Charakterystyki geometryczne figur płaskich

Zadanie 1. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
1.0
6.0
Dla figury płaskiej pokazanej na rys.1 wyznaczyć:
1. Współrzędne środka ciężkości.
6.0
2. Główne centralne momenty bezwładności.
Wymiary figury podane są w centymetrach.
2.0 2.0
cm
rys.1
1. Wyznaczenie współrzędnych środka ciężkości .
1.1. Dobieramy układ współrzędnych osi xy tak, aby oś y leżała na osi symetrii figury - rys.2.
Środek ciężkości figury leży na osi symetrii y. Środek ciężkości figury wyznaczamy
z zależności:
S
ys = x
(1)
A
gdzie:
S x – moment statyczny pola figury płaskiej względem przyjętej osi x.
A – pole figury płaskiej.
Obliczenia (patrz poniższy rys.2):
Sx = 2*2*6*3 + 2*6*9 + 2*(3*6/2)*8 = 324cm3
A = 3*2*6 + 2*(3*6/2) = 54cm2
Obliczone wartości Sx i A podstawiam do wzoru (1)
ys =
324
= 6cm
54
s ( 0.0, 6.0 ) - współrzędne środka ciężkości s figury w układzie osi xy
2.0
3.0
6.0
3.0
Xs
3.0
Y
ys = 6.0
8.0
9.0
s
X
2.0
4.0
2.0
rys.2
___________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/
1/3
1.2. Sprawdzenie poprawności obliczeń.
Sprawdzamy czy moment statyczny S x s pola figury płaskiej obliczony względem osi xs
przechodzącej przez środek ciężkości figury równa się zero ( rys.3).
Sx s = 2 * 6 * 3 + 2 *
3*6
* 2 + 2 * 2 * 6 * (−3) = 72 − 72 = 0
2
2.0
3.0
2.0
Y
3.0
3.0
3.0
Xs
6.0
3.0
s
2.0
4.0
2.0
rys.3
2. Wyznaczenie głównych centralnych momentów bezwładności.
Odśrodkowy moment bezwładności pola figury płaskiej względem prostokątnego układu
osi x y, z których chociaż jedna jest osią symetrii figury, równy jest zero:
J xy = 0
Osie xs y nazywamy głównymi centralnymi osiami bezwładności, gdyż przechodzą przez
środek ciężkości figury i odśrodkowy moment bezwładności pola figury płaskiej względem
prostokątnego układu osi xs y jest równy zero:
J xs y = 0
Momenty bezwładności pola figury płaskiej liczone względem głównych centralnych osi
bezwładności nazywamy głównymi centralnymi momentami bezwładności.
J x s – główny centralny moment bezwładności pola figury płaskiej względem osi xs.
J y – główny centralny moment bezwładności pola figury płaskiej względem osi y.
___________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/
2/3
2.1. Dwa sposoby obliczenia J x – głównego centralnego momentu bezwładności
s
pola figury płaskiej względem osi xs
Sposób I:
Do obliczenie J x pomocny jest rys.3.
s
3
 2*6

 3 * 63 3 * 6

2 * 63
3 * 63
2
2




J xs = 3*
* 2 = 3*
+ 2*6*3 + 2*
+
+ 2*
= 540cm 4
 12

 36

2
3
12




Sposób II:
Do obliczenie J x pomocny jest rys.2
s
Korzystamy z odwrotnego twierdzenia Steinera:
J x = J x − A * y s2
s
(2)
gdzie:
J x – moment bezwładności pola figury płaskiej względem osi x.
A – pole figury płaskiej (obliczenia na str1).
ys – odległość osi x od osi xs (obliczenia na str1).
 2 * 63
 2 * 63
 3 * 63 3 * 6

Jx = 2*
+ 2 * 6 * 32  +
+ 2 * 6 * 92 + 2 * 
+
* 8 2  = 2484cm 4
 12

 36

12
2




Obliczone wartości podstawiamy do wzoru (2)
2
4
J x s = 2484 – 54 * 6 = 540cm
2.2
Obliczenie J y - głównego centralnego momentu bezwładności pola figury płaskiej
względem osi y . Do obliczeń pomocny jest rys.4.
3.0
2.0
2.0
6.0
2.0
3.0
Y
Xs
6.0
s
3.0
2.0
3.0
4.0
2.0
rys.4
 6 * 33 6 * 3 2 
 6 * 23
 6 * 23
Jy = 2*
* 2  = 309cm 4
+ 2*
+
+ 6 * 2 * 32  +



 12
12
2

 36


___________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/
3/3