Łuki statycznie niewyznaczalne

WYKŁADY
ŁUKI
Z
MECHANIKI BUDOWLI
1
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Wojciech Pawłowski,
Michał Płotkowiak, Krzysztof Tymper
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 7
TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCIACH
ŁUKI STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Głównym powodem dla którego łuki statycznie niewyznaczalne wyróżnione są
oddzielnym wykładem, jest wpływ (w ogólności) wszystkich ich sił wewnętrznych
(momentów ale także sił normalnych i tnących) na przemieszczenia, skutkiem czego nie
można ich pominąć przy liczeniu współczynników w metodzie sił. Następnym powodem
dla którego poświęciliśmy im dodatkową uwagę, są trudności związane właśnie z
liczeniem tych sił wewnętrznych. Reasumując w poniższym wykładzie omówimy ogólne
założenia, tok postępowania oraz sposoby liczenia łuków statycznie niewyznaczalnych.
Słowa kluczowe: łuk statycznie niewyznaczalny, metody całkowania krzywych;
1. DEFINICJA I PODZIAŁ ŁUKÓW
Łuk to pręt zakrzywiony w pewnej płaszczyźnie, pracujący
zarówno na zginanie, ścinanie jak i ściskanie. Jego poszczególne części
składowe nazwane są następująco:
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKŁADY
ŁUKI
Z
MECHANIKI BUDOWLI
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Rys.1.0.1. Części składowe łuku
Ze względu na krzywiznę łuki można podzielić m. in. na:
- kołowe
- paraboliczne
- sinusoidalne
Ze względu na konstrukcję podpór można je podzielić następująco:
- jednoprzegubowe
- dwuprzegubowe
- trójprzegubowe
- bezprzegubowe (utwierdzone)
Ze względu na przekrój:
- o stałym przekroju
- o zmiennym przekroju (o konstrukcji optymalnej)
Ze względu na materiał:
- drewniane
- stalowe
- żelbetowe
Mogą być również łuki o konstrukcji mieszanej:
- ze ściągiem
-
z zakratowaniem
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
2
WYKŁADY
ŁUKI
Z
MECHANIKI BUDOWLI
3
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
2. ZASADA PRACY ŁUKU
W pracy łuku decydującą rolę najczęściej odgrywają siły
normalne. Z tego też powodu w wielu przypadkach nie wolno pominąć
ich wpływu na przemieszczenia układu. Wpływ sił normalnych na układ
jest tym większy im mniejszą łuk ma wysokość (analogia do kratownicy
Misesa). Dla łuków płaskich, o wysokim przekroju lub krótkich, nie
wolno pominąć również wpływu siły tnącej (analogia do belki
Timoshenko). Poniższa tabela przedstawia ogólne warunki, na podstawie
których pomijamy bądź uwzględniamy wpływ odpowiednich sił
wewnętrznych na przemieszczenia.
Tab.2.0.1 Wpływ odpowiednich sił wewnętrznych na przemieszczenia w zależności od
wymiarów łuku gdzie: h – wysokość przekroju, l – rozpiętość łuku, f – strzałka łuku
Łuk płaski
f <
l
5
Łuk wyniosły
l
f ≥
5
h 1
>
l 10
1 h 1
< ≤
30 l 10
h 1
≤
l 30
h 1
<
l 10
M,N,T
M,N
M
M
Na zakończenie warto zauważyć, że przy spełnieniu powyższych
warunków (tab.2.0.1), pominięcie sił normalnych podczas obliczania
przemieszczeń ma dużo większy wpływ na ostateczny wynik niż w
innych układach prętowych. (Błąd może nawet przekroczyć 10 %.)
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKŁADY
ŁUKI
Z
MECHANIKI BUDOWLI
4
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
3. OPIS MATEMATYCZNY ŁUKÓW
3.1. Łuki paraboliczne
Rys.3.1.1. Parametry potrzebne do opisu łuku parabolicznego
Równanie osi łuku jest postaci następującej:
y=
4f
⋅ x(l − x )
l2
(3.1.1)
Stąd kąt nachylenia stycznej do krzywej w danym punkcie jest równy:
4f
⋅ (l − 2 x )
l2
4 f

ϕ = arc tg  2 ⋅ (l − 2 x )
l

y ' = tgϕ =
Politechnika Poznańska®
(3.1.2)
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKŁADY
ŁUKI
Z
MECHANIKI BUDOWLI
5
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
3.2. Łuki kołowe
Rys.3.2.1. Parametry potrzebne do opisu łuku kołowego
Równanie osi łuku jest postaci następującej:
l

y = f − R + R −x − 
2

2
2
(3.2.1)
Stąd kąt nachylenia stycznej do krzywej w danym punkcie jest równy:
y ' = tgϕ =
l − 2x
l

