Calkowanie funkcji jednej i dwóch zmiennych

Całkowanie funkcji jednej i wielu
zmiennych
Matematyka
Studium doktoranckie KAE SGH
Semestr letni 2008/2009
R. Łochowski
Całka Newtona-Leibniza
• Niech f : » ⊇ A → » n , A – zbiór otwarty
f ( t ) = f1 ( t ) f2 ( t ) ...fn ( t )  ∈ » n


• Funkcją pierwotną do funkcji f (całką
Newtona-Leibniza) nazywamy funkcję
T
F : A → » , F ( t ) = F1 ( t ) F2 ( t ) ...Fn ( t )  dla


n
której zachodzi
∀t ∈ A ∀i ∈ {1,2,..,, n} Fi ' ( t ) = fi ' ( t )
• Uwaga: nie każda funkcja posiada funkcję
pierwotną, np. f(x)=0 dla x<0 lub x>0, i f(0)=1.
Całka oznaczona
• Niech f : A → » n ,  a, b  ⊂ A
• Załóżmy, że f posiada funkcję pierwotną (tak
jest np., gdy f jest ciągła)
• Całką oznaczoną z funkcji f na przedziale [a, b]
nazywamy wektor
b
∫ f (t ) dt
a
:= F1 ( b ) − F1 ( a) F2 ( b ) − F2 ( a) ... Fn ( b ) − Fn ( a) 


T
Całka Lebesgue’a
• Niech f : A → 0, +∞  , A –nieskończony
iloczyn zbiorów otwartych, którego czynniki
można ponumerować indeksami 1,2,… lub
nieskończona suma zbiorów domkniętych,
której składniki można ponumerować
indeksami 1,2,…
• Można wówczas zdefiniować całkę
∫ f (t ) dt ∈ 0, +∞ 
A
o „dobrych” własnościach, zwaną całką
Lebesgue’a
Własności całki Lebesgue’a
• Całka dla funkcji niekoniecznie dodatnich
∫ f (t ) dt := ∫
A
A
max {f ( t ) ,0} dt − ∫ max {−f ( t ) ,0} dt
A
• Liniowość
∫ {α f (t ) + β g (t )} dt = α ∫ f (t ) dt + β ∫ g (t ) dt
A
A
A
• Twierdzenie o zbieżności zmajoryzowanej
∀t ∈ A limn →∞ fn ( t ) = f ( t ) ,| fn ( t ) |≤ M ( t ) ,
oraz ∫A M ( t ) dt < +∞ wówczas
limn →∞
∫
A
fn ( t ) dt =
∫ f (t ) dt
A
Całka Lebesgue’a a całka oznaczona
• Jeżeli f :  a, b  → » jest funkcją ciągłą, to
istnieją całki
b
• ∫a f ( x ) dx (w sensie Newtona – Leibnitza)
• ∫a,b f ( x ) dx (w sensie Lebesgue’a)


• co więcej – są sobie równe
• Zadanie: Udowodnić, z twierdzenia o
zbieżności zmajoryzowanej, że dla f(x)=0 gdy
x<0 lub x>0, f(0)=2009 zachodzi
∫
 −1,1
f ( x ) dx = 0
Całka podwójna (w sensie
Lebesgue’a) po prostokącie
• Jeżeli f :  a, b  × c, d  → 0, +∞  , to można
zdefiniować całkę po prostokącie
 a, b  × c, d  :
∫
f ( x, y ) dxdy
 a, b  × c , d 
• za pomocą formuły:
∫
 a, b  × c , d 
f ( x, y ) dxdy :=
∫
 a, b 
g ( x ) dx
• gdzie
g (x) =
∫
c ,d 
f ( x, y ) dy
Całka podwójna, c. d.
• Zachodzi również równość
∫
 a, b 
(∫
c , d 
)
f ( x, y ) dy dx =
∫
c , d 
(∫
 a, b 
)
f ( x, y ) dx dy
• Uwaga: jeżeli f : A → 0, +∞  , A-ograniczony
2
»
w , wówczas można zdefiniować całkę
∫ f ( x, y ) dxdy
A
• za pomocą równości
∫ f ( x, y ) dxdy = ∫
 a, b  × c , d 
A
• gdzie
~
f ( x, y ) dxdy ,
f ( x, y ) gdy ( x, y ) ∈ A
A ⊂  a, b  × c, d  , f ( x, y ) = 
0 gdy ( x, y ) ∉ A
~
Dyfeomorfizm
• Załóżmy, że A ⊂ »2 , A − otwarty, F : A → »2
jest odwzorowaniem różnowartościowym,
oraz istnieją ciągłe pochodne cząstkowe
F1 ( x, y ) 
∂F1 ∂F1 ∂F2 ∂F2
,
,
,
, gdzie F ( x, y ) = 

∂x ∂y ∂x ∂y
F2 ( x, y ) 
• Załóżmy dodatkowo, że
∂F1 ∂F2 ∂F2 ∂F1
∀ ( x, y ) ∈ A JF ( x, y ) =
−
≠0
∂x ∂y
∂x ∂y
• wówczas odwzorowanie F nazywane jest
dyfeomorfizmem
Zamiana zmiennych w całce
podwójnej
• Niech A ⊂ »2 , F : A → »2 będzie
dyfeomorfizmem, ponadto, niech
B ⊂ A, f : B → 0, +∞ 
• wówczas zachodzi
∫ f ( x, y ) JF ( x, y ) dxdx = ∫ (
F B)
B
• gdzie g ( u, v ) = f ( F
−1
(u, v ) )
g ( u, v )dudv ,
Zamiana zmiennych - przykład
• Niech F : »2 → »2
( x + y ) / 2 
1 / 2 1 / 2 
1
F ( x, y ) = 
 , JF = det 
 = −2
( x − y ) / 2 
1 / 2 −1 / 2
{
}
2
2
B
=
x
,
y
:
x
+
y
+ xy ≤ 1
• Niech
( )
u = ( x + y ) / 2

 , x = u + v, y = u − v
v = ( x − y ) / 2 
F (B) =
=
{
{
2
2
(
)
}
2
2
u
v
u
v
u
v
u
v
,
:
+
+
−
+
−
≤1
( ) (
) (
)
}
2
2
u
,
v
:
3
u
+
v
≤1
( )
Zamiana zmiennych,
przykład – c. d.
• Niech f : » → », f ( x, y ) = x + y − xy
• Mamy:
f ( x, y )
∫ f ( x, y ) dxdx = ∫ JF ( x, y ) JF ( x, y ) dxdy
= 2∫ f ( x, y ) JF ( x, y ) dxdy
2
2
B
2
B
B
= 2∫
{(u + v )
= 2∫
{u
F (B)
F (B)
2
2
+ 3v
2
2
(
+ (u − v ) − u − v
} dudv
2
2
)} dudv
Zadania
• Zadanie: korzystając z zamiany zmiennych
u 
 r cos φ 
  = F (r, φ ) = 
,
v 
 r sin φ 
• obliczyć całkę
∫
»
(
)
2
2
exp
−
u
−
v
dudv ,
2
• a następnie (korzystając z niezależności
zmiennych) całkę
∫
»
(
)
exp −u2 du.
• Zadanie: dokończyć przykład