AlgTM 5 Liczby zespolone Def. Liczbą zespoloną nazywamy

AlgTM, zima 2013/2014, A.Sz.
AlgTM 5
Liczby zespolone
Def. Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych.
(x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) ⇔ x1 = x2 ∧ y1 = y2 .
Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez C.
Niech z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ).
Suma liczb zespolonych: z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ).
Iloczyn liczb zespolonych: z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ).
Zbiór {(x, 0) : x ∈ R} utożsamiamy ze zbiorem liczb rzeczywistych. Zamiast (x, 0) piszemy x.
Def. Liczbę zespoloną (0, 1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy j.
z = x + yj, x, y ∈ R
postać algebraiczna (kanoniczna) liczby zespolonej
Re z = x
część rzeczywista
Im z = y
część urojona
Uwaga. z1 = z2 ⇔ Re z1 = Re z2 ∧ Im z1 = Im z2
Uwaga. Re (z1 + z2 ) = Re z1 + Re z2 oraz Im (z1 + z2 ) = Im z1 + Im z2 dla dowolnych z1 , z2 ∈ C.
Działania na liczbach zespolonych w postaci kanonicznej
z1 = x1 + y1 j,
z2 = x2 + y2 j
1. z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )j
2. z1 − z2 = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 )j
3. z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 )j
z1
x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2
4.
=
+
j dla z2 6= 0.
z2
x22 + y22
x22 + y22
Def. Sprzężeniem liczby zespolonej z = x + yj, x, y ∈ R nazywamy liczbę z = x − yj.
√
Def. Modułem liczby zespolonej z = x + yj, x, y ∈ R nazywamy liczbę |z| = x2 + y 2 .
Własności sprzężenia
z, z1 , z2 ∈ C
1. z1 + z2 = z 1 + z 2
2. z1 − z2 = z 1 − z 2
Własności modułu
z1 , z2 , z ∈ C
1. |z| = 0 ⇔ z = 0
2. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
3. z1 · z2 = z 1 · z 2
3. zz21 =
1
|z1 |
,
|z2 |
z2 6= 0
4.
z1
z2
=
z1
z2
4. |z| = |z|
5. (z) = z.
5. |z|2 = z · z
AlgTM, zima 2013/2014, A.Sz.
Liczbę z = x + yj, x, y ∈ R możemy przedstawić na płaszczyźnie jako punkt o współrzędnych
(x, y). Miarę ϕ kąta skierowanego utworzonego przez dodatnią półoś osi rzeczywistej i odcinek łączący z 6= 0 z początkiem układu współrzędnych nazywamy argumentem liczby z i
oznaczamy arg z. Argument liczby z nazywamy głównym jeśli należy do przedziału (−π, π].
Niech r = |z|.
Dowolną liczbę z 6= 0 możemy zapisać w postaci trygonometrycznej z = r(cos ϕ + j sin ϕ).
Uwaga. Niech z1 = r1 (cos ϕ1 + j sin ϕ1 ), z2 = r2 (cos ϕ2 + j sin ϕ2 ), r1 , r2 > 0, ϕ1 , ϕ2 ∈ R.
Wówczas z1 = z2 ⇔ r1 = r2 ∧ ∃k ∈ Z ϕ1 = ϕ2 + 2kπ
Działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej
z1 = r1 (cos ϕ1 + j sin ϕ1 ), z2 = r2 (cos ϕ2 + j sin ϕ2 ), z = r(cos ϕ + j sin ϕ), r1 , r2 , r > 0
1. z1 · z2 = r1 · r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + j sin(ϕ1 + ϕ2 ))
r1
z1
2.
= (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + j sin(ϕ1 − ϕ2 ))
z2
r2
n
3. z = rn (cos(nϕ) + j sin(nϕ)), dla n ∈ N+ (wzór Moivre’a)
4. z = r(cos(−ϕ) + j sin(−ϕ))
5. −z = r(cos(ϕ + π) + j sin(ϕ + π))
Wzór Eulera: ejϕ = cos ϕ + j sin ϕ.
Dowolną liczbę zespoloną z 6= 0 można wyrazić w postaci wykładniczej z = rejϕ ,
gdzie r = |z|, ϕ = arg z.
Def. Liczbę t ∈ C nazywamy pierwiastkiem stopnia n ∈ N+ z liczby z ∈ C, jeśli tn = z.
Uwaga. Dla dowolnego n ∈ N+ jedynym pierwiastkiem stopnia n z liczby 0 jest 0.
Tw. Jeśli z 6= 0 to istnieje dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n ∈ N+ z liczby z.
Pierwiastki stopnia n ∈ N+ z liczby z = r(cos ϕ + j sin ϕ), r ∈ R+ , ϕ ∈ R,
wyrażają się wzorami:
!
√
ϕ
+
2kπ
ϕ
+
2kπ
tk = n r cos
+ j sin
, gdzie k ∈ Z, 0 ¬ k ¬ n − 1.
n
n
Pierwiastek stopnia n ∈ N+ z liczby zespolonej z 6= 0, który ma najmniejszy nieujemny argument nazywamy pierwiastkiem głównym stopnia n z z.
Uwaga. Pierwiastki stopnia n ∈ N+ z liczby zespolonej z 6= 0 rozkładają się równomiernie na
okręgu o promieniu |z|.
2
AlgTM, zima 2013/2014, A.Sz.
√
Symbolem n z oznaczać będziemy zbiór wszystkich pierwiastków n - tego stopnia z z.
√
n
z = {t ∈ C : tn = z}
Pierwiastki stopnia n ∈ N+ z 1 będziemy umownie oznaczać symbolami ωk , 0 ¬ k ¬ n − 1.
2kπ
2kπ
2π
2π
ωk = cos
+ j sin
= cos
+ j sin
n
n
n
n
k
= ω1k
Uwaga. Zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n ∈ N+ z 1 wraz z mnożeniem tworzy grupę.
Uwaga. Suma wszystkich pierwiastków stopnia n ­ 2 z 1 jest równa 0.
Tw. Niech t ∈ C będzie dowolnym pierwiastkiem stopnia n ∈ N+ z liczby zespolonej z 6= 0.
√
Wówczas n z = {t · ωk : k ∈ Z ∧ 0 ¬ k ¬ n − 1}.
3