2 R −x − 
2

2
2


l − 2x

ϕ = arc tg 
2
2 R2 −  x − l 



2









(3.2.2)
Promień znajdujemy korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
l
R = (R − f ) +  
2
2
f l
R= +
2 8f
2
Politechnika Poznańska®
2
2
(3.2.3)
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKŁADY
ŁUKI
Z
MECHANIKI BUDOWLI
6
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
4. SPOSOBY CAŁKOWANIA FUNKCJI SIŁ WEWNĘTRZNYCH
Generalnie rzecz biorąc całkując wykresy w celu wyliczenia
przemieszczeń, nie możemy skorzystać z twierdzenia MohraWiereszczagina, z faktu nieprostoliniowości tych wykresów ( obydwa są
krzywoliniowe). Należy więc dokonać tego całkowania w sposób
tradycyjny lub skorzystać z innych sposobów ułatwiających to
całkowanie. Poniżej znajdują się różne sposoby radzenia sobie z tym
problemem.
Rys.4.0.1. Zależności między różniczką łuku a różniczką długości
4.1. Metoda matematyczna
W ogólnym przypadku, w prostokątnym układzie współrzędnych
należy dokonać zamiany całki krzywoliniowej na liniową, stosując
następujące matematyczną zależność:
( )
ds = 1 + y '
2
⋅ dx
(4.1.1)
4.2. Metody numeryczne
Metody numeryczne są szczególnie tam przydatne gdzie mamy do
czynienia z dość skomplikowanymi krzywymi oraz przy stałym przekroju
łuku. W takim przypadku musimy najpierw dokonać następującego
przekształcenia:
dx
dx
= cos ϕ → ds =
(4.2.1)
ds
cos ϕ
a po podstawieniu tej zależności do wzoru na współczynniki równania
kanonicznego (wszystkie przekształca się tak samo) otrzymujemy:
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKŁADY
ŁUKI
∆ ip = ∫
S
1
=
EJ
l
∫
0
M po ⋅ M 1
EJ
M po ⋅ M 1
Z
MECHANIKI BUDOWLI
7
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
l
ds + K = ∫
M po ⋅ M 1
EJ
0
⋅
dx
+K =
cos ϕ
l
Ω
1
+K
dx + K =
q ( x) dx + K =
∫
cos ϕ
EJ 0
EJ
(4.2.2)
gdzie Ω jest to pole wykresu pod krzywą q(x) w granicach od 0 do
L.(Rys.4.2.1)
Rys.4.2.1. Interpretacja graficzna całkowania numerycznego
W zależności od sposobu obliczania pola Ω możemy zastosować następujące
aproksymacyjne metody:
- metoda prostokątów – pole pod krzywą dzielimy na prostokąty, a następnie
dokonujemy zsumowania ich pól (jedna z dokładniejszych metod)
n
1 
1
Ω = ∑ Ω i = a ⋅  q 0 + q1 + K + q n −1 + q n 
2 
2
i =1
(4.2.3)
Rys.4.2.4. Interpretacja graficzna metody prostokątów
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKŁADY
ŁUKI
Z
MECHANIKI BUDOWLI
8
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
- metoda trapezów - pole pod krzywą dzielimy na trapezy, a następnie
dokonujemy zsumowania ich pól (jedna z mniej dokładnych metod)
n −1
n
i =0
i =0
Ω = ∑ Ωi = a ⋅ ∑
qi + qi +1
2
(4.2.4)
- metoda parabol (Simpsona) - pole pod krzywą dzielimy na prostokąty i
parabole
a następnie dokonujemy zsumowania ich pól (najdokładniejsza metoda). Warto
