docNaprężenia normalne przy zginaniu
download 
Reklamacja Transkrypt
Naprężenia normalne przy zginaniu
Klasyfikacja płaskich układów prętowych Belki proste wspornik belka swobodnie podparta belki wspornikowe Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 1 Klasyfikacja płaskich układów prętowych Belki wieloprzęsłowe przegubowe Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 2 Siły przekrojowe w belkach prostych — przykłady Proste przypadki Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 3 Siły przekrojowe w belkach prostych — przykłady Zasada superpozycji Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 4 Siły przekrojowe w belkach prostych — przykłady Zasada superpozycji Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 5 Siły przekrojowe w belkach prostych — przykłady Zasada superpozycji Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 6 Siły przekrojowe w belkach prostych — przykłady Zasada superpozycji Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 7 Siły przekrojowe w belkach prostych — przykłady Zasada superpozycji Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 8 Eksperyment zginania prostego Rozpatrzmy belkę swobodnie podpartą o przekroju prostokątnym obciążoną siłą skupioną P w środku rozpiętości h≤ l 10 Hipoteza Bernoulli’ego: Przekroje poprzeczne pozostają płaskie i prostopadłe do osi odkształconej belki Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 9 Odkształcenia przy zginaniu ρ(x ) — promień krzywizny ε (x , z ) = Δ — odkształcenie włókien o rzędnej z dx Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 10 Odkształcenia przy zginaniu dx + Δ ρ ( x ) + z = dx ρ (x ) 1+ Δ z =1+ dx ρ (x ) Δ z = dx ρ ( x ) Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 11 Odkształcenia przy zginaniu ε (x , z ) = Δ dx ε (x , z ) = Δ z = dx ρ ( x ) z ρ (x ) warunek geometryczny Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 12 Naprężenia normalne przy zginaniu ε (x , z ) = z ρ (x ) σ = E ε — prawo Hooke’a σ (x , z ) = Ez ρ (x ) warunek fizyczny dla ρ > 0 , z > 0 — rozciąganie dla ρ > 0 , z < 0 — ściskanie Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 13 Naprężenia normalne przy zginaniu Bryła naprężeń normalnych w przypadku przekroju prostokątnego — osie y,z są głównymi centralnymi osiami bezwładności przekroju poprzecznego — osią symetrii jest oś z Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 14 Naprężenia normalne przy zginaniu Moment względem osi y M y (x ) = ∫ (σ dA ⋅ z ) A Naprężenia normalne σ (x , z ) = Ez ρ (x ) E Iy ⎞ ⎛Ez E 2 M y (x ) = ∫ ⎜⎜ z A = dA ⋅ z ⎟⎟ = d ∫ ρ (x ) ρ (x ) ⎠ ρ (x ) A A⎝ I y — moment bezwładności względem osi y Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 15 Naprężenia normalne przy zginaniu M y (x ) 1 = ρ (x ) E Iy 1 M (x ) = ρ (x ) EI (6.1) E I y — sztywność giętna Naprężenia normalne σ (x , z ) = Ez M (x ) =Ez ρ (x ) E Iy σ (x , z ) = M (x ) z Iy (6.2) M (x ) Wy (6.3) σ (x , z ) = Wy — wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 16 Naprężenia normalne przy zginaniu Rozkład naprężeń normalnych dla przekrojów bisymetrycznych Naprężenia normalne maksymalne σ max = M (x ) z max Iy z max = (6.4) h 2 Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 17 Naprężenia normalne przy zginaniu Rozkład naprężeń normalnych dla przekrojów monosymetrycznych Naprężenia normalne maksymalne σ max = M (x ) z max Iy (6.4) z max = hd Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 