"Teoria miary"

Transkrypt

"Teoria miary"

Krzysztof Rykaczewski
Teoria miary
Przegląd zagadnień
[email protected]
http://www.mat.uni.torun.pl/˜mozgun/
Nicolaus Copernicus University
2007
SPIS TREŚCI
Spis treści
1
1 Podstawy
1
1.1
Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Miara zewnętrzna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Miary skończone i nieskończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Zupełność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.6
Przykłady miar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.7
Produkty miar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.8
Miara Lebesgue’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.9
Własności „prawie wszędzie” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.10 Podstawy teorii całki (Lebesgue’a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.11 Zbiory niemierzalne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.12 Rozszerzenia pojęcia miary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Bibliografia
17
Skorowidz
18
1
Streszczenie
okument ten ma służyć jako streszczenie (bez dowodów) podstawowych zagadnień występujących
D
w teorii miary. Jest on zaplanowany na jeden wykład, ale mam nadzieję kiedyś (przy jakiejś sposobności) go poszerzyć.
Podamy definicję σ-ciała, miary oraz podstawowe fakty z jej teorii. W kolejnych sekcjach skoncentrujemy się na mierze Lebesgue’a oraz podamy definicję całki Lebesgue’a. Podamy też przykłady zbiorów
niemierzalnych.
Skrypt ten jest pomyślany jako przegląd zagadnień dla studentów I-szego roku matematyki.
Chciałbym podziękować M. Karpiczowi za wnikliwe przeczytanie dokumentu, skomentowanie go, poprawienie błędów oraz liczne wskazówski. Podziękowania należą się też Z. Błaszczykowi za inspirację do
napisania tej pracy.
Toruń, 9 listopada 2007
ROZDZIAŁ
1
PODSTAWY
1.1
Wstęp
W matematyce miara jest uogólnieniem takich rzeczy jak długość, powierzchnia i objętość. Dlatego miara może być czasami interpretowana jako wielkość fizyczna. Głównym zastosowaniem miary jest
zdefiniowanie całki, która jest w sposób nierozdzielny związana z miarą. Takie uogólnione definicje całek pojawiają się np. w teorii prawdopodobieństwa i analizie matematycznej. W analizie matematycznej
teoria miary stała się podstawą nowoczesnego rozumienia pojęcia całki od roku 1902 r., kiedy to Henri
Lebesgue zaproponował swoją konstrukcję całki opartej na pojęciu miary.
Intuicja podpowiada, że miarą zbioru otwartego (a, b) można nazwać liczbę b − a. Ogólnie miarę
odcinka I będziemy oznaczać przez |I|. Jeśli jest to zbiór pusty, to oczywiście jesgo miara wynosi 0.
Wiadomo, że każdy zbiór otwarty zawarty w R jest sumą co najwyżej przeliczalnej mnogości przedziałów otwartych. Stąd każdy otwarty podzbiór G ⊂ R można przedstawić w postaci
G=
∞
[
In ,
Ii ∩ Ij = ∅ dla i 6= j,
(1.1)
n=0
gdzie Ii są przedziałami otwartymi w R. Miarę tego zbioru określamy jako
|G| =
∞
X
|In |,
(1.2)
n=0
jeśli ten szereg jest zbieżny; w przeciwnym przypadku powiemy, że G ma miarę nieskończoną.
Powstaje pytanie: czy istnieje funkcja (miara) określona na każdym podzbiorze prostej R o wartościach
nieujemnych, która by dodatkowo spełniała warunki:
1. µ(∅) = 0,
2. µ (A ∩ B) = µ(A) + µ(B), dla dowolnych i rozłącznych podzbiorów A, B prostej R.
1
Okazuje się, że takiej funkcji nie ma. I problem nie tkwi w tym, że za dużo zakładamy od takiej funkcji
(popatrzmy, że musi ona spełnić tylko dość elementarne warunki 1. i 2.). Problem w tym, że dla zbyt dużej
klasy zbiorów chcemy aby była ona określona, tj. dla każdego podzbioru prostej R. Rodzina podzbiorów,
na których może być zdefiniowana miara musi spełniać pewne warunki (mówimy, że musi być σ-algebrą,
σ-ciałem).
Definicja 1.1.1. Niech X będzie zbiorem. Wtedy σ-ciałem nazywamy taką rodzinę M podzbiorów X, która
spełnia następujące warunki:
1. ∅ ∈ M,
2. jeśli A ∈ M, to X \ A ∈ M,
S∞
3. Jeśli A1 , A2 , . . . ∈ M jest rodziną zbiorów mierzalnych, to i=1 Ai (w przypadku, gdy ta własność
zachodzi dla skończonej ilości zbiorów mówimy o ciele zbiorów).
Zbiory z rodziny M nazywamy zbiorami mierzalnymi, a parę (X, M) przestrzenią mierzalną.
Uwaga 1.1.1. Ponieważ każde σ-ciało jest zamknięte na przekroje przeliczalne, to przekrój dowolnej
rodziny σ-ciał na X jest znów σ-ciałem zbiorów. Dowodzi się, że dla dowolnej rodziny A podzbiorów zbioru
X istnieje najmniejsze σ-ciało zbiorów zawierające wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywa się je σ-ciałem
generowanym przez tę rodzinę i oznacza symbolem σ(A) bądź hAi. Niech F będzie σ-ciałem podzbiorów
X, a I będzie σ-ideałem podzbiorów X. Wówczas σ-ciałem generowanym przez F ∪ I jest zbiór
σ(F ∪ I) = {A4B : A ∈ F oraz B ∈ I} ,
gdzie 4 oznacza operację różnicy symetrycznej.
Przykład 1.1.1. Rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru X jest najmniejszym σ-ciałem określonym
na X.
Najmniejszą σ-algebrę podzbiorów R zawierającą zbiory otwarte nazywamy σ-algebrą zbiorów borelowskich. Oznaczamy ją B.
Niech K będzie σ-ideałem zbiorów pierwszej kategorii (w sensie Baire’a). Wówczas
σ(B ∪ K) = {O4K : K ∈ K oraz O jest zbiorem otwartym}
jest σ-ciałem zbiorów o własności Baire’a.
Ćwiczenie 1.1.1. Udowodnić:
1. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Wtedy (X, 2X ) jest przestrzenią mierzalną.