zaznaczyć, że parabole budujemy na trzech kolejnych punktach stąd podział
odcinka musi być parzysty.
n
Ω = ∑ Ωi =
i =1
a
⋅ (q 0 + 4q1 + 2q 2 + 4q 3 + K + 2q n −2 + 4q n −1 + q n )
3
(4.2.5)
Warto zaznaczyć, że we wszystkich powyższych metodach całkowania
numerycznego, czym gęstszy podział odcinka tym uzyskane wyniki są
dokładniejsze (szczególnie gęsty podział zalecany jest gdy mamy do czynienia z
łukami stromymi).
4.3. Metoda „akademicka”
Metoda ta polega na założeniu, że łuk ma zmienny przekrój.
dx
= cos ϕ
ds
→ ds =
dx
cos ϕ
Przy założeniu, że:
J ( x) =
J0
cos ϕ ( x)
(4.3.1)
gdzie J0 to tzw. moment porównawczy który znajduje się w kluczu łuku
(bo dla
φ = 0, cosφ = 1 stąd: J(x) = J0) czyli J(x) zmienia się cosinusoidalnie.
Po wprowadzeniu tej „sztucznej” zależności całki w wielu przypadkach
można w prosty sposób obliczyć analitycznie:
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKŁADY
ŁUKI
M po ⋅ M 1
∆ ip = ∫
EJ
S
Z
MECHANIKI BUDOWLI
9
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
M po ⋅ M 1 dx
ds + K = ∫
⋅
+K =
J 0 cos ϕ
0 E⋅
cos ϕ
l
l
=
1
M po ⋅ M 1 dx + K
∫
EJ 0 0
(4.3.2)
4.4. Metoda polegająca na zamianie współrzędnych prostokątnych na
biegunowe (dotyczy wyłącznie łuków kołowych).
Rys.4.4.1. Przyjęcie układu biegunowego
x
R
R− y
cos ϕ =
R
ds
= dϕ
R
x = R sin ϕ
sin ϕ =
y = R − r cos ϕ = R (1 − cos ϕ )
ds = R dϕ
(4.4.1)
Po podstawieniu tych zależności do wzoru na współczynniki równania
kanonicznego otrzymujemy proste całki z funkcji trygonometrycznych:
δ ip = ∫
M po ⋅ M 1
EJ
S
ϕ0
= 2∫
0
M po ⋅ M 1
EJ
Politechnika Poznańska®
ds + K =
ϕ0
∫
−ϕ 0
M po ⋅ M 1
E⋅J
⋅ R dϕ + K =
⋅ R dϕ + K
(4.4.2)
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKŁADY
ŁUKI
Z
MECHANIKI BUDOWLI
10
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Warto zauważyć, że granice w całce ustalone zostały od – φ0 do φ0,
ponieważ między tymi skrajnymi wielkościami leży kąt φ (w
szczególnych przypadkach np. gdy mamy do czynienia z połówką lub
ćwiartką koła kąt φ zmieniać się będzie odpowiednio od 0 do π i od 0 do
π
).
2
Rys.4.4.2. Przyjęcie odpowiednich granic przy zamianie współrzędnych
Wartość kąta φ0 obliczamy z następującej zależności:
l
sin ϕ 0 = 2
R
→ ϕ 0 = arc sin(
l
)
2R
(4.4.3)
Rys.4.4.3. Wyznaczenie wartości kąta φ0
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKŁADY
ŁUKI
Z
MECHANIKI BUDOWLI
11
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
5. PRZYKŁAD
Obliczyć i wykonać wykresy sił wewnętrznych od zadanego obciążenia,
dla łuku parabolicznego, dwuprzegubowego, statycznie niewyznaczalnego, o
stałym przekroju, przedstawionego na Rys.5.1.1a:
Rys.5.0.1 Dany układ a) rzeczywisty z obciążeniem zewnętrznym; b) układ podstawowy
z niewiadomą X1 oraz układem równań kanonicznych
24 