18 Naprężenia normalne przy zginaniu Zadania projektowe — warunek nośności Sprawdzenie, czy naprężenia w projektowanym elemencie nie przekraczają naprężeń dopuszczalnych |σ |max ≤ k g (6.5) |σ | max — największe co do modułu naprężenie normalne kg — naprężenia dopuszczalne przy zginaniu Zadania projektowe — warunek użytkowania Sprawdzenie, czy ugięcia projektowanego elementu nie przekraczają wartości dopuszczalnych | f |max ≤ f dop | f |max — ugięcie maksymalne f dop — ugięcie dopuszczalne Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 19 Ścinanie przy zginaniu prostym Naprężenia styczne wywołane siła tnącą ΣPix = 0 ∫ (σ + dσ ) dA′ − ∫ σ dA′ − τ zx dx b(z ) = 0 A′ A′ ∫ dσ dA′ = τ zx dx b(z ) A′ τ zx = ∫ dσ dA ′ A′ dx b(z ) Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 20 Ścinanie przy zginaniu prostym Naprężenia styczne wywołane siła tnącą τ zx = ∫ dσ dA ′ A′ dx b(z ) Naprężenia normalne (6.2) σ (x , z ) = M (x ) z Iy Otrzymujemy τ zx = dM ( x ) ∫ I y z dA ′ A′ dx b(z ) = dM ( x ) ∫ z dA ′ A′ I y dx b(z ) Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 21 Ścinanie przy zginaniu prostym Naprężenia styczne wywołane siła tnącą Uwzględniając (5.4) oraz (1.4) dM ( x ) = T (x ) dx ∫ z dA ′ = S y A′ otrzymujemy τ zx = dM ( x ) ∫ z dA ′ A′ I y dx b(z ) = T (x )Sy I y b(z ) τ zx = τ xz Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 22 Ścinanie przy zginaniu prostym Naprężenia styczne wywołane siła tnącą — WZÓR ŻURAWSKIEGO τ zx = τ xz = T Sy I y b(z ) (6.6) T —siła tnąca S y —moment statyczny względem centralnej osi bezwładności y, części przekroju poprzecznego, odciętej linią przechodzącą przez punkt, dla którego wyznaczamy naprężenia styczne I y —moment bezwładności przekroju poprzecznego względem poziomej osi centralnej y b(z ) —szerokość przekroju poprzecznego na poziomie punktu, dla którego wyznaczamy naprężenia styczne Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 23 Ścinanie przy zginaniu prostym Naprężenia styczne wywołane siła tnącą Wyznaczmy naprężenia styczne w punkcie B — pole powierzchni części odciętej ⎛h ⎞ AB = b ⎜ − z B ⎟ ⎝2 ⎠ — współrzędna środka masy części odciętej zD = 1 ⎛h ⎞ ⎜ + zB ⎟ 2⎝2 ⎠ Moment statyczny części odciętej SyB SyB = AB z D 2 ⎞ ⎛h ⎞ 1 ⎛h ⎞ b ⎛⎜ h = b ⎜ − zB ⎟ ⋅ ⎜ + zB ⎟ = ⎜ − z B2 ⎟⎟ ⎝2 ⎠ 2⎝2 ⎠ 2⎝ 4 ⎠ Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 24 Ścinanie przy zginaniu prostym Naprężenia styczne wywołane siła tnącą Naprężenia styczne są równe τ zx = τ xz = τ zx = ⎞ b ⎛⎜ h 2 T⋅ ⎜ − z B2 ⎟⎟ 2⎝ 4 ⎠ bh3 ⋅b 12 T Sy I y b(z ) 6 T ⎛⎜ h 2 2⎞ ⎟ z = − B⎟ b h 3 ⎜⎝ 4 ⎠ Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 25 Ścinanie przy zginaniu prostym Naprężenia styczne wywołane siła tnącą Dla z B = ±h / 2 mamy τ zx z = ±h / 2 6T = bh3 ⎡ h 2 ⎛ h ⎞2 ⎤ −⎜ ⎟ ⎥ =0 ⎢ ⎢⎣ 4 ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ Dla z B = 0 mamy τ zx z =0 = 6 T ⎡h 2 3 T 2⎤ max − = = τ zx ( 0 ) ⎢ ⎥ 3 bh ⎣ 4 ⎦ 2 bh Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 26 Ścinanie przy zginaniu prostym Naprężenia styczne wywołane siła tnącą τ zx = 6 T ⎛⎜ h 2 2⎞ ⎟ − z B ⎟ b h 3 ⎜⎝ 4 ⎠ Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie 27 BIBLIOGRAFIA Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z., Wytrzymałość materiałów, tom I, WNT, Warszawa 1999. Klasztorny M., Skrypt do wytrzymałości materiałów [w przygotowaniu]. Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym. Naprężenia normalne i styczne. Projektowanie