2. B jest najmniejszą σ-algebrą zawierającą zbiory domknięte.
3. Czy zbiory Q oraz R \ Q są mierzalne?
Ćwiczenie 1.1.2. Jeśli A i B są mierzalne, to A ∩ B jest mierzalny. Ogólnie: skończone iloczyny nie
wyprowadzają nas poza rodzinę M.
Hint. Skorzystać z relacji na zbiorach.
Definicja 1.1.2. Formalnie miarą nazywamy funkcję µ : M → [0, +∞) ∪ {+∞} =: R+ zdefiniowaną na
σ-algebrze podzbiorów zbioru X spełniającą warunki:
Podstawy teorii miary, 2007
2
1. µ(∅) = 0,
2. σ-addytywność, tzn. dla przeliczalnej rodziny rozłącznych zbiorów E1 , E2 , E3 , . . . ∈ M (czyli Ei ∩Ej =
∅ dla i 6= j) mamy
!
∞
∞
[
X
µ
Ei =
µ(Ei ).
(1.3)
i=1
Uwaga 1.1.2. Zauważmy, że wtedy szereg
P∞
i=1
i=1
µ(Ei ) jest bezwzględnie zbieżny (ćwiczenie).
Jeśli miara przyjmuje wartości nie większe niż 1, to mówimy, że mamy do czynienia z miarą unormowaną. Miarą probabilistyczną nazywamy taką miarę, że µ(X) = 1. Przestrzenią probabilistyczną nazywamy
przestrzeń z miarą probabilistyczną.
Przestrzenią z miarą nazywamy trójkę (X, M, µ).
Początkowo warunek drugi w definicji był warunkiem skończonej addytywności, tzn. dla każdej rozłącznej i skończonej rodziny zbiorów E1 , E2 , E3 , . . . , En zachodzi
!
n
n
[
X
Ei =
µ
µ(Ei ),
(1.4)
i=1
i=1
jednak warunek ten nie okazał się przydatny w zastosowaniach (zobacz miara Jordana - przykład 7).
Poprawę warunku 3 w definicji miary zawdzięczamy Borelowi. Zauważmy, że jeśli µ jest przeliczalnie
addytywna, to jest addytywna, czyli ta druga klasa okazała się większa (nawet za duża dla dobrej teorii!).
1.2
Własności
Nasępujące własności mogą być bezpośrednio wyprowadzone z definicji miary.
1. (Monotoniczność) Jeśli E1 ⊂ E2 będą zbiorami mierzalnymi, to µ(E1 ) ¬ µ(E2 ).
2. (σ-podaddytywność) Jeśli E1 , E2 , E3 , . . . są zbiorami mierzalnymi, to
!
∞
∞
[
X
µ
Ei ¬
µ(Ei ).
i=1
(1.5)
i=1
3. Jeśli µ(B) < ∞, oraz A ⊂ B, to µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).
4. (Ciągłość z dołu) Jeśli E1 , E2 , E3 , . . . są zbiorami mierzalnymi oraz dla każdego n ∈ N zachodzi
En ⊂ En+1 , to
!
∞
[
µ
Ei = lim µ(Ei ).
(1.6)
i=1
i→∞
5. (Ciągłość z góry) Jeśli E1 , E2 , E3 , . . . są zbiorami mierzalnymi, dla każdego n ∈ N zachodzi En ⊃
En+1 oraz dla pewnego n0 miara En0 jest skończona, to
!
∞
\
µ
Ei = lim µ(Ei ).
(1.7)
i=1
i→∞
Uwaga 1.2.1. Własność 4 nie
T∞zachodzi, jeśli wszystkie zbiory są miary nieskończonej. Istotnie, oznaczmy
En := [n, +∞) ⊂ R. Wtedy i=1 Ei = ∅, ale limi→∞ µ(Ei ) = +∞.
3
1.3
Miara zewnętrzna
Definicja 1.3.1. Miarą zewnętrzną określoną na podzbiorah zbioru X nazywamy funkcję µ∗ : 2X → R+
spełniającą warunki:
1. µ∗ (∅) = 0,
2. jeśli A ⊂ B, to µ∗ (A) ¬ µ∗ (B),
3. jeśli A1 , A2 , . . . ⊂ X, to
µ
∗
∞
[
!
An
n=0
¬
∞
X
µ∗ (An ).
(1.8)
n=0
Bardzo ważnym jest następujące
Twierdzenie 1.3.1. (Carathéodory’ego) Jeśli µ∗ jest miarą zewnętrzną określoną na podzbiorach X, to
zbiór
Fµ∗ = A ⊂ X : dla każdego E ⊂ X zachodzi µ∗ (E) = µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E ∩ AC )
(1.9)
jest σ-ciałem, a µ∗ |Fµ∗ jest miarą (tzn. (X, Fµ∗ , µ∗ ) jest przestrzenią mierzalną).
Przykład 1.3.1. Istnieją metody konstrukcji miar zewnętrznych.
Niech X będzie zbiorem, C dowolną rodziną podzbiorów X (zawierającą zbiór pusty) oraz p : C → R+
taką, że p(∅) = 0. Wtedy (ćwiczenie)
∞
∞
X
[
ϕ(E) = inf
p(Ai ) : E ⊂
Ai , oraz Ai ∈ C dla każdego i ∈ N
(1.10)
i=1
i=1
jest miarą zewnętrzną na X.
Ćwiczenie 1.3.1. Niech X = N oraz µ∗ : 2N → R+ dana będzie wzorem
µ∗ (A) =
sup A − inf A
,
2
(1.11)
gdzie przyjmujemy, że sup ∅ = inf ∅ = 0. Wtedy µ∗ jest miarą zewnętrzną.
1.4
Miary skończone i nieskończone
Definicja 1.4.1. Przestrzeń (X, M, µ) nazywamy skończoną, jeśli µ(X) jest skończona. Jeśli tak nie jest,
to przestrzeń tę nazywamy nieskończoną.
S∞
Przestrzeń (X, M, µ) nazywamy σ-skończoną, jeśli X = i=1 Ei oraz dla każdego n ∈ N miara En jest
skończona (tzn. µ(En ) < +∞).
Uwaga 1.4.1. Przestrzeń (R, L, l) jest przestrzenią σ-skończoną, ale nie skończoną (patrz sekcja 1.8).
Składniki sumy, które występują w definicji przestrzeni σ-skończonej są postaci [k, k + 1]. Ogólnie każda
miara Lebesgue’a jest σ-skończona.
Zachodzi ogólny fakt. Jeśli w R weźmiemy inną miarę, np. liczącą liczbę punktów, to zbiór R z tak
wybraną miarą nie jest ani przestrzenią skończoną, ani σ-skończoną.
4
1.5
Zupełność
Definicja 1.5.1. Zbiór A nazywamy µ-zerowym, o ile istnieje zbiór mierzalny B taki, że A ⊂ B oraz
µ(B) = 0. O takich zbiorach mówi się, że są pomijalne.
Uwaga 1.5.1. Zauważmy, że zbiory µ-zerowe nie muszą być mierzalne. Jeśli w przestrzeni X wszystkie
zbiory µ-zerowe są mierzalne, to X nazywamy zupełną.
Każda przestrzeń z miarą może być rozszerzona do przestrzeni zupełnej biorąc zamiast M najmniejsze σ-ciało M 0 zawierające wszystkie elementy σ-ciała M i zbiory µ-zerowe. Dowodzi się, że wszystkie
elementy M 0 są postaci
A = B M C := (B \ C) ∪ (C \ B),
(1.12)
gdzie B ∈ M oraz C jest zbiorem µ-zerowym.
Przyjmuje się wtedy, że µ(A) = µ(B). Zachodzi
Fakt 1.5.1. (Ćwiczenie) Trójka (X, M 0 , µ) jest przestrzenią z miarą zupełną, tzn.
1. M 0 jesy σ-algebrą,
1.6
2. µ jest miarą na (X, M 0 ),
3. µ jest miarą zupełną.
Przykłady miar
Przykład 1.6.1. Przykłady miar:
1. Miara licząca elementy zbioru, tzn. µ(S) = #S.
2. Miara Lebesgue’a; jest jedyną przesuwalną
miarą (tzn. µ(A + x) = µ(A) dla każdego A ∈ L oraz
x ∈ R) określoną na R taką, że µ [0, 1] = 1.
3. Miara kąta; jest niezmiennicza ze względu na obrót o 2πk, dla k ∈ Z.
4. Miara Haara jest określona na lokalnie zwartych grupach topologicznych, ma podobną własność
jedyności co miara Lebesgue’a; mianowicie, jest to jedyna miara (z dokładnością do stałej multiplikatywnej), która jest niezmienna ze względu na lewe przesunięcia zbiorów borelowskich B(G) w
grupie G (najmniejszą σ-algebrę generowaną prze zbiory otwarte w G) oraz taka, że µ(U) > 0 jeśli
U jest niepusty. Oto szkic konstrukcji:
Twierdzenie 1.6.1. Niech G jest grupą topologiczną lokalnie zwartą. Istnieją wtedy miary µ, ν : B(G) →
R taka, że
(a) (lewostronna niezienniczość) µ(lg B) = µ(B); gdzie g ∈ G, B ∈ B(G), lg : G → G oznacza
lewostronne przesunięcie, tzn. lg (h) = gh dla każdego h ∈ G,
(b) dla U ⊂ G - zbioru otwartego i niepustego mamy, że µ(U) > 0,
oraz
(a) (prawostronna niezienniczość) ν(rg B) = ν(B); gdzie g ∈ G, B ∈ B(G), rg : G → G oznacza
prawostronne przesunięcie (definicja analogiczna do lewostronnego przesunięcia),
(b) dla U ⊂ G - zbioru otwartego i niepustego mamy, że ν(U) > 0.
Następnie miarę tę przenosi się na klasę zbiorów zwartych za pomocą lematu:
5
Lemat 1.6.1. Niech X będzie przestrzenią topologiczną, a K(X) klasą wszystkich podzbiorów zwartych w X oraz niech λ : K(X) → R będzie taka, że
(a) 0 ¬ λ(C) < +∞,
(b) dla C ⊂ D mamy λ(C) ¬ λ(D),
(c) λ(C ∪ D) ¬ λ(C) + λ(D),
(d) C ∩ D = ∅, to λ(C ∪ D) = λ(C) + λ(D),
dla C, D ∈ K(X). Wtedy funkcja µ : B(X) → R zdefiniowana wzorem µ(B) := sup{λ(C) : C ⊂ B} dla
B ∈ B(X) jest miarą.
Pytanie jest więc tylko o określenie miary na zbiorach zwartych. To jest jednak inna bajka :-),
5. Miara probabilistyczna: niech Ω = {w1 , w2 , . . .}, oraz niech p1 , p2 , . . . 0; wtedy
X
µ(A) :=
pi , dla A ⊂ Ω,
(1.13)
{i: wi ∈A}
jest miarą σ-skończoną.
6. Miara Diraca δa (miara skupiona w jednym punkcie) jest określona wzorem: δa (S) = χS (a), gdzie
χS jest funkcją charakterystyczną zbioru S. Miara ta jest równa 1, jeśli element a należy do zbioru
S, oraz 0 w przeciwnym przypadku.
7. Miara Jordana: Najpierw definiujemy miarę dowolnego prostokąta (standardowo). Dowodzi się później, że każdy ograniczony podzbiór R2 można od zewnątrz i od wewnątrz przybliżać za pomocą
skończonej ilości prostokóątów.
Oznaczmy M(B) = inf{µJ (N) : N ⊃ B, N — skończona rodzina prostokątów}, m(B) = sup{µJ (N) :
N ⊂ B, N — skończona rodzina prostokątów}, gdzie µj to suma miar prostokątów z rodziny N.
Oczywiście M(B) m(B). Liczby te nazywamy odpowiednio zewnętrzną i wewnętrzną miarą Jordana zbioru B. Jeśli obie te miary pokrywają się, to mówimy, że zbiór ten jest mierzalny w sensie
Jordana.
Pytanie, które pojawia się od razu: czy każdy zbiór ograniczony na płaszczyznie jest mierzalny
w sensie Jordana? Odpowiedź jest negatywna. Istotnie, weźmy dowolny kwadrat. Podzielimy go
na cztery przystajźce kwadraty i usuńmy ich wszystkie wierzchołki. Następnie każdy z powstałych kwadratów ponownie podzielimy na cztery przystające kwadraty i usuńmy ich wszystkie wierzchołki. Proces kontynuujmy. Zbiór który pozostanie oznaczmy przez A. Nietrudno zauważyć, że
m(A) = 0 6= 1 = M(A). A zatem zbiór A nie jest mierzalny w sensie Jordana.