Ponieważ mamy do czynienia z łukiem wyniosłym  6 >
,w
5 

równaniach kanonicznych metody sił pomijamy wpływ sił normalnych i
tnących.
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKŁADY
ŁUKI
Z
MECHANIKI BUDOWLI
12
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Rys.5.0.2 Wykresy sił wewnętrznych w układzie podstawowym pochodzące kolejno od:
a) siły jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej X1; b) obciążenia rzeczywistego
Cięciwę łuku podzielono na 15 części (24/15 = 1,6), następnie w każdym
w ten sposób uzyskanym punkcie obliczono wartości M 1 i M po
(Tab.2.0.1) oraz je zsumowano.
Tab.5.0.1 Zestawienie wyników M 1 i M po
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKŁADY
ŁUKI
Z
MECHANIKI BUDOWLI
13
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Nr
x
y
tgϕ
1
cos ϕ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
1,6
3,2
4,8
6,4
8,0
9,6
11,2
12,8
14,4
16,0
17,6
19,2
20,8
22,4
24
0
1,493
2,773
3,84
4,693
5,333
5,76
5,973
5,973
5,76
5,333
4,693
3,84
2,773
1,493
-0
1
0,8667
0,7333
0,6
0,4667
0,3333
0,2
0,0667
0,0667
0,2
0,3333
0,4667
0,6
0,7333
0,8667
1
1,4142
1,3233
1,2401
1,1662
1,1035
1,0541
1,0198
1,0022
1,0022
1,0198
1,0541
1,1035
1,1662
1,2401
1,3233
1,4142
M1
0
-1,493
-2,773
-3,840
-4,693
-5,333
-5,760
-5,973
-5,973
-5,760
-5,333
-4,693
-3,840
-2,773
-1,493
0
M
o
p
0
165,89
331,78
497,66
663,55
829,44
995,33
1130,50
1204,22
1216,51
1167,36
1056,77
884,74
651,26
356,35
0
Σ
M 12
cos ϕ
M 1 ⋅ M po
0
2,951
9,5379
17,196
24,308
29,983
33,835
35,76
35,76
33,835
29,983
24,308
17,196
9,5379
2,951
0
307,14
0
-327,8148
-1141,022
-2228,625
-3436,69
-4662,968
-5846,627
-6767,819
-7209,199
-7145,877
-6562,696
-5473,247
-3961,999
-2239,783
-704,1948
0
-57708,56
cos ϕ
Na podstawie tab.2.0.1 wyliczono współczynniki δ11 i ∆1p (wykorzystując
metodę prostokątów):
n
δ 11 ⋅ EJ = a ⋅ ∑ qi = 1,6 ⋅ 307,14 = 491,42 m 3
i =1
n
∆ 1 p ⋅ EJ = a ⋅ ∑ qi = −1,6 ⋅ 57708,56 = −92333,70 kN m 3
i =1
Stąd:
X1 =
− ∆1 p
δ 11
=
− (−92333,7)
= 187,89 kN
491,42
(5.0.1)
(5.0.2)
Po otrzymaniu powyższej wielkości, obliczono poszukiwane siły wewnętrzne
korzystając z następujących wzorów:
M ( n ) = M po + X 1 ⋅ M 1
T ( n ) = T po + X 1 ⋅ T1 = T p ⋅ cos ϕ − X 1 ⋅ sin ϕ
N ( n ) = N po + X 1 ⋅ N 1 = −T p ⋅ sin ϕ − X 1 ⋅ cos ϕ
(5.0.3)
a wyniki zestawiono w tab.5.0.2.
Tab.5.0.2 Zestawienie wyników końcowych
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKŁADY
ŁUKI
Z
M 1 ⋅ M ( n)
cos ϕ
Nr
x
M (n )
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
1,6
3,2
4,8
6,4
8,0
9,6
11,2
12,8
14,4
16,0
17,6
19,2
20,8
22,4
24
0
-114,69
-189,31
-223,83
-218,28
-172,64
-86,92
8,17
81,89
134,27
165,28
174,94
163,24
130,18
75,77
0
0
226,650
651,047
1002,370
1130,510
970,552
510,565
-48,889
-490,268
-788,686
-929,176
-906,043
-731,009
-447,714
-149,730
0
0,179
Σ
MECHANIKI BUDOWLI
14
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
sin ϕ
cos ϕ
0,7071
0,6549
0,5914
0,5145
0,4229
0,3162
0,1961
0,0665
-0,0665
-0,1961
-0,3162
-0,4229
-0,5145
-0,5914
-0,6549
-0,7071
0,7071
0,7557
0,8064
0,8575
0,9062
0,9487
0,9806
0,9978
0,9978
0,9806
0,9487
0,9062
0,8575
0,8064
0,7557
0,7071
T po
T (n )
N (n )
103,68
103,68
103,68
103,68
103,68
103,68
103,68
65,28
26,88
-11,52
-49,92
-88,32
-126,72
-165,12
-203,52
-241,92
-59,55
-44,71
-27,50
-7,76
14,50
38,94
64,82
52,64
39,32
25,55
12,06
-0,58
-11,99
-22,04
-30,74
-38,2
-206,171
-209,89
-212,828
-214,457
-214,108
-211,035
-204,575
-191,816
-185,686
-186,501
-194,034
-207,612
-226,311
-249,161
-275,278
-303,922
Kontrola kinematyczna:
l
EJ ⋅ δ B = ∫
0
δB = −
Politechnika Poznańska®
n
 M n ⋅ M1 
M (n) ⋅ M 1

dx = a ⋅ ∑ 
cos ϕ
i =1  cos ϕ
i
1,6 ⋅ 0,179
0,286
=−
≈0
EJ
EJ
(5.0.2)
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKŁADY
ŁUKI
Z
MECHANIKI BUDOWLI
15
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Rys.5.0.3 Zestawienie wyników: a) wykres rzeczywistych sił normalnych N(n); c) wykres
rzeczywistych sił tnących T(n); c) wykres momentów rzeczywistych M(n)
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper