WYTRZYMAŁOŚĆ ZŁOŻONA

WYTRZYMAŁOŚĆ ZŁOŻONA
Przypadki wytrzymałości złożonej
W praktyce inżynierskiej najczęściej spotyka się złożone
przypadki obciążeń konstrukcji. Do prawidłowego rozwiązywania tych zagadnień konieczna jest znajomość wcześniej
omówionych prostych przypadków, takich jak rozciąganie, skręcanie i zginanie, a w szczególności rozkładów naprężeń powstających pod wpływem tych obciążeń. Konieczna jest też
znajomość hipotez wytrzymałościowych, niezbędnych do sformułowania warunku wytrzymałościowego, uwzględniającego
różnego typu naprężenia, (normalne i styczne), działające w
jednym punkcie.
NAJCZĘŚCIEJ SPOTYKANE PRZYPADKI:
–
zginanie ukośne,
–
zginanie połączone z rozciąganiem (lub ściskaniem),
–
zginanie połączone ze skręcaniem,
–
ogólny przypadek wytrzymałości złożonej, a więc połączenie rozciągania, skręcania i zginania.
W praktycznych obliczeniach wytrzymałościowych często
pomija się wpływ obciążeń poprzecznych, dlatego w tym rozdziale nie uwzględniono tzw. ścinania, a omówienie wpływu sił
poprzecznych na wytrzymałość zginanych belek ograniczono
do najważniejszych przypadków.
Podstawowym zagadnieniem w obliczeniach wytrzymałościowych konstrukcji lub ich elementów, poddanych obciążeniu
złożonemu, jest identyfikacja obciążeń. Identyfikacja polega
na wykorzystaniu praw statyki do określenia sił i momentów
działających na konstrukcję lub jej fragment, pochodzących od
obciążeń zewnętrznych. Szerokie zastosowanie znajdują tutaj
tzw. zerowe układy sił, pozwalające na określenie sił wewnętrznych w poszczególnych częściach konstrukcji.
13 Wytrzymałość złożona.doc
149
Zginanie ukośne
Zginanie ukośne (zginanie złożone) jest bezpośrednio
związane ze zginaniem prostym. Występuje wówczas,
gdy wektor momentu zginającego belkę nie pokrywa się
z kierunkiem żadnej z osi symetrii. Zginanie ukośne
można traktować jako sumę zginania prostego w
płaszczyźnie pionowej oraz w płaszczyźnie poziomej.
PRZYKŁAD
Belka wspornikowa o długości L = 1 m, przekroju prostokątnym o wymiarach b = 3
cm, h = 5 cm jest obciążona na końcu siłą skupioną P = 1 kN, odchyloną od pionu o
kąt  = 20. Wyznaczyć naprężenia, położenie osi obojętnej oraz ugięcie belki. Przyjąć E = 2105 MPa.
a)
Maksymalny moment zginający występuje w utwierdzeniu: M = P.L = 11 kNm.
Siłę P, przyłożoną do swobodnego końca belki, rozkłada się na składową pionową
i poziomą. Momenty zginające wywołane tymi składowymi wynoszą
MY  PL sin   1 1 sin 20  0,342 kN  m,
MZ  PL cos   1 1 cos 20  0,940 kN  m.
Momenty bezwładności oraz wskaźniki wytrzymałości na zginanie wynoszą
bh3 3  53
bh2 3  5 2
4
JZ 

 31,25 cm , WZ 

 12,5 cm3,
12
12
6
6
3
3
2
hb
53
hb
5  32
JY 

 11,25 cm4, WY 

 7,5 cm3.
12
12
6
6
Maksymalne naprężenia zginające w płaszczyźnie pionowej
gy 
MZ 0,940 3

10  75,2 MPa,
WZ
12,3
a w płaszczyźnie poziomej
 gz 
13 Wytrzymałość złożona.doc
MY 0,342 3

10  45,6 MPa.
WY
7,5
150
b)
Rozkłady naprężeń przedstawiono na
rys. b. Po zsumowaniu naprężeń z
uwzględnieniu ich znaków w punktach A,
B, C i D, znajdujących się w narożach
przekroju, otrzymuje się naprężenia wypadkowe:
 A  75,2  45,6  120,8 MPa,
B  75,2  45,6  29,6 MPa,
C  75,2  45,6  120,8 MPa,
D  75,2  45,6  29,6 MPa.
c)
13 Wytrzymałość złożona.doc
Wykres naprężeń normalnych wzdłuż
krawędzi konturu przekroju poprzecznego przedstawiono na rys. c. Widać na
nim, że na krawędziach w dwóch punktach naprężenia są równe zeru. Po zrzutowaniu tych punktów na krawędzie
otrzymuje się położenie osi obojętnej,
dzielącej przekrój na część rozciąganą
„+” oraz ściskaną „–”. Na rysunku przedstawiono również rozkład naprężeń
wzdłuż linii prostopadłej do osi obojętnej.
Przedstawione wyżej rozwiązanie stanowi naturalne wykorzystanie superpozycji zginania w dwóch prostopadłych
płaszczyznach.
151
Zginanie i rozciąganie
Wspólne działanie sił rozciągających (ściskających) oraz
momentu zginającego występuje najczęściej przy mimośrodowym obciążeniu pręta. Mimośrodowość może być wywołana
przyłożeniem sił poza środkiem ciężkości, wykrzywieniem osi
pręta lub równocześnie dwoma tymi czynnikami. Na rysunku
przedstawiono przykład obciążenia pręta siłą skupioną przyłożoną w punkcie A(ey, ez), przesuniętym względem środka ciężkości przekroju o odległość e. Po przyłożeniu w środku ciężkości dwóch sił (P, –P), tworzących układ sił zerowych (zrównoważony układ sił), można łatwo zidentyfikować parę sił tworzącą
moment zginający, M = P  e, oraz niezrównoważoną siłę ściskającą P, przyłożoną w środku ciężkości. Sytuację tę przedstawiono na rys. a. Rysunek b pokazuje superpozycję obciążeń:
ściskanie pręta siłą P przyłożoną w środku ciężkości przekroju,
momentem zginającym MZ oraz momentem zginającym MY.
Z wzorów na sumowanie naprężeń, poznanych przy omawianiu zginania ukośnego, oblicza się naprężenia w dowolnym
punkcie przekroju:
M
P M
    Z y  Y z.
A JZ
JY
13 Wytrzymałość złożona.doc
152
Przykład: Pionowy pręt o przekroju prostokątnym b x h = 18 x 24 cm
ściskany jest mimośrodowo pionową siłą P = 1 MN, przyłożoną w punkcie o współrzędnych ez = 6 cm i ey = 5 cm. Wyznaczyć rozkład naprężeń
na krawędziach przekroju oraz położenie osi bezwładności.
i  
P MY MZ
P Pe
Pe


   Y  Z.
A WY WY
A WZ WY
JY bh2 18  242


 1728 cm3,
1
6
6
h
2
hb 3 24  183
J
hb 2 24  182
JZ 

 11664 cm4,
WZ  Z 

 1296 cm3,
1
12
12
6
6
b
2
Pey
P
1
1 5
Pez
1 6
r  
 104  23,15 MPa,
g' 

 104  38,58 MPa, g" 

 104  34,72 MPa.
A 432
WZ 1296
WY 1728
A  b  h  18  24  432 cm2,
JY 
bh3 18  243

 20736 cm4,
12
12
WY 
1  23,15  38,58  34,72  50,15 MPa,
 2  23,15  38,58  34,72  27,01MPa,
3  23,15  38,58  34,72  96,45 MPa,
 4  23,15  38,58  34,72  19,29 MPa.
13 Wytrzymałość złożona.doc
153
Miejsce geometryczne wszystkich punktów przyłożenia siły, wywołującej
w całym przekroju naprężenia o tym samym znaku, nazywa się rdzeniem przekroju. Rdzeń przekroju oznacza pewne pole, w którym można przykładać siłę skupioną, nie powodując powstania naprężeń przeciwnego znaku, wywołanych momentem zginającym.
Rdzenie przekroju
PRZYKŁAD
Obliczyć naprężenia w osiowo ściskanej kolumnie. Porównać naprężenia w
przekrojach I-I oraz II-II.
P
2a
II
a
II
Kolumna składa się z części o powierzchni a2 (przekrój I-I) oraz z części o powierzchni 2a2 (przekrój II-II).
e
I
a
I
a
P
I-I
P
a2
W przekroju I-I występują naprężenia ściskające od siły
osiowej P:
P
I P  2 .
a
13 Wytrzymałość złożona.doc
154
Przekrój II-II jest obciążony mimośrodowo w stosunku do
osi
działania siły P. Zerowy układ sił pokazuje działanie siły
II - II
układ sił
osiowej P oraz momentu zginającego M = Pe, e = 0,5a. Naprężenia normalne od siły osiowej P wynoszą
P
P
IIP  2 ,
P
2a
2a2
a od momentu zginającego
3P
2
a
4a
6P 
M
Pe
2  3P .
3P
IIM 


2
3
2
4a
W a  2a
4a
4a2
e
6
Wypadkowe naprężenia normalne w przekroju II-II wynoII - II
P
szą:
4a2
 naprężenia ściskające w punkcie A
A
B
5P
II  IIA  IIAP  IIAM   2 ,
4a
5P
4a2
e
 naprężenia rozciągające w punkcie B
P
IIA  IIAP  IIAM  2 .
4a
Porównując maksymalne naprężenia normalne w przekrojach I-I oraz II-II otrzymuje
się
II 5
 .
I 4
Działanie momentu zginającego powoduje, że w przekroju II-II o powierzchni 2a2 naprężenia są większe niż w przekroju I-I o powierzchni a2.
P
P Zerowy
13 Wytrzymałość złożona.doc
155
Zginanie i skręcanie
Wspólne działanie zginania i skręcania jest najczęściej spotykanym przypadkiem wytrzymałości złożonej. W ten sposób są
obciążone wały maszyn, pojazdów, skrzyni biegów itp. Ten rodzaj wytrzymałości złożonej charakteryzuje się niejednorodnym
rozkładem naprężeń – moment zginający powoduje powstanie
naprężeń normalnych, moment skręcający naprężeń stycznych
(rysunek).
Naprężenia normalne w wałach o przekroju
kołowym: (ZGINANIE):
max
Mzg

,
W
d3
W
,
32
Naprężenia styczne: (SKRĘCANIE):
max 
Mskr
,
W0
W0  2  W 
d3
.
16
Wskaźnik wytrzymałości przekroju kołowego na skręcanie jest równy podwójnemu
wskaźnikowi wytrzymałości przekroju na
zginanie.
Naprężenia zredukowane oblicza się według hipotezy Hubera
2
red 
2
max