Miara ta ma własność skończonej addytywności (ale nie σ-addytywności). Jako zadanie można
potraktować następujące
6
Twierdzenie 1.6.2. Ograniczony podzbiór R2 jest mierzalny w sensie Jordana wtedy i tylko wtedy,
gdy jego brzeg jest zborem miary 0 (w sensie Jordana).
1.7
Produkty miar
Załóżmy, że mamy Q
układ przestrzeni mierzalnych (Xi , Mi ), dla i = Q
1, . . . , n. Najmniejsze σ-ciało
n
n
podzbiorów produktu
X
zawierające
wszystkie
zbiory
A
postaci
i
i=1
i=1 Ai , gdzie Ai ∈ Mi , dla
i = 1, . . . , n, nazywamy produktem σ-ciał M1 , . . . , Mn i oznaczamy symbolem
n
O
Mi lub M1 ⊗ . . . ⊗ Mn .
(1.14)
i=1
Równoważna
charkateryzacja tego σ-ciała jest taka, że jest to najmniejsze σ-ciało zaierające produkt
Qn
M
.
i
i=1
Przykład 1.7.1. Jeśli B jest σ-ciałem zbiorów borelowskich na R, to B ⊗ B jest σ-ciałem zbiorów borelowskich na płaszczyźnie R2 . Oznaczamy je czasem B 2 .
Twierdzenie 1.7.1. Jeśli Mi jest σ-ciałem podzbiorów Xi oraz µi jest miarą określoną na tym σ-ciele,
dla i = 1, . . . , n, to istnieje jedna i tylko jedna miara µ określona na produkcie M1 ⊗ . . . ⊗ Mn taka, że
µ(A1 × . . . × An ) = µ1 (A1 ) · . . . · µn (An ),
(1.15)
gdzie Ai ∈ Mi , dla i = 1, . . . , n. Miarę tę nazywamy produktem miar µ1 , . . . , µn .
Qn
Uwaga 1.7.1. Ponieważ nie wszystkie elementy produktu σ-ciał są postaci i=1 Ai , więc miara z tezy
powyższego twierdzenia nie musi być zupełna, jeśli nawet wszystkie miary µ1 , . . . , µn są!
1.8
Miara Lebesgue’a
Jednak, ze względu na to iż miara Jordana nie potrafi mierzyć zbiorów nawet tak prostych w swojej
budowie jak powyżej opisany „kwadrat z dziurami” musimy szukac „lepszej” funkcji. Wprowadzimy zatem
pojęcie miary Lebesgue’a, a następnie ściśle z nim związane pojęcie całki Lebesgue’a. Miara Lebesgue’a
będzie już mierzyła zbiory choćby tak proste w swojej budowie jak opisany powyżej „kwadrat z dziurami”,
czy wiekszość zbiorów nieograniczonych.
W tym celu określmy:
1. S = {(a, b] : a < b, a, b ∈ R} ∪ {∅},
2. l0 : S → R+ wzorem l0 (a, b] := b − a,
3. oraz l∗ : B → R+ daną wzorem l∗ (E) := inf
P∞
i=1 l0
S∞
(ai , bi ] : E ⊂ i=1 (ai , bi ] .
Widzieliśmy już w przykładzie 1.3.1, że jest to miara zewnętrzna. Korzystamy z twierdzenia Carathéodory’ego.
Definicja 1.8.1. Definiujemy miarę Lebesgue’a na R jako
l := l∗ |Bl∗ .
(1.16)
Zbiory L := Bl∗ nazywamy zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue’a.
7
Uwaga 1.8.1. Wszystkie zbiory borelowskie są zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue’a.
Przestrzeń (R, Bl∗ , l∗ ) jest uzupełnieniem przestrzeni (R, B, l).
Uwaga 1.8.2. Istnieje zbiór mocy continuum i mierze Lebesgue’a równej zero (jest to zbiór C Cantora).
Stąd (skoro miara Lebesgue’a jest zupełna) każdy podzbiór C jest zbiorem miary zero. Tak więc zbiorów
mierzalnych w sensie Lebesgue’a jest 2c .
Mamy natomiast B
Bl∗ !
Teraz mozna ponowić pytanie: czy każdy podzbiór płaszczyzny (niekoniecznie ograniczony) jest mierzalny w sensie Lebesgue’a? Odpowiedź znowu jest negatywna, a przykładem może być chociażby zbiór V × V,
gdzie V to przedstawiony poniżej zbiór Vitaliego.
Przewaga miary Lebesgue’a nad miarą Jordana jest duża. Wspomniany powyżej i nie mierzalny w
sensie Lebesgue’a zbiór V × V, to zbiór, na który w normalnym uprawianiu matematyki raczej natknać
się nie można.
1.8.1
Miara Radona
Miara Lebesgue’a jest szczególnym rodzajem miary Radona, której podamy tu krótką definicję. Ograniczymy się do przestrzeni Rn , choć rozważania bez trudu mogą być przeniesione do dowolnej przestrzeni
lokalnie zwartej.
Mówimy, że µ : M → [0, +∞) jest miarą Radona, jeśli spełnione są następujące warunki:
1. każdy zbiór zwarty K ma miarę skończoną (µ(K) < ∞),
2. dla każdego zbioru otwartego U zachodzi
µ(U) = sup{µ(K) : K ⊂ U, K - zwarty},
(1.17)
3. dla dowolnego zbioru E ∈ M zachodzi
µ(E) = inf{µ(U) : U ⊃ E, U - otwarty}.
1.9
(1.18)
Własności „prawie wszędzie”
W teorii miary i całki mówimy, ze pewna własność W zachodzi prawie wszędzie (µ-prawie wszędzie) na
zbiorze X, jeśli istnieje zbiór miary µ zero, o tej własności, że własność W zachodzi poza nim. Używamy
zapisu p.w. lub µ-p.w.
Przykład 1.9.1. Jeśli zbiór {x ∈ X : f(x) = ±∞} ma miarę zero, to mówimy, że f jest prawie wszędzie
skończona.
Jeśli miara jest zupełna, to równoważnie można powiedzieć, że własność W zachodzi µ-prawie wszędzie
jeśli zbiór, dla którego ta własność nie zachodzi jest miary zero, tzn. µ {x ∈ X : W(x) nie zachodzi} = 0.
8
1.10
Podstawy teorii całki (Lebesgue’a)
Niech M będzie σ-algebrą podzbiorów X. Funkcję f : X → R := R ∪ {−∞} ∪ {+∞} określamy jako
mierzalną, jeśli dla dowolnego α ∈ R zbiór {x ∈ X : f(x) > α} ∈ M.
Jeśli A ⊂ X i dla każdego α ∈ R zbiór
A ∩ {x ∈ X : f(x) > α}
(1.19)
jest mierzalny, to f jest mierzalna na zbiorze A.
Jeśli X = R oraz M jest σ-ciałem podzbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, to funkcję mierzalną
nazywamy mierzalną w sensie Lebesgue’a.
Fakt 1.10.1. Funkcja f : X → R jest mierzalna wtedy i tylko tedy, gdy mierzalne są zbiory {x ∈ X : f(x) <
α}, {x ∈ X : f(x) α}, {x ∈ X : f(x) ¬ α}.
Fakt 1.10.2. Jeśli f : Rn → Rm jest ciągła, to jest mierzalna.
Uwaga 1.10.1. W celu wprowadzenia pojęcia funkcji mierzalnej nie potrzebowaliśmy pojęcia miary, a
tylko jakąś skonkretyzowaną σ-algebrę.
Fakt 1.10.3. Jeśli f, g, fn : X → R są funkcjami mierzalnymi, to następujące funkcje są mierzalne:
1. f · g, w szczególności αf, dla α ∈ R,
2. f+ := max{f, 0}, f− := min{f, 0}, |f|, f ∧ g := max{f, g}, f ∨ g := min{f, g},
3. f ± g,
4. supn fn , inf n fn , lim supn fn := limn→∞ (supkn fk ), lim inf n fn ,
5. granica punktowa limn fn (o ile istnieje).
Ćwiczenie 1.10.1. Udowodnić, że χA jest funkcją mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy A jest zbiorem
mierzalnym.
Pn
Definicja 1.10.1. Funkcję postaci k=1 αk χAk , gdzie αk oraz Ak ∈ M, nazywamy schodkową.
Zachodzi isteresujące
Twierdzenie 1.10.1. Każda funkcja mierzalna może być aproksymowana przez funkcje schodkowe; gdy
f 0, to istnieje ściśle rosnący ciąg funkcji schodkowych nieujemnych zbieżny punktowo do f p.w.
1.10.1
Szczegóły konstrukcji
R Niech X = (X, M, µ). W celu uproszczenia konstrukcji zakładamy, że miara µ jest zupełna. Całkę
f dµ definiujemy za pomocą tzw. indukcji mierzalnej:
X
1. Jeśli funkcja f jest schodkowa oraz f =
Pn
k=1
αk χAk , to definiujemy
Z
f dµ :=
X
n
X
αk µ(Ak ).
(1.20)
k=1
9
2. Jeśli f : X → R+ , to z definicji
Z
Z
f dµ := sup
g dµ : g jest schodkowa oraz 0 ¬ g ¬ f .
X
3. Ogólnie
(1.21)
X
Z
Z
Z
f dµ :=
X
f+ dµ +
X
f− dµ,
(1.22)
X
przy czym w przypadku wyrażenia ∞ − ∞ mówimy, że f nie jest całkowalna w sensie Lebesgue’a.
4. Funkcję o wartościach zespolonych f + ig określamy mianem mierzalnej, jeżeli obydwie Rfunkcje f i
g
R są mierzalne.
R Jeśli f = g + ih przyjmuje wartości zespolone, to określamy całkę jako X f dµ :=
g dµ + i X h dµ.
X
R
R
Uwaga 1.10.2. Jeśli A ⊂ X, to całka A f dµ jest równa X fχA dµ.
R
Definicja 1.10.2. Funkcję f : X → R nazywamy całkowalną, jeśli |f| dµ < ∞.
Twierdzenie 1.10.2. Niech (X, M, µ) będzie przestrzenią mierzalną, a f, g : X → R będą funkcjami
mierzalnymi oraz α, β ∈ R, to:
1. jeśli f jest całkowalna, to jest prawie wszędzie skończona, tzn. µ {x ∈ X : |f(x)| = +∞} = 0,
R
R
2. jeśli f jest całkowalna, to | f dµ| ¬ |f| dµ,
R
3. jeśli f jest całkowalna i f 0, to f dµ 0,
R
4. jeśli
0 ¬ g(x) ¬ f(x), dla każdego x ∈ X, oraz f jest całkowalna, to g jest całkowalna oraz g dµ ¬
R
f dµ,
R
R
R
5. jeśli f i g są całkowalne, to αf+βg jest całkowalna oraz zachodzi (αf+βg) dµ = α f dµ+β g dµ,
R
R
6. jeśli f i g są całkowalne oraz dla każdego A ∈ M zachodzi A f dµ = A g dµ, to f = g µ-p.w. na
X.
1.10.2
Całka Lebesgue’a-Stieltjesa
Sn
Niech będzie dany przedział (a, b), gdzie −∞ ¬ a < b ¬ ∞. Niech M = { i=1 (ci , di ] : a ¬ ci <
b, a < di < b, 1 ¬ n ¬ ∞} oraz niech B będzie rodzina zbiorów borelowskich na (a, b).
Niech g będzie mierzalną w sensie Borela funkcją określoną na R, prawostronnie ciągłą, niemalejącą i
posiadającą granicę lewostronną g(x−) w każdym punkcie x ∈ R. Na M definiujemy nową miarę wzorem
µg (c, d] = g(d) − g(c),
(1.23)
jeśli zaś (ci , di ] ∩ (cj , dj ] = ∅, dla i 6= j, i, j ∈ N, to
!
n
n
[
X
µg
(ci , di ] =
µg (ci , di ]
i=1
(1.24)
i=1
Następnie tak określoną miarę (dzieki temu, że rodzina przedziałów postai (a, b] generuje B) rozszerza
się na σ-ciało zbiorów borelowskich.
Tak określoną miarę nazywamy miarą Lebesgue’a-Stieltjesa.
Ćwiczenie 1.10.2. Własności miary Lebesgue’a-Stieltjesa:
10
1. µg {τ} = g(τ) − g(τ−),
2. µg [c, d] = g(d) − g(c−),
3. µg [c, d) = g(d−) − g(c−),
4. µg (c, d) = g(d−) − g(c).
