadanie 3. Niech R ⊂ N2 będzie relacją daną wzorem aRb ⇐⇒ 4|a − b. Sprawdzić, że R jest relacją
równoważności. Wskazać klasy abstrakcji relacji R.
Grupa 2
Zadanie 1. Wykazać, że A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
Zadanie 2. Podać przykład zbioru X i relacji porządku R na X takiej, że R ma dwa elementy minimalne
i jeden element największy. Czy R może mieć element najmniejszy?
Zadanie 3. Niech R ⊂ N2 będzie relacją daną wzorem aRb ⇐⇒ 3|a − b. Sprawdzić, że R jest relacją
równoważności. Wskazać klasy abstrakcji relacji R.
Grupa 3
Zadanie 1. Wykazać, że (X ∪ Y ) × Z = (X × Z) ∪ (Y × Z).
Zadanie 2. Podać przykład zbioru X i relacji porządku R na X takiej, że R ma trzy elementy maksymalne
i jeden element najmniejszy. Czy R może mieć element największy?
Zadanie 3. Niech R ⊂ N2 będzie relacją daną wzorem
aRb ⇐⇒ a ma tyle samo cyfr co b.
Sprawdzić, że R jest relacją równoważności. Opisać klasy abstrakcji [3]R i [11]R .
Grupa 4
Zadanie 1. Wykazać, że (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
Zadanie 2. Podać przykład zbioru X i relacji porządku R na X takiej, że R ma trzy elementy minimalne
i jeden element największy. Czy R może mieć element najmniejszy?
Zadanie 3. Niech R ⊂ N2 będzie relacją daną wzorem
aRb ⇐⇒ pierwsza cyfra a jest taka sama jak pierwsza cyfra b.
Sprawdzić, że R jest relacją równoważności. Opisać klasy abstrakcji [3]R i [11]R .
100
8
8
KOLOKWIUM
Kolokwium
Grupa 1
Zadanie 1. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru {{a, b} , {a}}.
Zadanie 2. Sprawdź, czy funkcja f : N3 → N dana wzorem f (n, k, l) = 2n · 3k · 6l jest różnowartościowa.
Zadanie 3. Znajdź f [A] dla funkcji f : N × N → N danej wzorem f (n, m) = max(n, m) i zbioru A =
{2007} × N.
Zadanie 4. Narysuj diagram Hassego zbioru X = {1, 2, 3, 5, 7, 210} częściowo uporządkowanego relacją
podzielności. Wskaż elementy minimalne i maksymalne, a także element największy i najmniejszy, o ile
istnieją.
\ [
Zadanie 5 (trudniejsze). Wyznacz zbiór
Aq,r , gdy Aq,r = {x ∈ R : |x − q| < r}.
q∈Q r>0
Grupa 2
Zadanie 1. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru {{a, b, c} , c}.
Zadanie 2. Sprawdź, czy funkcja f : N3 → N dana wzorem f (n, k, l) = 2n · 3k · 7l jest „na”.
Zadanie 3. Znajdź f −1 [A] dla funkcji f : N × N → N danej wzorem f (n, m) = max(n, m) i zbioru
A = {2007}.
Zadanie 4. Narysuj diagram Hassego zbioru
X = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1, 6}, {1, 2, 3, 6}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}}
częściowo uporządkowanego relacją zawierania. Wskaż elementy minimalne i maksymalne, a także element
największy i najmniejszy, o ile istnieją.
[ \
Zadanie 5 (trudniejsze). Wyznacz zbiór
Aq,r , gdy Aq,r = {x ∈ R : |x − q| < r}.
q∈Q r>0
Grupa 3
Zadanie 1. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru {{{a}} , {a} , a}.
[
\
Zadanie 2. Znajdź
At i
At , gdy At = {x ∈ R : x2 + (2 − t)x − 2t = 0}.
t∈R
t∈R
Zadanie 3. Znajdź f [A] dla funkcji f : R → R danej wzorem f (x) = x2 − 3x + 2 i zbioru A = [0, 1].
Zadanie 4. Narysuj diagram Hassego zbioru X = {1, 2, 3, 5, 10, 15, 30} częściowo uporządkowanego relacją
istnieją.
Zadanie 5 (trudniejsze). Udowodnij, że zbiór {f : N → N : funkcja f jest „1-1”} jest mocy continuum.
Grupa 4
Zadanie 1. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru {{a, b} , {{a, b}} , ∅}.
Zadanie 2. Znajdź
∞
[
n=1
An i
∞
\
1
n
¬ x ¬ n}.
n=1
Zadanie 3. Znajdź f −1 [A] dla funkcji f : R → R danej wzorem f (x) = x2 − 3x + 2 i zbioru A = {−3, −4}.
101
8
KOLOKWIUM
X = {{2}, {5}, {7}, {13}, {17}, {2, 3}, {2, 3, 5, 7, 11}, {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}}
Zadanie 5 (trudniejsze). Udowodnij, że zbiór {f : N → N : funkcja f jest „na”} jest mocy continuum.
Grupa 5
Zadanie 1. Znajdź
[
t∈R
\
At i
At , gdy At = {x ∈ R : x2 + (2 − t2 )x − 2t2 = 0}.
t∈R
Zadanie 2. Sprawdź, czy funkcja f : N2 → N dana wzorem f (n, k) = n + k + 2007 jest różnowartościowa.
Zadanie 4. Narysuj diagram Hassego zbioru X = {1, 2, 3, 5, 7, 210} częściowo uporządkowanego relacją
istnieją.
Zadanie 5 (trudniejsze). Znajdź relację równoważności w zbiorze R, której wszystkie klasy abstrakcji
mają moc continuum i zbiór klas abstrakcji ma moc continuum.
Grupa 6
Zadanie 1. Znajdź
∞
[
n=1
An i
∞
\
An , gdy An = {x ∈ R : n2 < x < n + 100}.
n=1
Zadanie 2. Sprawdź, czy funkcja f : N2 → N dana wzorem f (n, k) = n · k jest „na”.
X = {{2}, {2, 3}, {2, 5}, {2, 11}, {2, 3, 7, 11}, {2, 5, 11, 13}, {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}}
Zadanie 5 (trudniejsze). Znajdź funkcję f : R → R taką, że dla każdego r ∈ R, zbiór f −1 [{r}] ma moc
continuum.
102
LITERATURA
LITERATURA
Literatura
[1] W. Guzicki, P. Zakrzewski. Wstęp do matematyki. Zbiór zadań. Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa, 2005.
[2] W. Guzicki, P. Zakrzewski. Wykłady ze wstępu do matematyki. Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa, 2005.
[3] K. Kuratowski. Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa,
2004.
[4] W. Marek, J. Onyszkiewicz. Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach. Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa, 2004.
103

Wstęp do matematyki - Instytut Informatyki UG

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zbiory daktyloskopijne i ich praktyczne wykorzystanie

matematyka

AFRYKA. PODRÓ ¯ WZD£ U¯ NILU

rolety - Sieradzka TV Media

Prawo podwójnego przeczenia Prawa de Morgana

STA¯ p³atny przy digitalizacji zbiorów CSWx