2
3max
2
M2zg  0,75M2skr
 Mzg 
 Mskr 
  3
 
 
.
W
W
W
 0 


Dla uproszczenia zapisu wprowadza się często pojęcie momentu zredukowanego Mred  M2zg  0,75M2skr .
W przypadku zginania w dwóch wzajemnie prostopadłych
płaszczyznach oblicza się wypadkowy moment zginający
Mzg  M2Y  M2Z .
Warunek wytrzymałościowy przy zginaniu i skręcaniu
red 
Mred
 dop ,
W
gdzie W – wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie.
13 Wytrzymałość złożona.doc
156
PRZYKŁAD
Na wale o kołowym przekroju zamontowano trzy koła zębate o średnicach d 1 =
= 100 mm, d2 = 300 mm, d3 = 250 mm (rysunek). Koła te współpracują z innymi kołami, przenosząc siły obwodowe P1 = 4000 N, P2 = 3000 N, P3 = 2000 N. Przyjmując
naprężenia dopuszczalne dop = 100 MPa, określić z warunku wytrzymałościowego
średnicę wału d.
Zerowe układy sił (ZUS):
d
Ms1  P1  1  200 N  m ,
2
d
Ms2  P2  2  450 N  m ,
2
d
Ms3  P3  3  250 N  m ,
2
Jeżeli w osi wału będą przyłożone zerowe
układy sił Pi (rys. b), to można zidentyfikować
momenty skręcające oraz siły zginające wał w
płaszczyźnie pionowej i poziomej. Dla koła 1
moment skręcający M1 = P1d1/2 = 200 Nm,
pionowa siła zginająca wał P1 = 4000 N. Dla
koła 2 M2 = P2d2/2 = 450 Nm, pozioma siła
zginająca P2 = 3000 N, dla koła 3 M3 = P3d3/2
= 250 Nm, pozioma siła zginająca (skierowana przeciwnie do P2) P3 = 2000 N. Wał AB
oraz belkę AB zginaną w płaszczyźnie pionowej oraz w płaszczyźnie poziomej, jak również
odpowiadające im wykresy momentów pokazano na rysunku obok.
Z wykresów MZ oraz MY można określić maksymalne wartości momentów zginających.
Wypadkowe momenty Mzg dla przekrojów wałów pod kołami wynoszą
Otrzymane wartości pozwalają na wykonanie
1)
wykresu Mzg dla charakterystycznych punktów –
M(zg
 640 2  250 2  687,1 N  m,
w tym zadaniu są to przekroje, w których są
2)
M(zg
 440 2  562,5 2  714,15 N  m, umieszczone koła. Dla przekroju, w którym występuje maksymalna wartość Mzg, moment
3)
M(zg
 160 2  50 2  167,63 N  m.
skręcający MS = 250 Nm.
Moment zredukowany dla tego przekroju według hipotezy energetycznej ma wartość
Mred  714,152  0,75  2502  746,25N  m.
Z warunku wytrzymałościowego określa się średnicę wału d
red 
Mred
32Mred 3 32  746,25 3
d3
  dop , W 
, d3

10  42,36 mm.
W
32
dop
  100
Średnica wału poddanego działaniu momentu skręcającego i momentu zginającego w przekroju niebezpiecznym musi być równa co najmniej 42,36 mm.
13 Wytrzymałość złożona.doc
157
OGÓLNY PRZYPADEK WYTRZYMAŁOŚCI ZŁOŻONEJ
Przeprowadzić obliczenia wytrzymałościowe dla pręta przedstawionego na rysunku.
Przyjąć: P0 = 400 kN, P1 = 80 kN, P2 = 40 kN, P3 = 20 kN.
L = 1m, h = 24 cm, b = 8 cm, kr = 140 MPa.
P1
x
P0
z
L/2
y
L/2
P2
P3
B
A
C
h
Mz
x
P0
P1
P2
My
x
b
P0 P1
P2
Mx
P3
b
P3
P1
z
P0
P2
y
y
h
N x  P0  P1  400  80  480 kN ,
z
h
P3
b
Ty  P2  40 kN ,
Tz  P3  20 kN
L
0,24
 P2  L  80 
 40 1,00  49,6 kN  m
2
2
b
L
0,08
1,00
M y  P1   P3   80 
 20 
 13,2 kN  m
2
2
2
2
h
0,24
M x  M S  P3   20 
 2,4 kN  m
2
2
M z  P1 
13 Wytrzymałość złożona.doc
158
Wykresy naprężeń normalnych i stycznych
Nx
x
x
y
B
Mz
z
y
zz
’’
’
A
C
Wz 
' 
Nx
480

 10  25 M Pa
b  h 8  24
My
x
' ' 
z
b  h2
6
6M z 6  49,6 3

10  64,6 M Pa
b  h 2 8  242
Ms
z
y
b
h
b
h
’’’
x
s max
y
z
s
b
h
Wy 
' ' ' 
h  b2
6
6M y
hb
2

6  13,2
 103  51,6 M Pa
2
24  8
Ms
2,4

 103  5,9 M Pa
2
hb
0,267  24  82
s    s m ax  0,753  5,9  4,4 M Pa
s m ax 
x
x
z
y
y 
y
13 Wytrzymałość złożona.doc
z
b
3 Ty
3 40

 10  3,1 M Pa
2 b  h 2 8  24
Tz
z
Ty
y
h
b
h
h
z 
b
3 Tz
3 20

 10  1,6 M Pa
2 b  h 2 8  24
159