Jeśli f jest funkcją borelowską określoną na zbiorze borelowskim, to całkę Lebesgue’a-Stieltjesa funkcji
f względem funkcji g określamy wzorem
Z
Z
f(x) dg(x) = f(x) dµg (x),
(1.25)
E
E
gdzie po prawej stronie stoi całka Lebesgue’a względem miary µg .
R
Ponieważ składnik E f(x) dµg (x) jest w istocie zwykłą całka Lebesgue’a względem miary µg , to całka
ta posiada zwykłe własności całki. Ponadto zwrócmy uwagę na ciekawe
Twierdzenie 1.10.3. Jeśli g jest funkcją absolutnie ciągłą, to
Z
Z
f(x) dg(x) = f(x)g 0 (x) dx.
E
1.10.3
(1.26)
E
Związek całki Riemanna oraz całki Lebesgue’a
Przykład 1.10.1. Rozważmy funkcję f : [0, 1] → R zadaną w następujący sposób
1, gdy x ∈ Q ∩ [0, 1],
f(x) =
0, gdy x ∈ (R \ Q) ∩ [0, 1].
(1.27)
Przypomnijmy sobie w tym miejscu definicję całki Riemanna. Jeśli policzymy górną oraz dolną sumę,
to nigdy one nie będą sobie równe. Dlatego całka Riemanna tej funkcji nie istnieje. Całka Lebesgue’a
natomiast istnieje! Policzmy ją zatem!
Z
Z
Z
f dµ =
f dµ +
f dµ = 0 + 0 = 0.
(1.28)
[0,1]
[0,1]∩QC
[0,1]∩Q
Zachodzi natomiast następujące
Twierdzenie 1.10.4. Jeśli istnieje całka Riemanna z funkcji f na zbiorze E ⊂ Rn , to istnieje całka
Lebesgue’a z tej funkcji na tym zbiorze i są one sobie równe.
Dlatego na oznaczenie całki Lebesgue’a używamy tego samego symbolu co dla całki Riemanna.
1.10.4
Twierdzenia o zbieżności
Twierdzenie 1.10.5. Dla całki Lebesgue’a mamy
1. (Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej) Niech
ciągiem niemalejącym, tzn.
fk (x) ¬ fk+1 (x)
Wtedy
Z
fk : X → R+ := [0, +∞)
dla każdego k ∈ N oraz dla każdego x ∈ E.
Z
k∈N
będzie
(1.29)
Z
lim fk dµ = lim fk dµ =
k
k
sup fk dµ.
(1.30)
k
11
2. (Lemat Fatou) Jeśli {fk : X → R+ }k∈N jest dowolnym ciągiem, to
Z
Z
lim inf fk dµ ¬ lim inf fk dµ.
k
(1.31)
k
3. (Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej) Jeśli {fk }k∈N jest ciągiem funkcji mierzalnych z granicą punktową f (przypomnijmy, że wtedy f też jest mierzalna) oraz jeśli istnieje całkowalna w sensie Lebesgue’a funkcja g taka, że |fk | ¬ g dla każdego k ∈ N, to f jest całkowalna w
sensie Lebesgue’a oraz
Z
Z
Z
lim fk dµ = lim fk dµ = f dµ.
(1.32)
k
k
4. Jeśli {fk : X → R+ }k∈N są funkcjami mierzalnymi, to
ZX
∞
fn dµ =
n=1
1.10.5
∞ Z
X
fn dµ.
(1.33)
n=1
Twierdzenie Radona-Nikodyma
Przykład 1.10.2. Zauważmy, że jeśli f 0, to funkcja zbioru M 3 A 7→
R
A
f dµ ∈ [0, +∞) jest miarą.
Interesujący fakt (twierdzenie odwrotne do powyższego) został udowodnony przez Johanna Radona i
Otto Nikodyma w 1930 roku.
Twierdzenie 1.10.6. (Radona-Nikodyma) Niech (X, M, µ) będzie przestrzenią z miarą oraz µ będzie
miarą σ-skończoną. Przypuśćmy, że ν : M → [0, ∞] jest miarą absolutnie ciągłą względem µ (tzn. jeśli
µ(A) = 0, to również ν(A) = 0 dla A ∈ M). Wówczas istnieje funkcja mierzalna f : X → [0, ∞) taka, że
Z
ν(A) = f dµ,
(1.34)
A
dla każdego A ∈ M.
Uwaga 1.10.3. Twierdzenie to jest bardzo ważne w teorii prawdopodobieństwa (np. w definicji warunkowej wartości oczekiwanej) oraz w analizie matematycznej (np. przy dowodzeniu Twierdzenia Lapunova
o miarach wektorowych oraz zasady bang-bang).
1.11
Zbiory niemierzalne
Okazuje się, że nie wszystkie podzbiory R są mierzalne w sensie Lebesgue’a. Przykładem takiego zbioru
jest zbiór Vitaliego. Zbiory niemierzalne pojawiają się także w paradoksie Banacha-Tarskiego. Wszystkie
podane konstrukcje bazują na pewniku wyboru lub innych równoważnych mu aksjomatach.
1.11.1
Zbiór Giuseppe Vitaliego — konstrukcja
W zbiorze liczb rzeczywistych z odcinka [0, 1] określamy relację równoważności następująco:
x ∼ y wtedy i tylko wtedy, gdy x − y jest liczbą wymierną.
(1.35)
12
Klasy abstrakcji [x] = {y ∈ [0, 1] : x ∼ y} tej relacji są rozłącznymi podzbiorami [0, 1]. Na mocy
aksjomatu wyboru istnieje zbiór V, który ma po jednym elemencie wspólnym z każdą klasą abstrakcji
(v ∩ [x] jest jednoelementowy). Zbiór V nazywamy zbiorem Vitaliego. Dowodzi się, że zbiór Vitaliego jest
niemierzalny w sensie Lebesgue’a.
Istotnie, załóżmy, że jest on mierzalny. Uporządkujmy liczby wymierne z odcinka [−1, 1] w ciąg
q1 , q2 , . . .. Zauważmy, że Vk = V + qk są rozłączne oraz przystające w sensie relacji ∼. Ponadto niech
x ∈ [0, 1] oraz v będzie
reprezentantem S
klasy [x]. Wtedy q = x − v ∈ Q, czyli q = qi dla pewnego i. Stąd
S∞
∞
x ∈ Vi , czyli [0, 1] ⊂ i=1 Vi . Ponadto i=1 Vi ⊂ [−1, 2].
Zauważmy, że wtedy
!
1¬µ
[
Vk
¬ 3,
(1.36)
k
S
P∞
P∞
skąd µ ( k Vk ) =
k=1 µ(Vk ) =
k=1 µ(V) = +∞, ponieważ wszystkie zbiory były przestające.
Sprzeczność.
1.11.2
Paradoks Banacha-Tarskiego
Znani polscy matematycy Stefan Banach oraz Alfred Tarski udowodnili w 1924 roku słynne dziś twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli. Twierdzenie to mówi, że kulę da się pociąć na skończoną liczbę
części (wystarczy 5!), przy pomocy których używając wyłącznie obrotów i translacji można złożyć dwie
kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej.
W twierdzeniu nie pojawia się jednak sprzeczność, ponieważ zbiory, które się „konstruuje” nie są
mierzalne, więc nie można argumentować „za” lub „przeciw” temu twierdzeniu za pomocą teorii miary.
1.11.3
Inny zbiór niemierzalny
Pewną wariację konstrukcji Vitaliego można znaleźć w książce [7].
Poniższa konstrukcja bazuje na konstrukcji zbioru Vitaliego. Niech S będzie okręgiem. Ustalmy na nim
jeden punkt; oznaczmy go przez 0. Dowolny punkt b na S wyznaczony jest przez jego kąt od punktu 0
(orientacja dodatnia to ta przeciwna do kierunku ruchu wskazówek zegara). Powiemy, że punkty a i b
tego samego typu jeśli (a − b)/π jest liczbą wymierną. Okrąg zostanie podzielony na nieprzeliczanie wiele
zbiorów (klas abstrakcji względem tej relacji). Kolejnym etapem konstrukcji jest wybranie z każdego z
tych zbiorów po jednym punkcie (operacja ilorazowa). Zbiór ten nazwiemy E0 . Ustalmy pewną numerację
zbioru Q ∩ [0, 2π) = {w1 , w2 , . . .}. Oznaczmy przez Ek zbiór E0 obrócony o kąt wk . Zbiory {En }∞
n=1 są
przystające (obrót o wl − wk przeprowadza Ek na El ). Ponadto zbiory te są rozłączne, ponieważ jeśli
x ∈ Ei ∩ Ej = (E0 + wi ) ∩ (E0 + wj ),
(1.37)
dla i 6= j to x = u1 + wi = u2 + wj , czyli u1 − u2 = wj − wi ∈ Q. Stąd u1 oraz u2 są tego samego typu.
Stąd u1 = u2 , czyli wi = wj .
Ponadto zbiory En dają cały okrąg. Gdyby zbiory te byłyby mierzalne, to prowadziłoby to do sprzeczności, podobnie jak w zbiorze Vitaliego.
Przykład 1.11.1. Weźmy dowolny zbiór niemierzalny B. Rozważmy funkcję f : R → R zadaną wzorem:
1, gdy x ∈ B,
(1.38)
f(x) =
−1, gdy x ∈ R \ B.
Zauważmy teraz, że tak określona funkcja nie jest mierzalna (ćwiczenie). Natomiast f2 jest mierzalna!
13
1.12
Rozszerzenia pojęcia miary
Ze względu na zastosowania rozważa się czasem miary, które przyjmują wartości w zbiorze R lub C.
Istnieją także miary o wartościach w przestrzeniach Banacha.
1.12.1
Miary rzeczywiste
Niech (X, M) będzie, jak zwykle, przestrzenią mierzalną z σ-ciałem M.
Definicja 1.12.1. Miarą rzeczywistą nazywamy σ-addytywną funkcję µ : M → R taką, że µ(∅) = 0.
Dla A ∈ M określmy
|µ|(A) = inf
∞
X
|µ(An )| : A =
n=1
Skoro szereg
P∞
n=1
∞
[
An , oraz Ai ∩ Aj = ∅ .
(1.39)
n=1
µ(An ) był bezwzględnie zbieżny, to definicja ta jest poprawna.
Definicja 1.12.2. Funkcję |µ| : M → R nazywamy wariacją miary µ.
Fakt 1.12.1. Wariancja jest skończoną miarą rzeczywistą na M oraz zachodzi |µ(A)| ¬ |µ|(A).
Definicja 1.12.3. Mówimy, że miara µ jest bezatomowa, o ile dla każdego A ∈ M takiego, że |µ|(A) > 0
istnieje B ∈ M taki, że 0 < |µ|(B) < |µ|(A).
Twierdzenie Hahna
Można pokazać, że |µ| = µ+ + µ− , gdzie
µ+ (A) := sup{µ(B) : B ∈ M, B ⊂ A},
(1.40)
µ− (A) := − inf{µ(B) : B ∈ M, B ⊃ A}
(1.41)
są skończonymi miarami (nieujemnymi). Ponadto zachodzi ciekawe
Twierdzenie 1.12.1. (Hahna) Jeśli (X, M) jest przestrzenią mierzalną oraz µ określoną na niej miarą
rzeczywistą, to istnieją dwa rozłączne zbiory mierzalne X+ oraz X− takie, że
µ+ (A) = µ(A ∩ X+ ),
−
−
µ (A) = −µ(A ∩ X ).
(1.42)
(1.43)
Parę (µ+ , µ− ) nazywą się dekompozycją (rozkładem) Jordana miary µ.
R
Dla dowolnej funkcji rzeczywistej f łatwo sprawdzić, że λ(A) = A f dµ jest miarą rzeczywistą. Mamy
ponadto
R
λ± (A) = RA f± dµ,
(1.44)
|λ|(A) = A |f| dµ,
gdzie f+ , f− to część dodatnia i ujemna funkcji f, odpowiednio.
14
Twierdznie Lapunova dla miar wektorowych
Twierdzenie 1.12.2. (Lapunova) Niech µ1 , . . . , µn będą rzeczywistymi miarami bezatomowymi na σciele M. Wówczas funkcja µ : M → Rn dana wzorem
µ(A) = µ1 (A), . . . , µn (A) ,
dla A ∈ M,
(1.45)
ma zwarty i wypukły zbiór wartości.
1.12.2
Miary zespolone
Definicja 1.12.4. Miarą zespoloną na przestrzeni mierzalnej (X, M) nazywamy funkcję µ : M → C taką,
że
1. µ(∅) = 0,
2. jest σ-addytywna, tzn. dla przeliczalnej rodziny rozłącznych zbiorów E1 , E2 , E3 , . . . ∈ M (czyli Ei ∩
Ej = ∅ dla i 6= j) mamy
!
∞
∞
[
X
µ
Ei =
µ(Ei ).
(1.46)
i=1
i=1
Całkowanie ze względu na miarę zespoloną
Miarę µ : M → C można (jak każdą funkcję o wartościach zespolonych) przedstawić w postaci µ =
µ1 + iµ2 . Składniki te nazywamy odpowiednio częścią rzeczywistą oraz zespoloną miary µ. Stosując
rozkład Jordana do tych miar otrzymujemy
−
µ1 = µ+
1 + µ1 ,
+
µ2 = µ2 + µ−
2.
Definicja 1.12.5.
(1.47)
1. Mając funkcję f : X → R o wartościach rzeczywistych definiujemy
Z
Z
Z
Z
Z
+
−
+
−
f dµ :=
f dµ1 − f dµ1 + i
f dµ2 − f dµ2 .
X
2. Jeśli f : X → C, to definiujemy
X
X
Z
X
Z
Z
<(f) dµ + i
f dµ :=
X
(1.48)
X
X
=(f) dµ,
(1.49)
X
gdzie <(f) i =(f) to część rzeczywista i zespolona funkcji f, odpowiednio.
1.12.3
Miary spektralne
Miara spektralna — w analizie funkcjonalnej, przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona
na σ-ciele podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w zbiorze operatorów rzutowych
pewnej ośrodkowej przestrzeni Hilberta, przyporządkowująca całej przestrzeni operator jednostkowy. John
von Neumann zbudował współczesną mechanikę kwantową na teorii miar spektralnych.
15
Definicja 1.12.6. Niech X będzie przestrzenią topologiczną, M σ-ciałem podzbiorów tej przestrzeni. Dalej, niech H, (·|·) będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta i niech L(H) oznacza przestrzeń operatorów
liniowych i ciągłych na przestrzeni H.
Funkcję E : M → L(H) nazywamy miarą spektralną na przestrzeni X, o ile:
1. E(B) jest operatorem rzutowym dla B ∈ M.
2. E(X) = I,
3. E(B1 ∩ B2 ) = E(B1 ) ◦ E(B2 ), B1 , B2 ∈ M,
4. Dla każdego x ∈ H funkcja B 7→ E(B)x, B ∈ M, jest σ-addytywną miarą wektorową.
Własności
• Gdy B1 , B2 ∈ M oraz B1 ⊆ B2 , to E(B1 ) 6 E(B2 ) w sensie (E(B1 )h|h) 6 (E(B2 )h|h), h ∈ H.
Ponieważ kE(B1 )hk2 = (E(B1 )h|h), więc z powyższego wynika, że E(B1 )H ⊆ E(B2 )H - operator
E(B1 ) rzutuje na podprzestrzeń zawartą w podprzestrzeni E(B2 )H.
• Jeżeli h, k ∈ H oraz B ∈ M, to równość Eh,k (B) := (E(B)h|k) określa przeliczalnie addytywną miarę
wektorową o wahaniu ograniczonym przez khkkkk.
16
BIBLIOGRAFIA
[1] Poradnik inżyniera, Wydawnictwo Naukowo Techniczne, Warszawa 1970
[2] Atlas matematyki, Prószyński i S-ka, 2003
[3] J. Muszyński Teoria całki. Miara i całka, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1990
[4] F. Leja Rachunek różniczkowy i całkowy, Wydanie trzynaste, Państwowe Wydawnictwo Naukowe,
1976
[5] Nowoczesne Kompendium Matematyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004
[6] Leksykon matematyczny, Wiedza Powszechna, 1993
[7] J. Jakubowski, R. Sztencel Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, Script
[8] W. Kryszewski Teoria sterowania. Skrypt
[9] T. J. Jech The Axiom of Choice, American Elsevier Pub. Co., New York, 1973
[10] Wikipedia - The Free Encyclopedia
17
SKOROWIDZ
σ-algebra zbiorów borelowskich, 2
produkt miar, 6
przestrzeń σ-skończona, 4
przestrzeń mierzalna, 2
przestrzeń nieskończona, 4
przestrzeń probabilistyczna, 2
przestrzeń skończona, 4
przestrzeń z miarą, 2
przestrzeń zupełna, 4
funkcja całkowalna w sensie Lebesgue’a, 9
całka Lebesgue’a-Stieltjesa, 9
caiło zbiorów, 2
funckcja mierzalna w sensie Lebesgue’a, 8
indukcja mierzalna, 8
rozkład Jordana miary, 13
lemat Fatou, 11
lewostronna niezienniczość, 5
twierdzenie Caratheodory’ego, 3
twierdzenie Hahna, 13
twierdzenie Lapunova, 14
twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej,
10
twierdzenie Radona-Nikodyma, 11
miara, 2
miara absolutnie ciągła, 11
miara bezatomowa, 13
miara Diraca, 6
miara Haara, 5
miara Jordana, 6
miara kąta, 5
miara Lebesgue’a, 6
miara licząca, 5
miara probabilistyczna, 2
miara Radona, 7
miara rzeczywista, 13
miara unormowana, 2
miara zespolona, 14
miara zewnętrzna, 3
wariacja miary, 13
warunkowa wartość oczekiwana, 11
wewnętrzna miara Jordana, 6
wierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej, 11
zasada bang-bang, 11
zbiór µ-zerowy, 4
zbiór Vitaliego, 11
zbiory mierzalne, 2
zewnętrzna miara Jordana, 6
paradoks Banacha-Tarskiego, 12
pewnik wyboru, 11
prawie wszędzie, 7
prawostronna niezienniczość, 5
produkt σ-ciał, 6
18

"Teoria miary"

Transkrypt

Podobne dokumenty

Państwowy wzorzec jednostki miary napięcia elektrycznego stałego

1. Olej sojowy l 10 2. Olej słonecznikowy l 80 3. Olej

Wspomnienie o Zygmuncie Birnbaumie

Show publication content! - Wyższa Szkoła Bankowa we Wrocławiu

"SZÓSTECZKA" - numer 1 - październik 2009 - (format pdf)

Calkowanie funkcji jednej i dwóch zmiennych

Wstęp do teorii miary